Бауэрс Н., Гербер Х., Джанс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика
Подождите немного. Документ загружается.
Приложение
7
8.29.
5
ООО[lоV(А
зо
)
+
p{l}
(А
зо
)
+
llV(А
зо
)].
8.30.
(а)
0,2;
(Ь)
0,25;
(с)
0,7584; (d) 0,27.
8.32.
0,081467.
8.34.
(а)
355,6563;
(Ь)
2614,2511.
8.35.
(а)
100 000
АЗ5:~/(1
-
А
з
1
5
:
ЗOl
);
(Ь)
100000
АЗ5+k:зоl_kl
+
8АЗ5~k:ЗО_kl;
(с)
(8
-
SАЗ~:kl)/АЗ5:~;
(d) S = 18575,08,
20V
=53962,62.
631
Глава
9
1 1 1
9.1.
(а)
1 -
(1
+
в)n-2
-
(1
+
t)n-2
+
(1
+S +
t)n-2
' S >
О,
t >
О;
n-2
1
n-2
(Ь)
fT(x)(S) =
(1
+
s)n-l
' S >
О;
FT(x)(s) = 1 -
(1
+
а)n-2'
s >
О;
р.(х
+
э)
= 1 +s '
S >
О;
1 1
(с)
Cov[T(x),
Т(у)]
=
(n
_
4)(n
_ 3)2 '
РТ(х)Т(у)
= n - 2 .
1
9.2.
(1
)
2'
S
~
О,
t
~
о.
+S +t
n-
9.3.
Рт(.)Т(у)(В,
t)
=
[1
-
(1
+
~)n-2
]
[1
-
(1
+
~)n-2
] , S >
О,
t >
О;
1 1
ВТ(х)Т(у)(В,
t)
=
(1
+
а)n-2
(1
+
t)n-2
' S
~
О,
t
~
О.
9.4.
(а)
nРхnру;
(Ь)
nPx+npy-2
n
рхnРу;
(с)
nPx+nPy-nРхnру;
(d)
1-
n
рхnРу;
(е)
та
же,
что
в
(d); (f)
(1
-
nрх)(1
-
пРу)
= 1 -
nРх
-
пру
+
nРх
пру.
9.6.
nqxx.
1 1
9.7. FT(xy) (t) =
1-
(1
+
2t)n-2
при
t >
О;
ST(xy)(t) =
(1
+
2t)n-2
при
t
~
О;
Е[Т(ху)]
=
1
2(n
- 3) " ( ) _
{(10
_
t)З/
250
0
при
0<
t < 10,
9.8.
Т(ху)
t -
О в
остальных
случаях.
9.10.
nlQx
+
nl%'
-
nlQx
nlQy·
Нет,
поскольку
для
nlqxy
вторая
смерть
должна
ПРОИЗ0ЙТИ
в
(n +
l)-м
году,
а
это
не
так
для
описанной
в
упражнении
вероятности.
2 2
9.11.
(а)
FT(xy)(t) = 1 -
(1
+
t)n-2
+
(1
+
2t)n-2
' t >
О;
!T(
••
)(t) =
2(n
-
2)
[(1 +
~)n-l
-
(1
+
;t)n-l
] , t >
О;
_ 3
2(n
- 2){1/(1 +
t)n-l
-
1/(1
+
2t)n-l]
(Ь)
Е[Т(ху)]
=
2(n
_ 3) ;
(с)
/-lxy(t) =
2/(1
+
t)n-2
_
1/(1
+
2t)n-2
' t >
О.
9.12.
2/9.
9.13.
(а)
2/3;
(Ь)
29/30;
(с)
18,06; (d) 36,94;
(е)
160,11; (f) 182,33; (g) 82,95;
(Ь)
0,49.
9.14.
/-Lxx
(O)~xx
- 1.
9.17.
531/2000.
9.18.
(а)
.!.ln
[1
+ (e
at
- 1)2] ;
(Ь)
(e
at
-
l)(е
а
-
1)
.
а
е
а
- 1
(е
а
- 1) +
(e
at
- 1)2
1 [
(е
о
,О5а
-
l)(е
о
,ОЗа
-
1)]
9.19.
-
ln
1 + .
а
е
а
-1
9.20.
(а)
0,001500;
(Ь)
0,000266;
(с)
0,004232.
632
Приложение
7
9.21.
Аннуитет
с
гарантированными
выплатами
размера
1
в
конце
каждого
года
в
течение
n
лет,
а
далее
до
потери
статуса
(ху).
9.22.
Страхование
с
выплатой
размера
1
на
случай
смерти
лица
(х)
или
по
истечении
n
лет,
в
зависимости
от
того,
ЧТО
случится
позже.
9.24.
D.
2S
:251
+
азо:w!
-
ii
25
:
зо
:W!'
9.25.
20lазо
+
251а25
-
25Iа25:30.
9
26
1"
1..
+ 1 ..
• •
б
ажу:ffi
+
'2
ау:т
з
аж:ffi·
9.27.
аЖ;fil
+v
n
nрж
аж+n:у:m-n!'
9.28.
51аб5
+
20rii40
-
5110а4О:55
-
20,а40:55.
..(т)
9.29.
(а)
[а1
т
)
+
р(ау(т)
_
a~тy)];
(Ь)
--;--:----_а_
ж
;---:-_--:--':"'""'"
..
(т)+
('ОСт)
..
(т))'
9.32.
(а)
7,0753;
(Ь)
7,0756.
аж
р
ау
-
ажу
9.35.
w =
~
Х
+
~
у.
9.37.
1/3.
9.41.
CXJq~y
=
ооqж~.
- - 1
9.44.
А
50
-
А
5О
;20:2О1'
-1
-1
- 1
9.45.
А
ж
:
nI
-
Аху
+
nЕ
ж
А
ж
+
n
:
у
'
9.46.
1/12.
1 - -
9.47.
(а)
0,2755;
(Ь)
4"А
40
:
50
+0,0015
а40:50.
9.48.
1/3,
52,68.
9.49.
(а)
ах
+
ат
-
iiЖ:ffi;
(Ь)
v
n
nqx.
9.51.
JL(x
)~жу
-
CXJq~y.
9.52.
(а)
(/-t2
+
Л)е-(1t2+>.)t,
t >
О;
(Ь)
e-(1t2+>.)t, t
~
О;
(с)
л
/-tl +
/-t2
+
Л
.
К
гл.аве
10
10.1.
(а)
e-tlt~Т)/-t<j);
(Ь)
/-t<j)/
JL~T);
(с)
e-tlt~Т)/-t~Т).
10.2.
(а)
j(50
-
t?/50
3
;
(Ь)
3(50 - t)2/50
3
;
(с)
j/3;
(d)
j/3.
10.3.
(а)
fT(t)
=
р(и1
+
v1)e-(U
1
+Vl)t
+
(1
-
р)(и2
+
V2)e-СU2+V2)t,
/J(1)=
р
и
1
+(1-р)
и2
,/J(2)=p
V1
+(l-р)
V2
;
и1
+Vl
и2
+
V2
и1
+
V1
и2
+
V2
(Ь)
sr(t)
=
pe-(Ul+Vl)t
+
(1
_
p)e-СU2+V2)t.
10.4.
зр~~)
= 0,75321,
3Iq~;)
=0,03766,
зq~;)
= 0,16504.
10.5.
(а)
302,4
и
210,95;
(Ь)
231,0
и
177,64.
10.6.
(а)
h(1) =0,231, h(2) = 0,4666, h(3) = 0,3024;
(Ь)
h(11
k=
2)
= 0,25,
h(21
k=
2)
=
0,75,
h(31
k=
2)
=
О.
10.7.
l~T)
=
(а
-
х)е-
Ж
,
d~l)
=
е-
Ж
(1-
e-
1
),
d~2)
=
(а
-
х
-1)е-
Ж
-
(а
-
х
_
2)е-
ж
-
1
.
2
а
-х
-СЖ
10.8.
1000
е
а
10
9
()
(Т)(
(Т)
(Т».
(Ь)
(Т)
и)
+
(Л
(Т)
и).
()
(Т)
(j)
. •
а
tРж
f..tx+t
-
f..tж,
tРж
f..tж+t
tqж
f..tЖ
-
f..tж+t,
С tРж
J.tx+t·
10.10.
о
0,17433
1 0,11210
2 0,05426
3 0,00000
10.11.
(а)
1 -
е-С;
(Ь)
С;
(с)
cJo
1
tP~T)
dt.
10.13.
m~СЛ
~
q~(j)
~
q1
j
).
0,27332
0,21163
0,15410
0,10000
10.21.
Правую
часть
в
п. (а)
надо
заменить
на
т51)/(1
+
~т1T»).
10.22.
(с)
(i)
tq~j>
=
Kj(1
-
e-[k/(n+1)]
tn
+t) =K
j
tq~T),
tq~(j)
= 1 -
e-[k/(n+1)]t
n
+
1
= 1 _
(tP~T»)Kj
.
(ii)
tq~j)
= K
j
(1
-
е(В/
lnc)(c
t
-1») =
К)
tq~T),
tq~(j)
=1 -
eKt(B/
lnc)(ct-l)
= 1 _
(tP~T»)Kj.
10.25.
о
0,17143
1 0,11111
2 0,05405
3 0,00000
0,27027
0,21053
0,15385
0,10000
10.27.
(а)
Из
равенства
q~З)
=
q~(З)[l_
~(q~(l)
+q~(2»)
+
~
q~(1)q~(2)]
получите
q~(3),
а
затем
воспользуйтесь
формулой
(9.6.3);
(Ь)
найдите
q~l)
из
соотношения,
выведенного
в
упр.
9.18,
q~l)
'"
q~(1)[l
_
~(q~2)
+
q~3»)].
(3)
10.28.
q69
= 0,94434.
1(1)
10.29.
qso
= 0,015.
44
d(2)
(2)
(2)
10.30.
1 -
I:
2~T~k
= 1 _
l20
~/65
k=O
120
l20
634
Приложение
7
j =
1,
t
~
О,
10.31.
(а)
Найдите
приближенные
значения
для
т~1)
,
т~2)
по
q~(1)
,
q:(2)
или
дЛя
q:(3)
,
q~(4)
по
т~3),
т~4);
00
d(4)
l(4)
(Ь)
1 -
'""'"
y+k
= 1 -
-у-.
L...J
l(T) l(T)
k=O
у
У
10.32.
(Вероятность
выбытия
по
причине
j
в
модели
с
несколькими
причинами
вы
бытия)
=
(абсолютный
коэффициент
выбытия
по
причине
j)
-
(вероятность
того,
что
про
изойдет
выбытие
по
причине
k, k i:
j,
а
затем
произойдет
выбытие
по
причине
j
до
того,
когда
(х)
достигнет
возраста
х
+1).
(
е(За
t
a
-
1
-{3t
.
Г(а)
е,
10.34.
(а)
fT,J
(t,
з)
=
(1
_
8)(ЗOttOt-1е-{3t
Г(а)
, j =
2,
t
;>,
О,
{
е
j =1
(З
Ot
t
а
-
1
е-{3t
fJ
(j)
=
l'
_
е
._ 2'
fr
(t) =
Г
(а)
;
, J - ,
(Ь)
Е[Т]
=
а/(З,
D[T] =
а/(З2.
Гл.ава
11
11.1.
Если
1
обозначает
смерть, а
2 -
выбытие
по всем
остальным
причинам,
то
актуарная
настоящая
стоимость
равна
00
1
40
t
(Т)
(1)
d
140
t
(Т)
(2)
- d 000 40
(1')_
20
О
О
V
tРзо
/-LЗО(t)
t +300
о
v
tРзо
/-L30(t)
t
40-tl
а
зо+t
t +12 v
40Рзо
а70·
11.2.
0,31075, 0,19717.
11.4.
ВХ
=
х/15
-
1/3,
20
~
х.
11.5.
2,250.
11.6.
(а)
Пусть
Sзо
= 1.
Тогда
SЗО+k
=
(1,05)k,
(1,1)(1,05)k,
(1,1)2(1,05)k,
(1,1)3(1,05)k,
о
~
k < 10,
10
~
k < 20,
20
~
k < 30,
k
;>,
30;
I<.I-Зl
(Ь)
1 200 L V
k
+
1
/
2
k+l/2P~~)
SЗО+k
.
k=O
I<.I~б
k+l/2
(Т)
[SЗ5+k
k]
11.7.
0,1
L...J
V
k+l/2P35
25000 S - 10000(1,05) .
k=O
35
11.8.
(а)
Здесь
а
= 55,
r.v
= 68,
~
k+l/2
(Т)
(Т)
(
1)
З
Z
50+k
-Т
L...J
V
kP50
q50+k
20
+k +
2"
s 640
a50+k+l/2
k=5
50
14
'""'"
k+l/2
(Т)
(Т)
(
1)
З
Z
50+k
-Т
+
L...J
V
kP50
Q50+k
20
+k +
2"
S 360
a50+k+l/2:15-k-l/21
.
k=5
50
Поскольку
q~~~k
=
О
при
k < 5,
суммирование
здесь
можно
производить
по
k
от
k =
О.
(Ь)
Последние
три
слагаемых
в
первой
сумме
заменяются
на
17
'""'"
k+l/2
(7')
(Т)
З
Z
50+k
(
)-т
L...J
v
kP50
Q50+k
S 22400
a50+k+l/2'
k=15
50
(с)
В
ответе
к
упр.
п.
(а)
замените
20 +k +
1/2
на
20.
Приложение
7
635
14
11.9.
(а)
R(30, 20, 15) = 8000 +720 L
8;0+j
j
j=O
50
720 (
14
1)
(Ь)
R(30, 20,
15~)
= 8000 + S
2::
8
50
+j + '2865 j
50
.
О
17
з=
(
)
8000
""'
k+l/2
(Т)
(Т)
-Т
С
L v
kP50
q50+k
a50+k+1/2;
k=8
17
k-1
(d)
""'
k+1/2
(Т)
(Т)
720
(""'
8 1 8
)-Т
L v
kP50
Q50+k
S L
50+j
+
'2
50+k
a50+k+l/2,
что
совпадает
с
суммой
ПО
k=O
50
j=O
k
от
8
до
17,
или
720
[~8
(1
j+l/2
(Т)
(Т)
~T
~
k+l/2
(Т)
(Т)
-Т
)]
S L
50+;
'2
V
jP50
Q50+j
a50+j+l/2
+ L V
kP50
Q50+k
a50+k+l/2
.
50
;=0
k=j+l
11.10.
1,0756.
11.11.
(а)
20000/00
vttPi~)J.L~~)(15+t)
8;он
a40+t
dt
j
15
40
(Ь)
600
/00
v
t
tP~~)
J.L~~)
(15 +t)
8;0+t
(15 +t)a40+t dt;
15
40
(с)
600
(15
v
t
tP~~)
J.L~~)(15
+t)
8;он
(15 +
t)
15-tli.i~0+t
dt,
где
w
в
верхнем
индексе
сим-
10
40
вола
для
аннуитета
означает,
что
эту
величину
надо
вычислять,
используя
коэффициент
смертности
для
лиц,
уже
вышедших
на
пеНСИЮj
(d)
1000
i~
v'
,p~~)
I'\~)
(15+t)
(8
+
10'
840;4:
du)
а,он
dt;
если
8
ж
-
ступенчатая
Фуик
ция,
являющаяся
постоянной
в
промежутках
между
целыми
значениями
возраста,
то
1000
i~
v'
,p~~)
I'\~)
(15+
t)
[8+
8:0
(
(?~
1
84ОН)
+
840+['
J(t -
Lt
J)) ]
а40Н
dt;
(е)
1000
1015
v'
'P~~)
I'\~)
(15 +t)
(8
+
8:0
10'
840+и
du
).'-'lа:,ОН
dt;
если
8
ж
-
ступеича
тая
функция,
являющаяся
постоянной
в
промежутках
между
целыми
значениями
возраста,
то
39
""'
k+l/2
(Т)
(Т)
()
8ЗО+k+l/2
-Т
11.12.
L v
kРзо
QЗО+k
0,60 35 000 S
аЗО+k+1/2
k=30
30
~
k+l/2
(Т)
(Т)
()
869+1/2
-Т
+ L V
kРзо
QЗО+k
0,60 35 000 S
аЗО+k+l/2'
k=40
ЗО
24
11
13
(
)
24
000
1
""'
k+l
(Т)
(i)
..
(l2)i
. .
а
й,(Т)
L V
kРЗ5
Q35+k
a[36+k]:28-kl
j
35:25l
k=O
(Ь)
24
ООО(I~пi5
-~gП~5)й,
~~\51'
где
24
000~gП;5
и
24000igПl
5
-
ежегодные
нетто-премии,
обеспечивающие
страховые
выплаты
лицам
(35)
и
(45)
соответственно.
ГJl.ава
12
12.1.
S =
Хl
+
Х
2
+.
" +
XN,
где
N -
число
автомобилей,
а
X
i
-
число
пассажиров
в
i-M
автомобиле.
636
Приложение
7
12.2.
Пусть
N -
число
дождей,
а
Xi
-
количество
дюймов
осадков
во
время
i-ro
дождя,
12.3.
(а)
nРР1;
(Ь)
nРР2
-
np2p~;
(с)
(рМж(t)
+1 _
р]п.
12.4.
Са)
1,7;
(Ь)
0,81;
(с)
1,6;
Cd)
0,44;
(е)
2,72;
СС)
2,8216.
12.5.
(а)
2,72;
СЬ)
5,1.
12.6.
е-
2
,
0,2е-
2
,
0,42е-
2
,
0,681333е-
2
,
1,008067е-
2
.
А
12.8.
r =
-ln(l
_
с)
,
р
= 1 -
с.
12.9.
з24х2Зе-ЗЖ/23!.
12.10.
Пуассоновское
с
параметром
Ар.
12.12.
Сложное
пуассоновское
с
А
=8,
p(l)
=0,05,
р(2)
= 0,15,
р(3)
=0,425,
р(4)
=
0,375.
12.13.
Сложное
пуассоновское
с
А
=14,
р(
-2)
=
1/14,
р(1)
=
4/14,
р(3)
=
9/14.
P(N=n)
12.14.
P(N=
n +1) =
А
.
n+1
12.16.
(а)
0,425;
СЬ)
0,3984;
Се)
0,184;
нет:
P(N
1
=
1,
N2=
1)
:f.
PCNl =
1)P(N2
=1).
12.17.
Сложное
Сложное
отрицательное
Сложное
x/f(x)
пуассоновское
биномиальное
биномиальное
О
0,011109
0,044194 0,001953
1
0,034993 0,069606
0,012305
2
0,070112 0,096827 0,039727
3
0,105111 0,108230 0,085805
4 0,130100
0,110967
0,137767
5
0,138723
0,104988 0,173661
E[N] =4,5 E(N] =4,5
E(NJ
=4,5
D(N] =4,5
D[N]
=9
D[N]
=2,25
12.25.
(а)
Ф(2)
= 0,9772;
(Ь)
G(
44/3
:
256/9,8/3).
( )(
')
Р2
С")
Р2
+
(q/p)p~
12.26.
Ь
1
А(рl(l
+0)]2;
11
(rQ/p)(pl(1 +0»)2'
12.28.
(а)
о!,
р/1Г(i).
Глава
13
13.1.
(а)
-1;
(Ь)
e-
R
(1.I+l);
(с)
ln(p/q); (d) (p/q)U+l.
f(t-8)
dt
13.3.
( .
1 - F t - 8)
13.5.
О;
"
13.7.
(а)
3;
(Ь)
1.
10
13.8.
71n2
-1.
13.12.
(а)
.!.
Р2
;
(Ь)
.!.
рз
;
(с)
.!.
рз
_ !
(Р2)
2.
2
Рl
3
Pl
3
Рl
4
Pl
13.13.
(Ь)
E[L]
=!
Р2
,
D[L]
=!
Рз
+!
(Р2
)2.
2 0Pl 3
еР1
4 0Pl
13.14.
20т
.
1 +
(1
+
О)2т
- e
2r
13.15.
Са)
2/3;
(Ь)
2.
Приложение
7
n Ai
13.16.
Рl
= L -[3
..
i=1
~
5 4
-17т
+54 4 10 -
3т
4 2 1 4
13.17.
(а)
27;
(Ь)
5";
(с)
3{3-т)(6-т);
(d) 9
8-6т+т
2
= 9
2-т
+9
4-т'
4 1 5 1
(е)
'Ф{и)
= 9
е-
2и
+ 9
е-
4и
.
Проверьте,
что
-ф(0)
= 9 = 1 +
()'
10 9
13.18.
(а)
3";
(Ь)
2;
(с)
(3 _
5т)2
;
(d)
~
0,12 -
О,1т
2 =
О,4{0,3)
_ 0,067{0,8) ;
(е)
-ф(u)
=
О,4е-
о
,
3и
_
0,067e-
о
,8и.
3 0,24 -
1,1т
+r 0,3 - r 0,8 - r
()
1
а
2 1 (
а
2
а
)
13.19.
(а)
~
= 1 +
О'
E[L] = 1 +
()
(3
,
E[L
] = 1 +
()
[32
+
[32
;
1
(Ь)
'Ф{и)
= 1
+0[1-
G{u:a,(3)].
(
)
~
[
Ai/Bi
][3'
-{3i
Х
•
(Ь)
Ai/Bi
. - .
13.20.
а
~
n
~e,
[ n ] , t - 1,2,
...
,
n,
~=1
Z=(Aj/B
j
)
z=(Ai/Bi)
j=1
i=1
(с)
t
[п
Ai/Bi
]~.
i=1
z=(Aj/B
j
)
[3~
j=1
(
)
21
-3х -7ж
(Ь)
29
()
1009
13.21.
а
10
е
+
е
; 105;
с
11
025 .
13.23.
(а)
fc,
fл,
'Ф(и,
ft);
(Ь)
I/Л.
13.24.
10/3.
13.25.
(а)
'IjJ'{и)
=
{(Л/С)'IjJ{u)
-
л/с,
о
~
u
~
1,
(л/с)-ф(u)
-
(л/с)'IjJ{u
- 1),
и>
1.
(Ь)
'IjJ(u)
=
1-
(1-
л/с)е(Л/С)U,
о
~
u
~
1.
Глава
14
14.1.
(Ь)
b
2
pq;
(с)
S = 0,233.
14.3.
(а)
31,35
дней;
(Ь)
2,99848с.
14.4.
(а)
0,13022;
(Ь)
0,09823;
(с)
0,05683.
14.5.
(а)
Е[В]
= 4,7, D[S] = 16,40;
(Ь)
л
= 1,7,
р(l)
=
7/17,
р(4)
=
10/17,
16,7.
n n
14.6.
(а)
L
bj
)..j,
L
ь;
)..j;
(с)
167,293.
j=1
j=1
qiqj
14.7.
""
.
L.J L.JQkQI
k<l
14.9.
"ф(d~l")
_(d_I")[l_ф(d
,,1")].
14.10.
(а)
-[1
- Fs(x)];
(Ь)
fs(x
+ 1).
14.11.
fs{x)
=
2х,
О
<
х
< 1.
14.12.
х
fs(x)
Fs(x)
E[I
x
]
О
0,050 0,050 3,500
1 0,124 0,174 2,550
2 0,180 0,354 1,724
14.13.
(а)
0,3885;
(Ь)
0,985.
637
638
Приложение
7
14.14.
0,8E[Id] - 0,8E[It],
где
1= d +
т/0,8.
14.15.
3,758.
.8
'{
-
81
2
14.16.
Q =
~
- YI"'+'{; 8 <{
и
(1
+8) < 1 +
{.
1"
{1
+{
28
14.17.
0=
-;-
-1;
{>
28.
1"
1
-J3(l-r)
{3 {3
-
те
14.18.
(1
+8) -
(1
+
{)е-
, 1 +
[(1
+8) -
(1
+
{)е-
]т
= 1 _
т
.
1,25 -
20
14.19.
R =
(1
_ 0)2 I
0=0,25.
14.20.
Н.
=
~
In {
ф
( d :
р)
+
[1
_
Ф
( d :
р
_
ou
) ]
ехр
[<:>(р
_d) +
<:>';']
}
Замечание:
ответ
к
упр.
14.9 -
предел
величины
Hd
при
а
-+
О.
14.21.
Обратное
гауссовское
распределение
с
параметрами
а
и
fЗ.
14.23.
(а)
е-"{
е'n>Н"/'
[1-
фСnd
-
j;'u+t
u
'»)]
-
d[1-
Ф
Cn~:m)]};
(Ь)
т
=
д
-
и
2
/2;
(с)
Ф
(-ln
d +
tб
+
tu
2
/2) _
de-tStф
(-ln
d +
tб
-
tu
2
/2) .
Vf,u
.ли
Глава
15
15.1.
(а)
566,50
Сберегательный
счет
Поступление
премий
Инвестиционный
доход
Увеличение
резервов
Чистый
доход
Резерв
Сальдо
===
566,50
550,00
16,50
566,50
485,44
81,06
485,44
81,06
566,50
(Ь)
1 -
Ф(5,28)
= 0,00000.
15.3.
(Ь)
(i) 7425,56, (ii) 183833;
(с)
(i) 7500,
(Н)
187500; (d) 7425,56;
(е)
7500;
(!) 0,171914.
15.4.
(а)
288,41;
(Ь)
332,35.
1000..1[40]:251
+
4а[40]:251
+8,5
15.5.
.
О,93а[40]:251
+0,0510E[40]
a[40]+lO:I5l
- 0,35
1
OOOA
x
:
rn
+2,bli
x
:
rn
+2,5
15.6.
------.,;----'-
0,935
15.7.
а
= 1+
ео
+
е2
+
ез, С
=
el
+deo.
р
(Ах)
+
а
8 1 f
Р
(Ах)
+
а
()
1 f
15.8.
(а)
1 _
Р
+ 1 _
р ь
=
1г
+
ь;
(Ь)
1 _
р
+ 1 _
р
Е(В]
=
1г
+
Е[В]
.
15.9.
(а)
200;
(Ь)
20;
(с)
,\1"200.
,1
ОООА
х
+
0,5а
х
+ 2,5
15.10.
(а)
Первый
год:
а
Ь
+
14~29,
где
а
=
О
95а
_
О
25
.
Второй
и
последующий
годы:
а
Ь
+2,63. '
х
,
(Ь)
В
'ь
2,5а
х
- 7,5
се
годы:
а
+
О,95а
х
_ 0,25 .
9
(Т)
(1
+
i)lO-k
15.12.
(G2
- G1)
L(1-
ck)lx+k
(Т)
k=O
lX+l0
15.14.
(Ь)
100
(e-
tS
/
u
-
e-tSU)[Ь
t
+
u
J.Lx(t
+
и)
- nt+u] uPx+t
du.
Приложение
7
639
Глава
16
, >
P~H
>
P~
16.1.
t
W
Ж
< t W
x
В
зависимости
от
--
-
-.
P
x
+
t
<
Р
Х
16.2.
~
+
(~
-
1)
Ax~t:n=tl.
2 2
n-tЕ
ж
+
t
- 1
10CV
- L -
(1
-
L)А
40
:
Пi1
.
- 1
16.3.
(а)
Е
'
(Ь)
(1
-
L)A
45
.
51
+
Е
5Е45.
10
40
.
16.4.
i8w40
= 0,5829,
10W
40
:2Ol
= 0,6232,
отношение
=0,5.
ра
16.7.
Бессрочное
на
случай
смерти:
1 -
-р
х
,
на
случай
смерти
на
срок
n
лет:
1 -
x+k
пР:
1 -
P:'
1il
Р
,
смешанное
на
срок
n
лет:
р
'.
n-k
x+k
x+k:n-kl
6
Б
v 1
РЖ+l
v 1
1
.8.
ессрочное
на
случаи
смерти:
-
-р
,
на
случаи
смерти на
срок
n
лет:
-
x+k
19Рх+l
-
A;:Il
.
рсоm
=
nРх
+
..
,
смешанное
на
срок
n
лет.
1 - Р ,
где
а
ж
:1il
x+k:n-kl
рсот
---'-
,
где
рсоm
n-kРх+k
Р
соm
_
р
19Р
х
+l
-
A;:Il
- x:1il +
..
.
ax:nт
16.9.
(с)
ах
Gе
бt
+
ax+k+t
(/Lж+k+t
+
8)
-
1.
9
(Т)
(1
+
i)10-k
16.10.
(С
2
-
аl)
I:(1
-
Сk)lЖ+k
(Т)
k:::::O
[х+l0
16.13.
(Ь)
1 + Zh:-l
P~+h
.
1 +
~
Px+h
-
Аж
16.15.
f3
= - - .
(Пi)х:rm/
т
+
ml
Ах
16.16.
a~od
=
А
1.I]
+
КI
Е
ж,
f3~od
=
Р
х
+
1
_ ..
К.
х.
а
х
+l
16.23.
(а)
f3
= 0,03, Q =0,01,
f3
-
а
< 0,05;
(Ь)
0,28; (d) 0,0867;
(е)
0,0278.
16
24
г\>
-
{3Соm
_
(Р
_
А
1
)
{з
_ P
x
:
2Ol
ii
x
:I51
- Q
• •
u.
- x:2Ol
19
ж+l
ж:11'
- .
a
x
:I4l
16.25.
т
=
рсоm
-
19
Р
Х+l.
Глава
17
- - +
20
-
20-
a20l
- a
x
:2Ol
v
15Рх
а
х
+
15
:51
- v
20Рж
а51
.
640
Приложение
7
17.10.
(а)
v
T
a
25
_
T
I,
Т
~
15,
vTaIO],
15
<
Т
~
25,
z=
v
25
aIO],
25
<
Т
~
35,
25-
Т
...
35
v aT-251,
;>;
(Ь)
115
v'
ii
2Б
_,1
'Р40
1'40(t)
dt
+
iiI01J.25
v'
,р<о
1'<0
(t) dt
о
+v25iiI011З5
tP40J.L40(t)dt+
1
:
25
Г
Х)
a
t
-251tР40
J.L40(t)
dt.
25
./35
17.15.203421.
17.16.
(а)
55;
(Ь)
53759,04.
17.18.
(с)
J.L(З)
при
д
-+
О,
J.L(З)/4
при
б
-+
00.
Глава
18
18.1.
(а)
2
или
4
лица
из
ш,
Х,
у,
Z
доживут
до
момента
t;
(Ь)
1
или
3
лица
из Ш,
Х,
У,
z
доживут
до
момента
t.
18.3.
(а)
6,5;
(Ь)
3236,71.
18.4.
tDз
- 3
tD
4
,
где
tDз
=
tPw:z;y
+
tpw:z;z
+tPwyz +
tРжуz
и
tD4
=
tРwжуz.
18.5.
a
w
-
(а
wжу
+
а
wжz
+a
wyz
) +
2а
wж
уz.
18.6.
0,624010.
18.7.
(а)
15(а
ж
+
ау
+a
z
)
-
10(ажу
+
D.жz
+a
yz
) +
9а
жуz
i
(Ь)
15а
ж
-
5(ажу
+
а
жz
)
+
зa
xyz
.
18.8.
4,6.
( )
12
ООО(
(12)
(12)
2
(12)
).
(Ь)
12000(
(12) (12)
(12)
)
18.9.
а
а
4о
:
251
+
а
з5
:
251
-
а
4О
;З5:251'
.
а
4о
:
251
+
а
з5
:
3Oi
-
а
4О
;З5:251
.
18.10.
(а)
ах
+
ау
+
ат
-
ау:т
-
ажу
-
аж:nJ
+a
x
y:1iI;
(Ь)
аЗOl
+a
25
:4Ol-
а
25
:ЗО1'
18.11.
(а)
1/7;
(Ь)
26/105;
(с)
64/105.
-4
- 4 - 4 - 4
18.12.
(а)
1
неверно.
Замените
правую
часть
на
Aw:z;yz
+A
wxyz
+
Aw:z;yz
+ A
wxyz
;
(Ь)
II
верно;
(с)
111
неверно.
Замените
правую
часть
fla
-1
-1
-1
-1
-1
-1
- 1
A
wz
+
А
жz
+A
yz
-
2(А
wжz
+ A
wyz
+
А
жуz
)
+
3А
wжуz
'
18.1з.100
v
t
tpxy J.ly(t)tA:z;+t
dt.
18.14.
(а)
5/7;
(Ь)
3/7.
18.15.
A~:~(Ay:z+llO!
-
Ажу:z+;ОI)
-
Ayz:тJJ(AlI+I0:Z+1~1
-
АЖУ+I0:Z+1~1)'
10
-1 -1 -1
1
-1
1
-1
1
-1
18.16.
v
(А
жу
+ A
xz
-
А
жуz
)
-
Ау:Гб1АХ:У+I0
-
АZ:Гб1АЖ:Z+I0
+
АlIz:щАх:у+l0:Z+l0'
-1
1 - 1
18
17
АЗО:51
+
АЗО:51АЗ5:БО
• • 1 1 1 .
1,075
-
АЗО;51АЗ5:БО
18.20.
(а)
100
(1
- tPw) tpx
J.Lx(t)
tPyz dt;
(Ь)
tq~yZ
- ooqw;yz.
18.22.
(а)
25/72;
(Ь)
19/36;
(с)
5/8.
18.23.
0,07.
18.24.
(а)
0,3;
(Ь)
0,2;
(с)
1/30.
18.25.
/15
(1
-
t-l0Рж)
tPy J.Ly(t)(t+l0Pz - 25Pz)
dt.
10