Бауэрс Н., Гербер Х., Джанс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика
Подождите немного. Документ загружается.
16.9.
Изменяющиеся
премии или
страховые
выплаты
461
(16.8.1)
•
договорами
с
высокими
премиями
считаются
договоры,
для
которых
j3ППП
>
19
Р
х+1,
где
n
Р
х+1
-
нетто-премия
второго
и
последующих
лет,
рассчитанная
по
методу
ППП
при
20-летнем
периоде
выплаты
премий;
•
минимальные
резервы
для
договоров
с
низкими
премиями
определяются
по
методу
ППП;
•
для
договоров
с
высокими
премиями
используется
метод
расчета резервов
спе
циальных
уполномоченных
(метод
СУ).
При
этом
период
выплаты
премий
является
периодом
модификации
и
дСУ СУ
_
Р
А
1
Р
-
а
-
19
х+l
-
x:Il'
При
меняя
формулу
(16.6.3),
получаем
дСУ
_
Р
19
Р
Х+l
-
A~:ll
fJ - +
..
,
ax:hl
где
h -
продолжительность
периода
выплаты
премиЙ.
Схема
принятия
решений
в
случае
стандартного
метода
модифицированного
подготовительного
периода,
который
иллюстрируется
стандартным
методом
расче
та
резервов
специальных
уполномоченных,
показана
на
рис.
16.8.1.
ппп
Рис.
16.8.1.
Схема
принятия
решений
в
случае
стандартного
метода
модифицированного
полного
подготовительного
периода
16.9.
Изменяющиеся
премии
или
страховые
выплаты
В
разд.
16.2
излагается
модель
с
единственной
причиной
выбытия
для
опре
деления
минимальных
денежных
стоимостей
при
произвольных
предположениях
о
размере
расходов
и
моментах
их
наступления.
В
разд.
16.8
представлен
аналогич
ный
подход
для
определения
минимальных
резервов,
указываемых
в
финансовой
отчетности,
которая
предоставляется
органам
страхового
регулирования.
В
обоих
разделах
мы
ограничивались
случаем
постоянных
премий
и
страховых
выплат.
ИН
струкции
регулирующих
органов,
определяющие
минимальные
резервы
и
денежные
стоимости,
обычно
ограничиваются
договорами
с
постоянными
премиями
и
постоян
ными
страховыми
выплатами.
Поскольку
число
вариантов,
которые
могут
возникать
при
изменяющихся
премиях
и
выплатах,
неограниченно,
необходимая
интерпрета
ция
этих
инструкций
оставлена
на
усмотрение
регулирующих
органов
и
профес
сианальных
объединений.
Задача
здесь
-
исходя
из
языка
законов
и
договорной
практики,
разработать
согласованную
с
ними
математическую
модель.
Такого
рода
усилия
предпринимаются
во
многих
актуарных
разработках.
Главным
инструментом
в
распространении
методики
регулирования, вырабо
танной
для
договоров
с
постоянными
выплатами
на
случай
смерти
и
с
постоянными
462
Гл.
16.
Некоторые
аспекты
отчетности
и
регулирования
брутто-премиями,
на
договоры
с
изменяющимися
премиями
и
страховыми
выплата
ми
является
усреднение.
Последовательность
изменяющихся
премий
или
выплат
на
случай
смерти
заменяется
на
последовательность
постоянных
премий
или
выплат,
получаемую
как
их
взвешенное
среднее.
Способы
распространения
методики
регу
лирования
на
непостоянные
премии
или
непостоянные
выплаты
на
случай
смерти
различаются
весами,
используемыми
при
усреднении.
16.9.1.
Определение
резервов
В
разд.
8.2
обсуждался
договор
страхования
общего
вида
в
дискретной
модели.
Мы
используем
этот
договор
для
иллюстрации
рассматриваемой
здесь
проблемы.
Вспомним,
что
при
этом
виде
страхования
выплаты
на
случай
смерти
b
j
+
1
осуще
ствляются
в
конце
(j
+
l)-го
года
действия
договора,
если
смерть
произошла
в
этом
году.
При
условии
дожития
ежегодные
премии
выплачиваются
в
начале
каждого
года
действия договора
в
течение
периода
выплаты
премиЙ.
Брутто-премия
Gj
вы
плачивается
в
момент
j
в
начале
(j
+
l)-го
года
действия
договора.
Для
этого
договора
страхования
приведем
интерпретацию
стандартного
мето
да
оценки
резервов
специальных
уполномоченных
из
статьи
Менге
[Menge 1946].
Мы
приведем
формулы
для
срочного
страхования
на
случай
смерти
и
укажем
соот
ветствующую
модификацию
для
смешанного
страхования.
Эти
правила
непосред
ственно
применимы
к
страховым
договорам
с
фиксированным
размером
страховых
выплат
и
премиЙ.
Договоры,
для которых
выплаты
или
премии привязаны
к
ре
зультатам
инвестирования
или
могут
меняться
по
желанию
страхователя,
требуют
отдельного
рассмотрения.
Первой
задачей
является
определение
критерия
для
применения
метода
ППП.
В
качестве
первого
шага
рассчитаем
эr.;вивалентную
nосто,янную
сумму
второго
и
последующих
лет
(ЭПСП).
ДЛЯ
этого
вида
страхования
мы
имеем
n-2
L b
j
+
2
v
j
+
1
jPx+1
Qx+1+j
j=O
ЭПСП
=
---А----:;-l-----
x+l:n-11
(16.9.1)
(16.9.2)
ЭПСП
для смешанного
страхования
рассчитывается
только
на
основе
выплат
на
случай
смерти
и,
таким
образом,
также
задается
формулой
(16.9.1).
ЭПСП
можно
интерпретировать
как
взвешенное
среднее
страховых
выплат
с
весами
j+1
jPX+l
Qx+1+j
V
А
1
х+1:n-11
Кроме
того,
отношение
средних
нетто-пр
ем ий
второго
и
последующих
лет
к
средним
брутто-премиям
второго
и
последующих
лет
обозначается
через
Тр
и
определяется
формулой
n-2
L b
j
+
2
v
j
+
1
ЗРХ+l
Qx+1+j
з=О
Тр
=
------------
h-2
L G
з+1
V
j
зРх+1
з=О
Интерпретация
Менге
основана на
предположении
о
том,
что
премия,
используемая
для
определения
резерва,
является
постоянной
долей
от
брутто-премии.
Для
смешанного
страхования
в
числитель
выражения
для
т
F
включается
вы
плата
на
дожитие.
16.9.
Изменяющиеся
премии
или
страховые
выплаты
Согласно
интерпретации
Менге,
метод
ППП
применим,
если
т
FG
o
~
ЭПСП
19
Р
Ж+l
.
463
(16.9.3)
(16.9.4)
(16.9.5)
(16.9.6)
Если
это
условие
выполнено,
то
считается,
что
нетто-премии
выражаются
формула
ми
7r0 =
vЬ1qж
И
7Г)
=
rFG
j
,
j =
1,2,
.
..
,h
-1,
где
h -
продолжительность
периода
выплаты
премиЙ.
Модифицированный
резерв
для
k
~
1
задается
формулой
n-k-l
h-k-l
М
d
'"'
'+1
,",'
k
V
о
=
L.-
b
k
+ j +
1
V
J
jРж+k
Qx+k+j
-
TF
L.-
Gk+j
V
J
jPx+k
.
j=O j=O
Для
смешанного
страхования
к
первому
слагаемому
правой
части
формулы
(16.9.4)
добавляется
выплата
на
дожитие.
В
случаях,
когда
неравенство
(16.9.3)
не
выполняется,
компенсация
превышения
расходов
первого
года,
аналогичная
f3
-
0:,
определена
формулой
ЭПСП
19
Р
Ж+l
-
Ь
1
А~:л.
Модифицированное
отношение
средних
нетто-премий
к
средним
брутто-премиям,
обозначаемое
через
Те,
определяется
формулой
n-l
""
+1
1
~
Ь
з
+
1
vJ
jPx
qж+j
+
(ЭПСП
19
Р
Ж+l
-
Ь
1
А
ж
:
л
)
)=0
те
=
.:.....---------------------
h-l
L
GjVjjPx
j=O
Модифицированный
резерв
в
этом
случае
высокой
премии
задан
равенством
n-k-l
h-k-l
М
d
'"'
'+1
,",'
k
V
о
=
L.-
bk+j+l
V
J
jРж+k
Qx+k+j
-
Те
L.-
G
k
+
j
V)
jРж+k
.
з=О
j=O
Для
смешанного
страхования
числитель
выражения
те
в
формуле
(16.9.5)
и
правая
часть
равенства
(16.9.6)
корректируются
путем
включения
выплат
на
дожитие.
Пример
16.9.1.
Рассчитаем
ежегодные
нетто-премии
для
специального
дого
вора
смешанного
страхования
на
срок
30
лет,
заключенного
лицом
(35),
с
помощью
стандартного
метода
оценки
резервов
специальных
уполномоченных.
Выплаты
на
случай
смерти
составляют
150000
для
первых
20
лет и
100000
для
оставшихся
10
лет
с
выплатами
на
дожитие
в
размере
100000.
Постоянные
брутто-премии
состав
ляют
в
течение
первых
10
лет
2500,
а
затем
1250.
Будем
использовать
Иллюстра
тивную
таблицу
смертности
при
i = 0,06.
Решение.
Величина
ЭПСП
основана
на
выплатах
на
случай
смерти
и
вычис
ляется
следующим
образом:
(
2А
1 +
А
1 )
ЭПСП
= 50000 36:2911 36:191 = 130153,30.
А
36
:
291
Отношение
rF
задано
формулой
TF
= 50000
(2А
36
:
291
+
А
з
1
6
:
191
)
=
О
91014604
и
19
Р
З6
=0,0116543.
1250
а
з6
:291
+
а
з6
:91
'
464
Гл.
16.
Некоторые
аспекты
отчетности
и
регулирования
Чтобы
можно
было
применить
метод
ППП,
должно
выполняться
условие
(16.9.3).
Однако,
поскольку
TF
СО
=(0,91014604)(2500) =2275,37 > 1516,85 =
ЭПСП
19
Р
З6,
метод
полного
подготовительного
периода
неприменим.
Компенсация
превышения
расходов
первого
года,
аналогичная
j3
-
а,
задана
формулой
ЭПСП
19
Р
Х+l
-
Ь
1
A;:Il
= 1516,8456 - 284,9395 = 1231,9061,
и
50
000(2А
з6
:
291
+
А
з
1
6
:
I9l
)
+ 1231,9061
Те
=
.. ..
=0,88223578.
1250(
а
з6
:291
+
а
з6
:
9
й
Таким
образом,
нетто-премии
второго
и
последующих
лет
представляют
собой
те
(2500) = 2205,59
ДЛЯ
года
2,3,
, 10,
те(1250)
= 1102,79
для
года
11,12, ,30,
а
нетто-премия
первого
года
равна
Те
(2500) - 1231,9061 = 973,68.
~
Другая
интерпретация
стандартного
метода
расчета
резервов
специальных
упол
номоченных
примепительно
к
договорам
страхования
на
случай
смерти
с
изменя
ющимися
страховыми
выплатами
содержится
в
Актуарном
руководстве
XVH,
при
пятом
Национальной
ассоциацией
специальных
уполномоченных
по
страхованию.
Такие
руководства
в
большинстве
штатов
не
имеют
силы
закона,
но на
них
следует
ориентироваться
при
применении
законов
в
особых
обстоятельствах.
Согласно
этому
руководству,
прежде
всего
нужно
определить
среднее
страховых
выплат
на
случай
смерти
с
2-го
года
по
10-Й.
Обозначим
это
среднее
значение
через
М,
Т.е.
1 8
М
= 9
ЕЬ)+2.
Если
j~
n-2
L b
j
+
2
v
J
+
1
jPx+l Qx+l+j / a
x
+
1
:
h
-
1
1>
м
19
Р
Х+l,
)=0
то
Те
определяется
согласно
формуле
(16.9.5),
где
величина
ЭПСП
заменена
на
М.
Если
выполняется
обратное
неравенство,
то
TF
определяется
согласно
формуле
(16.9.2).
Формулы
резервов
(16.9.4)
и
(16.9.6)
остаются
в
силе.
Целью
этого
руко
водства
является
замена
ЭПСП
на
более
простую
величину
М.
16.9.2.
Денежные
стоимости
Вопросы,
которые
возникают
в
связи
с
выкупными
суммами
в
договорах
с
изме
няющимися
премиями
и
страховыми
выплатами,
аналогичны
рассмотренным
выше,
но
есть
и
различия.
Примерное
положение
от
1980
г.
опирается
на
сред'Нюю
страхо
вую
сумму
(ССС)
и
указывает,
что
эта
сумма
вычисляется
по
страховым
выплатам,
произведепным
в
концах
первых
10
лет.
Таким
образом,
в
обозначениях
договора
страхования
общего
вида
из
разд.
8.2
1 9
ССС
= 10 L
Ь)+l,
)=0
16.9.
Изменяющиеся
премии или
страховые
выплаты
где
n
~
10.
Постоянная
нетто-премия
-
это
n-l
Р
-
"ь
j+l
/
•.
-
L..J
j+l
V
jPx
qx+j
ах:ы,
j=O
465
(16.9.7)
Если
учитываются
выплаты
на
дожитие,
то
в
числитель
дроби
(16.9.7)
включает
ся
дополнительное
слагаемое.
В
формулу
для
компенсации
расходов
первого
года
величины
Р
и
ССС
входят
следующим
образом:
Е
1
==
{1
,25Р
+ 0,01
ССС,
0,06ССС,
р
<
0,04ССС,
Р
;>,
0,04
ССС.
(16.9.8)
Скорректированная
премия для
любого
года
действия
договора
является
произве
дением
rN
на
соответствующую
брутто-премию
для
этого
года
действия
договора,
где
n-l
Е
1
+
Е
Ь
з
+
1
v
j
+
1
зРх
Qx+j
з=О
rN
==
-----------
h-l
2:
GjV
j
зРх
j=O
Минимальная
денежная
стоимость
задается
формулой
n-k-l
h-k-l
kCV
==
L
bk+j+l
v
j
+
1
jPx+k
Qx+k+j
-
rN
L G
k
+
j
v
j
jPx+k·
з=О
j=O
(16.9.9)
(16.9.10)
Если
обеспечиваются
выплаты
на
дожитие,
то
формулы
(16.9.9)
и
(16.9.10)
должны
быть
модифицированы.
При
мер
16.9.2.
Подсчитаем
минимальные
денежные
стоимости
в
конце
1-го,
2-го,
10-го
и
20-го
года
для
договора
смешанного
страхования
на
срок
30
лет,
описан
ного
в
примере
16.9.1.
Будем
пользоваться
формулами
(16.9.8), (16.9.9)
и
(16.9.10),
Иллюстративной
таблицей
смертности
и
процентной
ставкой
6%.
Решение.
Выплаты
на
случай
смерти
составляют
150000
ДЛЯ
первых
20
лет
и
100000
по истечении
этого
срока.
Кроме
того,
поскольку
величина
ССС
определя
ется
по
страховым
выплатам
в
первые
10
лет
действия
договора,
ССС
==
150000.
Постоянная
нетто-премия
для
этого
договора,
заключенного
в
возрасте
35
лет,
со
ставляет
50000(2А
.;;;\1
+
А
1 )
Р
==
.~5.301
35:201
==
1622,9358.
а
з5
:3Ol
Поскольку
Р
==
1622,94
~
6000
==
0,04
ССС,
согласно
(16.9.8)
имеют
место
равен
ства
Е
1
==
1,25Р
+ 0,01
ССС
==
3528,6698.
Брутто-премия
составляет
2500
в
год
в
течение
10
лет
и
1250
в
год
в
течение
оставшихся
20
лет.
Коэффициент
rN
для
скорректированной
премии
имеет
вид
466
Гл.
16.
Некоторые
аспекты
отчетности
и
регулирования
Для
получения
приведенных
ниже
денежных
стоимостей
по
этому
договору
исполь
зуется
формула
(16.9.10).
Итого,
k
kCV
1 0,00
2 669,73
10 22519,81
20
48776,92
Согласно
этой
формуле,
1
CV
=
-1483,53.
Однако
отрицательную
сумму
денеж
ной
стоимости
нельзя
собрать
со
страхователей,
досрочно
прекращающих
выплату
премий,
так
что
мы
полагаем
ее
равной
нулю. У
16.10.
Замечания
и
литература
В
книге
[Cummins
1973}
содержится
очерк
истории
выкупных
сумм
в
США,
причем
подчеркивается
роль
основополагающей
работы
Э.
Райта.
В
других
странах
развитие
шло
другими
путями.
В
отчете
Национальной
ассоциации
специальных
уполномоченных
по
страхованию
1941
г.
о
сохраненных
выплатах
подводится
итог
исторического
развития
страхового
регулирования
в
США,
приведен
краткий
обзор
практики
других
стран,
обсуждаются
этические
соображения
относительно
равно
правия
страхователей,
досрочно
прекративших
выплату
премий, и
развитие
подхода
со
скорректированной
премией
для
определения
минимальной
денежной
стоимости.
Отчет
Комитета
Общества
актуариев
о
требованиях
к
сохраненным
обязательствам
от
1975
г.
особенно
интересен
из-за
содержащегося
там
обсуждения
этой
пробле
мы
применительно
к
договорам,
в
которых
разрешено
изменение
выплат
после
за
ключения
договора.
Ричардсон
[Richardson
1977}
дополняет
этот
последний
доклад
исследованием
расходов
для
определения
надбавок
в
скорректированных
премиях.
Шеперд
[Shepherd 1940]
разрабатывал
вопросы,
связанные
с
естественными
ре
зервами
и
премиями.
Хоскинс
в
двух
статьях,
[Hoskins
1939}
и
[Hoskins 1929],
первая
из
которых
посвящена
выкупным
суммам,
а
вторая
-
брутто-премиям,
развил
неко
торые
соображения,
изложенные
в
разд.
16.4.2.
Метод
определения
премий,
который
учитывает
целевые
значения
нормы
доходности,
является
упрощенной
версией
ме
тода,
изложенного
в
работе
Андерсона
[Anderson 1959J.
Андерсон
также
приводит
обширный
материал,
относящийся
к
средствам
на
обеспечение
прибыли
и
4:на
слу
чайность».
Дивиденды
подробно
обсуждаются
в
работах
[Jackson 1959]
и
в
монографии
[Maclean, Marsha1l1937].
В
последней
также
описывается
история
развития
методик
распределения
сальдо.
В
работе
[Cody 1981]
описывается
более
сложная
модель,
чем
ранее
предложенные
модели.
Резервы,
определенные
по
методу
ППП,
также
называются
резервами
по
Циль
меру
в
честь
швейцарского
акту
ария
,
который
развил
этот
метод.
Метод
специаль
ных
уполномоченных
и
соответствующие
рекомендации
были
разработаны
двумя
комитетами
Национальной
ассоциации
специальных
уполномоченных
по
страхова
нию
с
почти
одинаковым
составом:
Комитетом
по
изучению
необходимости
новых
таблиц
смертности
и
смежным
вопросам
(1939
г.)
и
Комитетом
по
изучению
сохра
ненных
выплат
и
смежным
вопросам
(1941
г.).
По
фамилии
их
общего
председате
ля
эти
комитеты
часто
называют
комитетами
Гертина
(Guertin Commitees).
Статья
Упражнения
467
[Menge 1946] -
подробное
исследование
технических
аспектов
метода
специальных
уполномоченных.
Монография
[Tullis, Polkinghorn 1992]
посвящена
многим
аспек
там,
которые
возникают при
расчете
обязательств
при
страховании
жизни.
Упражнения
к
разделу
1
б.
3
16.1.
Компания
планирует
принять
новую
таблицу
смертности.
Укажите,
как
следует
определить
те
возрасты
заключения
договора
и
периоды
времени,
прошедшие
с
момента
заключения
договора,
для
которых
измененные
сохраненные
оплаченные
страховые
сум
мы
ПО
договору
бессрочного
страхования
на
случай
смерти
будут
увеличиваться,
и
те,
для
которых
они
будут
уменьшаться.
Используйте
только
таблицу
ежегодных
нетто-премий
для
договоров
бессрочного
страхования
на
случай
смерти,
рассчитанныхна
основе
старой
и
новой
таблиц
смертности.
Предполагается,
что
денежные
стоимости
рассчитываются
с
применением
в
новых
таблицах
тех
же
долей
нетто-резерва,
который
использовался
в
ста
рых
таблицах.
16.2.
Договор
смешанного
страхования
жизни
на
срок
n
лет
с
n-летним
периодом
выплаты
премий
и
с
единичной
страховой
суммой
заключается
лицом
(х)
в
дискретной
модели.
В
случае
прекращения
выплаты
премий
в
момент
t
страхователь
может
выбрать:
•
договор
оплаченного
бессрочного
страхования
на
случай
смерти
или
•
договор
с
измененным
сроком
страхования
до
конца
периода
дожития
с
измененной
выплатой
на
дожитие
в
возрасте
х
+n
лет.
•
Денежная
стоимость
в
момент
времени
t
составляет
tVx:i'il
и
достаточна
для
обеспече
ния
оплаченного
договора
бессрочного
страхования
на
случай
смерти
со
страховой
суммой
Ь
или
договора
с
измененным
сроком
страхования
с
выплатой
размера
1
на
случай
смерти
и
страхования
на
дожитие
до
возраста
х
+n
с
выплатой
размера
f.
Выразите
f
через
Ь,
Ax~t:n-tl
И
n-1E
x
+
t
,
если
Ax+t:n-tl
=
2A
x
+
t
.
16.3.
Договор
смешанного
страхования
на
срок
20
лет
с
выплатой
размера
1,
заклю
ченный
лицом
(30),
в
непрерывной
модели
расторгается
в
конце
10-го
года,
когда
имеется
задолженность
величины
L
под
залог
этого
договора
с
денежной
стоимостью
lOCV.
Вы
разите
в
терминах
актуарных
настоящих
стоимостей:
(а)
выплаты
на
дожитие
Е
на
дату
окончания
срока
исходного
договора,
если
заклю
чается
новый
договор
страхования
со
страховой
суммой
1 -
L,
равной
страховой
сумме
по
старому
договору
за
вычетом
задолженности,
на
срок
до
указанной
даты;
(Ь)
размер
резерва
для
нового
договора
смешанного
страхования
с
измененным
сроком
в
5
лет
после
даты
переоформления
договора.
16.4.
Предполагается,
что
величина
измененной
оплаченной
страховой
суммы
опре
деляется
умножением
исходной
на
отношение
числа
выплаченных
ежегодных
премий
к
общему
числу
премий,
которые
должны
быть
выплачены
по
этому
договору.
Сравните
оплаченную
страховую
сумму,
определенную
данным
правилом,
с
i8w40
и
lOW
40
:201,
ис
пользуя
Иллюстративную
таблицу
смертности и
процентную
ставку
6%.
16.5.
Покажите,
что
~
[
ИТ(А
. )] =
Р(А
х
:
щ
)
-
Jtж(t)[l
- tW(Ax:m)J
dt t
х.пт
А '
x+t:n-tl
и
дайте
словесную
интерпретацию
этого
уравнения.
[Указание.
Используйте
формулу
(8.6.2),
чтобы
выписать
производные
для
iV(Аж:i'il)
и
Ax+t:n-tl']
16.6.
Начиная
с
первых
лет
срока
действия
договора
страхования
на
случай
смерти,
компания
определяет
денежную
стоимость
для
этого
договора
следующим
образом:
kCV
=
h(Gж+k
-
Gж)ii(k),
k =
1,2,
...
,
где
G
означает
брутто-премию
в
указанном
возрасте,
а
ii(k) -
аннуитет,
выплата
которо
го
начинается
в
возрасте
х
+k
и
продолжается
в
течение
периода
выплаты
премиЙ.
На
практике
h
выбирается
равным
2/3.
Если,
согласно
Примерному
положению
от
1980
г.,
468
Гл.
16.
Некоторые
аспекты
отчетности
и
регулирования
брутто-премии
по договору
бессрочного
страхования
на
случай
смерти
выбираются
рав
ными
скорректированным
премиям
и
если
каждая
из
величин
рж
и
РЖ+k
меньше
0,04
и
h = 0,9,
то
покажите,
что
kCV
= (0,909 +
1,125
Р
ж)kV
ж
+1,125(PX+k -
Р
х
).
16.7.
Пусть
kW
=
kCV/A(k),
где
kCV
=
A(k)
-
paii(k)
,
как
в
формуле
(16.2.2),
а
ра
является
скорректированной
премиеЙ.
Постройте
таблицу,
подобную
табл.
16.3.1,
для
трех
видов
страхования
жизни,
указанных
в
этой
таблице,
в
дискретной
модели,
связывающую
--
величину
k W
со
скорректированной
премией
и
постоянной
hetto-премиеЙ.
16.8.
Пусть
kW
Mod
=
kVMod/A(k)
,
где
kV
Mod
является
резервом
на
конец
k-ro
года,
определенным
с
помощью
изложенного
в
разд.
16.8
стандартного
метода
оценки
резервов
специальных
уполномоченных.
Постройте
таблицу,
подобную
табл.
16.3.1,
для
трех
видов
страхования,
указанных
в
этой
таблице,
в
дискретной
модели,
связывающую
величину
k W
Mod
с
премией
второго
и
последующих
лет
и
постоянной
hetto-премиеЙ.
Мы
предпола
гаем,
что
период
выплаты
премий
в
страховании
с
ограниченным
сроком
внесения
премий
меньше
20
лет.
16.9.
Пусть
k+tCV
= k+tV(A
x
)'
(а)
Покажите,
что
уравнение
(16.3.4)
для
продолжительности
периода
автоматического
займа
на
выплату
премий
можно
записать
в
виде
H(t)
=
О,
где
H(t)
=
ах
G St!i+ax+k+t-ax.
(Ь)
Проверьте,
что
н(о)
<
О
для
таких
функций
дожития,
где
интенсивность
смертно
сти
возрастает,
и
что
при
t -+
00
величина
Н
(t)
становится
положительной
инеограниченно
растет.
(с)
Вычислите
н'
(t).
к
разделу
16.4
16.10.
Запишите
формулу
дЛЯ
10АВ2
-
10
АВ
1
,
если
10АВ
1
в
соотношении
(16.4.1)
явля
ется
долей
активов
спустя
10
лет,
рассчитанной
на
основе
С
1
,
а
10АВ2
-
соответствующая
величина,
рассчитанная
на
основе
С
2
•
16.11.
Обозначим
премию
с
надбавкой
на
расходы,
определенную
согласно
принци
пу
эквивалентности,
через
Р',
а
брутто-премию,
включающую
надбавку
на
обеспечение
прибыли
и
«на
случайность»
-
через
С.
Если
G =
р'
(1
+
О),
О
>
О,
то
брутто-премия
опре
деляется
согласно
nрu.Н'ЦUnУ
Оi»Cu.дас.мого
зна'Ченuя
для
рас'Чста
nре.мuЙ.
Этот
принцип
по
лучил
свое
название
из-за
того,
что
брутто-премия
пропорциональна
премии,
полученной
на
основе
принципа
эквивалентности.
Покажите,
что
принцип
ожидаемого
значения
обла
дает
свойством
аддитивности.
Это
можно
сделать,
рассмотрев
две
независимые
случайные
величины
oL; (1)
и
oL;(2),
где
звездочка
означает,
что
премия,
включенная
в
функцию
по
терь, в
1+
О
раз
больше
премии
с
надбавкой
на
расходы,
определенной
на
основе
принципа
эквивалентности.
Покажите,
что
E[oL; (1) +oL;(2)] = E[oL; (1)] +E[oL;
(2)].
16.12.
Рассмотрим
э.мnuрu'Чсс7':УЮ
nре.мuю,
которая
обозначается
через
G
и
основана
на
реалистических
предположениях
о
смертности
и
о
расходах,
такую,
что
G= v
k+lF
-
kF
+
У
+
VY~~k(l
-
k+lF),
где
у
=
GCk
+ ek, k =
О,
1,2,
. .
..
Кроме
того,
предположим,
что
k+l
CV
k+l
F
для
k =
О,
1,2,3,
....
Покажем,
что
при
этих
предположениях
(а)
k+lF
=
(kF
+
д
-
у)(l
+i) -
q~~k(1
-
k+lF)j
(Ь)
если
дивиденды
выплачиваются
страхователям,
которые
умерли
или
досрочно
пре
кратили
действие
договора,
то
равенство
(16.5.4)
может
быть
записано
в
виде
k+l
F
+
k+l
D
=
[kF +G -
у](l
+i
k
+
1
)
-
q~~k(l
-
k+lF)
и
k+l
D
=
(С
- 8)(1 +i
k
+
1
)
+
(kF
+8 - y)(i
k
+
1
- i).
В
этом
упражнении
представлен
.метод
э.мn'Uрu.'Чес~u.х
npeMu.u
для
расчета
дивидендов.
Упражнения
469
16.13.
Рекуррентное
соотношение
между
последовательными
настоящими
стоимостя
ми
страховых
аннуитетов
задается
формулой
(ax+h
- 1)(1 +i) =Px+h a
x
+h+l,
h =
0,1,2,
....
(а)
Если
эмпирическая
процентная
ставка
равна
i
h
+
1
,
а
эмпирическая
вероятность
дожития
равна
Рж+h,
то
динамика
фонда
будет
описываться
формулой
(ax+h
- 1)(1 +i
h
+
1
)
=
px+h(a
x
+h+l
+
~h+l),
где
~h+l
-
доля
отклонений
на
ОдНОГО
дожившего.
Покажите,
что
л
(i
h
+
1
-
i)(ax+h
- 1) +(Px+h -
px+h)a
x
+h+l
Uh+l
=
А
px+h
И
дайте
интерпретацию
этой
формулы.
[Эта
формула
лежит
в
основе
двухфакторной
фор
мулы
распределения
дивидендов
по
аннуитету.]
(Ь)
Пусть
выплаты
аннуитета
в
конце
года
составляют
произведение
Th+i
на
выплаты
в
начале
года,
где
Выразите
Th+l
В
терминах
t,
th+l,
px+h
И
px+h.
к
разделу
1
б.
б
16.14.
Пусть
в
методе
модифицированного
резерва
период
модификации
равен
пери
оду
выплаты
премиЙ.
Покажите,
что
kVж~n1d
= 1 -
С{З
+
d)аж+k:n-kl'
16.15.
Пусть
для
метода
модифицированного
резерва
дЛя
бессрочного
страхования
на
случай
смерти
в
непрерывной
модели
t -
a(t)
= -
{З,
о
~
t <
т,
т
где
fJ
-
постоянные
премии дЛя
t
~
т.
(а)
Выразите
tз.
(Ь)
Выведите
перспективную
формулу
дЛя
tV(Аж)Моd,
t <
т.
16.16.
Рассчитайте
a~od
и
{З~оd
В
методе
модифицированного
резерва
дЛя
бессрочного
страхования
на
случай
смерти
в
дискретной
модели,
где
lV
x
Mod
=
К.
Период
модификации
равен
периоду
выплаты
премиЙ.
16.17.
При
расчетах
по
методу
модифицированного
резерва
дЛя
договора
бессрочного
страхования
на
случай
смерти
в
дискретной
модели
ежегодная
нетто-премия
Р
х
заменяется
(при
расчете
резерва)
ежегодной
премией
a~od
в
течение
первых
n
лет
и
премией
.в~оd
в
дальнейшем.
Покажите,
что
16.18.
Покажите,
что
v V
Mod
.в
-
а
..
k - k
=..
аж+k:j-kl,
а
х
:1l
где
j -
продолжительность
периода
модификации.
Заметим,
что
эту
разность
можно
ин
терпретировать
как
неиспользованную
часть
повышенных
надбавок
на
расходы
первого
года.
16.19.
Используйте
общие
обозначения
из
формулы
(16.2.2)
дЛя
определения
моде
ли
модифицированного
резерва
для
договора
с
постоянными
выплатами
и
постоянными
премиями:
kV
Mod
=
A(k)
-
{3a(k),
k =
1,2,3,
....
470
Гл.
16.
Некоторые
аспекты
отчетности
и
регулирования
Проведите
следующие
этапы
доказательства:
(а)
kV
Mod
=
Vqk
+
bpkA(k
+1) -
{3
-
{3VPk
a(k +1) =
vQk
-
{3
+
VPk
k+l
VMOd
,
(kV
Mod
+
{3)(1
+i) = Qk(l - k+lVMod) +
k+lv
Mod
, k =
1,2,
....
(Ь)
Если
oV
Mod
определяется
как
а
-
{3,
то
рекуррентное
соотношение
в
п. (а)
может
быть
распространено
на
случай
k =
О.
(с)
дvkkvМоd
= v
k
{3
-
Qk(1
-
k+lvMod)vk+l,
k =
1'2'3
.
(d)
Просуммировав
выражение
из
п.
(с)
по
k =
0,1,2,
,п-1
от
1
до
п-1,
покажите,
k =
1,2,
...
,
п.
что
п-l
nV
Mod
=
{38
т
-
({3
-
а)(1
+i)n -
L:(1
+
i)n-k-l
qk
(l
-
k+lV
Mod
).
к
разделу
1
б.
7
k=O
16.20.
Покажите,
что
V
ППП
_ 1 _
aZ+A::n=kI
k
х:т
-..
,
az +1:n - 11
16.21.
Метод
с
двухгодu:ч:н:ы..м
подготовительным
периодом
расчета
резерва
опреде-
ляется
тремя
значениями
премий,
используемыми
для
вычисления
резервов:
первый
год:
A;:Il'
второй
год:
AX~l:Il'
последующие
годы:
постоянная
нетто-премия
для
возраста
х
+2
без
изменения
раз
мера
страховых
выплат или
периода
выплаты
премиЙ.
Покажите,
что
для
этого
метода
резерв
по
договору
бессрочного
страхования
на
случай
смерти,
заключенного
лицом
(х),
задается
формулой
lV
Mod
=
2V
Mod
=
О,
kV
Mod
=
",;Vz
- (Pz+2 - Pz)az+k, k =
3,4,5,
....
(Этот
тип
системы
резервов
является
общепринятым
в
медицинском
страховании.)
16.22.
Рассмотрите
договор
бессрочного
страхования
на
случай
смерти,
заключен
ный
лицом
(х),
в
дИскретной
модели.
Величина
Л~ПП
определяется
согласно
соотношению
(8.5.1)
при
?то
=
A~:Il'
1Гh
= P
x
+
1
,
h = 1,2,
...
,
и
hV =
hV
ППП
'
Покажите,
что
при
lV
x
>
О
D[Л~ПП
I
К(х)
=
0,1
...
] =
V2
pzqz
>
D[Ло
I
К(х)
=
О,
1,
...
].
к
разделу
16.8
16.23.
Пусть
в
некотором
методе
расчета
резерва
нетто-премия
первого
года
равна
0:,
а
нетто-премия
второго
и
последующих
лет
равна
{3.
Пусть
премия
первого
года
не
меньше
величины
А;:Т1'
что
позволяет
пользоваться
методом
полного
подготовительного
периода
для
некоторых
договоров
и
дЛЯ
некоторых
возрастов.
Разность
{3
-
а
не
может
превышать
0,05.
Предположим,
что
при
использовании
этого
метода
вычислений
d = 0,03,
ах
=
17,
a
x
:Т2l
= 9, Ax:riJ =
2/3
и
A;:Il = 0,01.
(а)
Вычислите
{3
для
договора
бессрочного
страхования
на
случай
смерти,
заключен
ного
лицом
(х).
(Ь)
Вычислите
12VxMod
для
этого
метода.
(с)
Предполагая,
что
а
=
A;:Тl
= 0,01,
определите
пробное
значение
{3
по
договору
смешанного
страхования
на
срок
12
лет,
заключенному
лицом
(х).
Убедитесь,
что
такая
величина
{3
неприемлема,
поскольку
(:J
-
а
> 0,05.
(d)
Используя
результат
п.
(с),
подсчитайте
величину
{3
дЛя
договора
смешанного
стра
хования
на
срок
12
лет,
заключенного
лицом
(х).
(е)
Рассчитайте
lVх~П1.
16.24.
Некоторый
стандартный
метод
модифицированного
подготовительного
периода
описывается
следующим
образом: