Бауэрс Н., Гербер Х., Джанс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика

Подождите немного. Документ загружается.

Приложение

621

Мillег

(1971) Variable Life Insurance

Product

Design, Joumal

о/

Risk and Insurance, 38:527-542.

Mood

А.

М.,

Graybill F.

А.,

Боеs

С.

(1974) Introduction

the Theory

о/

Statistics. New York:

МсGгаw-Нill.

Myers R. J.

(1960) Actuarial Analysis of Pension

Plans

under Inflationary Conditions, Transactions

о/

the 16th International

Соnутевв

о/

Actuaries,

I:301~315.

National Association of Insurance Commissioners.

(1939)

Report

the

Committee

Study

the

Need for

New Mortality

ТаЫе

and

Topics. Kansas City: National Association of Insurance Commissioners.

National Association of Insurance Commissioners.

(1941)

Report

and

Statements

оп

Nonforfeiture

Бепеfits

and

Related Matters. Kansas City:

National Association of Insurance Commissioners.

Neill

А.

(1977) Li/e Contingencies. London: Heinemann.

Nesbitt

С.

(1964) Discussion of

"А

Statistical

АрргоасЬ

Premiums

and

Reserves in Multiple Decre-

ment

Theory", Transactions

о/

the Society

о/

Actuaries,

ХУ:149-153.

Nesbitt

С.

J.,

Уап

Eenam

М.

(1948)

Rate

Functions

and

Their Role in Actuarial Mathematics, Record

о/

the

Атемсаn

Institute

о/

Actuaries,

ХХХУII:202-222.

Panjer

Н.

(1980)

ТЬе

Aggregate Claims Distribution

and

Stop-Loss Reinsurance, Transactions

о/

the

Society

о/

Actuaries,

ХХХII:523-535.

Panjer

Н.

Н.,

Willmot

Е.

(1992) Insurance Risk Models. Schaumburg, Ill.: Society of Actuaries.

Pesonen

Е.

(1967)

Оп

the

Calculation

ofthe

Generalized Poisson Function,

ASTIN

Bulletin, IV:120-128.

Pratt

(1964) Risk Aversion in

the

Small

and

the

Large,

Econoтetrica,

ХХХII:122~136.

Preston

Н.,

Keyfitz N., Schoen R.

(1973) Cause-of-Death Life Tables: Application of

New Technique

Worldwide

Data,

Transactions

о/

the Society

о/

Actuaries,

ХХУ:83-109.

Promislow

(1991а)

ТЬе

Probability of

Ruin

Process

with

Dependent Increments, Insurance: Mathe-

тatics

and

Econoтics,

Х:99-107.

Promislow

(1991Ь)

Select

and

Ultimate Models in Multiple Decrement Theory, Transactions

о/

the

Society

о/

Actuaries,

ХLПI:281-300.

Rasor

Е.

А.,

Greville

Т.

Е.

(1952) Complete Annuities, Transactions

о/

the Society

о/

Actuaries, IV:574-582.

Rasor

Е.

А.,

Myers R. J.

(1952) Actuarial Note: Valuation of

the

Shares in

Share-and-Share-Alike Last Survivor

Annuity,

Transactions

о/

the Society

о/

Actuaries, IV:128-30.

Redington F.

М.

(1952)

Review of

the

Principles of Life Office Valuation, Jov.mal

о/

the Institute

о/

Actuaries, LXXVII:286-340.

Renyi

А.

(1962) Wahrscheinlichkeitsrechnung. Berlin: Deutscher Verlag

der

Wissenschaften.

Reynolds

С.

Last Survivor Antiselection, Development News, Feb. 1994.

622

Приложение

Richardson

С.

В.

(1977) Expense Formulas for Minimum Nonforfeiture Values, Transactions

о/

the Society

о/

Actuaries, XXIX:222-229.

Robinson J.

М.

(1984) Discussion

of"Maximum

Likelihood Alternatives

Actuaria1 Estimators

Morta1ity

Rates", Transactions

о/

the

Society

Actuaries, XXXVI:125-138.

Scher

Е.

(1974) Relationships among

the

Fully Continuous,

the

Discounted Continuous,

and

the

Semicontinuous Reserve Bases for Ordinary Life Insurance, Transactions

о/

the Society

Actuaries, XXVI:597-606.

Sea1

Н.

(1969) Stochastic Theory

о/

Risk

Business. New York:

John

Wiley

and

Sons.

Seal

Н.

(1977) Studies in

the

History of Probability and

Statistics-Multiple

Decrements or

Сотре

ting Risks, Biometrika, LXIV:429-439.

Seal

Н.

(1978а)

From

Aggregate Claims Distribution

Probability of Ruin,

ASTIN

Bulletin,

Х:47

53.

Sea1

Н.

(1978Ь)

Survival

Probabilities-The

Goal

о/

Risk

Theory. New York:

John

Wiley and Sons.

Shepherd

В. Е.

(1940) Natural Reserves, Transactions

о/

the

Actuarial

Society

о/

America,

XLI:463-479.

Shiu

Е.

(1982) Integer Functions

and

Life Contingencies, Transactions

the

Society

о/

Actuaries,

XXXIV:571-590.

Simon

(1960)

ТЬе

Negative Binomial

and

the

Poisson Distributions Compared, Proceedings

the

Casualty

Actuarial

Society, XLVII:20-24.

Society of Actuaries Committee

оп

Actuarial Principles.

(1992) Principles

оС

Actuaria1 Science, Transactions

о/

the Society

о/

Actuaries, XLIV:565-

591.

Specia1 Committee

оп

Va1uation

and

Nonforfeiture Laws.

(1975) Report

оп

Actuarial Principles

and

Practica1 Problems with Regard

Nonforfeiture

Requirements,

Transactions

the Society

Actuaries, XXVII:549-633.

Spurgeon

Е.

(1922. 2nd ed., 1929.

3rd

ed., 1932)

Li/e

Contingencies. Cambridge: Cambridge University

Press.

Steffensen

J. F.

(1929)

Оп

Hattendorfs Theorem in

the

Theory

Risk, Skandinavisk Aktuarietidskri/t, 1-17.

Takacs

(1967) Combinatorial Methods

the Theory

о/

Stochastic Processes. New York:

John

Wiley

and

Sons.

[Имеется

перевод:

Такач

Л.

Комбинаторные

методы

теории

случайных

про

цессов.

М.:

Мир,

1974.]

Taylor G.

С.

(1977) Upper Bounds

оп

Stop-Loss Premiums under Constraints

оп

Claim Size Distributions,

Scandinavian

Actuarial

Joumal,

94-105.

Taylor R.

Н.

(1952)

The

Probability Distribution of Life Annuity Reserves

and

Its

Application

Pension System, Proceedings

the

Соnlетеnсе

Actuaries

Public Practice, 11:100-150.

Tenenbein

А.,

Vanderhoof

Т.

(1980) New Mathematica1 Laws ofSelect

and

Ultimate Mortality, Transactions

olthe

Society

о/

Actuaries,

ХХХII:119-158.

Приложение

623

Thompson

(1934) Select

and

Ultimate Mortality,

Ттаnвасиоnв

о/

the 10th

Intemational

Congress

о/

Actuaries, 11:252-263.

ТШеу

А.

(1992)

Ап

Actuarial Layman's Guide

Building Interest

Rate

Generators, Transactions

о/

the Society

о/

Actuaries, XLIV:509-538.

Trowbridge

С.

(1952)

Fundamentals

Pension-Funding, Transactions

о/

the Society

о/

Actuaries, IV:17-

43.

Trowbridge

С.

(1955)

Funding

of Group Life Insurance, Transactions

о/

the Society

о/

Actuaries,

УII:270

284.

Trowbridge

С.

(1963)

The

Unfunded

Present

Value Family of Pension

Funding

Methods, Transactions

о/

the Society

о/

Actuaries,

ХУ:151-169.

Trowbridge J. R.

(1977)

Assessmentism-An

Alternative

Pensions Funding? Journal

о/

the Institute

о/

Actuaries, 104:173-204.

ТиШв

М.

А.,

Polkinghorn

Р,

К.

(1992) Valuation

о/

Li/e Insurance Liabilities. 2nd ed. Winsted, Conn.:

АСТЕХ

Publications.

U.S.

Department

of Health

and

Welfare. Public Health Service.

(1985) United States Li/e Tables: 1979-81. Washington, D.C.: Government

Printing

Office.

Vanderhoof

Т.

(1972)

The

Interest

Rate

Assumption

and

the

Maturity

Structure

the

Assets of

Life

Insurance, Transactions

о/

the Society

о/

Actuaries, XX1V:157-192.

White

Р.,

Greville

Т.

Е.

(1959)

ОП

Computing

the

Probability

that

Exactly k of n 1ndependent Events Will

Оссит,

Transactions

о/

the Society

о/

ctuaries, X1:88-95.

Wilkie

А.

(1986)

Stochastic 1nvestment Model for Actuarial Use, Transactions

о/

the Faculty

о/

Actuaries, 39,

Part

3:341-373.

Willett

А.

Н.

(1951) The

Econoтic

Theory

о/

Risk

and Insurance. Philadelphia: University of Pennsylva-

nia

Press.

Williamson W. R.

(1942) Selection, Transactions

о/

the Actuarial Society

о/

Атепса,

ХLПI:33-43.

Wittstein

Т.

(1873)

Оп

Mathematical Statistics

and

1ts Applications

Political

Есопошу

and

1nsurances,

Journal

о!

the Institute

о/

Actuaries and Assurance Magazine,

ХУII:178-189,

355-369, 417-

435.

Wooddy

(1973) Study Notes

/от

Risk

Theory. Schaumburg,

111.:

Society of Actuaries.

Приложение

ОТВЕТЫ

УПРА:Ж:НЕНИЯМ

Глава

1.1.

(а)

(Ь).

4000

6700

8300

10000

u(w)

-1,000

-0,500

-0,250

-0,125

0,000

125·10-6

93·10-6

78·10-6

74·10-6

-48·10-10

-34·10-10

-14·10-10

1.2.

(Ь)

(d) 21n

1.3.

(с)

D[X].

1.7.

(а)

Да,

ДЛЯ

всех

(Ь)

(90 <w <100) U

> 110).

1.11.

-(n/2о.)

ln(1 -

20:).

1.12.

(а)

G = 4001n(13/12) = 32,02;

(Ь)

G = 1501n(3/2) = 60,82.

1.13.

(а)

30;

(Ь)

26.

1.14.

Полное

страховое

покрытие.

1.17.

(а)

-[1

- F(d}].

1.18.

(а)

10, 100.

1.19.

(а)

50, 2500/3;

(Ь)

k = 0,25, d = 50;

(с)

D[X

(Х)]

= 468,75,

D{X

-l2(Х)]

260,42.

Глава

р,,(х)

0,9948

0,9988

0,9996

1,0000

Р,,(х)

5 0,8586

6 0,9018

7 0,9582

8 0,9762

9 0,9918

2.1.

1/2,

19/4.

2.2.

1/2,

77/12.

2.3.

35/4,

1085/48.

2.4.

7/4,

77/48.

2.5.

49/4,

735/16.

2.6.

а/l00

(197/30

000).

2.7.

Р,,(х}

-_......:......:....-_-~--_-.:....-:-

0,2268

1 0,2916

2 0,4374

3 0,6210

4 0,7434

2.8.

(с)

1/48,

1/6,

1/2.

2.9.

Е[Х]

0.//3,

D[X] =

0://32.

2.10.

Е[Х]

= 1,

D[X]

1/3,

Е[У]

3/2,

D[Y]

3/4,

Р(Х+У

> 4)

0,0748,

Р(Х+У

>4)

= 0,0833.

2.11.

(а)

-1,

= 1, d =

или

= 1,

О,

d =

-а;

(Ь)

0,0228, 0,1587, 0,5000.

2.12.

(а)

18, 36;

(Ь)

27,8713, 31,9607.

2.13.

(а)

0,0041;

(Ь)

0,0045.

Приложение

2.14.

3,56,

т. е.

35600.

2.15.

(а)

6,4, 6,144;

(Ь)

7(104), 17,072(108);

(с)

1,37341.

2.1б.

0,0062.

Глава

3.1.

625

в(х)

F(x)

f(x)

IJЖ

cos

1- cos

sш

1 -

е-Ж е-Ж

1 1 1

1+х

(1+х)2

1+х

3.2.

(а)

exp[-(В/lпс)(с

- 1)];

(Ь)

ехр(-их

и::::

k/(n

+1);

(с)

х/ь)-а.

3.3.

1L(x)

::::

/4,

f(x)

::::

х2е-ЖЗ/12/4,

F(x)

::::

1 _

е-

ЖЗ

3.4.

(а)

1000

IJ(X)

dx < 00;

(Ь)

в'(х)

для

некоторых

х,

включая

::::

1,2;

(е)

1000

fx(x)

::::

Г(n)

> 1

при

n;;?;

3.5.

(а)

1/(100

х);

(Ь)

х/100;

(с)

1/100; (d)

3/10.

3.б.

(а)

1 -

t/60,

(Ь)

1/(60

t),

(с)

1/60.

3.1.

(а)

8/9,

(Ь)

1/8,

(е)

1/8,

(d)

1/128,

(е)

128/3.

3.9.

0,001994.

3.10.

fx(x)

::::

с~0(0,77107)Х(0,2289з)10-ж,

::::

0,1,2,

...

,10,

Е[.с(х)]

::::

7,7107, D[.c(x)]

::::

1,765211.

3.11.

(а)

9/4

для

каждой;

(Ь)

27/16

для

каждой;

(с)

-1/3.

3.12.

(а)

5qO :::: 0,01505

больше,

чем

5q5

:::: 0,001503,

умноженное

на

10;

(Ь)

551sQ25

::::

0,156729.

3.15.

1436,19.

3.18.

(а)

l/с;

(Ь)

1/с

;

(с)

{ln2)/c, (d)

О.

(

_t2/2

()

r::::м

3.19.

а)

te ;

у1Г/2.

3.20.

(а)

(100 -

х)/2;

(Ь)

(100 -

х)2/12;

(с)

(100 -

х)/2.

3.23.

(а)

~Ж

::::(10-х)/2,

х::::0,1,2,3

...

,9,

::::(9-х)/2,

х::::0,1,2,3

...

,9.

3.24.

(а)

и(О)

::::

е-.\,

-c(x)/d(x)

::::

О,

1/d(x)

::::

л/(х

(Ь)

и(О)

::::

р)n,

-c(x)/d(x)

О,

l/d(x)

::::

(n -

х)р/[(х

+1)(1 -

р)].

3.25.

(а)

и(О)

::::

О,

-c(x)/d(x)

::::

1, 1/d(x)

::::

(Ь)

и(О)

О,

-c(x)/d(x)

::::

1 +

l/d(x)

::::

1 +

3.28.

Равномерное

распределение:

0,989709;

постоянная

интенсивность:

0,989656;

ги-

перболичность:

0,989602.

3.29.

(а)

77,59;

(Ь)

29,11.

3.30.

(а)

0,044;

(Ь)

0,04421.

3.31.

Равномерное

распределение

Постоянная

интенсивность

Гиперболичность

(а)

0,012696

(Ь)

0,013676

(с)

0,013770

3.35.

(а)

o./(w -

х);

(Ь)

х)/(о.

+1).

3.36.

(а)

0,000877;

(Ь)

0,999189.

3.31.

(а)

0,4076;

(Ь)

0,1786.

3.39.

0,97920.

3.40.

ln(1 - Q[x]/2)

-ln(l

q[ж).

3.41.

2qx.

IR55

0,012616

0,013770

0,012537

0,013865

0,013770

626

Приложение

З.4З.

(а)

[(1

Ве

)/(l

в)]-А/(В

с)

З.44.

(а)

57/418;

(Ь)

77,2105.

З.45.

(Ь)

-ln(l

- qx);

(с)

-q;f[(l

qж)

ln(l

qж)];

(d)

1/45.

3.49.

Qlo

= 0,0055547,

q40

= 0,0027812.

3.50.

Проверочное

значение

е40

=35,367.

З.51.

е20

=46,038,

е40

=28,366,

е60

=13,264,

е80

=3,889,

е100

=0,503.

3.52.

Проверочное

значение

е40

=35,867.

З.5З.

Начальное

значение

еу:Ol

О.

Проверочное

значение

:2Ol

=19,369.

З.54.

Начальное

значение

eЦl:IOl

О.

Проверочное

значение

:IOl

= 9,809.

3.55.

:251

= 24,610.

Гл.ава

(Ь)

-1

JJx+n

1. ( )

JJж+n

(А

1)2

(Ь)'

(d) -

4.5.

х:щ

ж:iil,

х:щ

где

удовлетворяет

, n -

JJx+n

1-'

д'

mш

COV(Z1, Z2) = -

4(1-'

д)

4.6.

(а)

0,237832;

(Ь)

0,416667.

4.7.

(а)

0,092099;

(Ь)

0,055321.

4.8.

(а)

3(10~O_

х)

(12g~ х)

;

[ (

)

{

[ (

)

7(100 -

х)

1 - 120 -

- 3(100 -

х)

1 - 120 -

;

[

(20)

2 (

)

(Ь)

3(100-х)

10-10

120-х

-(100-х)

120-х

4.10.

(а)

(JL:

д)2

;

(Ь)

[(JL

+22д)3

(JL:

д)4

] .

4.11.

(а)

0,2 z-o,8,

< z < 1;

(с)

1/6,

25/396.

4.12.0,0

при

z < v

1,0 -

Fr(lnz/lnv)

при

1,1,0

при

4.13.

(а)

0,0

при

z <

е-

ZO,2

при

е-

z < 1, 1,0

при

4.14.

(а)

0,407159;

(Ь)

5,554541.

4.16.

(а)

0,5;

(Ь)

0,05.

4.17.

(Ь)

(/А)ж:ffil

= (/A);:ffil +

тAx:,fu.

т-1

4.19.

(а)

v[k+(j+1)/m];

(Ь)

)

kpx

LjJml1/mqx+k

+i)[1-(j+1)/m].

4.23.

Ах

А;:65-жl'

k=O

j=O

4.24.

4007,85.

4.26.

(а)

9100/(14 - k);

2 1 1 2 2 2

-1 -1

2 - 1 1

(Ь)

1000000[

(А

)

] +

(k1r)

- (A

)

] - 2

ОООk1rА

где

еди-

новременная

нетто-премия

из

п.

(а).

4.27.

(а)

0,307215.

4.34.

(а)

A2~:201

= 0,01827,

2A2~:201

=0,01143;

(Ь)

110933839.

4.З5.

(Ь)

AЦI:Ol

= 0,0.

4.36.

(а)

3,06569;

(Ь)

{IА)ж

(.4;:Il

vpx

)

vpx

(/.4)х+l,

(/.А)Ц1

О;

(с)

(i.4)x = [(iA:);:Il +

vpx

]

vpx

(i.4)X+1

(i.4)Ц1

О;

(d)

(IА).

~(q.+P.

A.+1)+Vp.

(IА).+1,

(iA).

q.+P.

А'+1)

+vp.

(Н)'+1

4.38.

(Ь)

:Ol

= 1;

(с)

.445:65-451

= 0,34743.

4.39.

Среднее

= 38056,82,

дисперсия

=42337224,63.

Приложение

7 627

Глава

5.1.

(а)

16,008, 12,761, 5,397;

(Ь)

3,137, 10,230, 9,523.

5.2.

(а)

0,111, 0,251, 0,572;

(Ь)

0,0251.

5.4.

-D{v

]

_(2..4

..4;).

5.6.

(а)

Fy(Y) =

- oy)I-'/,s,

< 1/0,

1/0

у;

(Ь)

(У)

- oy)I-'/,s,

< amj

1, am

у;

(с)

Fy(Y) =

{1-

- oy)I-'/,s,

< vn/o,

1, vn/o

у;

{

О,

ат,

(d) Fy(Y) =

(1-

oy)I-'/,s,

ащ

< 1/0,

1/0

у.

5.7.

ах:щ

= ax:Il - v

nРх

ax+n:Il +vpx

аж+l:Щ,

n =

0,1,2,

...

0,1,

...

;

а",,:щ

a",,:Il'

что

равно

1/2

по

правилу

прямоугольников.

5.8.

nlax =v

nРж а

:11

VРж

nlax+l,

=0,1,

...

, n =

0,1,2,

...

;

nla""

О.

5.9.

nРх

ах+n:Il

ащ(l

vpx)

+vpx

а",,:щ

ащ.

5.14.

(2/i)(a

:ffi

ах

)

- 2

ffi

(а

:щ)2.

(т)

811

5.15.

d(m)

Ах.

т-l

(у-х)т-l

5.16.

(а)

L Vh/mh/mPx +

L Vh/mh/mPx;

(Ь)

а(т)

,В(т)(1

- vpx);

m m

h=O

h=m

(с)

с(х)

а(т)

,В(т)(1

vpx),

d(x) =VPx,

a~~

О.

m - 1

) "

- 1

5.1

ах:щ

2т

- n

2т

х'

5.22.

(а)

a(m)s25:4Ol- p(m)(1/40B2S - 1);

(Ь)

(i) 15,038, (ii) 196,380.

5.23.

(а)

{(Ia)~J+l/ml'

0,1,

...

,n - 1, J =

О,

...

-1,

)(m)

iil

, =

n +

,....

5.24.

(а)

{(na)~1J+l/ml'

О,

...

,n -

J =0,1,

...

,т

- 1,

,,)(т)

m , = n, n + ,

....

{

(Iii)(m)

0,1,

...

- 1, J =

О,

...

,т

- 1,

5.25.

(а)

(m~+J+l/m

naK+J+1/ml'

n,n

+ 1,

...

, J =

О,

...

,т

-1.

5.31.

(а)

аж

+0,03(I

а)ж;

(Ь)

t(1,03)'

'РЖ

при

процентной

ставке

= i

,~з03

{n k""O

5.32.

(n-t)vttpxdt.

5.33.

1200(a~~2)

lOla~~2)

320Ia~~2)

530Ia~~2)

-104Оlа~~2))/4оЕзо.

5.34.

зs

:251

25РЗ5а251'

5.35.

ах:щ

- nPxam.

5.36.

(1/2)

аж:El

- (25/12) 2sE

•

5.38.

nрх(1

- nPx)a;+n +v

nPx

A;+n)/d

•

- 1 2

2т

5т2

+3 4

5.41.

(а)

а(т)

=1 +

12т2

720т

+... ,

628

Приложение

д(

) =

- 1

тет

+1)

(т

1)(6т

- 4)

] .

2т

3т

12т2

360т3

(

2 1 4 (

1 1 2 1 3 ]

(Ь)

00) = 1 +

+ 360

+... ,

rз

00) = 2 1 +

+...

()

(

)

1 1

1 1 - 1 2 -

-2

5.44.

+ J -

v ,

+ J -

Ах,

J -

(

Ах

A:xJ.

5.45.

(а)

14,353;

(Ь)

13,350;

(с)

1,002.

5.51.

(а)

488,23;

(Ь)

700,48;

(с)

Ц31,77.

5.53.

:IOl

=7,45735.

5.54.

:IOl

= 7,19783.

5.56.

:IOl

= 7,19783.

5.51.

a60:I01

= 6,46348, D(X] = 1,82621.

5.58.

a~;2)

10)3343,

D[Y]

=16,87662.

5.59.

10,41532.

главе

6.1.

-0,43202

0,39760.

6.3.

0,303598.

6.4.

(а)

0,02;

(Ь)

0,00857;

(с)

0,02885.

6.6.

/-L/(/-L

20)

2..4:х;.

6.10.

Страхование

Ежегодные

премии

для

лица

(35)

Непрерывная

Полунепрерывная

Дискретная

модель

модель модель

Смешанное

на

срок

лет

0,075128 0,072885 0,072810

Смешанное

на

срок

лет

0,015371 0,014894 0,014751

Смешанное

на

срок

лет

0,008913 0.008621 0.008374

Бессрочное

на

случай

смерти

0,008903 0,008611 0,008362

На

случай

смерти

на

срок

лет

0,005117 0,004958 0,004815

На

случай

смерти

на

срок

лет

0,002669 0,002589 0,002514

1 -

r 1 -

т..

1 +i

2А:х;

А;

г)г

6.12.

= . ,

Р:х;

---

...

1 +t - r 1 +

- 1 + i -

г'

(dii:x;)

2 1 + 2i + i

г'

6.13.

0,019139.

6.15.

0,032868.

6.16.

0,0413.

6.17.

Если

опустить

аргумент

(..440:251)

обозначении

для

премий,

то

р(2)

р{4}

р{12}

р-

-..;:

-..;:.

6.18.

100/99.

6.19.

740,93.

6.21.

P(A'~5:2Ol)'

где

A'~5:2Ol

есть

актуарная

настоящая

стоимость

страхования

на

слу-

чай смерти

на

срок

лет,

заключенного

лицом

(45),

при

котором

= 8

6.22.

(а)

11,5451, 20,4106;

(Ь)

6,3099, 25,6458.

6.24

60.

6.25.

(Ь)

p(12)(A(12)

) +

d(12).

~5:IOl

6.26.

100000

1,18301

0,1835:301

6.27.

0,008.

Приложение

ОООА

+2bli

:2Ol

6.28.

()

:2Ol

- 1,1

l2QlA

2А

A2~:iOl

6.29.

:4Ol

- a

:IOl

6.30.

P(A.x)aТl

=1 -

(l/a

)aТl

= L2.

6.31.

(а)

-0,08;

(Ь)

0,1296;

(е)

0,1587.

6.32.

/(2а

:51)'

А1

A(Тn}

6.33.

{т}(А

)

(т)(А.

)

20Р(Ах)

х:2О1

( )

~:2OJ

6" m

(

6U+P)J.J/o

2Ol

6.35.

(а)

/-l.

при

-7

< U < 1;

противном

случае.

6и

-t-

6 +

6.36.

(а)

l/VЗ;

(Ь)

0,02.

629

Глава

1.1.

=0,15111,

=0,30809,

зV

= 0,47118,

=0,64067.

1.2.

= 0,14925,

=0,30492,

зV

=0,46741,

=0,63712.

1.3.

=1,2871,

= 2,6996,

зV

=4,2553,

=5,9748.

1.4.

= 0,15064,

=0,30730,

зV

ОА7025,

= 0,63980.

7.5.

(а)

1 =i

,1[1,06-'

(1+Р/6)-Р/6]

dt,

где"

=Jn(1,06);

10ln

,1[1,06-'

(1+Р/6)-Р/6]

dt)

где

такие

же,

как

п.

(а);

(Ь)

= 0,388380,

=0,182825.

{

Р(.Ах:щ)аUl'

< n - t,

1.6.

n-t

- - _

v -

P(A

1i1

n - t.

- 2 -

-2

1.1.

E[tL] = ax+t:n-tl, D[t

) = (

Аж+t:n-tl

- A

+t:n-tl)/6 .

- - - -

-1

1.8.

(а)

2О1

20Р(АЗ5:ЗOl)а45:IOl;

(Ь)

бо

1.9.

(а)

ио

-(ln

..1

)/6;

(Ь)

23,2476.

1.10.

41,7524.

1.11.

FtL(Y) =

при

< v

P(A

fi1

1 1

6у

P(Ax:m»)

.гТ(х)

- - n

( )

6 6+

Р(А

)

при

- -

P(Ax:m)an_tl

< 1;

1 - FT(x)(t)

FtL(Y) =1,

-1

7.12.

FtL(Y) =

при

< P(Ax:m)an_tl;

1 - FT(x)(n) npx - - _

n-t

-1

FtL(Y) = 1

Р.

(t) = -

при

-Р(Ах:m)аn_tl

< v - P(Ax:m)an_tl;

Т(х)

tРж

J:'I

6у

P(A~:nl»)

.гТ(х)

- - n - 1

( )

6 d +

Р(А

)

n-t

(A-

)

Р.

( )

при

v -

x:m

< 1.

_ _ _

Т(х)

t _

[20Р(..140)]

7.14.

20P(A

0:IOl'

[10

(А

)

- 20P(A

)]a

O:IOl'

1 -

Р(А

)

- - - -

(А40)В40:IOl

- 1

- - - - - - - - - [

Р(А.

2О1

)]

1.15.

iOl

P(A40:2Ol)a50:iOl'

[P(A

:IQ1)

Р(А40:2О1»)аБО:IOl'

1 -

Р(А

) A

IOl

50:iOl

(А-

aso:iOl

P(..1

:IQ1)

P(A

2Ol

) A

:IOl

- ..140:201

40:201

S40:IQl-

40,

1 - _ ,

- ) -

:2Ol

р А

IOl

+6 1 - A

:2Ol

1.16.

Р(ЗОlаЗ5)SЗ5:2О1'

630

Приложение

7.22.

1/5.

7.23.

Страхование

Смешанное

на

срок

лет

Бессрочное

на

случай

смерти

На

случай

смерти

на

лет

Непрерывная

модель

0,17530

0,08604

0,03379

Полунепрерывная

модель

0,17504

0,08566

0,03370

Дискретная

модель

0,17407

0,08319

0,03273

7.24.

(Ь)

(с).

7.26.

Все,

кроме

(d).

7.27.

Все.

7.29.

0,008.

7.30.

0,240.

7.31.

(а)

0,005527;

(Ь)

0,051255;

(с)

0,946122; (d) 0,132109.

7.32.

(а)

0,0241821;

(Ь)

0,0189660.

Глава

8.1.

(а)

1 -

;

(Ь)

~)(1

Т)

1+~

(1+~)(1+z-r)

tpx

Мх

(t) dt

8.2.

оо

w(t)vttPx dt

J-L

8.3.

(а)

;

(Ь)

•

J-L

J.t

8.5.

(а)

(РХ+l

- vqx+h)

hPx

vqx;

(Ь)

(РХ+l

- vqx+h) hPx(V

jpx

qx+j +

jQx

Рх+l);

(с)

Если

Рх+l

VQx+n

О,

то

COV(Cj, Ch) <

для

всех

j <

8.6.

Если

1 -

VQx+h

Sh+ll

О,

то

COV(Cj, Ch) <

для

всех

j <

8.13.

Аргумент

(..4

4О1

)

обозначениях

для

резервов

премий

опускается.

(а)

V +

21V

Р;

(Ь)

20У

21У;

(с)

20V(2)

21V(2);

(d)

20V(2)

21V(2)

р(2);

(е)

то

же

выражение,

что

(Ь);

(f)

20У

21У

р{2}.

8.14.

0,05448.

8.17.

(Ь)

D[LJ

=0,076090.

8.18.

(а)

0,0067994;

(Ь)

0,1858077;

(с)

0,2012024; (d) 0,0275369;

(е)

0,0255406.

8.21.

-tрх[д

tV(Ax)

Р(А

)].

8.22.

(а)

tРх[1Гt

дt

V - b

J-Lx(t)];

(Ь)

vt[1Гt

J-Lx(t)

- b

J.tx(t)J;

(с)

vttРх[1Гt

- b

Jtx(t)].

8.26.

(а)

(Ь)

1491,03;

(с)

343,84; (d)

О.

8.27.

(а)

1490915;

(Ь)

6450962;

1495093,

что

равно

резерву,

умноженному

на

1,00280;

(с)

5311375;

добавляемая

сумма

равна

3791,

т.е.

резерву,

умноженному

на

0,00254;

(d)

дЛЯ

(Ь):

645096250; 149133281,

т.

е.

резерв,

умноженный

на

1,00028;

для

(с):

531137500;

добавляемая

сумма

равна

37911,

т.

е.

резерву,

умноженному

на

0,00025.

8.28.

(а)

1104260

резерв

для

этих

договоров;

(Ь)

6450962;

1108438,

т.

е.

резерв,

умноженный

на

1,00378;

(с)

5311375;

добавляемая

сумма

равна

3791,

т.

е.

резерву,

умноженному

на

0,00343;

(d)

дЛЯ

(Ь):

645096250,110467781,

т.е.

это

резерв,

умноженный

на

1,00038;

для

(с)

531137500;

добавляемая

сумма

равна

37911,

т.

е.

резерву,

умноженному

на

0,00034.