Бауэрс Н., Гербер Х., Джанс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика

Подождите немного. Документ загружается.

18.2.

Более

общие

статусы

491

существует

до

тех

пор,

пока по

крайней

мере

из

лиц

живы,

теряется

по

сле

(т

- k +

l)-й

смерти

рассматриваемой

группе.

Это

статус

дожития

смысле

определения

из

разд.

9.3.

Ранее

определенный

статус

дожития

всех

лиц

из

груп

пы

статус

дожития

последнего

лица

группе

являются

соответственно

статусом

т-дожития

статусом

1-дожития.

Когда

мы

будем

упоминать

какой-либо

из

этих

статусов,

мы

будем

пользоваться

специальными

обозначениями

для

этого

статуса,

не

общим

обозначением

для

статуса

k-дожития.

Продолжительность

предстоящего

периода

сохранения

статуса

k-дожития

равна

k-й

по

величине

(считая

порядке

убывания)

продолжительности

предстоящей

жизни

Т(Х1),

Т(Х2),""

Т(х

Как

продолжительность

предстоящей

жизни

гл.

продолжительность

предстоя

щего

периода

сохранения

статуса

k-дожития

это

длина

периода

существования

этого

статуса,

который

имеет

фиксированный

начальный

случайный

конечный

момент.

Распределение

вероятностей

функции

из

таблицы

смертности

гл.

при

менимы

для

продолжительности

предстоящего

периода

сохранения

этого

статуса.

Нужно

только

заменить

индексе

на

Аннуитеты

страховые

выплаты

определяются

терминах

продолжительности

предстоящего

периода

сохранения

статуса

k-дожития

точно

так же,

как

они

опреде

лялись

гл.

для лица

(х).

Для

непрерывного

аннуитета

выплатами

размера

год

до

тех

пор,

пока

по

крайней

мере

из

лиц

живы,

силу

формулы

(5.2.4)

актуарная

настоящая

стоимость

есть

(18.2.1)

Актуарная

настоящая

стоимость

страховой

выплаты

размера

по

договору

страхо

вания

на

случай

(т

- k +

l)-й

смерти

группе

из

лиц

задается

формулой

(4.2.6),

Т.е.

AXIX2"':~

100

V',

...

I-'XI

2"':_

(t) dt. (18.2.2)

Для

ана..il.иза

вычисления

вероятностей

актуарных

настоящих

стоимостей

этих

выплат

(и

других

комбинаций

выплат)

мы

определим

новый

тип

статуса.

Для

лиц

(Х1),

(Х2)"",

(х

)

статус

[k]-отсро'Че,,'Ного

дОЭICumuя

существует,

пока

живы

точности

из

лиц,

т.

е.

он

возникает

после

(т

k)-й

смерти

сохраняется

до

тех

пор,

пока

не

произойдет

смерть.

Мы

будем

обозначать

этот

статус

через

Для

k =

статус

[т]-отсроченного

дожития

совпадает

со

статусом

т-дожития.

Для

k =

статус

[О]-отсроченного

дожития

существует

вечно

после

т-й

смерти.

Статус

не

является

статусом

дожития

смысле

гл.

Например,

для

k <

величина

tPXIX2"'[:~'

которая

является

вероятностью

того,

что

момент

времени

живы

точности

из

ЛИЦ,

не

равна

момент

времени

t =

И,

таким

образом,

не

удовле-

492

Гл.

18.

Развитие

теории

для

нескольких

лиц

(18.2.3)

творяет

требованиям,

предъявляемым

функции

дожития,

заданной

в табл.

3.2.1.

Далее,

tPX1X2'''~~

стремится

при

-t

00,

что

также

грубо

нарушает

эти

требова

ния.

Кроме

того,

для

статуса

[k]-отсроченного

дожития

продолжительность

периода

его

существования

продолжительность

периода

до

его

потери

не

равны.

Это

озна

чает,

что

нужно

аккуратно

определить

выплаты

форме

аннуитета

для

этого

нового

статуса.

По

определению

аннуитет

актуарной

настоящей

стоимостью

aX1X2"'~~

вы

плачивается

течение

предстоящего

периода

сохранения

статуса

[k]-отсроченного

дожития;

следовательно,

это

отсроченный

аннуитет

со

случайным

периодом

от

срочки.

Поскольку

момент

потери

статуса

[k]-отсроченного

дожития

совпадает

мо

ментом

потери

статуса

k-дожития,

страховые

выплаты,

осуществляемые

при

потере

первого

из

этих

статусов,

являются

частным

случаем

выплат

при

потере

второго.

Пример

18.2.1.

Аннуитет

выплачивается

непрерывно

до

тех

пор,

пока

живо

хотя

бы

одно

из

лиц

(w),

(х),

(у)

или

(z).

момент

каждой

смерти

величина

годовой

выплаты

уменьшается

на

50%.

Выразим

актуарную

настоящую

стоимость

такого

аннуитета

терминах

awx~~],

k =

1,2,3,4.

Предположим,

что

начальная

величина

годовой

выплаты

равна

Решение.

Актуарная

настоящая

стоимость

составит

[4]

+ 1 _

[3]

+ 1 _

[2]

+ 1 -

[1)

wxyz

Обсуждение

этого

аннуитета

будет

продолжено

(после

теоремы

18.2.1)

примере

18.2.2.

.,.

гл.

мы

выразили

вероятности

дожития

последнего

лица

группе и

связанные

ними

актуарные

настоящие

стоимости

терминах

соответствующих

величин

для

статусов

дожития

отдельных

лиц

дожития

всех

лиц

из

группы.

Используем

при

веденную

ниже

теорему

для

получения

тех

же

результатов

для

статуса

k-дожития.

Более

общая

формулировка

этой

теоремы

для

произвольных

событий,

также

ее

доказательство

приведены

приложении

этой

главе.

Основные

символы

опера

ции

исчисления

конечных

разностей,

используемые

теореме

18.2.1,

приведены

приложении

Теорема

18.2.1.

Пусть

где

суммирование

проводится

по

всем

комбинацuям

по

из

лиц.

Тогда

для

nро

UЗ80ЛЬ'Н'ЫХ

'Чисел

Со,

С1

.•.

"с

[з]

L...J

tX1X2

...

з=О

j=l

Теорема

18.2.1

применима

для

лиц

зависимыми случайными

величинами

про

должительности

предстоящей

жизни.

Тем

не

менее

большинстве

приложений

мы

будем

предполагать

взаимную

независимость

продолжительностей

предстоящей

жиз

ни

вычислять

члены

суммы

tDj

как

произведения

вероятностей

дожития

отдель

ных

лиц.

18.2.

Более

общие

статусы

493

(18.2.4)

Проиллюстрируем

формулу

(18.2.3)

на

таком

примере:

tP;~]

С2

tP;~]

= (Aco)(tPx +tPy) + A2eo{tPxy)

(tPx +tPy) +

(С2

- 2Cl)tPxy.

Пример

18.2.2.

Выразим

актуарную

настоящую

стоимость

аннуитета,

описан

ного

при

мере

18.2.1,

терминах

актуарных настоящих

стоимостей

аннуитетов,

сопряженных

со

статусами

дожития

отдельных

лиц

всех

лиц

из

группы.

Решение.

Искомая

актуарная

настоящая

стоимость

представляет

собой

{ОО

(1)4-

]

tРwжШ

dt.

Коэффициенты

их

разности

даны

ниже.

с'

дс'

д2

д4

Сj

J J J

1/8

1/8 1/8

1/8

1/4 1/4

1/4

1/2

4 1

Таким

образом,

указанный

интеграл

равен

{ОО

1 1

tDl

+ g

tDз

dt =

g(a

ах

ау

)

g{a

WXY

wxz

wyz

+ a

xyz

Исследовать

адекватность

таких

представлений

можно,

интерпретируя

последнее

выражение

терминах

набора

аннуитетов,

для

которых

при

любом

исходе

сумма

их

выплат

равна

выплате

исходного

аннуитета.

Например,

этом

частном

случае

первоначальный

аннуитет

начинается

годовой

выплаты

размера

то

время

как

последнее

выражение

соответствует

набору

из

четырех

аннуитетов,

сопряженных

дожитием

отдельных

лиц,

четырех

аннуитетов,

сопряженных

дожитием

всех

лиц

группе

из

трех

лиц,

каждый

из

них

имеет

годовую

выплату

размера

1/8.

пе

риод

между

моментами

первой

второй

смерти

интенсивность

выплат

исходного

аннуитета

составит

1/2,

то

время

как

три

аннуитета,

сопряженные

со

статуса

ми

дожития

отдельных

лиц,

один,

сопряженный

со

статусом

дожития

всех

трех

лиц,

которые

еще

это

время

выплачиваются,

имеют

интенсивность

выплат

1/8.

Выплаты

другие

периоды

времени

можно

сравнивать

таким

же

образом.

...

Теперь

найдем

выражение

для

tPXIX2"'~~

как

частный

случай

теоремы

18.2.1.

Следствие

18.2.1.

(')

[k]

_ _

j-k

J .

tPXIX2

...

Xтn

~(1)

tDJ'

J;::::;k

Доказательство.

теореме

18.2.1

положим

= 1

ДЛЯ

j i-

Для

этих

величин

мы

получаем

D.Jeo

(Е

-l)jeo

(-l)j-k

(О'

j = k,

...

,т.

•

При

мер

18.2.3.

Выразим

актуарную

настоящую

стоимость

непрерывного

ан

нуитета

годовыми

выплатами

размера

осуществляемыми

при

условии,

что

ровно

три

из

пяти

лиц

живы,

терминах

актуарных настоящих

стоимостей

аннуитетов,

сопряженных

дожитием

всех

лиц

группе.

494

Гл.

18.

Развитие

теории

ДЛЯ

нескольких

лиц

Решение.

Используя

формулу

(5.2.4),

затем

(18.2.4),

получим

аХ1Х2Х3Ж<~;

100

vttРХIХ2Х3Ж<~;

dt =

100

vt(tDз

4 +10tDs)dt

аХIХ2Х3

аХIХ2Х4

других

актуарных

настоящих

стоимостей

аннуитетов,

сопряженных

дожитием

трех

лиц

4(аХIХ2Х3Х4

аХIХ2ХЗХ5

другие

актуарные

настоящие

стоимости

аннуитетов,

сопряженных

дожитием

четырех

лиц)

10аХIХ2Х3Х4Ж5'

Из

соотношения

tPXIX2

'X:

tРЖIХ2

...

~j2

j=h

получим

такое

следствие

теоремы

18.2.1:

Следствие

18.2.2.

ДЛЯ

nроuзвол:ы-t'btх

'Чuсел

•.•

m m

tРХIЖ2"'Х~

= d

tDj.

з=О

з=1

Доказательство.

Используя

формулу

(18.2.5),

мы

можем

получить

Меняя

порядок

суммирования,

можно

записать

(18.2.5)

(18.2.6)

•

это

выражение,

если

положить

2:t=o

для

j =

О,

...

т,

записывается

виде

(18.2.3).

Для

таких

величин

мы

имеем

со

= d

6.С]

= dj+l

для

j =

0,1,.,.,

- 1

и,

таким

образом,

6.ЗСо

(6.ео)

для

j = 1,2,

...

,m.

Тогда

из

правой

части

формулы

(18.2.3)

получаем

L d

tPxlX2

...

1rn

+ L

tDj

з=О

з=1

С помощью

следствия

18.2.1

можно

выразить

функцию

дожития

для

статуса

k-дожития

терминах

функций

дожития

для

статусов

дожития

отдельных

лиц

всех

лиц

из

группы.

Следствие

18.2.3.

m [

1)]

'-k

J-

tPxIX2

,Xrn

(-1)3 k _ 1

tDj.

(18.2.7)

Доказательство.

следствии

18.2.1

положим

для

j f; k.

Для

этих

величин

имеем

(Е

-1)j-

(-I)j-k

a=~),

j =k, k +1,

...

т.

•

18.2.

Более

общие

статусы

495

(18.2.8)

Из

формулы

(18.2.7)

для

функции

дожития

статуса

k-дожития

путем

диффе

ренцирования

можно

получить

аналогичное

выражение

для

функции

плотности

рас

пределения

продолжительности

предстоящего

периода

сохранения

этого

статуса:

_ d k _

j _ k

fT(t} - dt

- tPXIX2...X

J -

f;;z(-1)

k _ 1

(-tDj)'

Используя

формулы

(18.2.7)

или

(18.2.8),

можно

определить

актуарную

настоящую

стоимость

другие

характеристики

распределения

вероятностей

для

настоящей

сто

имости

набора

выплат,

которые

зависят

от

Т.

При

этом

мы

воспользуемся

тем,

что

-tDj

является

суммой

функций

плотности

распределений

продолжительностей

предстоящего

периода

сохранения

(7)

статусов

j-дожития для

лиц.

При

мер

18.2.4.

Обозначим

через

продолжительность

предстоящего

периода

сохранения

статуса

дожития

последнего

из

трех

лиц.

Выразим

терминах

статусов,

связанных

дожитием

отдельных

лиц

всех

лиц

из

группы

(а)

функцию

дожития,

(Ь)

E[v

] ,

(с)

E[anJ.

Решение.

(а)

Согласно

формуле

(18.2.7),

'"'"

'-1

з-

tРХlХ2хз=~(-1})

j=t

l+(-1)t

2+t

з,

)=1

где

tDl

tPxl

+tPx2 +

tРхз,

2 = tPxIX2 +tPxIX3 +tPX2X3'

tDз

2X3'

(Ь)

Обозначим

E[vTJ

через

АХIХ2Х3

и используем

формулу

(18.2.8)

для

того,

чтобы

получить

равенство

.А.,.,

••

[Ю

(

-l)(tВ~

,B~

,B~)

Ах!

Х2

хз

(А

Х1Х2

.А

!Х3

.А

х2хз

)

.АХIХ2Х3·

(с)

Заменяя

на

аТ1

п.

(Ь)

обозначая

Е[аТ)]

через

аХIХ2Х3'

получим

Для

любого

статуса

дожития

дaТl

= 1,

так

что,

используя

равенство

АХIХ2Х3

даХIХ2Х3

= 1,

можно

вычислять

каждое

из

этих

двух

математических

ожиданий,

вычислив

другое.

•

Дифференцируя

обе

части

формулы

(18.2.6),

можно

распространить

это

соот

ношение

на

соответствующие

функции

плотности.

Эти

рассуждения

можно

исполь

зовать

для

договоров

страхования,

по

которым

некоторая

страховая

сумма

выпла

чивается

случае

каждой

смерти

группе

из

лиц.

Пример

18.2.5.

Рассмотрим

договор

страхования

для

лиц

(х),

(у)

(z)

выплатой

размера

случае

первой

смерти,

размера

случае

второй

смерти,

размера

случае третьей

смерти.

Выразим

актуарную

настоящую

стоимость

страховых

выплат

по

этому

договору

терминах

актуарных

настоящих

стоимостей

страховых

выплат

по

договорам

выплатами

размера

связанным

со

статусами

дожития

отдельных

лиц

всех

лиц

из

группы.

496

Гл.

18.

Развитие

теории

ДЛЯ

нескольких

лиц

Решение.

Пусть

/j(t)

функция

плотности

продолжительности

предстоящего

периода

сохранения

статуса

j-дожития.

Актуарная

настоящая

стоимость

это

[1fз(t)

2blt)

3Л(t)]

dt.

обозначениях

формулы

(18.2.6)

имеем:

d·

Ad·

J J

-4

-1

Следовательно,

актуарная

настоящая

стоимость

равна

[Ю

(

-1)(3

t D; - tD

;)

dt = 3

(Аж

Ау

+ A

) -

(А

жу

Ажz

+ A

18.3.

Сложные

статусы

предыдущем

разделе

мы

определили

некоторые

статусы

для

нескольких

лиц

через

статус

k-дожития.

Путем

комбинирования

статусов

можно

определить

другие

статусы. Говорят,

что

существует

с.лож'Н,'Ы,й

статус,

если

этот

статус

основывается

на

комбинации

статусов,

по

крайней

мере

один

ИЗ

которых

сам

является

статусом,

связанным

более,

чем

одним

лицом.

примере

18.3.1

рассмотрим

некоторые

их

варианты.

Пример

18.3.1.

Опишем

условия

для

выплат

по

аннуитетам

по

договорам

страхования,

соответствующим

следующим

символам

актуарных настоящих

стои

мостей:

(а)

Q,wx:yz,

(Ь)

Q,wx:(yz)

(с)

Q,(X:ffi):(YZ:ffiI) ' (d) AW""Z:yz ,

(е)

A(wx):(yz)'

(г)

A(wx):y:z'

Решение.

(а)

Аннуитет

выплачивается

непрерывно

интенсивностью

год,

пока

живо

по

крайней

мере одно

из

лиц

(w),

(х)

и по

крайней

мере

одно

из

лиц

(у),

(z).

Таким

образом,

аннуитет

выплачивается,

пока

живы

три

или

четыре

лица

пока

живы

два,

если

одно

из

них

из

пары

(w),

(х),

другое

из

пары

(у),

(z).

(Ь)

Аннуитет

выплачивается

непрерывно

интенсивностью

год,

пока

живы

по

крайней

мере

двое

из

четырех

лиц,

также

пока

жив

лишь

один

человек

при

условии,

ЧТО

доживший

кто-либо

из

пары

(w),

(х).

(

с)

Аннуитет

выплачивается

непрерывно

интенсивностью

год,

пока

либо

лицо

(х)

живо

не

истек

n-летний

период,

либо

оба

лица

(х)

(z)

живы

не

истек

т-летний

период.

(d)

Страховая

выплата

размера

осуществляется

момент

первой

смерти,

если

первым

умерло

одно

из

лиц

(у),

(z),

момент

второй

смерти

противном

случае.

(е)

Страховая

сумма

размера

выплачивается

момент

второй

смерти,

если

одна

из

этих

двух

смертей

произошла

группе

(w),

(х),

другая

группе

(у),

(z).

Если

это

условие

не

выполнено,

то

выплата

производится

момент

третьей

смерти.

(г)

Страховая

сумма

размера

выплачивается

лишь

после

смерти

обоих

лиц

(у)

(z)

одного

из

лиц

(w)

или

(х).

Другими

словами,

выплата

производится

18.3.

Сложные

статусы

497

момент

третьей

смерти,

если

живых

остается

одно

из

лиц

(w),

(ж).

противном

случае

она

производится

момент

четвертой

смерти.

реальных

приложениях

для

получения

числовых

значений

какой-либо

из

этих

актуарных настоящих

стоимостей

их,

как

правило,

сначала

выражают

терминах

актуарных

настоящих

стоимостей,

отвечающих

статусам

дожития

отдельных

лиц

всех

лиц

группе.

Соотношения

между

Т(жу),

Т(х) и

Т(у),

также

между

К(ху),

К(х)

К(у)

из

разд.

9.4

имеют

место

для

общих

статусов

дожития

(и),

(v).

Например,

(18.3.1)

Используя

пункты

примера

18.3.1,

проиллюстрируем

процесс

использования

тожде

ства

(18.3.1)

аналогичных

тождеств.

Во-первых,

рассмотрим

п.

(е):

A(wx):(yz)

wxyz

Здесь

(и)

(wж),

(v) =(yz).

Для

того

чтобы

записать

A(wx):(yz)

виде

wxyz

мы

использовали

соотношение

rnin{min[T(w),

Т(х)],

min[T(y),

T(z)]}

= min[T(w),

Т(х),

Т(у),

T(z)].

Для

п.

(с)

примера

18.3.1

имеем

o'(:z::nl)(yz:ffil) =

о'х:nl

o'yz:ml

o'xyz:nl,

где

последнее

слагаемое

получено

помощью

соотношения

min[T(x),

Т(у),

T(z),

Т(т),

T(ffil)] =

miп[Т(ж),

Т(у),

T(z),

Т(т)]

(18.3.2)

для

случая

т.

Выражения

из

пп.

(а),

(Ь),

(d)

(f)

при

мера

18.3.1

требуют

использования

других

соотношений.

Для

п.

(

а)

используем

(18.3.3)

где

= min[T(wx),T(yz)] =min{max[T(w),

Т(ж)],

mах[Т(у),

T(z)]}.

Для

этой

случайной

величины

простой

ответ

типа

формулы

(18.3.2)

не

подходит.

Предположим

сначала,

что

С.в.

Т(wж)

T(yz)

независимы,

рассмотрим

функцию

дожития

s(t)

для

С.в.

Т.

Тогда

s(t)

Р[Т

P{min[T(wx),

T(yz)] >t} =

Р{Т(wж)

>t, T(yz) >

Р{Т(wж)

t}P{T(yz)

tPwx

tPYz

(tPw

tPx

tPw:z:)(tPy

tPz

tPyz)

tPwy

tPwz

tPxy

tPxz

tPwyz

tP:z:y:z:

tPwxy

tPwxz

tPwxyz

(18.3.4)

случае

независимости.

Теперь,

используя

(18.3.4),

получим

аш;;,уz

8(t) dt =

awy+awz+axy+axz

-аwуz-аzУZ-аwху-аwxz+аwхуz'

(18.3.5)

Возвратимся

формуле

(18.3.4)

покажем,

что

аналогичное

соотношение,

зна

чит,

эта

формула,

имеют

место

без

предположения

независимости

случайных

498

Гл.

18.

Развитие

теории

для

нескольких

лиц

величин.

Начнем

утверждения

том,

что

для

всех

возможных

исходов

T(wx:yz)

= T(wy) +T(wz) +

Т(ху)

T(xz)

T(wyz)

T(xyz)

T(wxy)

T(wxz)

T(wxyz).

(18.3.6)

Исходы

могут

быть

объединены

взаимоисключающих

события

зависимости

от

того,

как

величины

T(w),

Т(х),

Т(у)

T(z)

упорядочены

по

размеру.

Посколь

ку

данное

утверждение

симметрично

относительно

их,

также

относительно

необходимо

проверить

лишь

шесть

различных

исходов.

качестве

примера

рассмотрим

случай

T(w) <

Т(х)

Т(у)

T(z),

для

которого

левая

часть

равен

ства

(18.3.6),

T(wx:yz),

представляет

собой

Т(х),

правая

часть

последовательным

рассмотрением

каждого

слагаемого

сводится

T(w) +T(w) +

Т(х)

- T(w) -

Т(х)

- T(w) -

Т(ш)

+T(w) =

Т(х),

что

требовалось

доказать.

Другие

случаи

проверяются

таким

же

образом.

Выражение

для

аннуитетов,

аналогичное

(18.3.6),

можно

доказать

помощью

таких

же

соображений.

Следовательно,

(wx:yz)1

(wy)1

aT(wz)1

aT(xy)1

aT(xz)1

aT(wyz)1

(xyz)l-

aT(wxY)1

aT(wxz)1

llT(wxyz)l'

(18.3.7)

Находя

математическое

ожидание

обеих

частей

этого

выражения,

получим

(18.3.5).

Подчеркнем

два

аспекта

предположения

независимости

для

этого

случая.

Оно

не

использовалось

для

доказательства

формулы

(18.3.7)

не

требуется

при

вычис

лении

математических

ожиданий

для

получения

формул

(18.3.5)

из

(18.3.7).

Однако

для

того

чтобы

получить

актуарные

функции

для

статуса

дожития

всех

лиц

из

груп

пы

из

таблиц

смертности

для

отдельных

лиц,

мы

из

соображений

удобства

вновь

предполагаем,

что

продолжительности

предстоящей

жизни

отдельных

лиц

незави

симы.

18.4.

Вероятности

страховые

выплаты,

зависящие

от

очередности

смертей

этом

разделе

мы

распространим

рассматривавшиеся

разд.

9.9

актуарные

функции

для

выплат,

зависящих

от

очередности

смертей,

на

случай

более

двух

лиц.

Мы

начнем

интегрального

выражения

для

искомой

вероятности

или

актуарной

настоящей

стоимости,

которые

затем

можно

переписать

терминах

вероятностей

или

актуарных

настоящих

стоимостей,

относящихся

первой

смерти.

Тогда

для

завершения

вычислений

можно

будет

использовать

некоторые

методы

разд.

9.10.

ряде

случаев

можно

использовать

методы

численного

интегрирования.

Для

того

чтобы

получить

интегральное

выражение

для

вероятности,

используем

формулу

Р(А)

P(AIT=t)fT(t)dt,

(18.4.1)

где

обычно

обозначает

момент

смерти

отдельного

лица.

Пример

18.4.1.

Выразим

nqwx;z

терминах

вероятностей,

зависящих

от

пер

вой

смерти.

18.4.

Вероятности

страховые

выплаты,

зависящие

от

очередности

смертей

499

Решение.

Здесь

событие

состоит

том,

что

лицо

(у)

умрет

вторым

из

лиц

(ш),

(х),

(у)

(z)

течение

лет.

Поскольку

определяется

через

Т(у),

используем

Т(у)

качестве

формуле

(18.4.1)

для

получения

выражения

nqwx;z = l

Р(А

Т(у)

= t)tPy

J.ly(t)

dt.

Пределы

интегрирования

определяются

соотношениями

fT(y)

(t) =

О,

t <

О,

P(AIT(y)=t]

=0,

t>n.

Теперь

лицо

(у)

умрет

вторым

тогда

только

тогда,

когда

этот

момент

времени

живы

точности

двое

из

трех

лиц

(w),

(х)

(z).

Если

предположить,

что

С.в.

Т(у)

не

зависит

от

С.в.

Т(ш),

Т(х) и

T(z),

то

P(AIT(y)

tPw~~'

t <

n qwz;z =l

tPw~~

tPy

J.ly

(t) dt =l

2 - 3

tDз)

tPy

J.ly

(t) dt

1 1 1 3 1

nqwxy

nqwyz

nqxyz

nqwxyz·

(Второй

интеграл

возникает

при

применении

теоремы

18.2.1.)

Сходство

окончательного

выражения

из

примера

18.4.1

предыдущим

резуль

татом,

где

не

требовалось

выполнения

предположения

независимости,

наводит

на

мысль,

что

это

предположение

не

является

необходимым.

Другие

способы

рассу

ждений,

применяемые

упр.

18.18

18.38,

показывают,

что

это

действительно

так.

Договоры

страхования,

учитывающие

очередность

смертей,

можно

анализиро

вать

помощью

той

же

процедуры,

основываясь

на

формуле

E[ZJ

E[ZI

Т=

t]jT(t) dt.

(18.4.2)

Пример

18.4.2.

Выразим

величину

;

терминах

актуарных

настоящих

стоимостей

страховых

выплат,

зависящих

только

от

первой

смерти.

Решение.

Пусть

Z -

случайная

величина,

представляющая

настоящую

сто

имость

страховых

выплат

на

момент

заключения

договора.

Поскольку

страховые

выплаты

осуществляются

случае

смерти

лица

(у),

мы

выберем

Т(у)

качестве

условном

математическом

ожидании

(18.4.2):

; =

E[Z]

[О

E[ZI

Т(у)

=t]

tPy

J.ly(t)

dt.

Если

момент

смерти

лица

(у)

живо

ровно

одно

лицо

из

двух,

(х)

(w),

то

осуществляется

выплата

размера

противном

случае

не

производится

никаких

выплат.

Таким

образом,

E[ZJ

Т(у)

vttPl~

500

Гл.

18.

Развитие

теории

ДЛЯ

нескольких

лиц

учетом

того,

что

размер

выплаты

равен

дисперсию

можно

найти

по

методу

моментов.

18.5.

Сложные

актуарные

функции,

зависящие

от

очередности

смертей

Актуарные

функции

этом

разделе

отличаются

от

рассматривавшихея

пре

дыдущем

разделе

тем,

что

установлена

очередность

смертей

до

той

смерти,

после

которой

производятся

выплаты

или

которой

определяется

страховой

случай.

Эта

очередность

обозначается

числами~

стоящими

ниже

символов

соответствующих

лиц.

Рассмотрим

два

таких

символа

укажем

возможные

различия

обозначениях.

Оба

символа

nqx~z

nqxy~

относятся

случаям,

для

которых

Т(х)

Т(у)

1 1

T(z).

Они

отличаются~

OДHaKO~

тем,

что

первом

случае

вторая смерть

должна

произойти

до

момента

времени

то

время

как

во

втором

случае

моменту

времени

должна

предшествовать

третья

смерть.

Сложные

актуарные

функции,

учитывающие

очередность

смертей,

не

всегда

можно

выразить

исключительно

терминах функций,

зависящих

лишь

от

первой

смерти.

другой

CTOPOHЫ~

такую

функцию

всегда

можно

выразить

как

простой

или

кратный

интеграл

от

функции

плотности

совместного

распределения

случайных

ве

личин

продолжительности

предстоящей

жизни

соответствующих

лиц.

Пример

этой

общей

процедуры

(пример

18.5.1)

сложнее~

чем

другие

примеры

этого раздела.

Пример

18.5.1.

Выразим

вероятность

того,

что

лица

(ш)

(х),

(у)

(z)

умрут

указанной

последовательности

при

условии

что

между

смертью

лица

(ш)

смертью

лица

(z)

пройдет

менее

лет~

между

смертью

лица

(х)

смертью

лица

(у)

менее

лет.

Решение.

Сначала

определим

следующее

событие

А,

чтобы

использовать

мно

гомерную

версию

равенства

(18.4.1):

{Т(ш)

Т(х)

Т(у)

T(z)~

T(z)

Т(ш)

<10,

Т(у)

Т(х)

<5}.

(18.5.1)

Мы

предпочитаем

рассматривать

условные

вероятности

условиями

на

с.в.

Т(

ш)

Т(х)

потому~

что

эти

случайные

величины

обе

включаются

как

верхние~

так

нижние

пределы

для

С.в.

Т(у)

T(z).

Таким

образом~

Р(А)

100100

Р(А

I[T(w) =

т]

[Т(х)

s])9т(w),т(ж)

(т,

s) ds dr, (18.5.2)

где

9T(w),T(x)(r,

В)

функция

плотности

совместного

распределения

С.в.

T(w)

Т(х).

Далее~

величина

P[AI(T(w)=r)

(Т(х)=в)]

равна

Р(А*),

где

А*

{r<s<T(y)<T(z)<r+l0,

Т(у)<в+5},

эта

вероятность

рассчитывается

помощью

условного

совместного

распределения

С.В.

Т(у)

T(z)

при

условии

Т(х)

= s

Т(ш)

т.

Таким

образом~

вероятность

Р(А*)

определена

на

выборочном

пространстве

с.в.

Т(у)

T(z).

Два

случая

показаны

на

рис.

18.5.1.