Бауэрс Н., Гербер Х., Джанс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика
Подождите немного. Документ загружается.
62
Гл.
2.
Модели
индивидуальных
рисков
Обратите
внимание
на
то,
что
случайная
величина
и
имеет
гамма-распределение
с
параметрами
ct = 9
и
/з
=
1/2.
Гамма-распределение
с
Q'
=
n/2
и
{3
=
1/2
является
х
2
-распределением
с
n
степенями
свободы.
Таким
образом,
С.в.
и
имеет
х
2
-распределение
с
18
степенями
свободы.
Из
таблиц
х
2
-распределений
мы
получаем
УО,О5
=28,869
и
УО,Оl
=
34,805.
К
разделу
2.5
2.13.
Вычислите
вероятность
того,
что
общие
затраты
в
примере
2.5.3
будут
превы
шать
8250000
при
условии,
что
уровень
собственного
удержания
равен
(а)
30000,
(Ь)
50000.
2.14.
Вычислите
уровень
собственного
удержания,
который
минимизирует
вероятность
того,
что
общие
затраты
в
примере
2.5
будут
превышать
8250000.
Предположите,
что
этот
уровень
находится
между
30 000
и
50 000.
2.15.
Страховая
компания,
занимающаяся
страхованием
от
огня,
приняла
на
страхо
вание
160
объектов.
Договор
предусматривает
покрытие
потерь
в
результате
пожара
до
предела,
обусловленного
договором.
Распределение
числа
контрактов
в
зависимости
от
до
говорной
суммы
приведено
в
следующей
таблице:
Договорная
сумма
10000
20000
30000
50000
100000
Количества
договоров
80
35
25
15
5
Предположим,
что
для
каждого
объекта
вероятность
наступления
одного
страхового
случая
в
течение
года
равна
0,04,
а
вероятность
наступления
более
чем
одного
страхово
го
случая
в
течение
года
равна
нулю.
Предположим,
что
пожары
в
объектах,
принятых
на
страхование,
являются
взаимно
независимыми
событиями.
Далее,
предположим,
что
условное
распределение
величины
страховых
выплат
при
условии,
что
страховой
случай
произошел,
является
равномерным
на
интервале
от
О
до
максимальной
суммы,
обуслов
ленной
договором.
Пусть
N -
число
страховых
случаев
и
S -
величина страховых
выплат
за
период
в
один
год.
(а)
Подсчитайте
среднее
и
дисперсию
с.в.
N.
(Ь)
Подсчитайте
среднее
и
дисперсию
С.в.
S.
(с)
Какую
относительную
рисковую
надбавку
()
следует
использовать,
чтобы
компа
ния
могла
собрать
сумму,
равную
99-й
персентили
распределения
общей
суммы
страховых
выплат?
(Воспользуйтесь
нормальным
распределением.)
2.16.
Рассмотрим
портфель,
содержащий
32
договора
страхования.
Для
каждого
до
говора
вероятность
q
наступления
страхового
случая
равна
1/6
и
В,
величина
страховой
выплаты
при
условии,
что
страховой
случай
произошел,
имеет
функцию
плотности
f(y)
= {2(1 -
у),
о
<
у
<
1,
О
в
противном
случае.
Пусть
S
является
общей
суммой
страховых
выплат
по
портфелю.
Воспользовавшись
нор
мальной
аппроксимацией,
оцените
Р
(S
>4) .
3
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ
)l(ИЗНИ
И
ТАБЛИЦЫ
СМЕРТНОСТИ
3.1.
Введение
В
гл.
1
было
показано,
как
страхование
может
увеличивать
ожидаемую
полез
ность
для
лица,
подвергающегося
риску
случайных
потерь.
В
гл.
2
были
разрабо
таны
простые
модели
для
страховых
договоров,
заключенных
на
один
временной
период.
Основой
этих
моделей
были
бернуллиевские
случайные
величины,
отража
ющие
наступление
или
ненаступление
страхового
случая.
Наступление
страхового
случая
в
некоторых
примерах
приводит
к
другому
случайному
процессу,
определя
ющему
величину
потерь.
В
гл.
с
4
по
8
мы
будем
в
основном
рассматривать
модели
страховых
систем,
предназначенных
для
работы
со
случайными
потерями,
в
кото
рых
случайность
связана
с
тем,
насколько
долго
будет
жить
некое
лицо.
Основным
структурным
элементом
в
этих
главах
является
случайная
величина,
называемая
nродОЛ:JfCuтелъностыо
nредсто,я,щей
:JfCUЗНU
(временем
дожития)
и
обозначаемая
через
Т(х).
В
настоящей
главе
мы
изложим
ряд
идей,
которые
позволят
описывать
и
использовать
распределение
как
этой
случайной
величины,
так
и
соответствующего
ей
возраста
в
момент
смерти
Х.
Мы
покажем,
как
распределение
случайной
величины
«возраст
в
момент
смер
ти»
можно
представить
посредством
таблицы
смертности.
Эти
таблицы
полезны
во
многих
областях
знания.
Поэтому
в
каждой
из
этих
разнообразных
областей,
где
используются
таблицы
смертности,
была
разработана
СБОИ
терминология
и
обо
значения.
Например,
инженеры
используют
таблицы
смертности
для
изучения
на
дежности
сложных
механических
и
электронных
систем.
В
биостатистике
таблицы
смертности
используются
для
сравнения
эффективности
различных
методов
лече
ния
серьезных
заболеваний.
Демографы
используют
таблицы
смертности
как
сред
ство
популяционного
проектирования.
В
этой
книге
таблицы
смертности
будут
ис
пользоваться
для
построения
моделей
страховых
систем,
призванных
содействовать
людям,
находящимся
перед
лицом
неопределенности,
связанной
с
моментом
наступ
ления
их
смерти.
Это
приложение
определяет
принятую
нами
точку
зрения.
Однако
в
тех
случаях,
когда
это
позволяет
прояснить
связь
с
другими
дисциплинами,
мы
обсудим
иные
приложения
таблиц
смертности.
Таблица
смертности
является
незаменимой компонентой
многих
моделей
акту
арной
науки.
Некоторые
исследователи
считают
датой
рождения
актуарной
науки
1693
г.
В
этом
году
Эдмунд
Галлей
(Е.
НаlIеу)
опубликовал
труд
«Аn
Estimate
of the
Degrees
of
the
Mortality
of Mankind,
Drawn
from Various Tables of
Births
and
Funerals
at
the
City of
Breslau~
(<<Оценка
степени
смертности
человечества,
выведенная
из
различных
таблиц
рождения
и
погребения
в
городе
Бреславле~).
Таблицы
смертно
сти,
названные
Бреславльскими,
которые
содержатся
в
статье
Галлея,
по-прежнему
64
Гл.
З.
Распределения
продолжительности
жизни
и
таблицы
смертности
представляют
интерес
из-за
удивительно
современной
системы
обозначений
и
поня
тий.
3.2.
Вероятности,
относящиеся
к
возрасту
в
момент
смерти
В
этом
разделе
мы
опишем
неопределенность,
связанную
с
возрастом
в
момент
наступления
смерти,
в
вероятностных
терминах.
3.2.1.
Функция
дожития
Рассмотрим
новорожденного.
Возраст
в
момент
смерти
Х
для
этого
новоро
жденного
является
случайной
величиной
непрерывного
типа.
Обозначим
через
F
х
(х)
функцию
распределения
этой
случайной величины,
и
положим
Рх(х)
=
Р(Х
~
х),
х
~
О,
(3.2.1)
(3.2.3)
8(Х)
= 1 -
Рх(х)
=
Р(Х
>
х),
х
~
О.
(3.2.2)
Мы
будем
всегда
предполагать,
что
РХ
(О)
=
О,
откуда
следует,
что
8(0) = 1.
Функ
цИЯ
8(Х)
называется
фу'Н'Кцией
дОЭICuтuя.
Для
любого
положительного
х
величина
s(x)
является
вероятностью
того,
что
новорожденный
достигнет
возраста
х.
Распре
деление
с.в.
Х
может
определяться
либо
заданием
функции
распределения
Рх(х),
либо
функции
s(x).
В
актуарной
науке
и
в
демографии
функция дожития
традици
онно
использовалась
как
исходная
точка
для
дальнейших
исследований.
В
теории
вероятностей
и
в
статистике
такую
роль
играет
функция
распределения.
Однако
из
свойств
функции
распределения
мы
можем
вывести
соответствующие
свойства
функции
дожития.
Опираясь
на
вероятностные
законы,
мы
можем
формулировать
вероятностные
утверждения
о
возрасте
в
момент
смерти
в
терминах
либо
функции
дожития,
либо
функции
распределения.
Например,
вероятность
того,
что
новорожденный
умрет
в
возрасте
между
х и
z
(х
<
z),
равна
Р(х
<
Х
~
z) =
Fx(z)
-
Рх(х)
= s(x) -
8(Z).
3.2.2.
Продолжительность
предстоящей
жизни
для
лица
в
возрасте
х
'Условная
вероятность
того,
что
новорожденный
умрет
в
возрасте
между
х
и
z
при
условии,
что
он
доживет
до
возраста
х,
равна
Р(
Х
IX
)
-
Fx(z)
-
Рх(х)
_
8(Х)
- s(z)
х<
~z
>х
-
1-F
x
(x) -
8(Х)
.
Символ
(х)
используется
для
обозначения
лица
возраста
х.
Продолжительность
предстоящей
жизни
этого
лица
(х),
Х
-
х,
обозначается
через
Т
(х)
.
в
актуарной
науке
часто
необходимо
формулировать
вероятностные
утвержде
ния
о
Т
(х)
.
Для
этого,
а
также
для
содействия
исследованиям
и
научным
контактам
на
Международном
конгрессе
актуариев
1898
г.
была
впервые принята
система
сим
волов,
которая
составила
часть
Международной
системы
актуарных
обозначений.
Были
разработаны
символы
ДЛЯ
общеупотребительных
актуарных
функций
и
прин
ципы
принятия
новых
обозначений.
Эта
система
подвергал
ась
постоянным
пере
смотрам
и
по мере
необходимости
обновлялась
и
дополнялась
Постоянным
комите
том
по
обозначениям
Международной
актуарной
ассоциации
(International Actuarial
3.2.
Вероятности,
относящиеся
к
возрасту
в
момент
смерти
65
Association).
В
настоящей
книге
всюду,
где
только
возможно,
мы
будем
придержи
ваться
этих
соглашений
об
обозначениях.
Актуарные
символы
отличаются
от обозначений,
принятых
в
теории
вероят
ностей,
и
читатель,
возможно,
с
ними
незнаком.
Например,
функция
одного
пере
менного,
которая
записывается
в
виде
q(x)
в
вероятностных
обозначениях,
в
этой
системе
будет
записываться
в
виде
qx.
Аналогично,
функция
многих
переменных
за
писывается
в
актуарных
обозначениях
при
помощи
комбинации
верхних
и
нижних
индексов
и
иных
символов.
Общие
правила
для
определения
функции
в
актуарных
обозначениях
приведены
в
приложении
4.
Читатель
может
ознакомиться
с
ними
перед
тем,
как
переходить
к
обсуждению
случайной
величины
продолжительности
предстоящей
жизни.
Для
формулировки
вероятностных
утверждений
о Т(х)
мы
будем
пользоваться
обозначениями
tqx
=
Р[Т(х)
~
t],
tPx
= 1 -
tqx
=
Р[Т(х)
>
t],
t
~
О,
t
~
О.
(3.2.4)
(3.2.5)
Символ
tQx
можно
интерпретировать
как
вероятность
того,
что
(х)
умрет
в
течение
ближайших
t
лет.
Другими
словами,
tqx
является
функцией
распределения
С.в.
Т(х).
С
другой
стороны,
tPx
может
интерпретироваться
как
вероятность
того,
что
(х)
достигнет
возраста
x+t.
Другими
словами,
tPx
является
функцией
дожития
для
(х).
В
частном
случае
лица
в
возрасте
О
мы
имеем
Т(О)
=
Х
и
хРо
=
в(х),
х
~
О.
(3.2.6)
Если
t = 1,
то
по
соглашению
мы
можем
опускать
первый
индекс
в
обозначениях,
введенных
формулами
(3.2.4)
и
(3.2.5),
получая
qx
=
Р
[(
х)
умрет
в
течение
одного
года],
Рх
=
Р((х)
доживет
до
возраста
х
+ 1
лет].
Существует
специальный
символ
для
более
общего
события,
состоящего
в
том,
что
(х)
проживет
t
лет
и
умрет
в
течение
последующих
и
лет,
т.
е.
что
(х)
умрет
в
возрасте
между
х
+ t
и
х
+t +
и,
а
именно
tluqx
=
P[t
<
Т(х)
~
t +
и]
=
t+uqx
-
tqx
=
tPx
-
t+uPx
(3.2.7)
Как
и
ранее,
если
u = 1,
то
соответствующий
нижний
индекс
в
обозначении
tluQx
опускается,
и
мы
получаем
символ
tjqx.
Сейчас
у
нас
есть
два
выражения
для
вероятности
того,
что
(х)
умрет
в
возра
сте
между
х и х
+
и.
Формула
(3.2.7)
при
t =
О
дает
первое
из
этих
выражений,
а
формула
(3.2.3)
с
z =
х
+
и
-
второе
выражение.
Будут
ли
эти
две
вероятности
различными?
Формула
(3.2.3)
может
интерпретироваться
как
условная
вероятность
того,
что
новорожденный
умрет
в
возрасте
между
х и
z =
х
+u
при
условии,
что
он
доживет
до
возраста
х.
Единственная
информация
о
новорожденном,
к
настояще
му
моменту
достигшем
возраста
х,
состоит
в
том,
что
он
дожил
до
этого
возраста.
Поэтому
рассматриваемое
вероятностное
утверждение
основано
на
условном
рас
пределении
при
условии
дожития
для
новорожденных.
С
другой
стороны,
формула
(3.2.7)
при
t =
О
определяет
вероятность
того,
что
лицо,
наблюдаемое
в
возрасте
х,
умрет
в
возрасте
между
х и х
+
u.
Данные
о
лице
в
возрасте
х
могут
содержать
не
только
информацию
о
том,
ЧТО
оно
дожило
до
этого
3-
1855
(3.2.8)
(3.2.9)
66
Гл.
З.
Распределения
продолжительности
жизни
и
таблицы
смертности
возраста.
Это
может
быть
информация
о
том,
что
рассматриваемое
лицо
прошло
ме
дицинское
обследование
перед
заключением
договора
о
страховании,
или
же
о
том,
что
это
лицо
ТОЛЬКО
что
начало
курс
лечения
от
серьезного
заболевания.
Таблицы
смертности
в
том
случае,
когда
данные
о
лице
в
возрасте
х
содержат
не
только
информацию,
что
новорожденный
дожил
до
возраста
х,
обсуждаются
в
разд.
3.8,
где
для
этих
таблиц
вводятся
дополнительные
обозначения.
Мы
будем
продолжать
развивать
теорию,
предполагая,
что
формулы
(3.2.3)
и
(3.2.7)
не
содержат
смысло
вых
различий,
т.
е.
будем
до
разд.
3.8
считать,
что
информация
о
лице,
дожившем
до
возраста
х,
дает
то
же
условное
распределение
продолжительности
предстоящей
жизни,
что
и
информация
о
дожитии
новорожденного
до
возраста
х,
а
именно
x+tPO
в(х
+t)
tPx
= =
()'
хРО
s
х
_ 1 _
в(х
+t)
tQx -
в(х)'
При
таком
подходе
формула
(3.2.7)
и
многие
ее
частные
случаи
могут
быть
выра
жены
в
виде
в(х
+t) -
в(х
+t +
и)
tluqx
=
в(х)
в(х
+t)
в(х
+t) -
в(х
+t +
и)
-
в(х)
в(х
+ t) =
tPx
uqx+t·
(3.2.10)
3.2.3.
Пошаговая
продолжительность
предстоящей
жизни
С
продолжительностью
предстоящей
жизни
связана
дискретная
случайная
ве
личина,
определяющая
число
полных
будущих
лет,
прожитых
лицом
(х)
до
смерти.
Она
называется
nошаговоu
nродол:»сumель'Носmью
nредсmо.ящеЙ
:»сuз'Нu
1
)
лица
(х)
и
обозначается
через
К(х).
Поскольку
С.в.
К(х)
является
наибольшим
целым
чис
лом,
не
превосходящим
Т
(х),
ее
функция
вероятностей
задается
выражением
Р[К(х)
=
k]
=
P[k
~
r(x)
<k +
1]
=
P[k
<
Т(х)
~
k +
1]
=
kPx
-
k+lPx
=
kPx
Qx+k
=
klQx,
k =
0,1,2,
....
(3.2.11)
У
~
о
и
k
является
целой
частью
числа
у.
Перемена
неравенств
местами
здесь
возможна,
поскольку
при
наших
предположе
ниях
о
том,
что
распределение
Т(х)
непрерывно,
Р[Т(х)
=
k]
=
Р[Т(х)
= k +
1]
=
О.
Формула
(3.2.11)
является
частным
случаем
формулы
(3.2.7),
где
и
=1
и
k
являет
ся
неотрицательным
целым
числом.
Из
соотношения
(3.2.11)
следует,
что
функция
распределения
С.в.
К(х)
является
ступенчатой
функцией
и
k
FK(x)
(У)
= L hlQx =
k+lQx,
h=O
Часто
из
контекста
ясно,
что
Т(х)
является
продолжительностью
предстоящей
жизни
лица
(х).
В
этом
случае
мы
будем
писать
Т
вместо
Т(х).
Аналогично,
мы
будем
писать
К
вместо
К(х).
l)в
оригинале
ccurtate-future-lifetime•.
Иногда
эту
величину
называют
усе'Ч.ен.ноЙ
(урезанной)
nродОЛ:>ICиmельносmью
nредсmо.ящеЙ
жизни.
Эти
два
термина
отражают
разные
аспекты
данного
понятия.
Мы
будем
придерживаться
термина
tпошаговая.,
чтобы
подчеркнуть
дискретный
харак
тер
С.в.
К(х).
-
При.м..
ред.
3.2.
Вероятности,
относящиеся
к
возрасту
в
момент
смерти
67
3.2.4.
Интенсивность
смертности
Формула
(3.2.3)
выражает
в
терминах
функции
распределения
и
в
терминах
функции
дожития
условную
вероятность
того,
что
лицо
(О)
умрет
в
возрасте
между
х и
z
при
условии,
что
оно
доживет
до
возраста
х.
Если
разность
z -
х постоянна
и
равна,
скажем,
с,
то,
рассматриваемая
как
функция
от
х,
эта
условная
вероят
ность
описывает
распределение
вероятности
смерти
в
ближайшем
будущем
(между
моментами
времени
О
и
С)
дЛЯ
лица,
достигшего
возраста
х.
Аналог
этой
функ
ции,
рассматривающий
смерть
в
определенный
момент,
можно
получить,
используя
плотность
вероятности
смерти
по
достижении
возраста
х,
т.
е.
формулу
(3.2.3)
с
z =
х
+
~x,
Р(
Х
л
jX
) _
рх(х
+
~x)
-
рх(х)
~
fx(x)~x
()
х
<
~
х
+
uX
>
х
- 1 _
РХ
(х)
- 1 _
Р
Х
(х)
. 3.2.12
В
этом
выражении
P~(x)
=
fx(x)
является
функцией
плотности
непрерыв
ной
случайной
величины
4:возраст
в
момент
смерти~.
Функция
fx(x)j(1
-
рх(х»
в
формуле
(3.2.12)
может
интерпретироваться
в
терминах
условных
плотностеЙ.
Для
каждого
возраста
х
она
дает
значение
в
точке
х
условной
функции
плотности
С.В.
Х
при
условии
дожития
до
возраста
х
и
обозначается
через
р(х).
Мы
получаем
II.(X)
=
fx(x)
-s'(x)
.
r-
((
(3.2.13)
l-Р
х
х)
s
х)
Из
свойств
функций
fx(x)
и
1 -
Рх(х)
следует,
что
J..L(x)
~
О.
в
актуарной
науке
и
в
демографии
J..L(x)
называется
интенсивностью
смерт
'Ности.
В
теории
надежности,
которая
занимается
исследованием
вероятностей
без
отказной
работы
механизмов
и
систем,
эта
величина
называется
интенсивностью
отх:азов.
Как
и
функция
дожития,
интенсивность
смертности
может
использоваться
для
определения
распределения
С.в.
Х.
Чтобы
это
сделать,
заменим
в
формуле
(3.2.13)
х
на
у
и после
некоторых
преобразований
получим
-р(у)
dy
=
dln
в(у).
Интегрируя
это
выражение
от
х
до
х
+
n,
получим
(х+n
в(х
+
n)
- J
x
р(у)
dy
=
lп
s(x) =
lп
n
рх.
Потенцируя,
получаем
ПР,
=
ехр
[ -
[+n
Jl(Y)
dY].
(3.2.14)
Иногда
удобно
переписать
формулу
(3.2.14),
сделав
замену
в
=
у
-
х:
пР,
=
ехр
[ - 1
n
Jl(X
+
8)
d8]
. (3.2.15)
В
частности,
мы
изменим
обозначения
с
тем,
чтобы
они
соответствовали
использо
ванным
в
формуле
(3.2.6),
положив
возраст
уже
живших
лиц
равным
О и
обозначив
возраст
дожития
через
х.
Тогда
мы
получим
хРо
=
8(Х)
=
ехр
[
-1'
Jl(8)
d8].
(3.2.16)
и
68
Гл.
3.
Распределения
продолжительности
жизни
и
таблицы
смертности
Кроме
того,
рх(х)
=1-
в(х)
=1-
ехр
[
-1'
JL(S)
dS]
(3.2.17)
p~
(х)
=
fx
(х)
=
ехр
[
-1'
I>(S)
dS]
JL(X)
=
,Ро
JL(x).
(3.2.18)
Пусть
F
Т(
х)
(t)
и
fт(ж)
(t)
обозначают
соответственно
функцию
распределения
и
функцию
плотности
С.в.
Т(х),
продолжительности
предстоящей
жизни
лица
(х).
Заметим,
что
FТ(Ж)
(t) =
tqж
(см.
обозначение
(3.2.4)).
Таким
образом,
d d [ s(x +
t)]
fт(ж)
(t) = dt tqx = dt 1 - s(x)
_ s(x
+
t)
[ _ s'
(х
+t)] _ ( t) ( )
- s
(х
) s
(х
+t) -
tРж
JJ
х
+,
t
~
О.
3.2.19
Значит,
tPx
JJ(x
+ t) dt
является
вероятностью
того,
что
лицо
(х)
умрет
в
возрасте
между
t
и
t +dt,
и
100
tP,
JL(X
+t) dt =
1,
где
в
качестве
верхнего
предела
интегрирования
записана
«плюс
бесконечность»
(это
сокращенная
запись
интегрирования
по
всей
области
изменения
функции
плот
ности,
лежащей
на
положительной
полуоси).
Из
формулы
(3.2.19)
следует,
что
d d
dt
(1
- tPx) = - dt
tРж
=
tРж
JJ(x
+t). (3.2.20)
Эта
эквивалентная
форма
бывает
полезной
в
некоторых
рассуждениях
актуарной
математики.
Поскольку
lim
n
-+
oo
nРж
=
О,
мы
имеем
lim
n
-+
oo
(
-ln
nРж)
=
00.
Таким
образом,
lim
(ж+n
JJ(Y)
dy =
00.
n-+оо
1ж
Факты,
изложенные
в
настоящем
разделе,
собраны
воедино
в табл.
1.3.1.
В
нижней
половине
табл.
3.2.1
собраны
некоторые
соотношения
между
стан
дартными
функциями
теории
вероятностей
и
функциями, характерными
для
при
ложений,
связанных
с
возрастом
в
момент
смерти.
Можно
привести
много
примеров,
когда
соотношения,
связанные
с
возрастом
в
момент
смерти,
можно
переформулиро
вать
в
более
общих
вероятностных
терминах.
Следующий
при
мер
это
иллюстрирует.
Пример
3.2.1.
Если
А
обозначает
дополнение
события
А
в
некотором
выбо
рочном
пространстве
и
если
Р
(А)
1:-
О,
то
следующее
соотношение
является
вероят
ностным
тождеством:
Р(А
U
В)
=
Р(А)
+
Р(А)Р(в
I
А).
Перепишем
это
тождество
в
актуарных
обозначениях
для
событий
А
=
[Т(х)::;;;
t]
и
B=[t<T(x)::;;;l],O<t<l.
Решение.
Вероятность
P(AUB)
переписывается
в
виде
Р[Т(х)::;;;
1]
=
qж,
Р(А)
превращается
в
tqж,
а
Р(В
I
А)
-
в
l-tqж+t.
Таким
образом,
мы
получаем
qж
=
tqж
+
tРж
l-tqж+t·
3.3.
Таблицы
смертности
Таблица
3.2.1.
Некоторые
функции
для
с.в.
Х,
возраста
в
момент
смерти
69
Функция
рас
пределения
Рх(х)
Функция
дожития
s(x)
Функция
плотности
fx(x)
Интенсивность
смертности
J.1.(x)
Для
Свойства
Для
Свойства
х<О
Рх(х)
=
О
s(x) = 1
х<О
fx(x)
=
о
J.1.(x)
=
О
х=о
Рх(О)
=
О
s(O)
= 1
х=О
не
определена
не
определена
x~O
не
убывает
не
возрастает
х>О
/х(х)
~
о
J.1.(x)
~
о
lim
Рх(оо)
=1
s(oo) =
О
Нш
J
o
oo
/х
(х)
dx = 1
Jo
oo
J.1.(x)
dx
=
00
х--'оо
ж--.оо
Функции
в
терминах
Соотношения
Рх(х)
Рх(х)
1 -
Рх(х)
F~(x)
P~(x)
[1-
Рх(х)]
э(х)
1 - s(x)
э(х)
-s'(x)
-s'
(х)/
э(х)
/х(х)
J
о
ж
/х(u)
du
Jж
ОО
/х(u)
du
fx(x)
/х(х)
J
ж
ОО
f
х
(и)
du
J.1.(x)
1 -
е-
Jo:Z:
p.(t)
dt
e-Jop.(t)dt
J.1.(x)
e-fo"'p.(t)dt
J.1.(x)
3.3.
Таблицы
смертности
Публикуемая
таблица
смертности
обычно
содержит
расположенные
по
возрас
там
индивидуумов
значения
основных
функций
qж,
lж,
d
ж
И,
возможно,
дополни
тельных
функций,
получаемых
из
них.
Реред
тем
как
представить
такую
таблицу,
рассмотрим
интерпретацию
таких
функций,
которая
непосредственно
связана
с
ве
роятностными
функциями,
обсуждавшц:мися
в
предыдущем
разделе.
3.3.1.
Связь
функций,
содержащихея
в
таблице
смертности,
с
функцией
дожития
В
формуле
(3.2.9)
мы
выразили
условную
вероятность
того,
что
лицо
(х)
умрет
в
течение
t
лет,
следующим
образом:
_ 1 _
в(х
+ t)
tq;r;
-
в(х)
,
И,
В
частности,
_
1-
в(х
+
1)
q;r;
-
в(х)'
Рассмотрим
теперь
группу
из
10
новорожденных,
положив,
например,
lo
=100000.
Для
каждого
новорожденного
случайная
величина
«возраст
в
момент
смерти»
имеет
распределение,
заданное
функцией
дожития
в(
х).
Будем
обозначать
через
[,
(х)
чис
ло
лиц
в
группе,
доживших
до
возраста
х.
Припишем
всем
лицам
в
группе
номера
j =
1,2,
...
,lo
и
заметим,
что
10
.с(х)
=L
1
з
,
j=1
где
1
j
является
индикатором
дожития
лица
с
номером
j,
т.
е.
если
лицо
с
номером
j
доживет
до
возраста
х,
в
противном
случае.
Так
как
E[I
j
] =
в(х),
то
70
Гл.
3.
Распределения
продолжительности
жизни
и
таблицы
смертности
10
E[L(X)]
=L E[I
j
] =los(x).
j=l
Мы
обозначим
E[L(X)]
через
lx;
это
означает,
что
[х
-
математическое
ожидание
числа
доживших
до
возраста
Х из
lo
новорожденных,
и
мы
имеем
lx
=
[ов(х).
(3.3.1)
Далее,
в
предположении,
что
индикаторы
I
j
взаимно
независимы,
-С(х)
имеет
бино
миальное
распределение
с
параметрами
n
::::::
[о
и
р
:=
в(х).
Отметим,
однако,
что
в
равенстве
(3.3.1)
не
требуется
предположения
о
независимости.
Аналогично,
обозначим
через
n'D
x
число
умерших
в
возрасте
между
х и х
+ n
из
начальной
совокупности,
состоящей
из
lo
лиц.
Мы
обозначаем
E[n'D
x
]
через
ndx.
Поскольку
для
новорожденного
вероятность
смерти
в
возрасте
между
х
и Х
+ n
равна
s(x)
-
s(x
+
n),
используя
рассуждения,
приводившиеся
выше
относительно
lx,
получим
ndx = E[nDx] = lo[s(x) -
s(x
+n)] =
[х
-lx+n.
(3.3.2)
Если
n = 1,
мы
опускаем
левый
нижний
индекс
в
выражениях
nD
x
и
ndx.
Из
формулы
(3.3.1)
видно,
что
_~
dl
x
=
__
1_
ds(x) =
н(х)
( )
r-
(3.3.3)
lx
dx s
х
dx
и
Поскольку
-dl
x
=
[хР( х)
dx.
(3.3.4)
lx
р(х)
=
lo
хРо
р(х)
=
lofx(x),
сомножитель
[х
J.L(x)
в
(3.3.4)
можно
интерпретировать
как
ожидаемую
плотность
смертей
в
возрастном
интервале
(х,
х
-+-
dx).
Заметим,
далее,
что
I
х
=
10
ехр
[
-1
Х
I'(у)
d
Y
] ,
(3.3.5)
I
х
+
n
=
I
х
ехр
[
_1
Х
+
n
I'(У)
d
Y
],
(3.3.6)
(х+n
lx
-lx+n
= J
x
ly
р(у)
dy. (3.3.7)
Для
удобства
ссылок
мы
будем
называть
группу
из
[о
новорожденных,
каждый
из
которых
имеет
функцию
дожития
в(х),
сово~уn1-tосm'Ью
слу'Чаu'Ного
дожumu.я.
3.3.2.
Пример
таблицы
смертности
В
приводимой
ниже
табл.
3.3.1,
которая
называется
«Таблица
смертности
на
селения:
США,
1979-1981»,
функции
tqx, lx, tdx
представлены
для
lo
= 100000.
За
исключением
первого
года
жизни,
значение
t
в
табулируемых
функциях
tQx
и
tdx
равно
1.
Другие
функции,
содержащиеся
в
этой
таблице,
рассматриваются
в
разд.3.5.
Эта
таблица
создавалась
не
на
основе
наблюдений
за
100000
новорожденными
вплоть
до
смерти
последнего
из
них.
Она
была
основана
на
оценках
вероятностей
смерти
при
условии
дожития
до
различных
возрастов,
полученных
из
данных
о
3.3.
Таблицы
смертности
71
Табл.
3.3.1.
Таблица
смертности
населения:
США,
1979-1981
(1)
(2) (3)
(4)
(5)
(6) (7)
Возраст-
Доля
умер-
Из
100 000
ново-
Стационарное
населе-
Средняя
про-
ной
ин-
тих
рожденных
HHe
l
)
дол
житель-
тервал
ность
пред-
Доля
людей,
Число
Число
Число
лет,
Число
лет,
стоящей
жиз-
Период
доживших
дожив-
умер-
прожитых
прожитых
ни
на
начало
между
до
начала
шихдо
шихв
в
возраст-
в
этом
и
во
возрастного
возрас-
возрастного
начала
течение
ном
интер-
всех
после-
интервала
тами
х
интервала
и
возраст-
возраст-
вале,
tLx
дующих
их+t
умерших
в
ного
ного
возраст-
Среднее
чис-
течение
это-
интер-
интер-
ных
интер-
ло
лет,
про-
го
интер-
вала,
lx
вала,
td
x
валах,
Т
х
житых
от
вала,
tqx
начала
воз-
растного
о
интервала,
еж
Дни
0-1
0,00463
100000 463
273
7387758
73,88
1-7
0,00246
99537
245
1635
7387485
74,22
7-28
0,00139 99292
138
5708
7385850
74,38
28-365 0,00418 99154 414
91357
7380142
74,43
Годы
0-1
0,01260
100000 1260 98973
7387758
73,88
1-2
0,00093
98740
92
98694
7288785
73,82
2-3
0,00065
98648 64
98617
7190091
72,89
3-4
0,00050 98584 49
98560
7091474
71,93
4-5
0,00040
98535
40
98515
6992914
70,97
5-6
0,00037
98495
36
98477
6894399
70,00
6-7
0,00033 98459 33
98442
6795922
69,02
7-8
0,00030 98426
30
98412
6697480
68,05
8-9
0,00027
98396
26
98383
6599068
67,07
9-10
0,00023
98370
23
98358
6500685
66,08
10-11
0,00020
98347
19
98338
6402327
65,10
11-12
0,00019
98328
19
98319
6303989
64,11
12-13
0,00025
98309
24
98297
6205670
63,12
13-14
0,00037 98285
37
98266
6107373
62,14
14-15
0,00053
98248
52
98222
6009107
61,16
15-16
0,00069 98196
67
98163
5910885
60,19
16-17
0,00083 98129
82 98087
5812722
59,24
17-18
0,00095
98047
94
98000
5714635
58,28
18-19
0,00105
97953
102
97902
5616635
57,34
19~20
0,00112
97851 110
97796
5518733
56,40
20-21
0,00120
97741
118 97682
5420937
55,46
21-22
0,00127
97623
124
97561
5323255
54,53
22-23
0,00132 97499 129
97435
5225694
53,60
23-24
0,00134
97370 130
97306
5128259
52,67
24-25
0,00133 97240 130 97175
5030953
51,74
25-26
0,00132
97110 128
97046
4933778
50,81
26-27
0,00131 96982 126 96919
4836732
49,87
27-28
0,00130 96856 126
96793
4739813
48,94
l)
Стационарное
население
-
демографическое
понятие,
которое
будет
рассматриваться
в
гл.
19.