Бауэрс Н., Гербер Х., Джанс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика
Подождите немного. Документ загружается.
21.5.
Модели
финансовой
экономики
581
Если
инвестиционный
портфель,
рассматриваемый
актуарием,
содержит
обли
гации
с
постоянным
сроком
погашения,
то
формулу
(21.5.7)
можно
использовать
непосредственно
для
генерирования
случайных
последовательностей
будущих
про
центных
ставок,
которые
затем
используются
в
имитационном
анализе.
До
сих
пор
при
выборе
параметров
модели
мы
не
учитывали
мнения
актуария
по
поводу
долгосрочной
средней
ставки
или
необходимости
согласования
с
такими
требованиями,
как
отсутствие
возможности
арбитража.
Для
того
чтобы
включать
в
рассмотрение
такую
информацию,
можно
пользоваться
параметром
л(t,
n).
Например,
приводимые
ниже
соображения
дают
актуарию
способ
учитывать
информацию
о
долгосрочном
среднем
ставки
номинальной
доходности
для
ценных
бумаг
со
сроком
погашения
n.
Пусть
л(t,
n) =
Фn
ln
J.Ln,
т.
е.
л(t,
n)
не
зависит
от
t.
Соотношение
(21.5.7)
можно
переписать
в
виде
ln[Y(t,n)] =
Фn
lnJ.Ln
+
(1
-
Фn)
ln[Y(t
-
1,
n)] +Unct,n,
Чтобы
упростить
следующие
шаги,
положим
t =
1,2,3,
..
..
(21.5.8)
Zt =ln[Y(t, n)],
В
=
Фn
lnJ.Ln,
Ф
=1 -
фn, О
<
Ф
<
1;
тогда
соотношение
(21.5.8)
переписывается
в
форме
Zt =
В
+
Ф
Zt-l
+
UnCt,n,
(21.5.9)
Т.е.
в
форме
стандартной
модели
AR(l)
с
параметром
сноса
В.
Выпишем
эти
равен
ства
последовательно,
умножив
равенство
для
Zt-j
на
фj:
Zt -
Ф
Zt-l
=
В
+Unct,n,
Ф
Zt-l
-
ф2
Zt-2
=
ФВ
+
ФUnЕ't,n,
ф2
Zt-2
-
фЗ
Zt-З
=
ф
2
в
+
ф
2
U
n
Е't,n,
Складывая
эту
последовательность
равенств
и
предполагая,
что
t
велико,
получаем
В
t .
Zt
:
1-
ф
+
а
n
LCt-j,n
ФJ
.
j=O
Потенцируя
это
приближение,
получаем
e
Z
' :
ехр
(1
~ Ф
+"-n
tE:t-j,n
фj),
}=О
t
Y(t,
n)
:
Рn
ехр
(а
n
~
ct-j,n
фj).
}=О
(21.5.10)
Случайная
величина
а
n
E~=o
ct-j,n
фj
под знаком
экспоненты
имеет
нормальное
распределение
с
нулевым
средним
и
дисперсией,
которая
при
больших
значениях
t
приблизительно
равна
a~/(1
_
'112).
Воспользовавшись
этими
замечаниями
о
распределении
случайной
компоненты
и
вспоминая
вид
производящей
функции
моментов
нормальных
случайных
величин,
ДЛЯ
больших
значений
t
получаем
E[Y(t,
n)] :
JLn
ехр
{2[1 _
(~~
фn)2]
}.
582
Гл.
21.
Проценты
как
случайная
величина
Если
имеющиеся
данные
или
мнение
актуария
говорят
в
пользу
существования
дол
госрочного
среднего ставки
номинальной
доходности
для
облигаций
со
сроком
по
гашения
через
n
периодов,
то
выбранные
значения
л(
t, n) =
Фn,
ln
JJn
и
a~
должны
оказаться
согласованными
с
формулой
(21.5.10).
Помимо
требований
к
параметрам
модели,
связанных
с
оценками
долгосрочно
го
среднего,
можно
изменить
параметр
л(t,
n)
таким
образом,
чтобы
модель
была
согласована
с
условием
отсутствия
возможности
арбитража.
Наблюденные
ставки
[i(O,
nl),
i(O,
n2),""
i(O,
n
т
)]
для
т
различных
сроков
погашения
не
должны
да
вать
больших
возможностей
для
арбитража
на
эффективном
рынке
капитала.
Такие
возможности
представляли
бы
собой
безрисковые
стратегии
увеличения
капитала,
которые
утрачиваются
по
мере
их
использования
биржевыми
брокерами.
Оценен
ные
кривые
будущей
доходности,
определяемые
усреднением
по
многим
имитацион
ным
процедурам,
могут
привести
к
моделям,
допускающим
возможность
арбитража,
следствием
чего
было
бы
противоречивое
поведение
на
рынках
капитала.
Поэтому
наличие
такой
возможности,
заложенное
в
оцененной
кривой
будущей
доходности,
также
привело
бы
к
противоречию.
Разработка
метода
изменения
всей
оцененной
кривой
доходности
с
тем,
чтобы
предотвратить
возможность
арбитража,
сопряжена
с
некоторыми
соображениями,
выходящими
за
рамки
настоящего
изложения.
Поэтому
мы
будем
рассматривать
только
облигации
со
сроком
погашения,
равным
одному
периоду,
n = 1.
Мы
вос
пользуемся
упрощением
формулы
(21.5.8)
и
предположим,
что
хотим
разработать
сценарии
для
процентной
ставки,
длительность
каждого
из
которых
равна
Н
пери
одам.
Модель
имеет
вид
ln[Y(t,
1»)
=
JJ
+O"I€"t,l, t =
1,2,
...
,
Н.
(21.5.11)
Если
генерируется
т
последовательностей
вида
(еl,l,е2,1,
..
'
,ен,I),
состоящих
из
реализаций
случайной
величины
ct,l,
то
должны
получиться
т
последовательностей
возможных
будущих
однопериодных
ставок,
(el-'+O'l
e
l,l,
el-'+0'I
e
2,1,
•••
,e
ll
+O'l
e
H,I)j,
j =
1,2,
...
,т.
Для
минимизации
возможности
арбитража
в
момент
1
значение
параметра
J-t,
среднего
модели,
будет
изменено
таким
образом,
чтобы
ожидаемые
ставки
на
момент
1
не
предоставляли
такой
возможности.
Для
этого
каждое
из
т
значений
величины
el-'+O'l
e
l,l
будет
умножаться
на
e
A1
-J.L,
где
лl
определяется
из
соотношения
т
[1
+
у(О,
1)]-1(1 +
е
А1
+0'I
е
l,1
Х;1
L =
Р(О,2).
.
т
з=1
Как
и
ранее,
Р(О,
2)
является
наблюденной
ценой
дисконтной
облигации,
срок
пога
шения
которой
-
два
периода.
Символ
(1
+
е>'I+О'l
е
l,1
)jl
означает,
что
переменная
еl,l
берется
из
сценария
с
номером
j,
определенного
соотношением
(21.5.11).
Поправка
для
устранения
арбитража
для
остальных
лет
из
тех
Н
лет,
для
ко
торых
осуществляется
планирование,
будет
определяться
последовательным
разре
шением
уравнений
т
[1
+
у(О
1)]-1(1 +
еА1+0'Iеl,1
)-:-1
...
(1
+
e>'h-l+О'lеh-l,l
)-:-1
Е'
3 J =
Р(О,
h),
.
т
з=1
где
h =
2,
З,
...
,
Н,
относительно
Лh-l,
Получающиеся
в
результате
т
последо
вательностей
вида
[у(О,
1),
е
А1
+0'1
е
1
,1,
...
,e
AH
-
1
+O'l
e
H-l,l]j
могут
быть
использованы
21.6.
Управление
процентным
риском
583
как
генерированные
случайным
образом
сценарии
будущих
процентных
ставок,
где
каждому
сценарию
приписывается
вес,
равный
11т.
Замечание.
В
этом
разделе
мы
рассматривали
предположение
об
отсутствии
арбитража
на
рынках
капитала.
Эмпирические
исследования
показывают,
что
хо
тя
арбитраж
может
существовать,
из-за
активности
биржевых
брокеров
срок
его
существования
незначителен.
21.6.
'У'правление
процентным
риском
Построение
актуарных
моделей
систем
финансовой
безопасности
обеспечива
ет
разумный
базис
для
расчета
стоимости
обязательств,
для
оценок
финансового
состояния
такой
системы
и
для
управления
рисками,
связанными
с
операциями
в
таких
системах.
В
гл.
12-14
затрагивались
соображения,
применяемые
при
управле
нии
краткосрочными
рисками.
В
гл.
4-11
затрагивались
соображения,
при
меняемые
при
управлении
неблагоприятными
последствиями
для
систем
финансовой
безопас
ности,
связанными
со
случайной
природой
момента
и
причины
выбытия.
В
настоящем
разделе
приводятся
соображения,
связанные
с
управлением
небла
гоприятными
последствиями
изменений
процентных
ставок.
В
разд.
21.6.1
вводятся
специальные
обозначения
и
разрабатывается
упрощенный
набор
правил
управления
процентной
ставкой
при
детерминированном
окружении.
В
разд.
21.6.2
разрабаты
вается
довольно
общий
набор
условий
для
времени
и
величины
потоков
денежных
активов,
направленных
на
минимизацию
риска,
связанного
с
процентной
ставкой
в
случайной
модели.
21.6.1.
Иммунизация
Наша
модель
состоит
из
следующих
данных:
резерв
обязательств
=
L(i)
=
n(А
х
+
1
- Pxax+t),
00
активы
=
A(i)
= L
vja(j)
,
j=O
прибыль
=
S(i)
=
A(i)
-
L(i),
где
n =
число
одинаковых
договоров
бессрочного
страхования
на
случай смерти
в
этой
модели;
t =
число
лет,
прошедших
с
момента,
когда
были
заключены
эти
n
договоров;
активы,
обязательства
и
прибыль
измеряются
в
этот
момент;
Р
Х
=
нетто-премия
в
момент
заключения
договора,
не
обязательно
согласующа
яся
с
разумной
экспертной
оценкой
обязательств
в
момент
t;
эта
премия
используется
в
расчете
денежных
потоков
при
упрощающем
предположе
нии,
что
надбавка
на
расходы
равна
имеющимся
расходам;
{аи)}
=
последовательность
денежных
потоков,
доходов по
ценным
бумагам,
диви
дендов
и
стоимости
в
момент
погашения
имеющихся
активов,
выплачива
емых
в
конце
будущих
договорных
лет;
в
рассматриваемом
детерминиро
ванном
окружении
эти
величины
предполагаются
известными,
не подвер
женными
риску
непогашения;
584
Гл.
21.
Проценты
как
случайная
величина
1,
=
подходящим
образом
оцененная
ставка
в
момент
t;
предполагается,
хотя
это
и
нереалистично,
что
1,
не
зависит
от
того
времени,
в
которое
рассмат
риваются
будущие
денежные
потоки,
и
что
любое
мгновенное
изменение
величины
i
не
повлияет
на
гладкость
графика
кривой
доходности,
каковая
неявно
предполагается
в
наших
условиях
относительно
z.
Ясно,
что
эта
упрощенная
модель
с
одной
причиной
выбытия
не
рассматривает
выплат
при
досрочном
прекращении
действия
договора,
связанных
с
ними
расходов
и
надбавок
на их
покрытие
в
брутто-премии.
Предполагается,
что
денежные
пото
ки
как
активов,
так
и
обязательств,
известны
и
не
зависят
от
процентной
ставки
i.
Некоторые
из
этих
нереалистических
черт
можно
изменить
в
рамках
более
слож
ной
модели.
Внести
другие
уточнения,
такие,
как
реалистический
учет
зависимости
денежных
потоков активов
и
обязательств
от
значения
процентной
ставки,
сложнее.
В
рамках
нашей
простой
модели
мы
можем
рассматривать
последовательность
будущих
денежных
потоков
активов
{аи)}
как
управляющую
переменную.
Руко
водство
может
принять
решение
выйти
на
рынок
капитала
для
того,
чтобы
получить
последовательность
{a(j)},
которая
удовлетворяет
соотношениям
d~~i)
=
dd.
[A(i) -
L(i)]
=
О,
(21.6.1а)
1,
z .
d~:;i)
=
:2
[A(i) -
L(i)]
>
О.
(21.6.1b)
Эти
две
формулы
характеризуют
минимальное
значение
величины
S(i).
Если
можно
найти
такую
последовательность
денежных
потоков
активов
{аи)},
которая
удовле
творяет
условиям
(21.6.1а)
и
(21.6.1Ь),
то
любое
изменение
в
значении
процентной
ставки
приведет
к
увеличению
прибыли.
Из
формулы
для
первой
производной
(21.6.1а)
мы
получаем
~S(i)
=
v{
-
fv;a(j)
+n[E(k
+
l)v
k
+
1
px+t
Qx+t+k
-
Р
Х
Е
kvkkPx+t]} =
О,
)=1
k=O
k=1
или
00
L
vja(j)
=n[(IA)x+t -
Р
Х
(Ia)x+t]. (21.6.2)
j=1
Объединяя
условия
на
первую
и
на
вторую
производные,
обеспечивающие
минимум
величины
S(i),
(21.6.1а)
и
(21.б.lЬ),
мы
получаем
f~j2v;a(j)
> n
[f~(k
+
1)2v~Hp.+/
q.+k+/
-
Р.
f?2
kP
.].
(21.6.3)
Условие
на
первую
производную
ДЛЯ
выбора
{a(j)}
достижимо.
Но
маловероятно,
что
на
рынке
капитала
может
выполняться
условие
на
вторую
производную.
Если
бы
условие
на
вторую
производную
при
справедливости
условий,
налага
емых
на
модель,
особенно
условия
гладкости
кривой
доходности,
использовавшееся
при
оценке
активов
и
обязательств,
выполнялось,
то
это
привело
бы
к
возможности
арбитража,
поскольку
можно
было
бы
увеличивать
прибыль
без
новых
инвести
ций или
увеличения
риска,
используя
изменения
в
величине
процентной
ставки.
На
эффективном
рынке
либо
такой
возможности
не
должно
существовать,
либо
она
должна
быть
краткосрочной.
21.6.
Управление
процентным
риском
585
Правила
выбора
инвестирования,
содержащиеся
в
формулах
(21.6.2)
и
(21.6.3),
были
названы
правилами
иммунизации,
поскольку
их
реализация
симмунизирует),
или
защищает
значение
S(i)
от
изменений
i.
21.6.2.
Общая
стохастическая
модель
Сейчас
мы
обобщим
понятия
и
связанные
с
ними
символы,использованные
в
разд.
21.6.1,
с
тем,
чтобы
ввести
случайные
элементы.
Мы
имеем
S(v,
К)
= A(v) - L(v,
К),
(21.6.4)
где
v
обо~начает
последовательность
{vj}
случайных
коэффициентов
дисконтиро
вания
и
К
=
(К
1
,
К
2
,
•••
,К
n
)
-
вектор,
состоящий
из
n
независимых
случайных
величин
пошаговой
продолжительности
предстоящей
жизни.
Хотя
это
предположение
нереалистично,
мы
будем
предполагать,
что
последо
вательность
{аи)}
денежных
потоков активов
детерминирована.
Такие
события,
связанные
с
потоками
активов,
как
непогашение
и
т.
П.,
рассматриваться
не
будут.
Воспользовавшись
формулой
(2.2.11),
мы
получаем
D[S(v,
К)]
= D[E[S(v,
К)
I
v]J
+ E[D[S(v,
К)
Iv]].
Поскольку
мы
предполагаем,
что
денежный
поток активов
детерминирован,
в
при
мере
бессрочного
страхования
на случай
смерти
из
разд.
21.6.1
мы
получаем
E[S(v,
К)
j
v]
=
f:
Vj
a(j)
- n
[f:(Vk+l
-
Р
ж
ii
k
+
1
Iii)
kРж
qЖ+k]
,
j=O
k=O
D[S(v,
К)
I
v]
=
D[L(v,
К)
Iv].
Поэтому
D[S(v,
К)]
= Dii[A(v) - E[L(v,
К)
Iv]] +Eii[D[L(v,
К)
Iv]].
Мы
можем
переписать
последнее
равенство
в
виде
(21.6.5)
D[S(v,
К)]
=Dij[A(v)] +Dij[E[L(v,
К)
I
v]]
- 2Covv[A(v), E[L(v,
К)
I
v]]
+Ev[D[L(v,
К)
Iv]].
(21.6.6)
Второе
и
четвертое
слагаемые
в
(21.6.6)
можно
объединить,
получив
D[S(v,
К)]
= Dv[A(v)] +
D[L(v,
К)]
- 2Covii[A(v), E[L(v,
К)
I
v]].
(21.6.7)
Мы
полагаем,
что
выбор
последовательности
{аи)}
денежных
потоков активов
на
ходится
в
управлении
актуария
и
его
цель
-
минимизировать
D[S(v,
К)].
Поскольку
второе
слагаемое
в
(21.6.5)
не
зависит
от
управляющей
последовательности
{аи)},
для
минимизации
величины
D
[В
(v,
К)]
следует
минимизировать
Dv[A(v) - E[L(v,
К)
IVП.
Эта
дисперсия
достигнет
своего
минимального
значения,
равного
нулю,
если
A(v)-
E[L(v,
К)
I
'й]
=
о
для
каждого
будущего
года.
Если
можно
найти
такую
последова
тельность
денежных
потоков
активов,
которая
удовлетворяет
соотношениям
а(О)
+
nР
х
=
О,
a(j)
-
nи-IРх
QX+j-l -
Р
Ж
jРж]
=
о,
j =
1,2,
...
,
(21.6.8)
586
то
и
Гл.
21.
Проценты
как
случайная
величина
00
[а(О)
+
nРХ}
+
L[a(j)
-
n(j-lРх
Qx+j-l
-
Р
Х
jPx)JVj
=
О
j=l
Dv[A(v) - E[L(v,
К)
Iv]J
=
о.
в
этом
очень
частном
случае
мы
можем
провести
подстановку
в
(21.6.7)
и
получить
D[S(v,
К))
= D[A(v)] + D[L(v,
К)]
- 2Cov[A(v), A(v)] = D[L(v,
К)]
- D[A(v)].
'У'словия,
выраженные
соотношениями
(21.6.8),
похожи
на
принцип
эквивалентности.
Эти
условия
налагают
жесткие
ограничения
на
денежные
потоки
активов.
Напри
мер,
может
оказаться,
что
после,rь,овательность
денежных
потоков
активов,
которая
минимизирует
величину
D[S(v,K)],
потребует
инвестирования
аи)
<
о
для
неко
торого
j.
На
выбор
последовательности
денежных
потоков
активов
могут
влиять
также
другие
экономические
и
бюджетные
ограничения.
21.7.
Замечания
и
литература
Идеи
и
понятия,
содержащиеся
в
настоящей
главе,
более
разнообразны
и
возник
ли
позже,
чем
те,
которые
излагались
в
предыдущих
главах.
Поэтому
приводящиеся
ниже
замечания
и
ссылки
важны
для
актуария,
который
хочет
их
применять
или
обобщать.
Объединение
моделей
временных
рядов
для
стохастических
процентных
ставок
с
моделями,
в
которых
момент
и
причина
выбытия
случайны,
в
последние
годы
яв
лялось
предметом
интенсивного
изучения.
Изложение
в
разд.
21.3.1
и
21.4.1
следует
работе
[Frees 1990].
Правила
управления
рисками
по
портфелю,
связанные
с
про
центной
ставкой,
изложенные
в
разд.
21.6.2,
также
основаны
на
этой
работе.
Более
общими,
выходящими
за
рамки
модели
МА(l),
являются
исследования
из
работы
[Bellhouse,
Panjer
1980]
и
[Giaccotti 1986].
Эмпирический
анализ
данных
о
процентных
ставках
для
выяснения
адекватно
сти
различных
моделей
является
важнейшей
задачей
финансовой
экономики.
Ста
тья
[Becker
1991]
является
хорошим
примером
продвижения
в
этом
направлении.
Клейн
[Klein
1993]
наметил
пути
вовлечения
в
анализ
денежных
потоков
в
страхо
вании
ряда
распределений
процентных
ставок.
В
частности,
он
рассмотрел
гипотезу
о
том,
что
распределение
случайных
величин,
определяющих
возмущения
в
моделях
случайных
процентных
ставок,
могут
иметь
тяжелые
хвосты.
Истории
вьщвижения
гипотез,
относящихся
к
ставке
дохода,
и
их
проверки
содержится
в
работе
[Fama
1970].
В
работе
[Jetton
1988]
классифицируются
и
поясняются
методы
генерирования
определенных
множеств
сценариев
для
процентных
ставок.
Кристиансен
[Christian-
sen
1992]
исходит
из
частичной
классификации,
приведенной
в
работе
[Jetton 1988],
но
расширяет
рассмотренные
там
модели
и
рассматривает
их
применение.
Особое
внимание
уделяется
таким
способам
генерирования
процентных
ставок,
при
кото
рых
полученные
ставки
после
внесения
возмущения
возвращаются
к
среднему,
и
сдвигам
кривых
доходности,
описывающимся
матрицами
переходных
вероятностей.
В
работе
[Tilley 1992]
изложено
больше
базовых
сведений
из
финансовой
экономи
ки,
связанных
с
генерированием
сценариев
для
процентной
ставки.
В
монографии
[Boyle 1992],
особенно
в
гл.
2,
3
и
4,
изложен
материал,
составивший
основу
настоя
щей
главы.
Упражнения
587
Идеи
иммунизации
разд.
21.6.1
имеют
много
источников.
Они
были
введены
в
актуарную
науку
в
работе
[Redington 1952J.
Внимание
североамериканских
акту
ариев
к
ним
привлек
Вандерхоф
[Vanderhoof 1972J.
Его
работа
содержит
модель
страховой
компании,
занимающейся
страхованием
жизни,
отражающую
характер
ные
особенности
индустрии
страхования
жизни
в
США
на
1971
г.
В
настоящей
главе
предполагается,
что
построена
стохастическая
модель,
в
ко
торой
при
нескольких
типах
инвестиций
и
некоторых
других
экономических
пере
менных
генерируются
сценарии
для
процентной
ставки.
Такими
другими
экономи
ческими
переменными
могут
быть
индекс
потребительских
цен
и
уровень
безра
ботицы.
Было
бы
полезно
построить
модель,
которая
включала
бы
наблюдаемые
одновременные
корреляции
между
этими
величинами,
а
также
их
автокорреляции
с
течением
времени.
Непротиворечивая
и достаточно
полная модель
такого
типа
была
бы,
без
сомнения,
полезна
для имитирования
будущих
операций
системы
социаль
ного
обеспечения,
большой
пенсионной
схемы
или
страховой
компании.
Примерно
с
1980
г.
прилагались
значительные
усилия
к
построению,
тестированию
и
исполь
зованию
таких
моделей.
В
этой
сфере
новаторской
являлась
работа
[Wilkie
1986J.
Приведенная
там
модель
интенсивно
обсуждалась
в
работе
[Geoghegan
et
al.
19921.
Упражнения
к
разделу
21.1
21.1.
Пусть
С.в.
1
имеет
равномерное
распределение
на
интервале
(еО,оз
_1,ео,10
-1).
Найдите
Е[
(1
+1)
-1]
-
(1
+
Е[
1])- 1.
21.2.
Функцию
(1
+
х)-l
можно
разложить
в
ряд
Тейлора
(1+x)-1=1-x+x
2
-R(8),
Ixl<1,
в
которой
остаточный
член
имеет
вид
R(8) =
хЗ/{l
+8)2,
181
<
Ixl
< 1.
Пусть
С.в.
1
имеет
равномерное
распределение
на
интервале
(0,02, 0,12)
и
С.в.
(1+1)-1
приближается
первыми
тремя
членами
ряда
Тейлора.
Найдите
Е[1
- 1 +
12]
-
(1
+
Е[1])-1.
21.3.
Случайная
величина
1
имеет
распределение
Парето
с
функцией
плотности
fI(X) = {011/(1 +
х)12,
О
<
х,
в
противном
случае.
(а)
Найдите
Е[1].
(Ь)
Найдите
Е[(1
+
1)-1]
-
(1
+
Е[1])-1.
21.4.
Для
модели,
заданной
формулой
(21.3.1),
определите
С.в.
-иn
выражением
V
N
=
ехр
[ - t
In(l
+
1.)]
.
(а)
Пользуясь
производящей
функцией
моментов
С.в.
ln(1 +
Ik),
найдите
E[V
n
].
(Ь)
Пользуясь
производящей
функцией
моментов
С.в.
In(1 +
Ik),
найдите
E[(vn)J], j =
1,2,3,
....
(с)
Предположим,
что
С.в.
v
И
С.В.
К,
пошаговая
продолжительность
предстоящей
жизни,
независимы.
Воспользовавшись
результатом
п.
(Ь),
найдите
(i) E[(VK+1)J], j =
1,2,3,
.
",
(ii)
D[VK+l)'
(d)
При
всех
предположениях
настоящего
упражнения
докажите,
что. Ах
+•d •
ах
=1,
где
.d
= 1 _
е-(б-u
2
j2).
21.5.
Рассмотрим
модель,
описанную
соотношением
(21.3.1),
но
будем
считать,
что
С.В.
ek
независимы
и
одинаково
и
равномерно
распределены
на
интервале
(-0,05,
0,05)
588
Гл.
21.
Проценты
как
случайная
величина
и
д
= 0,05.
Пусть
С.в.
Z =
Ei=11n(1
+ I
k
)
является
логарифмом
случайной
величины
накопленного
процента
для
двух
периодов.
(а)
Найдите
E[Z]
и
D[Z].
(Ь)
Нарисуйте
функцию
плотности
С.в.
Z.
(с)
Нарисуйте
функцию
плотности
С.в.
У
= e
Z
•
21.6.
Предположим,
что
выполнены
условия
из
примера
21.5.
Пусть
Xk =ln(1 +Ik)
и
х
=
E~
Xk/
n
'
(а)
Обоснуйте
утверждение,
что
С.в.
(Х
-
0,05)/
-J'O,Ol/12n
при
больших
n
будет
иметь
распределение,
близкое
к
N(O, 1).
(Ь)
Обоснуйте
утверждение
о
том,
что
С.в.
E~
Xk
имеет
распределение,
близкое
к
N(O,5n,0,0In/12).
(с)
Воспользовавшись
результатом
п.
(Ь),
обоснуйте
утверждение
о
том,
что
функция
распределения
случайного
накопленного
процента
П~
(1
+1
k)
приближается
логнормаль
ным
распределением
с
параметрами
р.
=
О,5n
и
(72 =
0,0In/12.
К
разделу
21.3
21.7.
Рассмотрим
модель
для
годовых
процентных
ставок
вида
1
(
1)
{
ln(l
+Ik-1) +
€k,
k =
1,2,3,
...
,
n 1 + k =
д,
k =
О,
и
предположим,
что
на
С.В.
возмущения
€k
налагаются
те
же
требования,
что и
при
анализе
соотношения
(21.3.1).
Такая
модель
называется
моделью
слу'Чаi1.ного
блу:жда'Н,u,я,
и
она
часто
используется
в
исследованиях
ставки
дохода
на
рынке
простых
акций.
Найдите
(а)
E[ln(1 +Ik)],
(Ь)
D[ln(l
+Ik)],
(с)
распределения
С.в.
ln(1 +
Ik),
k =
1,2,3,
...
[указание:
проверьте,
что
ln(1 + Ik) =
д
+
E~
€j].
21.8.
Используя
модель
и
предположения
упр.
21.7,
(а)
вычислите
E[ln V
n
]
и
D[ln
Vn],
(Ь)
найдите
распределение
С.в.
lnV
n
,
(с)
дайте
ответы
на
пп.
(а)
и
(Ь)
дЛЯ
С.в.
V
N
•
21.9.
Другим
вариантом
модели
случайного
блуждания
является
ln 1k =
{ln
1k
-1
+€ k , k =
1,
2, 3,
...
,
т,
k =
О,
где
с.в.
€k
взаимно
независимы
и
имеют
распределение
N(O,
0'2).
Найдите
(а)
E[lnl
n
],
(Ь)
D[lnl
n
],
(с)
распределение
с.в.
lnl
n
.
21.10.
Это
упражнение
-
продолжение
упр.
21.9.
Найдите
распределение
С.в.
I
n
,
а
также
E[I
n
]
и
D[I
n
].
К
разделу
21.4
21.11.
Докажите,
что
соотношение
(21.4.5)
для
E[(v
n
)2]
приводится
К
виду
(21.3.4)
при
()
=
О.
21.12.
Докажите,
что
соотношение
(21.4.6)
для
E[vrv
s
]
приводится
К
виду
(21.3.6)
при
(}=
о.
21.13.
Проверьте
выражения,
приведенные
в
столбце
под
D[1 +Ik], k =
1,2,3,
...
Модель
D[1 +
Ik]
Название
модели
Формула
(21.3.1)
(e
lТ2
-
1)e
20
+
lТ2
Логнормальная
Формула
(21.4.1)
(72(1
+(}2)
МА(!)
Упражнение
21.7
k(72
Случайного
блуждания
Обратите
внимание
на
то,
что
в
третьем
случае
(в
случае
модели
случайного
блужда
ния
из
упр.
21.7)
дисперсия
растет
с
ростом
k.
Упражнения
589
к
разделу
21.5
21.14.
Убедитесь,
что
модель,
описанная
соотношением
(21.5.7),
эквивалентна
модели,
определяемой
соотношениями
Y(t,
n) =
Y(t
-
1,
n)I-
Ф
n
еЛ(t,n)+О'n~t.n
и
Y(t,
n)
=
Y(t
_ 1,
n)-Фn
e),(t,n)+O'n~t.".
Y(t
-1,n)
Эти
формулы
показывают,
почему
соотношение
(21.5.7)
называется
мультunлшсатU6ИОЙ
.моделью.
Заметим,
что
если
начальное
значение
таково,
что
У(О,
n)
=
у(О,
n)
>
О,
то
Y(t,
n)
>
О.
21.15.
Покажите,
что
если
фn
=
О
и
л(t,
n)
=
J-L,
то
формула
(21.5.7)
принимает
вид
ln
Y(t,
n)
=
J-L
+
ln
Y(t
- 1,
n)
+
O'n':t,n,
6.1n
Y(t
- 1,
n)
=
J-L
+
O'n':t,n,
t
ln
У
(t,
n)
- ln
У
(О,
n)
=
tJ-L
+
о'
n L
.:
S I n ,
8=1
E[ln
Y(t,
n)] = ln[y(O, n)} +
tJ-L,
D[ln
Y(t,
n)] =
tO'~.
k>
О.
Это
модель
случайного
блуждания
с
параметром
сноса
J-L.
Покажите,
что
если
JJ
=
О,
то
справедливы
результаты
упр.
21.9.
21.16.
Пусть
1 +
i(s,
s +
k)
= 1 +
i,
k =
1,2,3,
...
,
n,
и
стоимость
облигации
при
погашении
равна
1.
Проверьте,
что
у(э,
s +n) =
i.
21.17.
Ставка
«спот»
в
последовательные
моменты
времени
задается
следующим
об
разом:
k
i(s,s+k)
1 0,050
2 0,055
3 0,060
Рассчитайте
соответствующую
ставку
номинальной
доходности
у(э,
s +
t)
дЛЯ
облига
ций
с
погашением
через
k =
1,2,3
периодов.
к
разделу
21.
б
21.18.
Пусть
через
a(t)
обозначается
денежный
поток
в
виде
активов
и
через
l(t)
-
де
нежный
поток
вследствие
страховых
операций.
Например,
величина
l(t)
равна
страховым
выплатам
и
расходам
минус
премии
в
момент
времени
t.
Эти
потоки
предполагаются
де
терминистическими
и
независимыми
как
друг
от
друга,
так
и
от
процентной
ставки.
Пусть
через
.4(15),
L(б)
и
8(15)
=
.4(15)
-
L(б)
обозначаются
текущие
значения
активов,
обяза
тельств и
дохода
соответственно,
вычисленные
при
интенсивности
начисления
про
цента
6.
Мы
имеем
8(15)
=
.4(15)
-
L(б)
=
/.00
e-
6t
[a(t) - l(t)]dt.
Кроме
того,
пусть
R(б)
= 8(15)/.4(6),
что
интерпретируется
как
интенсивность
прибыли.
Проверьте,
что
если
R(б
о
)
является
минимальным
значением
величины
R(б),
то
.4'
(150)/
.4(150)
=
1./
(150)/
L(б
о
)
и
.4"(150)/.4(150)
=
L"
(150)/
L(б
о
).
21.19.
Функции
денежных
потоков
в
этом
упражнении
будут
связаны
с
гамма-функцией
плотности,
т.
е.
обе
величины
a(t)
и
l(t)
из
упр.
21.18
будут
иметь
вид
k/3G.tG.-l
е
-
13
t
f(t)
=
Г(2)
,
(а)
Проверьте,
что
590
Гл.
21.
Проценты
как
случайная
величина
(Ь)
Проверьте,
что
если
параметры
денежных
потоков
активов
обозначаются
через
аА,
/ЗА
И
RA,
а
параметры
денежных
потоков
обязательств
обозначаются
через
QL,
f3L
И
kL,
то
условия,
определяющие
минимальное
значение
R(б)
из
упр.
21.18,
имеют
вид
/З~А
QА/(/ЗА
+
бо)QА
+1
=
/З~L
QL/(/ЗL
+
б
о
)QL+l
И
(аА
+
l)/(/ЗА
+
ба)
>
(QL
+ l)/(/3L +
ба).
21.20.
Воспользуйтесь
результатами
упр.
21.18
и
проверьте,
что
соотношение
А'(бо)/А(бо)
=
L'(бо)/L(б
о
)
эквивалентно
соотношению
1""
te
-'O'a(t)
dt/
/.""
е
-'O'ii{t) dt =
/.00
te
-'o'/{t)
dt/
1""
е
-'o'/{t)
dt.
-,
-
Этот
результат
приводит
к
следующей
интерпретации.
Отношение
А
(б
о
)/
А(б
о
)
являет-
ся
взвешенным
средним
времени
денежного
потока
активов
t
с
весами,
которые
задаются
отношением
e-
6ot
a(t)!
Jo
oo
e-
6ot
a(t)dt.
Аналогичным
образом
можно
интерпретировать
от-
-,
-
ношение
L
(б
о
)/
L(б
о
).
Эта
интерпретация
посредством
взвешенных
моментов
времени
для
денежных
потоков
обосновывает
то,
что
величины
А'
(ба)
/
А(
ба)
и
L'
(ба)
/
L(
б
о
)
называются
«дюрациями».
21.21.
Выберем
в
качестве
меры
дисперсии
времен
денежных
потоков
второй
цен
тральный
момент
инерции.
Проверьте,
что
условия,
полученные
в
упр.
21.18,
эквивалентны
требованию
того,
чтобы
дИсперсия
денежных
потоков
обязательств
не
преВОСХОдИла
дис
персии
денежных
потоков
активов.
[Указание.
Второй
центральный
момент
инерции
ДЛЯ
массы
с
плотностью
т(х)
в
точке
х
равен
JoOO(x
-
с)2
т
(х)
dx,
где
с
= J
o
oo
хт(х)
dx.)
21.22.
Воспользовавшись
обозначениями
упр.
21.18,
постройте
модель
для
множества
l;c
договоров
бессрочного
страхования
на
случай
смерти
в
непрерывной
модели.
Сделайте
следующие
предположения:
•
Брутто-премия
равна
G=
Р(Аж)(l
+
8),
8 >
О
.
•
Выплаты
дожившим
в
момент
времени
t
осуществляются
с
интенсивностью
ce-
rt
,
r >
О.
(а)
Докажите,
что
l(t) =
lж(р;с(t)
+
ce-
rt
-
Р(.А
ж
)(1
+8))
tp;c.
(Ь)
Выразите
L(б)
в
терминах
актуарных
настоящих
стоимостей.
(с)
Выразите
L'(б)
в
терминах
актуарных
функций.