Бауэрс Н., Гербер Х., Джанс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика
Подождите немного. Документ загружается.
Упражнения
531
Найдите
число
лиц,
которые
достигнут
возраста
50
лет
между
моментами
времени
50
и
100.
19.3.
Пусть
Ь(u)
=100(1 -
е-
и
/
1ОО
),
и>
О,
()
-х/100
О
sx
=е,
х>
.
Найдите
число
лиц
в
возрасте
между
25
и
50
годами
в
момент
времени
100.
19.4.
Подсчитайте
число
тех
лиц,
которые
достигнут
возраста
25
лет
между
моментами
времени
50
и
51
и
умрут
до
наступления
момента
времени
53.
Используйте
функции
Ь(
и)
и
S(X,
и)
из
упр.
19.3.
(Это
-
числовая
версия
примера
19.3.1).
19.5.
Заново
разберите
пример
19.3.2,
если
s(x,
и)
= s(x)
и
Ь(u)
=
[о.
19.6.
Выразите
интеграл
дЛЯ
определения
числа
лиц
в
возрасте
между
20
и
50
годами
в
момент
времени
О,
которые
умрут
до
достижения
возраста
80
лет,
причем
до
наступления
момента
времени
50.
к
разделу
19.4
19.7.
(а)
Пусть
N(t)
обозначает
число
лиц
из
стабильной
группы
населения
в
момент
времени
t.
Покажите,
что
dN(t)/dt
=
RN(t).
(Ь)
Коэффициент
рождаемости
в
момент
времени
t
определяется
как
i(t)
=
b(t)/N(t).
Покажите
J
что
для
стабильного
населения
i(t)
=
[1~
e-
RЖ
8(Х)
dХ
Г
19.8.
Пусть
J.t(x)
=
ах,
а>
О
и
Ь(u)
=
be
Ru
.
Выразите
размер
всей
группы
в
момент
времени
t
через
Ф(z),
функцию
стандартного
нормального
распределения
N{O,
1).
19.9.
Предположим,
что
население
стабильно.
Найдите
выражение
дЛя
среднего
воз
раста
лиц,
которым
в
момент
времени
t
от
а
до
r
лет.
Перепишите
это
выражение
для
случая
R =
О.
19.10.
Пусть
Д(х)
=
р(х)
+
0,05/~x.
Покажите,
что
Рх
=
рх(т
х
+
1
/т
х
)0,05.
19.11.
Подтвердите
тот
факт,
что
s"(x) =
e-Rxs(x),
R
~
О,
является
функцией
дожи
тия.
Далее,
(а)
выразите
функцию
распределения
и
функцию
плотности,
соответствующие
этой
функции
дожития
s*(x),
(Ь)
покажите,
что
полная
ожидаемая
продолжительность
жизни
лица
возраста
хо
лет
с
функцией
дожития
s*
(х)
есть
ахо
и
что
дисперсия
продолжительности
предстоящей
жизни
равна
2(la)xo -
а;о.
Актуарные
функции
аннуитета
рассчитываются
здесь
при
интенсив
ности
начисления
процента
R.
19.12.
Общий
коэффициент
смертности
в
момент
времени
t
определяется
формулой
100
[(х!
t -
х)р(х,
t -
х)
dx
/
1000
l(х,
t -
х)
dx.
Покажите,
что
если
население
стабильно,
то
общий
коэффициент
смертности
равен
i(t)-R,
где
i(t)
-
коэффициент
рождаемости,
определенный
в
упр.
19.7(Ь).
К
разделу
19.5
19.13.
Рассмотрим
стационарное
население
с
функцией
дожития
s(x)
и предположим,
что
та
же
функция
дожития
используется
при
вычислении
актуарных
функций.
Проверьте
и
дайте
словесную
интерпретацию
следующих
тождеств:
[т
а
т
+!5
/.00
lх
ах
dx
=
Тт
.
19.14.
Рассмотрим
стабильную
группу
населения
с
функцией
дожития
э(х)
и
предпо
ложим,
что
эта
же
функция
используется
при
вычислении
актуарных
функций.
Проверьте
532
Гл.
19.
Математическая
демография
и
дайте
интерпретацию
следующих
тождеств;
(а)
[(а,
t - a)aa:r_al +
б
/.Т
[(х,
t -
х
)ax:r-xl
dx
=
/.Т
[(х,
t _
х)
dx
+R
/.Т
l(х,
t - x)ax:r_xl dx.
[указание:
вычислите
производную
функции
[(х,
t - x)ax:r_xl'
используя
формулу
(5.2.27)],
(Ь)
l(а,
t -
а).А
а
+
б
/.00
l(х,
t -
х).А
х
dx
=
/.=
l(х,
t -
х)
р.(х)
dx
+R
/.00
l(х,
t -
х)А
х
dx.
19.15.
Вычислите
годовой
взнос
nt
для
системы
страхования
населения
на
случай
смерти
из
примера
19.5.2,
если
Ъ(
и)
= 100
е
О
,Оlu
,
возраст
а
равен
О
и
в(х)
=
е-
Х
/
5О
•
19.16.
Отношение
числа
лиц
пенсионного
возраста
к
числу
лиц
трудоспособного
воз
раста
в
группе
населения
на
момент
времени
t
выражается
формулой
f(t)
=
1=
l(х,
t -
х)
dX/
(65
l(х,
t -
х)
dx.
65
J20
Покажите,
что
для
стабильной
группы
населения
д~
ln
f(t)
=
Хl
-
Х2,
где
Хl
-
средний
возраст
лиц,
которые
в
момент
времени
t
старше
20
лет,
но
младше
65
лет,
а Х2
-
средний
возраст
лиц,
которые
в
момент
времени
t
старше
65
лет.
к
разделу
19.
б
19.17.
Для
функции
интенсивности
воспроизводства
женского
населения
ф(х)
=
xO-le-~X,
а
>
О,
(3
>
О,
(а)
вычислите
R,
(Ь)
определите,
будет
ли
население
стабильным
или
стационарным,
если
а
= 2
и
f3
=
1.
К
о
всем
темам
главЬt
19.18.
Предположим,
что
численность
населения
в
момент
времени
t
удовлетворяет
дифференциальному
уравнению
d~?)
=
~
{N(t)[a
-
N(t)]},
а
>
О.
Заметим,
что
при
N(t),
стремящемся
к
а,
скорость
изменения
численности
населения
стре
мится
к
нулю.
Такая
модель
учитывает
ограничения
на
рост
населения,
связанные
с
окру
жающей
средой.
(а)
Проверьте,
что
функция
N(T)
=
а(1
+
Ъe-ct)-l,
Ь
>
О,
удовлетворяет
этому
диф
ференциальному
уравнению.
Такая
функция
называется
логuстu~ес'К;оЙ.
(Ь)
Вычислите
lim
N(t)
и
постройте
график
функции
N(t)
при
с>
О.
t-+=
(с)
Вычислите
величину
абсциссы
точки
перегиба
функции
N(t).
19.19.
Покажите,
что
если
интенсивность
смертности
строго
возрастает,
то
(а)
B(X)S(Y)
~
в(х
+
у),
х
~
О,
У
;?:
О,
(Ь)
s(x)
10=
в(у)
dy;?:
10=
s(x
+
у)
dy,
(с)
в(х)
10=
в(у)
dy;?:
1.=
s(w)
dw,
(d)
1000
В(У)
dy
~
1.=
:i;i
dw,
(е)
~o
;?:
~x.
19.20.
Домножьте
обе
части
неравенств
из
упр.
19.19
на
v
y
и
покажите,
что
ао
~
ах.
19.21.
(а)
Покажите,
что
P(A.:z;)
можно
представить
в
виде
среднего
взвешенного
ИН-
тенсивностей
смертности
р.х
(t)
с
весовой
функцией
w(t,
б)
=v
t
tpx!a
x
.
Упражнения
5ЗЗ
(Ь)
Проверьте,
что
(i)
1000
w(t,
б)
dt =
1,
(ii)
%t
w(t,
б)
~
О,
(с)
Проверьте,
что
(i)
%15
w(O,
б)
>
О,
(ii)
t~~
%15
w(t,
б)
=
-00,
д
(Ш)
единственным
положительным
решением
уравнения
дб
w(t,
б)
=
О
при
фиксиро-
ванном
б
является
(10.);,;/0.;,;.
(d)
Пусть
интенсивность
смертности
строго
возрастает.
Покажите,
используя
резуль
таты
пп.
(b)(ii)
и
(b)(iii),
что
при
увеличении
интенсивности
начисления
процента
веса
для
малых
значений
интенсивности
смертности
увеличиваются,
а
для
больших
уменьшают
ся.
Таким
образом, если
интенсивность
смертности
-
строго
возрастающая
функция,
то
увеличение
интенсивности
начисления
процента
приводит
к
уменьшению
значения
Р(А;,;).
20
ТЕОРИЯ
ФИНАНСИРОВАНИЯ
ПЕНСИОННЫХ
СХЕМ
20.1.
Введение
В
разд.
11.5
мы
изучали
актуарные настоящие
стоимости
пенсионных
выплат
и взносов
для
отдельного
участника
пенсионной
схемы.
Эти
актуарные
настоящие
стоимости
для
отдельных
участников
схемы
являются
исходными
элементами
про
цесса
определения
суммарных,
или
агрегированных,
актуарных
настоящих
стоимо
стей
для
пенсионной
схемы
в
целом.
Для
того
чтобы
пенсионная
схема
обеспечи
вала
финансовую
защиту
участников,
эти
суммарные
стоимости
будущих
пенсион
ных
выплат
и
текущие
активы
должны
уравновешиваться
суммарными
настоящи
ми
стоимостями
будущих
взносов.
Структура
суммарных
взносов,
которые
должны
уравновешивать пенсионные выплаты,
определяется
выбранным
методом
an:myap-
Н'ЫХ
расходов
или
аn:mуарного
финансирования!).
В
этой
главе
определены
актуар
ные
функции,
которые
используются
при
исследовании
финансирования
пенсион
ной
схемы.
Эти
функции
затем
используются
при
определении
методов
актуарных
расходов
и
при
изучении
свойств
этих
методов.
В
этих
целях
мы
при
меняем
некоторые
положения
математической
демографии
из
гл.
19.
Рассуждения
здесь
проводятся
так
же,
как
они проводились
В
примерах
19.5.1, 19.5.2, 19.5.3
и
19.5.4
для
различных
методов
финансирования
или
планиро
вания
расходов
при
анализе
системы
страхования
жизни
для
некоторой
группы
лиц
(населения)
.
Чтобы
соединить
идеи
этой
главы
с
развитыми
ранее
соображениями,
читатель
должен
учитывать
представленные
ниже
основные
ограничения:
(1)
Для
того
чтобы
защитить
интересы
участников
и
ограничить
величину
до
хода,
налоги
по
которой
взимаются
в
более
поздние
сроки
(потому
что
эта
величина
внесена
в
пенсионный
фонд
в
качестве
взносов),
методы
актуарных
расходов
под
вергаются
регулированию
со
стороны
государства.
Такое
регулирование
важно
на
практике,
но
здесь
обсуждаться
не
будет.
(2)
Пенсионные
схемы
часто
обеспечивают
несколько
типов
выплат.
Помимо
выплат
пенсии
по
старости
распространены
выплаты
на
случай
смерти,
выплаты
в
связи
с
потерей
трудоспособности
и
выплаты
при
выходе
из
пенсионной
схемы.
В
ряде
случаев
последний
вид
выплат
является
обязательным:
такие
выплаты
на
зываются
безуслов'Ными.
Определение
актуарной
настоящей
стоимости
для
неко
торых
из
этих
выплат
рассматривалось
в
гл.
11.
Используемая
в
настоящей
главе
l)Первое
из
этих
названий
отражает
точку
зрения
вкладчиков
схемы,
а
второе
-
страховщика.
-
Пр'U.м..
ред.
20.2.
Модель
535
модель
обеспечивает
лишь
выплаты
пенсии по
старости.
Это
упрощение
принято
для
того,
чтобы
внимание
фокусировалось
на
свойствах
различных
методов
акту
арных
расходов.
Хотя
в
большинстве
пенсионных
схем
размер
пенсии
по
старости
зависит
определенным
образом
от
доходов
в
различные
моменты,
предшествующие
выходу
на
пенсию,
модель,
используемая
в
этой
главе,
определяет
начальную
ве
личину
пенеионных
выплат,
лишь
исходя
из
дохода
в
момент выхода
на
пенеию.
И
это
упрощение
также
делается
для
того,
чтобы
сконцентрироваться
на
существе
методов
актуарных
расходов.
(3)
Следующая
мысль
проходит
через
всю
книгу:
для
определения
актуарных
настоящих
стоимостей
необходимо
знать
коэффициенты
дисконтирования
и
вероят
ности,
относящиеся
к
будущим
выплатам,
обусловленным
случайными
событиями.
В
этой
главе
будущие
выплаты
могут
зависеть
от
многих
неопределенностеЙ.
Одна
ко
в
соответствии
с
нашей
основной
целью
-
изучением
методов
актуарных
расходов
-
мы
придерживаемся
детерминистической
точки
зрения.
(4)
Взносы
в
пенсионную
схему
представляют
собой
расходы
организаций-вклад
чиков.
Чтобы
обеспечить
сопоставимость
финансового
состояния
различных
вклад
чиков
пенсионных
схем,
в
практике
бухгалтерской
отчетности
ограничиваются
впол
не
определенным
набором
методов
актуарных
расходов.
Подобные
ограничения
здесь
не
обсуждаются.
20.2.
Модель
Рассмотрим
группу
населения
(пенсионную
схему),
состоящую
из
лиц,
вступив
ших
в
нее
в
возрасте
а
лет
и
выходящих
на
пенсию
в
возрасте
r
лет,
с
функцией
дожития
в(х),
такой,
что
в(а)
= 1.
Для
а
<
х
< r
выбытие
может
произойти
вслед
ствие
смерти
или
по
другим
причинам,
но
для
х
> r
смерть
будет
единственной
причиной
выбытия.
Плотность
новых
лиц,
ВСТУПИВШИХ
в
группу
в
возрасте
а
лет
в
момент
времени
и,
задана
функцией
n(
и),
а
плотность
лиц,
вступивших
в
момент
и и
достигших
возраста
х
лет
в
момент
времени
t,
определяется
функцией
n(u)в(х),
(20.2.1)
где
и
= t -
(х
-
а)
является
моментом
вступления
в
пенсионную
схему.
Формула
(20.2.1)
соответствует
формуле
(19.3.1)
за
исключением
того,
что
«рождения»
про
исходят
в
возрасте
а лет
при
вступлении
в
пенеионную
схему.
Мы
предполагаем,
что
функция
дожития
не
зависит
от
u.
Будем
также
предполагать,
что
ставка
заработной
платы
для
каждого
лица
воз
раста
х
лет
в
момент
времени
О
равна
w(x),
а
<
х
<
т.
Функция
w(x)
отражает
ту
составляющую
в
изменениях
заработной
платы,
которая
связана
с
индивидуальным
опытом
и
заслугами.
Ставка
заработной
платы
также
меняется
в
зависимости
от
коэффициента
«года
рассмотрения»,
который
отражает
инфляцию
и
изменения
в
производительности
труда
всех
участников
схемы.
В
этой
главе
коэффициент
«года
рассмотрения»
полагается
равным
e
Tt
•
Этот
коэффициент
не
зависит
от
возраста
отдельного
лица.
Таким
образом,
ожидаемая
годовая
ставка
заработной
платы
лица
возраста
х
лет
в
момент
времени
t
задается
формулой
w(x)e
Tt
,
а
<
х
<
т.
(20.2.2)
536
Гл.
20.
Теория
финансирования
пенсионных
схем
Эту
формулу
следует
сравнить
с
более
простым
выражением
в
формуле
(11.5.1),
где
изменения
заработной
платы
рассматриваются
только
как
функции
достигнутого
возраста.
Сравнивая
с
формулой
(19.3.5),
мы
увидим,
что
величина
суммарной
заработной
платы,
полученной
n(t-x+a)s(x)dx
лицами
в
возрасте
между
х и
x+dx,
в
момент
времени
t
равна
n(t
-
х
+
a)s(x)w(x)e
Tt
dx,
а
годовая
суммарная
заработная
плата
в
момент
времени
t
равна
W
t
= l
'
n(t
-
х
+a)s(x)w(x)e
rt
dx.
(20.2.3)
В
формуле
(20.2.3)
используется
соглашение
об
обозначениях,
принятое
в
этой
гла
ве.
Символ
с
нижним
индексом
означает
суммарную
величину,
относящуюся
ко
всем
работающим
участникам
схемы.
Таким
образом,
W
t
-
это ставка
суммарной
выпла
ченной
заработной
платы
в
момент
времени
t.
Модель
пенсионной
схемы,
рассматриваемая
в
настоящей
главе,
обеспечивает
пенсионный
аннуитет,
выплачиваемый
лишь
после
достижения
пенсионного
возрас
та
т.
Начальная
годовая
ставка
пенсионных
выплат
является
долей
j
от
последней
ставки
заработной
платы
перед
выходом
на
пенсию.
Таким
образом,
для
участника
схемы,
выходящего
на
пенсию
(т.
е.
достигающего
возраста
Т)
в
момент
времени
t,
прогнозируемая
годовая
ставка
пенсионных
выплат
составит
jw(r)e
Tt
• (20.2.4)
Для
пенсионера
возраста
х
в
момент
времени
t
прогнозируемая
годовая
ставка
пен
сионных
выплат
равна
jw(r)et(t-х+r)h(х)
,
х
~
т,
где
h(x)
-
поправочный
коэффи
циент,
применяемый
к исходной
ставке
пенсионных
выплат
размера
jw(r)eT(t-х+r)
тем
лицам,
которые
вышли
на
пенсию
х
.,.-
r
лет
назад.
Заметим,
что
h(r) = 1.
На
пример,
h(x)
может
быть
экспоненциальной
функцией
e,B(x-r)
,
где
f3
-
постоянный
коэффициент
прироста
(возможно,
связанный
с
ожидаемым
темпом
инфляции).
В
центре
нашего
внимания
при
обсуждении
методов
актуарных
расходов
бу
дет
находиться
схема
с
установленным/и
выnлатамu.
Размер
пенсионных
выплат,
которые
будут
получать
участники
схемы,
вышедшие
на
пенсию,
в
этой
схеме
фик
сирован,
и
мы
будем
описывать
методы
актуарных
расходов,
которые
обеспечат
поток
взносов
и
инвестиционный
доход,
уравновешивающие
эти
пенсионные
выпла
ты.
В
схемах
с
установленнымu
взносамu
выбрано
иное
исходное
положение.
Здесь
фиксирован
взнос,
который
производится
от
имени
каждого
участника
схемы.
Это
либо
постоянная
величина,
либо
определенная
часть
его
заработной
платы.
В
этом
случае
задачей
актуарного
анализа
будет
найти
тот
размер
пенсионных
выплат,
при
котором
их
актуарная
настоящая
стоимость
будет
равна актуарной
настоящей
стоимости
сделанных
взносов.
Его
можно
определить
в
момент
выхода
на
пенсию,
используя
накопленные
взносы
для
приобретения
эквивалентного
аннуитета
пенси
онных
выплат,
а
можно
каждый
год
по
купать
отсроченный
аннуитет
пенсионных
выплат
за
счет
взносов
этого
года.
20.3.
Метод
конечного
финансирования
При
методе
7Соне'Чного
фuнансuрован.u.я
в
течение
всего
периода
трудоспособно
сти
не
делается
никаких
взносов,
обеспечивающих
пенсию.
Вместо
этого
в
момент
20.3.
Метод
конечного
финансирования
537
выхода
на
пенсию
производится
единовременный
взнос.
Искомый
размер
взноса,
или
уровен:ь
нор.м.а.ll:ЬН:ЫХ
расходов,
при
методе
конечного
финансирования
в
момент
вре
мени
t,
обозначаемый
через
Tp
t
,
является
величиной,
исходя
из
которой
рассчиты
вается
актуарная
настоящая
стоимость
будущих
пенсий
участников,
достигающих
возраста
r
на
момент
времени
t.
Чтобы
определить
величину
TP
t
для
нашей
модели
пенсионной
схемы,
предположим,
что
годовая
интенсивность
начисления
процента
равна
б,
и
обозначим
через
a~
актуарную
настоящую
стоимость
непрерывного
стра
хового
аннуитета,
выплачиваемого
лицу
(Т)
с
годовой
нормой
дохода
h(x),
когда
это
лицо
достигает
возраста
х
лет.
Следовательно,
(20.3.1)
в
силу
формулы
(19.3.2)
мы
имеем
n(t-r+a)s(r)
dt
участников,
достигших
возраста
r
между
моментами
времени
t
и
t + dt,
и,
согласно
формуле
(20.2.4),
они
будут
получать
пенсии
со
средней
начальной
ставкой
fw(r)e
Tt
.
Значит,
T
Pt
=
fw(r)eTtn(t
- r +
a)s(r)a~.
(20.3.2)
Мы
увидим,
ЧТО
TP
t
-
основной
блок,
применяемый
при
построении
различных
функций,
используемых
для
описания операций
финансирования
в
модельной
схеме.
Для
иллюстрации
мы
часто
обращаемся
к
э?СсnоненцuаЛЬ1iО.м.у
слу'Чаю
со
следу
ющими
характеристиками:
•
n(
и)
=
neR'U.
Поскольку
мы
предположили,
что
функция дожития
не
зависит
от
времени,
из
формулы
(19.4.3)
и
из
вида
функции
n(u)
следует,
что
размер
груп
пы
населения
изменяется
экспоненциально
с
показателем
R,
причем
распределение
населения
по
возрастам
не
меняется;
• h(x) =
e'b(T-Х)
,
т.
е.
пенсии
изменяются
с
постоянным
коэффициентом
приро
ста
/З.
Прежде
чем
приступить
к
исследованию
экспоненциального
случая,
следует
по
нять
его
ограничения.
Ясно,
что
условия
для
экспоненциального
роста
или
убыва
ния
не
могут
существовать
бесконечно
долго.
Если
имеется
приближение
к
экспо
ненциальному
случаю,
то
три
ключевых
экономических
показателя,
интенсивность
начисления
процента
б,
заработная
плата
т и
коэффициент
изменения
пенсии
f3
взаимосвязаны.
Например,
если
коэффициент
f3
связан
с
инфляцией,
обычно
пред
полагают,
что
б
>
(З,
даже
если
имели
место
периоды
непредвиденной
инфляции,
когда
выполнялось
противоположное
неравенство.
Если
бы
выполнялось
неравен
ство
f3
>
Т,
то
экономическое
положение
пенсионера
улучшалось
бы
по
сравнению
с
работающим.
Поэтому
обычно
предполагается,
что
/З
~
r.
Пример
20.3.1.
Покажем,
что
в
экспоненциальном
случае
Tp
t
+
u
=
ери
Tp
t
,
где
Р
=
т+
R.
Решение.
Согласно
определению
экспоненциального
случая,
n(t
+
и
- r +
а)
=
neR(t+'U-r+а)
,
а
из
(20.3.1)
следует,
что
-h
-100
-(o-,8)(x-r)
s(x) d
_-/
а
т
-
е
()
х
-
а
т
,
r S r
538
Гл.
20.
Теория
финансирования
пенсионных
схем
где
a~
вычисляется
с
интенсивностью
начисления
процента
б
-
(З.
Тогда,
используя
формулу
(20.3.2),
получаем
Tp
t
+
u
=
jw(r)er(t+U)ns(r)eR(t+u-r+а)а~
=e(r+R)u
fw(r)ertns(r)eR(t-r+а)а~
=
ери
TP
t
.
Некоторые
члены
в
этом
соотношении
можно
интерпретировать
независимо.
Вели
чину
р
=
т
+R
можно
интерпретировать
как
фактор
общего
экономического
роста
или
спада.
Множитель
ns
(Т)
можно
интерпретировать
как
lr,
т.
е.
как
число
до
живших
до
возраста
r
из
n
лиц
из
совокупности
дожития,
образованной
лицами
возраста
а
и
описываемой
функцией
дожития
s(x),
а
~
х
~
Т,
в
модели
выбытия
по
нескольким
причинам.
~
20.4.
Основные
актуарные
функции
для
пенсионеров
В
этом
разделе
будет
рассмотрен
ряд
основных
функций,
определяющих
осно
вополагающие
понятия
финансирования
пенеионных
схем
для
групп
пенеионеров.
Такие
обозначения,
как
(rA) ,
подчеркивают,
что
речь идет
о
группе
пенсионеров
1
).
20.4.1.
Актуарная
настоящая
стоимость
будущей
пенсии
(rA)t
Напомним,
что
n(t
-
х
+a)s(x)
участников
схемы, возраст
которых
находится
между
х
и
х
+dx
в
момент
времени
t,
вышли
на
пенсию
х
- r
лет
назад
и
их
исход
ная
годовая
ставка
пенсионных
выплат
равна
jw(r)et(t-х+r)
.
Актуарная
настоящая
стоимость
каждой
единицы
исходной
пенсии
дожившего
пенеионера
равна
(20.4.1)
(20.4.3)
где
s(y) -
функция
дожития
в
модели
с
выбытием
по
единственной
причине
(смер
ти).
Следовательно,
в
силу
формулы
(20.3.2)
(гА)!
=
ЕЮ
n(t
-
х
+
a)s(x)fw(r)et(t-Ж+Т)а~
dx. (20.4.2)
Подставив
сюда
выражение
для
a~ из
формулы
(20.4.1),
можно
переписать
(rA)t
в
виде
двойного
интеграла:
(гА)!
=
['"
n(t
-
х
+
а)fw(r)ет(t-ж+т)
[100
е-
6
(у-ж)
h(y)s(y) d
Y
]
dx.
20.4.2.
Уровень пенсионных выплат
B
t
Для
участников
схемы,
уже
получающих
пенеию,
вводится
новая
функция
B
t
,
уровень
пенеионных
выплат
в
момент
времени
t.
При
выводе
формулы
(20.4.2)
для
актуарной
настоящей
стоимости
будущих
пенеионных
выплат
участникам,
уже
по
лучающим
пенсию,
мы
видели,
что
пенсии
лицам
в
возрасте
от
х
до
х
+ dx
лет
выплачивались
с
исходной
величиной
n(t
-
х
+
a)s(x)jw(r)et(t-х+r)
dx.
К
возрасту
х
она
корректируется
введением
поправочного
множителя
h(x).
Следовательно,
В
!
=
[00
n(t
_
х
+
а)s(х)fw(r)ет(t-ж+r)
h(x) dx.
l)от
английского
.retired.
-
пенсионеры.
-
Прu.м..
ред.
(20.4.4)
20.4.
Основные
актуарные
функции
для
пенсионеров
Во-первых,
заметим,
что
для
всех
дифференцируемых
функций
9
д
д
- g(t -
х
+
Т)
=
--
g(t -
х
+
Т).
Bt
ах
Дифференцирование
функции
B
t
приводит
К
равенствам
539
d
100
д
dt B
t
= r
fw(r)s(x)h(x)
8t
[n(t -
х
+
a)et(t-х+r)]
dx
1
<Х>
а
= -
fw(r)s(x)h(x)
- [n(t -
х
+
a)et(t-х+r)]
dx
r
ах
= -
fw(r)s(x)h(x)n(t
-
х
+
a)et(t-х+r)
I::~
+
['"
/w(r)n(t
-
х
+
a)et(t-Ж+Т)[s'(х)h(х)
+s(x)h'(x)]
dx
[/w(r)n(t
- r +a)s(r)e
Tt
-
[:ю
/w(r)n(t
-
х
+
a)S(X)/l(x)et(t-ж+rJh(х)
dx]
+
['"
/w(r)n(t
-
х
+
a)s(x)et(t-ж+rJh'(х)
dx. (20.4.5)
Слагаемые
в
скобках
в
правой
части
формулы
(20.4.5)
измеряют
эффе'I'Ьm
за
ме'Ны.
Первое
слагаемое
является
фактором
увеличения
пенсионных
выплат
из-за
начальных
пенсий
лиц,
только
что
вышедших
на
пенсию.
Второе
слагаемое
является
фактором
уменьшения
пенсионных
выплат
из-за
смертей
в
момент
времени
t.
Сла
гаемое
вне
скобок
называется
эффе'К:mом
nоnрав'К:и.
Оно
измеряет
величину
поправки
к
уровню
пенсионных
выплат
в
момент
времени
t.
20.4.3.
Уравнение
баланса
Теперь
мы
в
состоянии
сформулировать
основную
формулу
для
пенсионеров
(20.4.6)
Это
уравнение
можно
обосновать
с
помощью
теории
сложных
процентов,
рас
сматривая
(rA)t
как
фонд,
наполняемый
взносами,
рассчитанными
по
методу
ко
нечного
финансирования,
и
инвестиционными
доходами
и
расходуемый
на
выплату
пенсиЙ.
Разность
между общим
уровнем
доходов
и
уровнем
расходов
определяет
скорость
изменения
размера
фонда.
Проверку
формулы
(20.4.6)
можно
произвести
дифференцированием
выраже
ния
для
(rA)t,
заданного
соотношением
(20.4.3).
Мы
получаем
~(rA)t
=::;
1<Х>
fw(r)
~
[n(t -
х
+
a)eT(t-х+r)]
[1<Х>
е-О(У-Х)
h(y)s(y) d
Y
]
dx
dt r 8t
х
=-
/w(r)
['"
[1'''
e-J<У-жJh(у)s(у)
d
Y
]
:х
[n(t -
х
+
а)ет(t-ж+r)j
dx
540
Гл.
20.
Теория
финансирования
пенсионных
схем
=-
!w(r){
n(t
-
х
+
a)eT(t-ж+r)
[Ю
e-б(У-Z)h(у)s(у)
dy
::~
-
[Ю
[б
100
e-б(У-zJh(у)s(у)
dy -
s(x)h(x)]
n(t
-
х
+
a)et(t-Z+Т)
dx}
=TP
t
+8(rA)t - B
t
,
где
для
того,
чтобы
выделить
слагаемое
B
t
,
используется
формула
(20.4.4).
Пример
20.4.1.
Покажем,
что
для
экспоненциальногО
случая
(20.4.7)
(20.4.8)
(20.4.9)
(20.4.10)
(а)
(Ь)
(с)
(d)
B
t
+
u
=
ePUB
t
,
р
=
т
+R;
(rA)t+tt = ePU(rA)t;
TP
t
+O(rA)t =B
t
,
В
=8 -
р;
TP
t
< B
t
,
если
О
>
О,
TP
t
=B
t
,
если
О
=
О,
TP
t
> B
t
,
если
(1
<
О.
Решение.
(а)
Из
формулы
(20.4.4)
следует,
что
B
t
+
u
=
100
neR(t+u-z+а)еТ(t+u-z+r)
!w(r)s(x)efJ(z-r)
dx
=
e(R+T)U
100
neR(t-z+а)еr(t-Z+Т)
!w(r)s(x)efJ(z-r)
dx
=
ери
B
t
.
(Ь)
Из
формулы
(20.4.2),
рассуждая,
как
в
п.
(а),
получим
искомый
результат.
(с)
Переписывая
равенство
(20.4.8)
в
виде
((rA)t+u - (rA)t]/u =
(ери
-
l)(rA)t/u
и
устремляя
и к
О,
получим
d
dt (rA)t = p(rA)t· (20.4.11)
Затем,
подставляя
(20.4.11)
в
(20.4.6),
получим
утверждение
п.
(с).
(d)
Требуемые
неравенства
следуют
из
соотношения
(20.4.9).
Этот
пример
по
казывает,
что
величина
В
= 8 -
т
- R
является
критической
в
экспоненциальном
случае.
У
Пример
20.4.2.
Рассмотрим
модельную
пенеионную
схему
для
стационарного
населения
с
фиксированным
размером
заработной
платы
и
с
фиксированным
раз
мером
пенеионных
выплат.
Выведем
формулу
(
А)
f
( )
ТТ
- lrar
r
t=
wr
8
(20.4.12)
и
дадим
ее
словесную
интерпретацию.
Решение.
В
этом
примере
h(x)
= 1,
т
=
О,
(1
= 8, B
t
=
fw(r)T
r
, TP
t
=
fw(r)lrCLr'
Подставив
эти
выражения
в
(20.4.9),
мы
получим
формулу
(20.4.12).
Что
бы
интерпретировать
этот
результат,
заметим,
что
для
нашего
стационарного
насе
ления
пенсин
размера
fw(r)
в
год
выплачиваются
непрерывно
всем
лицам,
начиная
с
r
лет.
Сюда
входят
пенсии
будущих
,*новых»
пенеионеров,
увеличение
численно
сти
которых
происходит
со
скоростью
lr
в
год.
Эти
будущие
пенсионные
выплаты
образуют
бессрочный
финансовый
аннуитет,
настоящая
стоимость
которого
равна