Бауэрс Н., Гербер Х., Джанс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика

Подождите немного. Документ загружается.

20.8.

Методы

групповых

актуарных

расходов

551

(20.8.9)

(20.8.10)

настоящая

стоимость,

умноженная

на

текущий

уровень

нормальных

расходов

равняется

актуарной

настоящей

стоимости

будущих

нормальных

расходов

для

ра

ботающих

участников

схемы

(Pa)t.

этом

примере

обозначения

были выбраны

так,

чтобы

подкреплять

соображения,

лежащие

его

основе.

Для

выбранной

таким

образом

функции

л(t)

формулу

(20.8.3)

можно

переписать

виде

(aC)t = P

+ (aV)t_- (aF)t = (Pa)t +

(~V)t

- (aF)t = (aA)t_- (aF)t , (20.8.6)

воспользовавшись

равенством

(20.6.20).

Таким

образом,

при

л(t),

заданной

форму

лой

(20.8.4),

имеем

(aC)t

аРе

=(aA)t - (aF)t . (20.8.7)

Интерпретация

этой

формулы:

актуарная

настоящая

стоимость

срочного

аннуите

та

интенсивностью

выплат

(aC)t

эквивалентна

актуарной

настоящей

стоимости

будущих

выплат

работающим

участникам

схемы

за

вычетом

величины

фонда

для

этих

участников.

Формула

(20.8.2),

управляющая

процессом

изменения

фонда,

сводится

для

функ

ции

л(t),

заданной

формулой

(20.8.4),

виду

d (aF)t

= P

(~U)t

+6(aF)t -

(20.8.8)

ан

Формулу

(20.6.9)

можно

переписать

виде

dt (aV)t = P

+ 6(aV)t - P

Вычитая

формулу

(20.8.8)

из

формулы

(20.8.9),

получим

d (aU)t

= -

(~U)t

+6(aU)t .

ар

Дифференциальное

уравнение

(20.8.10)

можно

решить,

заменив

нем

на

и,

про

интегрировав

по

от

до

потенцируя,

что

дает

(аU)!

(аU)о

ехр

[ - {

(a~.

б)

dU].

(20.8.11)

Подставляя

сюда

равенство

(20.8.1),

получим

(aF)t = (aV)t - [(aV)o -

(аР)о)

ехр

[

-1

(a~.

)dU].

(20.8.12)

Если

аРи

меньше,

чем

аOOl

1/6,

так

что

l/аРи

- 6

О,

то

при

00,

следовательно,

(aF)t

(aV)t.

Здесь

метод

агрегированных

расходов

при

л(t)

l/аРе

асимптотически

эквива

лентен

методу

индивидуальных

расходов,

определенному

помощью

функции

на

растания

обязательств,

которая

используется

для

вычисления

(aV)t

Может

существовать

много

функций

нарастания

обязательств,

определяющих

такие

пока

затели,

что

отношение

(Pa)t/

будет

настолько

мало,

чтобы

обеспечить

сходимость

552

(aF)t

(aV)t.

Каждая

из

этих

функций

нарастания

обязательств

определяет

свою

структуру

внесения

взносов

величины

своих

предельных

фондов.

При

упоминании

метода

агрегированных

актуарных

расходов

для

полноты

всегда

следует

указывать

использованную

функцию

нарастания

обязательств.

частности,

на

практике

боль

шое

значение

имеет

метод

групповых

расходов,

нарастающих

момента

вступления

пенсионную

схему.

Ясно,

что

существует

много

возможностей

для выбора

функции

.\(t)

при

опреде

лении

процесса

погашения

долга

(аи)о.

Если

цель

состоит

завершении

погашения

долга

конце

n-го

года

некоторого

начального

момента

времени

О,

то

один

из

возможных

выборов

.\(t) -

это

t < n.

Тогда

соответствии

формулой

(20.8.11)

получим

(aU)t =

(аU)о

ехр

1 _

dU]

(аU)о

ехр

dU]

. (20.8.13)

an-ul

sn-ul

Можно

показать

(упр.

20.21),

что

-l

1 d _ 1

Sii1

Вл

и-

n .

вn-ul

Sii1

Следовательно,

формула

(20.8.13)

принимает

вид

(aU)t =

(аU)о

Вт

ВЛ,

можно

показать,

что

(aC)t = P

(а_U)о,

ат

момент

времени

цель

финансирования

фонда

будет

достигнута:

мы

получим

(аU)n

О,

величина

(aC)t

будет

равна

величине

На

практике

общий

подход

выбору

схемы

погашения

долга

состоит

опреде

лении

.\(t)

как

обратной

величины

средней

стоимости

аннуитета

будущей

заработ

ной

платы

работающих.

Положим

ее

равной

(Wa)t/Wt,

где

величина

(Wa)t

задана

формулой

(Wa)t =

(Т

n(t

+a)s(x)w(x) [

[Т

е-б(у-х)

s(y)

ш(у)

et(t+y-х)

]

s(x)

w(x)

n(t

а)

[J.r

е-

(У-Ж)

s(у)w(у)ет(t+

)

]

dx. (20.8.14)

Комбинируя

(20.2.3)

(20.8.14),

получим

J:T

n(t

а)

J:T

е-(б-Т)(у-х)s(у)w(у)

dy dx

n(t

a)s(x)w(x)

(20.8.15)

Упражнение

20.23

посвящено

проверке

того,

что

приведенное

выше

отношение

сов

падает

величиной

ар

определенной

формулой

(20.8.5),

для

метода

актуарных

расходов,

нарастающих

момента

вступления

пенсионную

схему,

использующего

20.9.

Основные

актуарные

функции

ДЛЯ

объединенной

группы

553

постоянную

долю

заработной

платы

для

определения

нормальных

расходов.

Та

ким

образом,

выбор

A(t) =l/aw

приводит

методу

актуарных

расходов,

который

асимптотически

эквивалентен

методу

актуарных

расходов,

нарастающих

момента

вступления

пенсионную

схему,

нормальными

расходами,

равными

постоянной

доле

заработной

платы,

функцией

т(х)

из

формулы

(20.7.9).

Пример

20.8.1.

Рассмотрим

стационарное

население,

т.

е.

предположим,

что

n(а)

= la,

h(x) = 1,

функцию

нарастания

обязательств

М(х)

aa:x-a,/aa:r-al,

связанную

таким

методом

актуарных

расходов,

когда

обязатель

ства

нарастают

момента

вступления

схему

при

постоянных

взносах

(см.

при

мер

20.5.1).

(а)

Найдем

А.

(Ь)

Вычислим

(аС)о,

если

(аР)о

О.

Решение.

(а)

Формула

(20.3.2)

дает

для

стационарного

случая

/w(r)

для

всех

Таким

образом,

из

формулы

(20.6.19)

следует,

что

(Pa)t =

(т

е-б(r-х)

/w(r)

~a:x=al)

dx.

1а

aa:r-al

Теперь

М'(х)

m(х)

x-аЕа/аа:r-аl'

так

что,

согласно

формуле

(20.6.4),

р,

/.r

-о(r-ж)/

()

1 -

x-аЕа

t -

w r r

х.

aa:r-al

Таким

образом,

формула

(20.8.5)

дает

ох

- d

1 - d

х-а

ах:r=жl

_ J

ах:r=жl

бж

ж-аЕа

lж

= l/apt'

(Ь)

Подставляя

равенство

(20.6.1)

(20.8.6),

получим

( )

e-o(r-x)

fw(r)

dx _

fw(r)

lr a

iir-al

lx dx

аС

- -

---::-::Т-----=---

ax:r-xl

20.9.

Основные

актуарные

функции

ДЛЯ

объединенной

группы

работающих

пенеионеров

разд.

20.4

20.6

мы

рассматривали

отдельно

основные

актуарные

функции

для

работающих

участников

схемы

для

участников

схемы,

получающих

пенсию;

это

обычное

деление,

используемое

для

многих

целей.

Система

управления,

про

блемы

актуарных

расчетов

даже

инвестиционная

политика

для

этих

двух

групп

могут

быть

различными.

Однако

для

других

целей

полезно

рассматривать

основные

актуарные

функции

для

объединенной

группы

работающих

пенсионеров.

Основные

актуарные

функции

для

объединенной

группы

являются

суммами

соответствующих

функций

для

работающих

участников

схемы,

которые

рассматри

вались

разд.

20.6,

для

участников

схемы,

получающих

пенсию,

которые

рассмат

ривались

разд.

20.4.

Они

сведены

табл.

20.9.1.

554

Гл.

20.

Теория

финансирования

пенсионных

схем

Таблица

20.9.1.

Актуарные

функции

для

работающих

участников

схемы,

для

пенсионеров и

для

объединенной

группы

участников

пенсионной

схемы

Показатели

Работающие

Пенсионеры

Объединенная

группа

участников

Актуарная

настоящая

стоимость

{aA)t

(rA)t

A{t)

= {aA)t +(rA)t

будущих

пенсий

момент

времени

Уровень

нормальных

расходов

Актуарные

дополнительные

обя-

{aV)t (rV)t

=(aV)t +{rV)t

зательства

Актуарные

настоящие

стоимости

{Pa)t

будущих

нормальных

расходов

Для

получения

уравнения

баланса

для

объединенной

группы

можно

использо

вать

уравнения

баланса

для

работающих

участников,

(20.6.9),

участников,

полу

чающих

пенеию,

(20.4.6).

Таким

образом,

дyt

= B

+ dt

. (20.9.1)

этом

уравнении

нормальные

расходы

инвестиционные

доходы,

поступившие

фонд,

разделяются

на

пенсионные

выплаты

изменение

актуарных

наросших

обя

зательств.

Чтобы

получить

формулы

для

объединенной

группы

участников

при

агрегиро

ванном

финансировании,

будем

предполагать,

что

пенсии

для

тех

участников

схе

мы,

которые

получают

ее,

финансируются

полностью,

так

что

(rV)t = (rF)t.

Тогда

(20.8.1)

можно

представить

как

необеспеченные

актуарные

обязательства

по

отно

шению

ко

всем

участникам,

именно

(20.9.2)

Далее,

поскольку

для

участников,

получающих

пенсию,

не

требуется

никаких

взно

сов,

годовой

взнос

для

всех

участников

равен

годовому

взносу

для

работающих

участников

схемы

(aC)t.

этом

случае

формулу

(20.8.3)

можно

переписать

виде

= P

Л(t)U

(20.9.3)

Если

л(t)

l/apt'

то

величина

взноса

примет

вид

=(Ptap

- Ft)/aPt =(A

Ft)/ap

•

(20.9.4)

Таким

образом,

если

(rF)t = (rV)t,

то

результаты

метода

агрегированных

акту

арных

расходов,

определенные

для

работающих

участников

схемы

момент

времени

согласно

(20.8.6),

эквивалентны

результатам,

определенным

для

всех

участников

по

формуле

(20.9.4).

20.10.

Замечания

литература

Многие

элементарные

принципы

теории

пенсионного

обеспечения

опубликова

ны

правительственном

издании,

так

называемом

«Bulletin

оп

23Р

...

Чарльз

Тро

убридж

[Trowbridge

С.

1952, 1963]

внес

значительный

вклад

создание

мате

матической

теории

финансирования

пенеионных

схем.

Более

развитая

модель,

ис-

I)Величины

(aA)t I (rA)t I

(aV)t I (rV)t

(Pa)t

определены

соответственно

формулах

(20.6.1), (20.4.2), (20.6.4), (20.6.8), (20.6.15)

(20.6.18).

Упражнения

555

< r -

а.

пользуемая

этой

главе,

была

изложена

серии

статей

[Bowers, Hickman, Nesbitt

1976, 1979].

Разделением

на

отдельные

показатели

для

работающих

пенсионеров

занимался

Кищук

[Kischuk 1976].

Ряд

авторов

изучал

проблемы,

возникающие

сфере

финансирования

пенси

онных

схем

из-за

влияния

инфляции

на

заработную

плату,

процентные

ставки

выплаты.

этому

классу

относятся

статьи

[Allison

and

Winklevoss

1975}

[Myers

1960].

Работа

Джана

Троубриджа

[Trowbridge

1977}

содержит

обширные

на

блюдения

за

изменением

финансирования

пенсионных

схем

различных

странах

ответ

на

инфляцию.

Упражнения

разделу

20.2

20.1.

Какова

будет

годовая

величина

суммарной

заработной

платы

для

стационар

ной

группы

населения

постоянной

заработной

платой

со

ставкой

разделу

20.3

20.2.

Какова

будет

годовая

величина

суммарной

заработной

платы

для

экспонен

циального

случая?

20.3.

Предположим,

что

начальная

годовая

величина

пенсионных

выплат

отдельному

лицу

момент

времени

задается

выражением

w(r

- t +

у)е

ТУ

dYI

t-b

Другие

условия

этой

модельной

схемы

не

изменяются.

Для

этого

определения

пенсии,

ба

зирующегося

на

формуле

средней

заработной

платы

за

последние

несколько

лет,

(а)

покажите,

что

начальный

уровень

выплат

момент

времени

задается

формулой

, fab

w(r

- z)eT(t-z)dz,

(Ь)

найдите

формулу

для

ставки

расходов

по

методу

конечного

финансирования

момент

времени

(с)

решите

другим

методом

пример

20.3.1.

20.4.

Начальная

годовая

величина

пенсионных

выплат для

лица,

вышедшего

на

пен

сию

момент

времени

задается

формулой

c(r-a)we

•

Другие

условия

модельной

схемы

остаются

неизменными.

Для

этой

начальной

величины

выплат,

основанной

на

произведе

нии

числа

лет

стажа

на величину

последней

заработной

платы,

(а)

определите

формулу

для

уровня

расходов

по

методу

конечного

финансирования

момент

времени

t I

(Ь)

решите

другим

методом

пример

20.3.1.

20.5.

Полагая

в(х)

e-/L(x-a),

т,

выпишите

выражение

для

экспонен

циальном

случае.

20.6.

Рассмотрим

пенсионную

схему

для

стационарной

группы

работающих,

кото

рой

структура

фонда

изначально

не

отражает

возрастной

структуры

населения,

но

по

мере

вступления

новых

участников

фонд

стабилизируется,

его

структура

начинает

соот

ветствовать

возрастной

структуре

населения.

Схема

описывается

следующими

данными:

= 25, r = 65, n(t) =

при

t <

-40

n(t) =

при

t >

-40,

в(х)

= (100 -

х)/75

при

< 100,

= 0,06,

w(x)

= 525/(100 -

х),

= 0,02, f = 0,6,

h(x)

= 1.

(

)

-h

аидите

ах

и,

частности,

а65'

(Ь)

Найдите

556

Гл.

20.

Теория

финансирования

пенсионных

схем

разделу

20.4

20.7.

Покажите,

что

экспоненциальном

случае

TPt(a~h/a~),

где

-Ih

/00

-(Р-{3)(Х-Т)

S(x) d

-()

Х.

r S r

20.8.

пенеионной

схеме

ДЛЯ

стационарной

группы

работающих

из

упр.

20.6

(а)

вычислите

(rA)t

по

формуле

(20.4.3)

для

t > 35,

(Ь)

найдите

ДЛЯ

t > 35,

(с)

проверьте

уравнение

баланса

(20.4.6)

для

t > 35.

разделу

20.5

20.9.

Какова

будет

функция

М(х)

случае

метода

конечного

финансирования?

разделу

20.6

20.10.

Используя

предположения

упр.

20.5

считая,

что

т(х)

1/(т

а),

определи

те

20.11.

(а)

Покажите,

что

t+r-a

(aA)t

= t

(y-t)

ТРУ

dy.

(Ь)

Дифференцируя

выражение

из

п.

(а),

получите

другое

решение

для

примера

20.6.1.

20.12.

Пусть

Покажите,

что

(а)

х(е)

Jj,

если

О,

(Ь)

хun

Jj,

если

о.

[Указание.

Используйте

неравенство

Йенсена

(1.3.2)

или

(1.3.3).]

(с)

Докажите,

что

при

предел

х(е)

равен

J.L.

[Указание.

Рассмотрите

8Х

(8)

Е[е

8Х

]

как

производящую

функцию

моментов.]

20.13.

Покажите,

что

экспоненциальном

случае

(а)

[r-Х(8)],

(Ь)

(aV)t

= TP

ar~X(8)J8

= P

Sr-X(8)18'

20.14.

(а)

Что

случится

формулами

из

упр.

20.13,

если

модельная

схема

действует

стационарной

совокупности

'т

О?

(Ь)

Что

случиться

формулами

из

упр.

20.13,

если

О?

20.15.

(а)

Определите

уровень

нормальных

расходов,

учитывающий

заработную

плату,

для

лиц,

ставших

участниками

схемы

момент

времени

Другие

условия

модельной

схемы

не

меняются.

(Ь)

Используя

результат

п.

(а),

найдите

соответствующую

функцию

плотности

нарас

тания

обязательств

по

отношению

лицам,

вступившим

схему

момент

времени

20.16.

(а)

Покажите,

что

для

модельной

схемы

fw(r)s(r)li~

J.r

е-

(r-Х)е

(t+r-Ж)n(t

а)т(х)

dx.

(Ь)

Покажите,

что

если

О,

n(t)

=la,

то

fw(r)

J.T

r-жЕ

т(х)

dx,

где

t-хЕж

основывается

на

функции

дожития

s(x)

интенсивности

начисления

процента

б.

20.17.

Пусть

n(t)

lа

w(х)е

ТЖ

т(х)

()

ТУ

Покажите,

что

ТU

Pt.

Упражнения

557

разделу

20.7

20.18.

Предположим,

что

прогнозируемая

начальная

ставка

выплат

при

выходе

на

пенсию для

лица

возраста

лет

момент

времени

определяется

формулой

!w(r)e'r(t+r-x)I

число

лиц

возраста

между

х и х

+dx

момент

времени

составляет

n(t

а)в(х)

dx.

(а)

Проверьте,

что

величина

(aA)t,

заданная

формулой

(20.6.1),

равна

f.T !w(r)e'r(t+r-x)n(t -

а)э(х)(аА)(х)

dx.

(Ь)

Проверьте,

что

величина

заданная

формулой

(20.6.4),

равна

f.r

!w(r)e'r(t+r-:r:)n(t -

а)э(х)Р(х)

dx.

(с)

Проверьте,

что

величина

(aV)t,

заданная

формулой

(20.6.8),

равна

f.T !w(r)e'r(t+r-X)n(t -

a)s(x)(aV)(x)

dx.

(d)

Проверьте,

что

величина

(Pa)t,

заданная

формулой

(20.6.18),

равна

f.r

!w(r)e'r(t+r-X)n(t -

а)э(х)(Ра)(х)

dx.

20.19.

Проверьте

формулу

(20.7.9).

20.20.

модели

пенсионной

схемы

для

стационарной

группы

работающих

из

упр.

20.6

(а)

найдите

(aA)t,

(Ь)

найдите

М(х)

т(х)

для

постоянного

нарастания

пенеии.

Для

этого

метода

актуарных

расходов

найдите

(i) (aV)t

(ii) P

(iii)

Проверьте

уравнение

баланса

(20.6.9).

(с)

Найдите

М(х)

т(х)

для

расходов,

равных

постоянной

доле

от

прогнозируемой

заработной

платы

между

возрастами

лет.

Для

этого

метода

актуарных

расходов

найдите

(i)

(aV)t

(ii) P

(iii)

Проверьте

уравнение

баланса

(20.6.9).

разделу

20.8

20.21.

Проверьте,

что

(а)

t 1 d - 1

Вт

Btl

(Ь)

1 d _ 1

ат

all

-_--

- n , -

-_--

- n

--~

Sn_yl

Вт

an_yl

ат

20.22.

(а)

Получите

упрощенную

формулу

для

apt

экспоненциальном

случае.

(Ь)

Что

случится

apt

экспоненциальном

случае,

если

8 =

О?

20.23.

Проверьте,

что

величина

aWt,

заданная

формулой

(20.8.15),

равна

величине

apt,

заданной

формулой

(20.8.5),

если

используется

функция

плотности

нарастания

обяза

тельств,

определенная

формулой

(20.7.9).

20.24.

модели

пенсионной

схемы

для

стационарной

группы

работающих

из

упр.

20.6

(а)

найдите

(Ь)

найдите

настоящую

стоимость

(Wa)t

прогнозируемой

будущей

заработной

платы

для

работающих

момент

времени

(с)

Проверьте,

что

среднее

значение

аннуитета

будущей

заработной

платы

aWt

(Wa)t/W

равно

среднему

значению

аннуитета

нормальных

расходов,

нарастающих

мо

мента

вступления

схему

(упр.

20.20(с»,

определенному

формулой

(Pa)t (aA)t - (aV)t

-'---'--

558

Гл.

20.

Теория

финансирования

пенсионных

схем

всем

темам

главы

20.25.

модели

пенсионной

схемы

для

стационарной

группы

работающих

из

упр.

20.6

выведите

решите

дифференциальное

уравнение

для

размера

фонда

для

работающих

случае

15-летнего

срока

погашения

(aV)o,

используя

(а)

метод

актуарных

расходов

из

упр.

20.20(Ь),

(Ь)

метод

актуарных

расходов

из

упр.

20.20(с).

[Указание.

Для

< t <

модифицируйте

формулу

(20.8.2)

так,

чтобы

величина

(aC)t

была

равна

нормальным

расходам

плюс

величина

платежей,

направляемых

на

погашение.]

ПРОЦЕНТЫ

КАК

СЛУЧАИНАЯ

ВЕЛИЧИНА

21.1.

Введение

Изложение

гл.

3-11

гл.

15-18

строилось

на

основополагающих

предположе

ниях,

что

время

до

выбытия

причина

или

тип

выбытия

являются

случайными

ве

личинами

что

их

совместное

распределение

известно.

Когда

моделях

долгосроч

ных

финансовых

операций

учитьшался

процентный

доход,

это

осуществлялось

вве

дением

процентных

ставок,

которые

предполагались

детерминированными

обычно

постоянными

величинами.

Анализ

множества

наблюдений

за

величиной

процентных

ставок

подтверждает

мысль

том,

что

это

нереалистичное

предположение.

Таблица

21.1.1.

Средняя

доходность

ЗD-летних

государственных

казначейских

облигаций

США

на

январь

указанного

года

)

Год

1978

1979

1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

Доходность

8,18%

8,94%

10,60%

12,14%

14,22%

10,63%

11,75%

11,45%

9,40%

Год

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

Доходность

7,39%

8,83%

8,93%

8,26%

8,27%

7,58%

7,34%

6,29%

7,85%

6,05%

21.1.1.

Учет

изменчивости

процентов

Для

учета

изменчивости

процентных

ставок

актуарных

моделях

имеется

не

сколько

методов.

Сценарии

настоящей

процентной

ставки.

Эти

сценарии

последовательно

сти

будущих

процентных

ставок,

которые

индексируются

BpeMeHHbIM

параметром

которые

наряду

другими

предположениями

Принципом

эквивалентности

при

меняются

вычислениях

премий

резервов.

более

сложных

моделях

каждый

сценарий

должен

определять

другие

переменные,

такие,

как

расходы

частота

до

срочных

расторжений

договоров,

так,

чтобы

они

соответствовали

этим

процентным

1)источник:

«Economic

Statistics

Сог

Employee Benefit

Actuaries.,

April,

Schaumburg,

Ill.: Society

of Actuaries.

2)Процентный

доход

по

облигациям.

560

Гл.

21.

Проценты

как

случайная

величина

ставкам.

Кроме

того,

таких

моделях

сами процентные

ставки

рамках

одно

го

сценария,

для

ряда

сценариев,

можно

строить

так,

чтобы

они

удовлетворяли

определенным

экономическим

условиям.

(а)

Сценарии

могут

определяться

без

создания

модели,

отвечающей

наблюдав

шимся

ранее

данным,

и предназначаться только

для

измерения

адекватности

вели

чин

премий

резервов

при

различных

вариантах

возможного

развития

экономиче

ских

условий

будущем.

Это

вариант

анализа

чувствительности,

который

будет

обсуждаться

разд.

21.2.1.

(Ь)

Сценарии

могут

определяться

после

систематического

анализа

альтернатив

ных

макроэкономических

прогнозов

индивидуальных

вероятностей,

приписывае

мых

актуарием

каждому

сценарию.

Этот

подход

будет

обсуждаться

разд.

21.2.2.

Стохастические

модели,

которые,

как

правило,

основаны

на

анализе

наблю

давшихся

ранее

данных.

этом

методе

такие

данные

играют

определяющую

роль

влияют

как

на

выбор

модели,

так

на оценку

ее

параметров.

Если

наблюдения

за

одними

сегментами

рынков

капитала

подцерживают

предположение

том,

что

для

моделирования

годовых

процентных

ставок

могут

при

меняться

независимые

одинаково

распределенные

случайные

величины,

то

другие

наблюдения

могут

го

ворить

пользу

тех

моделей,

которых

годовые

процентные

ставки

зависимые

случайные

величины.

Каждый

класс

таких

моделей

можно

разделить

на

те,

ко

торых

экономическая

информация

извлекается

из

уже

наблюдавшихся

процентных

ставок,

на

те,

которых

процентные

ставки

строятся,

исходя

из

другой

экономи

ческой

информации.

Эти

стохастические

модели,

основанные

на

анализе

прошлых

данных,

изучаются

разд.

21.3

21.4.

Стохастические

модели,

которые

определяются

некоторыми

характеристика

ми

рынков

капитала.

финансовой

экономике

разработаны

теории

операций

на

рынках

капитала.

Следствием

одной

из

этих

теорий

является

положение

том,

что

согласованное

предсказание

будущих

финансовых

условий

определяется

текущими

курсами

ценных

бумаг

связями

между

ними.

Например,

связь

между

уровнями

доходности

соответствующими

временами

погашения,

которая

дается

кривой

до

ходности,

содержит

информацию,

которую

можно

применять

при

построении

стоха

стических

моделей

будущих

процентных

ставок

и,

возможно,

других

экономических

переменных.

Эти

соображения

вводятся

разд.

21.5.

этой

главе

вводятся

элементы

каждого

из

описанных

выше

методов

учета

изменчивости

процентных

ставок.

Применение

этих

методов

требует

знания

макро

экономики,

прикладной

статистики

финансовой

экономики

соответственно.

Эти

три

метода

излагаются

настоящей

главе

том

порядке,

каком

они

перечис

лены.

Этот

порядок

совпадает

последовательностью

их

появления

актуарной

литературе.

Ни

для

одного

ИЗ

этих

методов

мы

не

можем

представить

здесь

исчер

пывающего

изложения,

поскольку

для

этого

необходимо

множество

разнообразных

предварительных

сведений.

предыдущих

главах,

которых

время

причина

выбытия

предполагались

случайными

величинами,

внимание

уделялось

тем

методам

управления

рисками,

которые

смягчали

неблагоприятные

финансовые

последствия

развития,

отклоняю

щегося

от

ожидаемого.

Для

страховщика

эти

методы

включали

привлечение

капи

тала,

покупку

перестрахования,

увеличение

надбавок

«на

случайность.

премиям

увеличение

численности

группы

страхователей.

разд.

21.6

обсуждаются

HeKOTQ-

рые методы

управления

риском,

связанным

процентными

ставками.