Бауэрс Н., Гербер Х., Джанс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика

Подождите немного. Документ загружается.

19.4.

Понятия

стационарного

стабильного

населений

'0+10

10+30

10+50

O~~---+---";;-+--+--~I----+--+--"'"

Время

521

: { 30

Возраст

Выход

Рис.

19.3.5.

Область,

которой

подсчитывается

число

смертей

примере

19.3.2

Метод

двойного

интеграла:

используя

интерпретацию

на

рис.

19.3.3С,

вычислим

искомое

число

смертей

по

формуле

170

[

a1(x

и)]

l(x,

U)J.L(X,

и)

dx du = -

' dx du

to-40

to-U

to-40

to-u

[l(to

и,

и)

1(70,

и)]

to-40

1to-20

= l(to -

и,

и)

du - l(70,

и)

du.

to-40

Положим

- u

первом

интеграле

w =

ВО

втором;

тогда

искомое

число

смертей

выражается

формулой

1to+50

l(y,

у)

dy -

1(70,

w -

70)

dw.

to+30

Метод

«ВХОД-ВЫХОД:9:

используем

формулу

(19.3.5)

для

вступающих

(19.3.3)

для

выбывающих

получим

1to+50

l(x,

х)

- l(70, t - 70)

dt,

to+30

что

совпадает

результатом,

полученным

помощью

двойного

интеграла.

...

19.4.

ПОНЯТИЯ

стационарного

стабильного

населений

Здесь

мы

изучим

два

важных

частных

случая

модели,

описанной

разд.

19.3.

Если

(х,

и)

не

зависит

от

и,

мы

будем

говорить

стационарном

'Н,аселе'Н,ии

(стаци

онарной

группе

'Населе1tuя).

Для

такого

стационарного

населения

формула

(19.3.1)

принимает

вид

l(x,u)

= bs(x),

(19.4.1)

где

постоянная

функция

плотности

рождений,

s(x) -

функция

дожития,

кото

рая

не

зависит

от

времени

рождения.

демографических

приложениях

константа

522

Гл.

19.

Математическая

демография

обычно

обозначает

число

рождений

год,

переменная

возраста

измеряется

годах.

соответствии

формулой

(3.3.1)

перепишем

равенство

(19.4.1)

виде

l(x,

и)

s(x)

=lx,

(19.4.2)

где

играет

роль

корня

таблицы

смертности.

Для

стационарного

населения

мы

можем

записать

формулу

(19.3.5)

виде

(Х

ТХО

Х1

Мы

получаем

число

лиц

возрасте

от

хо

до

хl

этом

стационарном

населении

про

извольный

момент

времени

выраженное

через

функцию

введенную

формулой

(3.5.16)

связи

анализом

совокупности

дожития.

Кроме

того,

из

интерпретации

про

изведения

lxJ-L(х),

приведенной

на

рис. 19.3.3В,

следует,

что

(Х

[хр(х)

dx =

lxo

lXl

является

плотностью

смертей

возрастном

интервале

между

хо

хl

произволь

ный

момент

времени

частности,

плотность

смертей

возрасте

хо

старше

равна

плотности

лиц,

достигших

возраста

хо

момент

времени

Эта

интерпрета

ция содержится

формуле

(19.3.2).

Изложенные

факты

иллюстрируют

уместность

названия

«стационарное

население».

Если

функция

плотности

населения

имеет

вид

l(x,u)

= eRUbs(x) = eRul

, (19.4.3)

где

R -

константы,

в(х)

функция

дожития,

которая

не

зависит

от

време

ни

рождения,

то

мы

имеем

дело

со

стабu.л:ь'Н'ы.м

'Населенuем

(сmабuл'Ьноil

группой

'Насел,е'Нuя).

Функция

плотности

рождений

момент

времени

для

стабильного

населения

равна

eRub =

eRUlo.

Если

R =

О,

то

стабильное

население

является

ста

ционарным.

Используя

формулу

(19.3.5),

убеждаемся,

что

численность

населения

момент

времени

обозначаемая

через

N(t),

для

стабильного

населения

задается

формулой

N(t)

100

/(х,

t -

х)

dx =

Яt

100

./.

dx. (19.4.4)

Следовательно,

если

R >

О,

то

численность

населения

экспоненциально

увеличива

ется,

если

R <

О,

то

экспоненциально

уменьшается.

Вновь

используя

формулу

(19.3.5),

получим,

что

доля

лиц

возрасте

между

хо

во

всем

стабильном

населении

момент

времени

равна

1l(x, t -

х)

e-Rxl

{

ОО

( -

(ОО

(19.4.5)

Jo l

x,t-x)dx

е-

xlx

Эта

величина

не

зависит

от

Таким

образом,

хотя

размер

стабильного

населения

может

меняться

во

времени,

его

возрастная

структура

постоянна.

Для

стабильного

населения

можно

выразить

число

лиц

возрасте

между

хо

xl,

используя

формулу

(19.3.5),

виде

l(x,

t -

х)

eR(t-х)lх

eR(t-хо)lхоо'хО:Хl_ХО[

при

= R. (19.4.6)

Jxo

19.4.

ПОНЯТИЯ

стационарного

стабильного

населений

523

пределе

при

хl

число

лиц

старше

ХО

лет

момент

времени

стабиль

ном

населении

можно

записать

виде

выражения

eR(t-ХО)lхоliхо,

рассчитанного

при

д=R.

Для

стабильного

населения

интенсивность

смертности,

определенная

равенством

(19.3.7),

записывается,

учетом

формулы

(19.4.3),

так:

р(х,

и)

-l(x,

и)

дх

l(x,

и)

р(х).

Мы

можем

выразить

плотность

смертей

момент

времени

для

стабильного

насе

ления

возрасте

между

хо

хl

виде

при

д::

(19.4.7)

плотность

смертей

момент

времени

среди

лиц

старше

хо

лет

равна

eR(t-хо)

хо

ХО'

ЭТИ

факты

стабильном

населении

можно

использовать,

учитывая

тождества

из

гл.

чтобы

сформулировать

следующее

свойство

стабильного

населения:

(Плотность

лиц,

достиг-

(плотность

смертей

среди

ших

возраста

хо

момент

лиц

старше

хо

лет

мо-

(Скорость

изменения

чис-

времени

мент

времени

ла

лиц

старше

хо

лет

мо-

(

мент

времени

число

лиц

старше

Ха

лет

момент

времени

R(t-хо)

1 -

R(t-x

1 -

хо

= R.

R(t-хо)l

хо

Последнее

равенство

вытекает

из

того,

что

расчет

этих

функций

производился

при

интенсивности

начисления

процента

Пример

19.4.1.

Для

стационарного

населения

полная

ожидаемая

продолжи

тельность

жизни

лица

возрасте

лет,

определенная по

функции

дожития,

равна

числу

лиц

этой

группе

населения

любой

момент

времени

деленному

на

плот

ность

рождений:

100

То

ео

(х)

dx =

1;;

ТО

получится,

если

произвести

аналогичные

расчеты

ДЛЯ

стабильного

населения?

Решение.

N(t)

eRt10

при

= R.

о о

Если

R >

О,

то

ёio

ео.

Если

R <

О,

то

ао

ео.

Если

R =

О,

ТО

мы

возвраща-

емся

стационарному

населению.

Этот

пример

показывает,

что

величины

полной

ожидаемой

продолжительности

жизни

не

могут

быть

получены

непосредственно

из

наблюдений

за

характеристиками

стабильного

населения,

за

исключением

случая

О.

524

Гл.

19.

Математическая

демография

19.5.

Актуарные

приложения

Из-за

изменений

функции

дожития

или

плотности

рождений

условия

стабиль

ности

или

стационарности

населения

реализуются

редко.

Тем

не

менее

эти

модели

оказываются

полезными

при

изучении

различных

схем

финансирования

страхо

вании

жизни

или

системах

пенсионного

обеспечения.

Под

схемой

финансирования

страховании

жизни

мы

понимаем

финансовый

план

расходования

накопления

средств,

необходимых

для

обеспечения

страховых

выплат

или

выплат

аннуитета.

этом

разделе

гл.

мы

отойдем

от

моделей,

изучаемых

главах

по

гл.

16.

Построение

этих

моделей

начиналось

анализа

операций

одним

договором.

данном

разделе

мы

будем

изучать

агрегированные

модели

страхо

вании

жизни.

гл.

будут

рассматриваться

аналогичные

модели

для

пенсионных

систем.

Рассмотренные

модели

особенно

уместны

для

систем

социального

группо

вого

страхования,

обеспечивающих

выплаты

на

случай

смерти

или

выхода

на

пенсию

для

больших

групп

населения.

Пример

19.5.1.

Предположим,

что

имеется

функция

плотности

населения

l(x,

и)

=b(u)s(x),

где

функция

дожития

s(x)

не

зависит

от

предположим,

что

среди

этой

группы

населения

каждое

лицо

старше

лет

застраховано

по

догово

ру

бессрочного

страхования

на

случай

смерти

выплатой

размера

ежегодными

премиями,

выплачиваемыми

возраста

а,

непрерывной

модели!).

Премия,

выпла

чиваемая

каждым

лицом,

зависит

от

интенсивности

начисления

процента

ОТ

функции

дожития

s(x).

Покажем,

что

Р(А.)

[Ю

l(x, t _

х)

dx +{j

{О

l(x,t -

х)

ж-.V(А.)

{ОО

(ОО

l(x,

t -

x)J.L(x)

dx + dt

l(x,

t -

х)

У(.4

)

dx.

(19.5.1)

Решение.

Решен:uе

на

основе

общих

сообра:женuЙ.

Словесная

интерпретация

формулы

(19.5.1):

(интенсивность

поступления

премий

момент

времени

(интенсивность

поступления

инвестиционного

дохода

момент

времени

(интенсивность

страховых

выплат

момент

времени

(интенсивность

изменения

совокупного

резерва

момент

времени

t).

Таким

образом,

формулу

(19.5.1)

можно

интерпретировать

как

уравнение,

описы

вающее

баланс

поступлений

схеме

страхования

жизни,

которую

входят

лица

не

моложе

лет.

Левая

часть

формулы

(19.5.1)

отражает

источники

поступлений,

пр

е

мии

проценты,

правая

часть

их

расходование

на

выплаты

на

случай

смерти

изменение

совокупного

резервного

фонда.

налuтu'Чес?Сое

решенuе.

Начнем

формулы

(8.6.4),

которая

для

данного

случая

принимает вид

(19.5.2)

l)см.

подстрочное

примечание

разд.

6.2. -

Прu.м.

ред.

19.5.

Актуарные

приложения

525

Домножим

эту

формулу

на

l(x, t -

х)

проинтегрируем

от

до

верхней

границы

возраста

живущих.

Эти

операции

дают

[Ю

l(x, t _

х)

d[.-аV("taJ]

1.''''

l(x,t -

Х)I'(х)

x-а

(.4

)

dx +

/.00

l(x,

t -

Х)I'(х)

1'(.4

)

/.00

l(x, t -

х)

dx -

/.00

l(x, t -

х)

V(.4

)

dx.

(19.5.3)

Первый

интеграл

левой

части

формулы

(19.5.3)

вычисляется

интегрированием

по

частям.

Получим

l(x,

t -

х) ._aV(.4,,)I~

[b'(t -

х)а(х)

+l(x, t -

Х)I'(х)]

x-аV(.4а)

dx.

(19.5.4)

Завершая

интегрирование

по

частям,

важно

вспомнить,

что

d d

dx l(x, t -

х)

b(t -

X)S(X)

-b'(t

X)S(X)

- b(t - x)s(x)J.L(x).

Подставляя

(19.5.4)

(19.5.3)

приводя

подобные

члены,

получим

формулу

(19.5.1).

'у

Пример

19.5.2.

Предположим,

что

финансирование

страхования

населения

на

случай

смерти,

описанное

примере

19.5.1,

происходит

на

основе

схемы

нулевыми

резервами, а

не

схемы

бессрочного

страхования

жизни;

иными

словами,

годовой

взнос

на

одного

человека

момент

времени

обозначаемый

через

1r't,

равен

величине

выплат

на одно

лицо

момент

времени

Определим

1r't.

Решение.

Размер

взноса

можно

вычислить

из

соотношения

[Ю

l(x, t -

х)

dx =

[Ю

l(x,t -

х)

Jl(x) dx,

или

];00

l(x, t -

x)J.L(x)

1г

_..:....:::..а

---==--------

t -

(х,

t -

х)

dx .

(19.5.5)

(19.5.7)

Пример

19.5.3.

Предположим,

что

население

стабильно,

вновь

рассмотрим

(а)

пример

19.5.1,

(Ь)

пример

19.5.2.

Решение.

(а)

Начнем

формулы

(19.5.1),

которая

уже

была

выведена

для

более

общей

функции

плотности

населения

l(x,u)

Ь(u)в(х).

Для

этого

примера

l(x,u)

eRub s(x)

уравнение

баланса

расходов

поступлений

имеет

вид

Р(.4

)

/.00

eR(t-х)l.

dx +

/.00

eR(t-х)lх

.-а

(.4

)

/.00

eR(t-х)lх

I'(х)

dx +R

/.00

eR(t-х)lх

x-а

(.4

)

dx.

(19.5.6)

Все

члены

формулы

(19.5.6)

можно

сократить

на

Согласно

интерпретации

фор

мулы

(19.5.6),

полученной

при

решении

примера

19.5.1

на

основе

общих

соображе

ний,

отношение

поступлений

за счет

премий

расходам

за

счет

выплат

составит

Р(Аа)];ОО

e-Rxl

Р(А

)

-=-"'"""=""_

e-RXZхJ.L(х)

dx -

P'(A~)

526

Гл.

19.

Математическая

демография

(19.5.8)

(19.5.9)

Здесь

величина

P'(A~)

рассчитана

при

интенсивности

начисления

процента

Если

R =

О,

т.

е.

если

население

стационарно,

то

уравнение

баланса

расходов

поступлений

(19.5.6)

можно

переписать

виде

P(iI.JT

[О

1• •

-аУ(А

)

la,

отношение

поступлений

за счет

премий

расходам

за

счет

выплат

(19.5.7)

сводится

- - о

величине

Р(Аа)е

(Ь)

случае

стабильного

населения

ежегодный

взнос,

определенный

формулой

(19.5.5),

переписывается

виде

J.oo

lж

р(х)

dx -

'(А-'

)

1г

-Р

t -

оо

е-

Rж

1 dx -

где

правая

часть

не

зависит

от

Если

R =

О,

т.

е.

население

стационарно,

то

'7Гt

l/€a.

Замечание.

Один

аспект

примера

19.5.3

нуждается

специальном

пояснении.

Необходимые

премии для

каждого лица

из

стабильного

населения

возрасте

не

моложе

лет

при

бессрочном

страховании

жизни

при

финансировании

нулевыми

резервами

составляют

соответственно

Р(А

)

P'(A~).

упр.

19.21

показывается,

что

если

интенсивность

смертности

является

возрастающей

функцией,

то

Р(А

)

Р'

(A~)

Р(А

)

P'(A~)

Р(А

P'(A~)

при

< R,

при

=R,

при

Таким

образом,

если

фактор

начисления

процента

меньше

фактора

скорости

роста

населения,

то

премии

при

методе

финансирования

нулевыми

резервами

меньше,

чем

премии

при

методе

финансирования

схеме

бессрочного

страхования

жизни.

Если

фактор

начисления

процента

больше,

чем

фактор

скорости

роста

населения,

то

метод

финансирования

по

бессрочному

страхованию

жизни

дает

меньшие

премии,

чем метод

финансирования

нулевыми

резервами.

Пример

19.5.4.

Дадим

общую

интерпретацию

уравнения

баланса

расходов

поступлений

(19.5.8)

для

стационарного

населения,

которое

имеет

вид

V-

(А-

) d =

Р(Аа)Т

ж-а

Решение.

Вид

этой

формулы

показывает,

что

суммарный

резерв

можно

интер-

претировать

как

разность

между

настоящими

стоимостями

двух

бессрочных

анну

итетов:

lа

I =

(настоящая

стоимость

выплат

на

случай

смерти

форме

непрерыв-

но

выплачиваемого

бессрочного

аннуитета

годовой

выплатой

la)

(настоящая

стоимость

выплат

на

случай

смерти

лиц,

составляющих

население

настоящее

время)

(настоящая

стоимость

выплат

на

случай

смерти

будущих

членов),

19.6.

Динамика

изменения

населения

527

(настоящая

стоимость

премий

форме

непрерывно

выплачиваемого

бессрочного

аннуитета

годовой

выплатой

Р(Аа)Т

)

(настоящая

стоимость

премий,

выплачиваемых

лицами,

составляю

щими

население

настоящее

время)

(настоящая

стоимость

пр

е

мий,

выплачиваемых

будущими

членами).

Ситуация

станет

яснее,

если

учесть

следующее:

ежегодные

премии

размера

Р{.А

)

будут

выплачиваться

будущими

членами,

начиная

возраста

лет.

На

стоящая

стоимость

этих

премий

будет

равна

настоящей

стоимости

соответствую

щих

выплат.

Следовательно,

вторые

компоненты

интерпретации

величин

lа/б

Р(Аа)Та/б при

вычитании

взаимно

уничтожатся

(суммарный

резерв

для

лиц,

составляющих

население

насто

ящее

время)

(настоящая

стоимость

выплат

лицам,

составляющим

население

настоящее

время)

(настоящая

стоимость

премий,

выплачи

ваемых

лицами,

составляющими

население

настоящее

время)

[Ю

lх

х-.

(..4.)

dx.

примерах

19.5.1, 19.5.3

19.5.4

рассматривают

методы

финансирования

стра

хования

жизни,

когда

имеется

страховой

фонд.

этих

примерах

рассматривались

характеристики

таких

фондов

ситуации,

когда

все

лица

старше

лет

из

состава

населения

являются

участниками

схемы,

причем

входят

нее

лет.

Когда

все

имеющие

право

войти

нее

лица

участвуют

страховой

схеме,

причем

момента

достижения

ими

возраста

лет,

мы

будем

говорить,

что

система

достигла

1Соне'Ч

'Ного

состоя'Нuя.

До

этого

момента

суммарный

фонд

изменяется,

увеличиваясь

за

счет

притока

вновь

вступивших

членов.

наших

примерах

для

достижения

фондом

конечного

состояния

потребуется

w -

лет.

19.6.

Динамика

изменения

населения

этом

разделе

мы

возвратимся

рассмотрению

функции

Ь(

t),

плотности

ро

ждений

момент

времени

Мы

хотим

подвести

базу

под

непрерывную

демографи

ческую

модель

разд.

19.3.

Кроме

того,

мы

исследуем

условия,

которые

приводят

стабильному

или

стационарному

населению,

чем

шла

речь

разд.

19.4.

Для

разработки

математической

модели

плотности

рождений

введем

фУ'Н1С'U,u'Ю

и:нтен.сив'Ности

рожденuй

дево'Че1С,

которую

обозначим

через

{3(х,

и).

Тогда

(х,

t -

х)

представляет

число

детей

женского

пола,

рожденных

между

момен

тами

времени

t +

одной

из

женщин

возраста

лет,

которая

родилась

момент

времени

t -

х.

Функция

интенсивности

рождений

является

мгновенным

коэффи

циентом

фертильности,

зависящим

от

возраста

поколения,

для

детей

женского

пола.

Общее

число

детей

женского

пола,

рожденных

между

моментами

времени

t +

это

(t)

[["

1j(X, t -

х),8(х,

t -

х)

dx]

dt.

(19.6.1)

528

Гл.

19.

Математическая

демография

Нижний

индекс

формуле

(19.6.1)

показывает,

что

функция

относится

лицам

женского

пола.

Общее

число

рождений

получается

путем

умножения

на

константу

вида

(общее

число

рождений)j(число

рождений

лиц

женского

пола),

которая

для

большинства

групп

населения

немного

превышает

Если

мы

разделим

равенство

(19.6.1)

на

подставим

него

выражение

для

lf(X, t -

Х)

из

формулы

(19.3.1),

то

увидим,

что

функция

плотности

рождений

лиц

женского

пола

удовлетворяет

интегральному

уравнению

Ь!

(t) =

100

bJ(t -

х)ц(х,

t -

х)/3(х,

t -

х)

dx. (19.6.2)

Интегральное

уравнение

это

утверждение

некотором

соотношении

между

функ

циями,

котором

участвует

интеграл.

Задача

состоит

нахождении

функции

bJ(t)

при

заданных

функциях

Sf(X, t -

х)

f3(x,

t -

х).

Функция

sf(X, t - x)f3(x, t -

х)

на

зывается

фун:к;цuей

u'Jtme'JtcueHocmu

восnроuзводства

ЭlCен.сх;ого

'Н,аселе'Н,uя

ниже,

формуле

(19.6.3),

обозначается

через

ф(Х,

t -

х).

этом

разделе

будет

предполагаться,

что

эта

функция

не

зависит

от

года

рождения

матери.

Иными

словами,

SJ(X,

t - x)f3(x, t -

х)

ф(х).

При

этом

предположении

интегральное

уравнение

(19.6.2)

сводится

виду

bJ(t) =

{""

bJ(t -

х)ф(х)

dx. (19.6.3)

этом

разделе

мы

ограничимся

проверкой

того,

что

bf(t)

(19.6.4)

является

частным

решением

этого

уравнения.

Здесь

положительная

константа,

R -

единственное

вещественное

решение

уравнения

где

Н(Т)

{'"

е-"ф(х)

dx.

Прямая

подстановка

выражения

из

(19.6.4)

формулу

(19.6.3)

дает

Ье

п!

100

beR(t-ж)ф(х)

dx,

и,

разделив

обе

части

уравнения на

одну

ту

же

константу,

получим

1 =

100

е-Rжф(х)

dx =H(R).

Покажем,

как

проверить

утверждение

том,

что

уравнение

Н(Т)

единственное

вещественное

решение.

Можно

заметить,

что

Н'(Т)

-100

хе-rжф(х)

dx <

О;

Н(О)

100

ф(х)

О;

Нm

Н(Т)

О;

T~OO

lim

Н(Т)

00.

T~-OO

(19.6.5)

имеет

19.6.

Динамика

изменения

населения

529

Эти

замечания,

также

тот

факт,

что

Н"(Т)

= f

е-

rх

ф(х)

О,

отражены

на

рис.

19.6.1.

R r

Рис.

19.6.1.

Типичная

функция

Н(Т)

формула

(19.6.5)

Из

рис.

19.6.1

видно,

что

существует

единственное

вещественное

решение

(на

рисунке

оно

изображено

положительным,

но

может

оказаться

отрицательным),

чем

завершается

проверка.

Если

bf(t)

= be

то

lf(X,

t -

х)

beR(t-х)Sf(х)

группа

населения,

состоящая

из

всех

женщин,

является

стабильной

группой

населения.

частном

случае

R =

она

стационарна.

Для

того

чтобы

выяснить,

является

ли

решение

положительным,

равным

нулю

или

отрицательным,

рассмотрим

число

Н(О)

ф(х)

dx.

Рисунок

19.6.1

позволяет

сделать

следующие

выводы:

•

если

> 1,

то

число

положительно

рассматриваемая

группа

населения

является

стабильной

возрастающей;

•

если

О,

то

R =

рассматриваемая

группа

населения

является

стацио

нарной;

•

если

< 1,

то

число

отрицательно

рассматриваемая

группа

населения

является

стабильной

убывающей.

Поскольку

(О)

можно

интерпретировать

как

число

детей

женского

пола,

ро

жденных

одной

женщиной,

эта

величина

называется

'Н,етто-коэффuцuе'Н,том

вос

nроuзводства

:JICе'Н,С7Сого

'Н,аселе'Н,uя.

Параметр

называется

вн.утрен:нuм

темпом

роста

'Н,аселе'Н,uя.

Замечание.

Ни

одно

население

на

самом

деле

не

является

стабильным,

хотя

на

основании

материала

этого

раздела

могло

бы

сложиться

противоположное

мне

ние.

Ряд

предположений,

принятых

наших

моделях,

не

соответствуют

реальной

практике.

Наша

основная

модель,

заданная

уравнением

(19.6.2),

строится

предпо

ложении,

что

функция

дожития

функция

интенсивности

рождений

не

меняются

во

времени.

Переходя

формуле

(19.6.3),

мы

ввели

еще

одно

ограничение,

предпо

ложив,

что

функция

интенсивности

воспроизводства

женского

населения

зависит

от

возраста,

но

не

от года

рождения

матери.

Демографическая

статистика,

однако,

демонстрирует,

что

функция

дожития

функция

интенсивности

рождений

суще

ственно

непостоянны

по

времени.

530

Гл.

19.

Математическая

демография

Кроме

того,

при

решении

интегрального

уравнения

(19.6.3)

мы

получили

лишь

вещественное

решение

уравнения

(Т)

= 1.

Но

дополнение

этому

единствен

ному

вещественному

решению

можно

найти

бесконечное

число

комплексных

реше

ний

этого

уравнения.

Эти

дополнительные

решения

дают

общее

решение

уравнения

(19.6.3)

вида

cjby)

(t),

где

каждая

функция

ьУ)

(t)

связана

некоторым

решени

ем

уравнения

(Т)

= 1.

Из-за

этих

комплексных

решений,

которые

распадаются

на

сопряженные

пары,

функции

плотности

рождений

может

возникать

затухающая

волновая

структура.

Математическая

демография

это

набор

красивых

математических

утвержде

ний.

Однако

остается

много

очень

важных

статистических

проблем

оценивания

таких

ключевых

составляющих,

как

функция

дожития

функция

интенсивности

рождений.

На

практике

наблюдается

изменение

этих

функций

во

времени,

отража

ющее

динамичную

природу

человеческого

общества.

Как

во

всех

моделях

природных

явлений,

математические

модели

демографи

ческих

процессов

охватывают

лишь

малую

часть

движущих

сил,

которые

форми

руют

распределение

реальных

групп

населения

по

размеру

возрасту.

Если

даже

некоторый

момент

времени

модель

стабильного

населения

служит

удовлетвори

тельным

приближением,

она

не

может

быть

таковой

течение

длительного

периода

времени.

Константа

не

может

быть

больше

нуля

течение

длительного

перио

да

времени

ни на

какой

планете

конечным

населением.

Точно

так

же,

если

вели

чина

отрицательна

течение

очень

длительного

периода

времени,

то

стабильное

население

обречено

на

вымирание.

19.7.

Замечания

литература

Основы

математической

демографии

закладывались,

частности,

Лоткой,

кото

рый

решил

ряд

вопросов

области

страхования

жизни.

Основная

теория

изложена

книге

Кейфица

[Keyfitz 1968),

приложения

другой

его

книге

[Keyfitz 1977].

Кейфиц

Бикман

[Keyfitz, Beekman 1984)

написали

учебник,

который

должен

по

мочь

студентам

овладеть

основами

демографии

помощью

набора

расположенных

по степени

трудности

упражнений.

Диаграммы

Лексиса

называются

так

честь

их

изобретателя

Вильгельма

Лексиса

(1837-1914),

немецкого

статистика,

демографа

экономиста.

Чарльз

Троубридж

[Trowbridge

С.

1952,

1955)

содействовал

ис

пользованию

моделей

стационарного

населения

изучении

характеристик

методов

финансирования

пенеионных

схем

систем

страхования

жизни.

Упражнения

разделу

19.2

19.1.

Используя

диаграмму

Лексиса

на

рис.

19.2.1,

подсчитайте

(а)

средний

возраст

работников

на

момент

времени

-25,

(Ь)

общее

число

работников,

которые

достигли

возраста

лет,

(с)

общее

число

работников,

которые

достигли

или

достигнут

возраста

лет,

из

числа

тех,

кто

уже

работал

на

момент

времени

-25.

разделу

19.3

19.2.

Пусть

Ь(и)

= 100[1 +cos{1ru/200)],

s{x,

и)

= cos{1rx/200),

-00

00,

100.