Бауэрс Н., Гербер Х., Джанс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика

Подождите немного. Документ загружается.

Гл.

Распределения

продолжительности

жизни

таблицы

смертности

28-29 0,00130

96730

126 96667

4643020

48,00

29-30 0,00131

96604

127

96541

4546353

47,06

30-31

0,00133

96477

127

96414

4449812

46,12

31-32 0,00134

96350

130

96284

4353398

45,18

32-33 0,00137

96220

132 96155

4257114

44,24

33-34

0,00142

96088

137 96019

4160959

43,30

34-35

0,00150

95951

143 95880

4064940

42,36

35-36 0,00159

95808

153 95731

3969060

41,43

36-37

0,00170 95655

163

95574

3837329

40,49

37-38

0,00183

95492

175

95404

3777755

39,56

38-39

0,00197 95317

188

95224

3682351

38,63

39-40

0,00213

95129

203

95027

3587127

37,71

40-41

0,00232

94926

220

94817

3492100

36,79

41-42

0,00254 94706

241

94585

3397283

35,87

42-43 0,00279

94465

264

94334

3302698

34,96

43-44

0,00306

94201

288

94057

3208364

34,06

44-45 0,00335

93913

314 93756

3114307

33,16

45-46 0,00366

93599

343

93427

3020551

32,27

46-47

0,00401

93256

374

93069

2927124

31,39

47-48

0,00442 92882

410 92677

2834055

30,51

48-49 0,00488

92472

451

92246

2741378

29,65

49-50 0,00538

92021

495

773

2649132

28,79

50-51

0,00589

91526

540

91256

2557359

27,94

51-52 0,00642

Р0986

584 90695

2466103

27,10

52-53

0,00699

90402

631

90086

2375408

26,28

53-54

0,00761 89771

684

89430

2285322

25,46

54-55 0,00830

89087

739

88717

2195892

24,65

55-56

0,00902

88348

797

87950

2107175

23,85

56-57

0,00978

87551 856

87122

2019225

23,06

57-58 0,01059

86695

919

86236

1932103

22,29

58-59

0,01151 85776 987

85283

1845867

21,52

59-60

0,01254 84789

1063

84258

1760 584

20,76

60-61

0,01368 83726

1145 83153

1676326

20,02

61-62

0,01493

82581

1233

81965

1593173

19,29

62-63

0,01628

81348

1324 80686

1511208

18,58

63-64 0,01767

80024

1415

79316

1430522

17,88

64-65 0,01911

78609

1502

77859

1351206

17,19

65-66

0,02059

77107 1587

76314

1273347

16,51

66-67

0,02216

75520 1674

74683

1197033

15,85

67-68 0,02389

73846

1764

72964

1122350

15,20

68-69 0,02585

72082

1864

71150

1049386

14,56

69-70

0,02806

70218

1970 69233

978236

13,93

70-71 0,03052

68248 2083

67206

909003

13,32

71-72

0,03315 66165

2193

65069

841 797

12,72

72-73 0,03593

63972 2299

62823

776728

12,14

73-74 0,03882

61673

2394 60476

713905

11,58

74-75 0,04184

59279 2480 58039

653429

11,02

75-76

0,04507

56799 2560 55520

595390

10А8

76-77 0,04867 54239

2640 52919

539870

9,95

77-78 0,05274 51599

2721 50238

486951

9,44

3.3.

Таблицы

смертности

78-79 0,05742 48878 2807 47475 436713 8,93

79-80

0,06277

46071

2891

44626 389238

8,45

80-81 0,06882 43180 2972 41694 344612

7,98

81-82

0,07552 40208 3036 38689

302918 7,53

82-83

0,08278 37172 3077

35634 264229 7,11

83-84 0,09041 34095

3083

32553 228595 6,70

84-85

0,09842

31012

3052 29486

196042

6,32

85-86 0,10725

27960

2999 26461 166556

5,96

86-87

0,11712

24961

2932 23500 140095 5,61

87-88 0,12717 22038 2803 20636

116595 5,29

88-89 0,13708 19235 2637 17917

95959

4,99

89-90 0,14728 16598 2444 15376 78042 4,70

90-91 0,15868 14154 2246 13031

62666

4,43

91-92

0,17169 11908 2045 10886 49635

4,17

92-93

0,18570 9863

1831

8948

38749 3,93

93-94 0,20023

8032

1608 7228 29801

3,71

94-95

0,21495

6424

1381

5733

22573 3,51

95-96

0,22976

5043

1159

4463

16840 3,34

96-97

0,24338

3884

945 3412

12377 3,19

97-98 0,25637 2939 754 2562

8965

.3,05

98-99

0,26868

2185

587

1892 6403 2,93

99-100 0,28030 1598

448

1374

4511 2,82

100-101

0,29120

1150

335 983

3137

2,73

101-102

0,30139 815 245 692 2154

2,64

102-103

0,31089

570

177

481

1462

2,57

103-104 0,31970

393

126

330

981 2,50

104-105

0,32786 267

223

651

2,44

105-106

0,33539

179

150

428 2,38

106-107 0,34233 119

278 2,33

107-108

0,34870

179

2,29

108-109

0,35453

115 2,24

109-110

0,35988

2,20

народонаселении

США

годы,

близкие

1980-му

году,

году

переписи

населения.

Ис

пользуя

понятие

совокупности

случайного

дожития,

мы

должны

сделать

предполо

жение,

что

вероятности,

полученные

на

основе

этой

таблицы,

будут

соответствовать

продолжительности

жизни

тех,

кто

принадлежит

этой

совокупности

дожития.

Полезно

сделать

ряд

замечаний

относительно

приведенной

таблицы.

Замечания.

Ожидается,

что

примерно

новорожденных,

входящих

со

вокупность

дожития,

умрет

на

первом

году

жизни.

Следует

ожидать,

что

примерно

77%

из

группы

новорожденных

доживет

до

возраста

лет.

Максимальное

число

смертей

группе

ожидается

возрасте

между

годами.

Известно

мало

случаев,

когда

смерть

наступает

возрасте

свыше

110

лет.

Поэтому

часто

предполагается,

что

существует

такой

возраст

что

в(х)

для

< w

в(х)

для

? w.

Если

существование

такого

возраста

предполагается,

то

он

называется

nредеЛ:Ы-t'Ы.м

возрасто.м.

Для

приведенной

таблицы

предельный

Гл.

Распределения

продолжительности

жизни

таблицы

смертности

возраст

не

определен.

Очевидно,

имеется

положительная

вероятность

дожить

до

110

лет,

но

таблица

не

содержит

указаний

на

возраст

Локальные

минимумы

для

ожидаемого

числа

смертей

расположены

районе

лет,

локальный

максимум

районе

лет.

Хотя

значения

1ж

были

округлены

до

целых

чисел,

соответствии

формулой

(3.3.1)

делать

это

не

обязательно.

Такое

представление

информации,

как

табл.

3.3.1,

является

стандартным

мето

дом

описания

распределения

возраста

момент

смерти.

Другим

способом

является

представление

функции

дожития

аналитической

форме,

такой,

как

8(Х)

е-еж,

с>

О,

О.

Однако

большинство

исследований

смертности

среди

людей

для

нужд

страхования

использует

представление

8(Х)

[х/[О,

что

иллюстрируется

табл.

3.3.1.

Поскольку

величина

100000в(х)

представлена

только

для

целых

значений

х,

при

вычислении

в(х)

для

нецелых

значений

аргумента

необходимо

прибегать

интер

поляции.

Этот

вопрос

обсуждается

разд.

3.6.

Пример

3.3.1.

Используя

табл.

3.3.1,

вычислим

вероятность

того,

что

лицо

(20)

(а)

доживет

до

возраста

100,

(Ь)

умрет,

не

доживя

до

лет,

(с)

умрет

десятой

декаде

своей

жизни.

Решение.

(а)

8(100) =

[100

= 1150 =0,0118.

8(20)

[20

97741

(Ь)

8(20) - 8(70) =1 _

[70

=1 _ 68284 =0,3017.

8(20)

120 97741

(с)

в(90)

- 8(100) =

[90

-1100

= 14154 - 1150 =0,1330.

8(20)

[20

97741

Чтобы

оценить

роль

таблиц

смертности,

рассмотрим

рис.

3.3.1, 3.3.2

3.3.3.

Они

отражают

текущую

смертность

народонаселения,

не

данные,

приведенные

табл.

3.3.1.

0,04

0,03

0,02

0,01

L..:::~P=:=:::::::=-

-+-

--1I--_----":X

40 80

Возраст

Рис.

3.3.1.

График

функции

J.t(x)

3.3.

Таблицы

смертности

На

рис.

3.3.1

надо

обратить

внимание

на

следующее:

•

Интенсивность

смертности

положительна,

требование

1000

J1(x)

dx =

00,

очевидно,

выполнено

(см.

табл.

3.2.1).

•

Интенсивность

смертности

довольно

высока

на

начальном

этапе,

затем

рез

ко

снижается

до

минимума

окрестности

возраста

лет.

40 80

Возраст

Рис.

3.3.2.

График

функции

1:1;

J.L(x)

l;x

100

1:3"

:а

Е-

40 80

Возраст

Рис.

3.3.3.

График

функции

2000

500

1000

1500

На

рис.

3.3.2

3.3.3

надо

обратить

внимание

на

следующее:

•

Функция

J-t(x)

пропорциональна

функции

плотности

с.в.

«возраст

момент

смерти»

для

новорожденного.

Поскольку

р(х)

является

ожидаемой

плот

ностью

смертей

возрасте

Х,

когда

речь

идет

совокупности

случайного

дожития,

график

функции

J-t(Х)

называется

'Кривой

смертности.

(3.4.1)

Гл.

Распределения

продолжительности

жизни

таблицы

смертности

•

Функция

1х

р,(х)

имеет

локальный

минимум

окрестности

возраста

лет.

Мода

распределения

смертей,

т.

е.

возраст,

котором

реализуется

максимум

кривой

смертности,

находится

районе

лет.

•

Функция

[х

пропорциональна

функции

дожития

в(

х).

Ее

также

можно

интер

претировать

как

ожидаемое

число

доживших

до

возраста х

из

всей

исходной

группы,

состоявшей

из

лиц.

•

Точки

локального

экстремума

функции

1х

р,(

х)

соответствуют

точкам

пере

гиб

функции

1х,

поскольку

d d (

1хр,(х)

= dx - dx

[ж

= - dx

1х·

3.4.

Совокупность

детерминированного

дожития

Мы

переходим

ко

второй,

невероятностной,

интерпретации

таблиц

смертности.

точки

зрения

математики

она

восходит

понятию

коэффициента

выбытия

(отри

цательного

роста)

потому

связана

приложениями

задачам

скорости

роста

биологии

экономике.

Она

по

природе

детерминистическая

приводит

понятию

совокуnности

детер,м,инированного

дожития,

или

когорты.

Совокупность

детерминированного

дожития,

как

вытекает

из

таблицы

смертно

сти,

имеет

следующие

характеристики:

•

Изначально

она

состоит

из

лиц

возраста

О.

•

Для

членов

совокупности

любом

возрасте

действуют

фактические

годовые

коэффициенты

смертности

(выбытия),

которые

определяются

величинами

таблице

смертности.

•

Совокупность

является

замкнутой.

нее

не

может

входить

никто,

кроме

тех

[о

лиц,

которые

находились

ней

самом

начале.

Выход

из

этой

совокупности

обусловлен

фактическими

годовыми

коэффициентами

смертности

(выбытия)

только

ими.

Из

приведенных

характеристик

вытекает,

что

[о

qO)

do,

[2 =

[1(1-

q1)

- d

[о

[х

[х-1

- Qx-1) =

[х-1

- d

х-1

ж-1

)

[о

- L d

[о

1 -

L d

qo)

у=о

где

обозначает

число

лиц,

доживших

до

возраста

совокупности

дожития.

Эта

цепочка

равенств,

порожденная

числом

[о,

называемым

1Сорне,м,

таблuцы

с,м,ертно

сти,

множеством

значений

qx,

может

быть

переписана

виде

loPo,

llP1

(loPO)P1,

(

Х-1

)

lх

Ix-lРх-1

Пру

у=О

хРО·

(3.4.2)

3.5.

Другие

характеристики,

связанные

таблицами

смертности

Между

совокупностью

детерминированного

дожития

моделью

сложных

процентов

имеется

аналогия,

некоторые

положения

которой

суммируются

в табл.

3.4.1.

Таблица

3.4.1.

ПОНЯТИЯ

теории

сложных

процентов

соответствующие

им

ПОНЯТИЯ

теории

совокупностей

детерминированного

ДОЖИТИЯ

Сложные

проценты

A(t)

Величина

капитала

момент

време

ни

время

измеряется

годах

Эффективная

годовая

процентная

ставка

(приращения)

A(t

+1) -

A(t)

'tt

A(t)

Эффективная

n-летняя

процентная

став

ка

начиная

времени

A(t

+n) -

A(t)

n'tt

A(t)

Интенсивность

начисления

процента

момент

времени

lim

A(t

+Llt) -

A(t)

_1_

dA(t)

L\t~O

A(t)Llt

A(t)

Совокупность

дожития

lх

Размер

группы

возраста

х,

возраст

измеряется

годах

Фактический

годовой

коэффициент

смертности

(выбытия)

lх

-lж+1

qж

lж

Фактический

n-летний

коэффициент

смертности,

начиная

возраста

lж

-lх+n

nqж

lх

Интенсивность

смертности

возрасте

()

[х

l::r:+L\x

1 dl

J..t

1Ш

---

L\:z:~O

[хдх

lх

Заголовки

столбцам

табл.

3.3.1

для

tqж,

lж,

tdж

относятся

совокупности

де

терминированного

дожития.

Хотя

математические

основы

для

совокупностей

слу

чайного

детерминированного

дожития

различны,

функции

tqж,

lж,

tdж

имеют

оди

наковые

математические

свойства

анализируются

одинаково.

Понятие

совокупно

сти

случайного

дожития

имеет

то

преимущество,

что

позволяет

пользоваться

всем

аппаратом

теории

вероятностей.

Совокупность

детерминированного

дожития

кон

цептуально

проще

ее

легче

использовать,

но

она

не

отражает

случайных

колебаний

числа

доживших

до

определенного

возраста.

3.5.

Другие

характеристики,

связанные

таблицами

смертности

этом

разделе

мы

выведем

выражения

для

некоторых

общеупотребительных

характеристик

распределений

с.в.

Т(х) и

К(х)

введем

общий

метод

вычислений

некоторых

из

этих

характеристик.

3.5.1.

Характеристики

Математическое

ожидание

С.в.

Т(х),

обозначаемое

через

еж,

называется

ПОЛ/НОй

ожидаемой

nродолжитель'Ностью

:JfCиз'Ни.

Используя

интегрирование

по

частям,

мы

получим

Е[Т(х)]

[О

,Рх

JL(x+t)

[О

(

-tРх)

-tРж)

[О

,Рх

dt. (3.5.1)

Из

существования

Е[Т(х)]

следует

соотношение

Нт

-tРх)

О.

Таким

образом,

t.-+oo

~ж

[""

,Рх

dt. (3.5.2)

Для

эффективной

n-летней

процентной

ставки

нет

общепринятого

обозначения.

Гл.

З.

Распределения

продолжительности

жизни

таблицы

смертности

(3.5.3)

Полная

ожидаемая

продолжительность

жизни

различных

возрастах

часто

исполь

зуется

для

сравнения

уровней

общественного

здравоохранения

различных

стран.

Аналогичное

интегрирование

по

частям

дает

эквивалентное

выражение

для

Е[Т(х)2]

Е[т(х)2}

['"

,Рж

f.L(x

+t) dt = 2

['"

,Рж

dt.

Этот

результат

полезен

для

вычисления

D[T(x)]

по

формуле

D[T(x)]

Е[т(х)2]

(Е[т(х)])2

2100

t,рж

~~.

(3.5.4)

Во

всех

приведенных

выкладках

мы

предполагали,

что

Е[Т(х)]

Е(Т(х)2]

существу

ют.

Можно

построить

функцию

дожития

в(х)

x)-l,

для

которой

это

будет

не

так.

Можно

определить

другие

характеристики

распределения

с.в.

Т(х).

Медиа'Ну

nродолжuтел:ь'Носmu

предстоящей

жuз'Нu

лица

(х),

которая

обозначается

через

(х),

можно

найти

как

решение

уравнения

Р[Т(х)

m(х)]

или

(3.5.5)

в[х

m(х)]

в(х)

относительно

m(х).

частности,

m(О)

является

решением

уравнения

в[m(О)]

1/2.

Мы

также

можем

найти

.моду

распределения

с.в.

Т(х),

указав

значение

которое

доставляет

максимальное

значение

функции

tPx

р(

+t).

Математическое

ожидание

с.в.

К(х)

обозначается

через

Эта

величина

на

зывается

nошаговоu

ОЭICuдае.моЙ

nродОЛЭICuте.л'Ь'Ност'Ью

ЭlCuз'Нu

Применяя

опре

деление

описанное

приложении

суммирование

по

частям,

мы

получаем

Е[К]

LkkPxQX+k

Lkд(-kРх)

k(-kРх)l:

Lk+lPX'

(3.5.6)

k=O

Снова

из

существования

Е(К(х)]

следует

соотношение

limk~oo

-kРх)

О.

Таким

образом,

проведя

замену

переменной,

по

которой

проводится

суммирование,

имеем

= L

kPx·

(3.5.7)

k=l

Повторяя

рассуждения,

проведенные

для

непрерывной

модели, и

пользуясь

форму

лой

суммирования

по

частям,

получаем

Е[к(х)2]

PxQX+k

Д(-kРх)

(-kРх)I:+

L(Дk)2(k+lРх),

(3.5.8)

k=O

Из

существования

Е[к(х)2]

вытекает

соотношение

limk~oo

(-kРх)

О.

Проведя

замену

переменной,

по

которой

производится

суммирование,

получаем

Е[к(х)2]

L(2k

k+lPx

L(2k

kPx'

k=O

k=l

(3.5.9)

l)в

оригинале

ccurtate-expectation-of-life

•.

См.

примечание

редактора

разд.

3.2.3. -

Прu,м..

ред.

3.5.

Другие

характеристики,

связанные

таблицами

смертности

(3.5.10)

Далее,

D[K]

Е[к

]

(Е[К]?

L(2k

kPx

е;.

k=1

Для

завершения

обсуждения

некоторых

компонент

табл.

3.3.1

мы

должны

вве

сти

дополнительные

функции.

Символ

обозначает

общее

ожидаемое

число

лет,

прожитых

между

возрастами

х и

дожившими

до

возраста

лицами

из

исход

ной

группы,

содержавшей

[о

новорожденных.

Мы

имеем

(3.5.11)

t I

"хН

dt +I

где

интеграл

правой

части

равен

числу

лет,

прожитых

теми,

кто

умер

возрастном

интервале

между

х+

[х+l

равно

числу

лет,

прожитых

возрастном

интервале

между

и х

теми,

кто

дожил

до

возраста

+1.

Интегрирование

по

частям

дает

(3.5.12)

-1'

-t

dt +

IX+l

dt.

Функция

также

используется

определении

nовозраст'Н,ого

х;оэффu'Цuента

с,м,ертности

интервале

между

+ 1,

который

обозначается

через

где

(3.5.13)

lx+t

р(х

+t) dt

[х+l

= 1 =

lx+t

dt L

Приложение

этой

функции

описывается

гл.

10.

Приведенные

выше

определения

для

можно

распространить

на

воз

растные

интервалы

длины,

отличной

от

единицы:

nLx =

-1

t I

,,(х

+t) dt +n I

dt,

lx+t

р(х

+t) dt

[х

lх+n

nmх

= n =

----

lx+t

nLx

(3.5.14)

(3.5.15)

Для

совокупности

случайного

дожития

nLx

является

общим

ожидаемым

числом

лет,

которые

прожиты

возрастном

интервале

между

и х

+ n

дожившими

до

возраста

лицами

из

исходной

группы,

содержавшей

новорожденных,

nmх

является

повозрастным

коэффициентом

смертности,

наблюдавшимся

этой

группе

на

интервале

(х,

n).

Символ

обозначает

общее

число

лет,

прожитых

после

достижения

возрас

та

лицами,

дожившими

до

этого

возраста,

из

исходной

группы,

содержавшей

[о

новорожденных.

Мы

имеем

(3.5.16)

Последнее

выражение

можно

интерпретировать

как

интеграл

от

общего

времени,

прожитого

между

возрастами

x+t

x+t+dt

группой

из

1x+t

лиц,

которые

дожили

до

этого

возрастного

интервала.

Обратим

также

внимание,

что

является

пределом

величины

nLx,

когда

стремится

бесконечности.

(3.5.18)

(3.5.17)

Гл.

Распределения

продолжительности

жизни

таблицы

смертности

Среднее

число

лет

предстоящей

жизни

для

лиц

из

группы,

доживших

до

возраста

х,

определяется

выражением

lж+t

-100

dt _

--"----

tРж

еж

lх

lж о

соответствии

формулами

(3.5.1)

(3.5.2).

Мы

можем

найти

выражение

для

среднего

числа

лет,

прожитых

между

возрас

тами

х и х

+ n

группой

из

лиц,

ДОЖИВШИХ

до

возраста

х:

nLx

lж+t

-1

1 1

- 1 -

tPx

ж х

Эта

функция

является

усе'Ченной

(на

-летнем

интервале)

полной

ожидаемой

nро-

должителъ'Ност'Ью

жuзни

для

лиц

(х)

обозначается

через

ех:nJ'

(См.

упр.

3.16.)

Последней

функцией,

связанной

описанной

этом

разделе

интерпретацией

та

блицы

смертности,

является

среднее

число

лет,

прожитых

между

возрастами

+ 1

теми

лицами

группе

доживших

до

возраста

х,

которые

умирают

неко

торый

момент

между

этими

возрастами.

Эта

функция

обозначается

через

а(х)

определяется

соотношением

(

)

t lx+t

J1-(x

ах

- 1 .

lx+t

р(х

+t) dt

При

вероятностном

взгляде

на

таблицы

смертности

мы

получили

бы

а(х)

рРх

р(х

+t)

Е(Т

1].

tРж

р(х

+t) dt

Если

мы

предполагаем,

что

lx+t

J.L(x

+t)

= d

dt,

т.

е.

если

моменты

смерти

равномерно

распределены внутри

годичного

возрастного

интервала,

то

мы

получим

а(х)

tdt

= !.

Это

обычное

приближение

функции

а(х),

пригодное

для

лиц

всех

возрастов,

кроме

совсем

юных

очень

старых,

где,

как

показывает

рис.

3.3.2,

это

предположение

может

не

соответствовать

действительности.

Пример

3.5.1.

Покажем,

что

а(х)

а(х)]lЖ+l

(lx

lЖ+l)/2.

Решение.

Из

(3.5.11), (3.5.12)

(3.5.18)

мы

получаем

()

-lx+l

ах

= ,

lж

-lx+l

или

а(х)

lж

а(х)]IЖ+l'

Формулу

(lx +

lx+l)/2

можно

обосновать,

приближая

интеграл

(3.5.12)

помощью

формулы

трапеций.

...

З.6.

Предположения

для

дробных

возрастов

Основная

терминология,

относящаяся

таблицам

смертности

определенная

разд.

3.3-3.5,

суммируется

табл.

3.9.1

разд.

3.9.

3.5.2.

Рекуррентные

формулы

Пример

3.5.1

иллюстрирует

применение

численного

анализа

для

нахождения

ха

рактеристик

таблиц

смертности.

Для

приближенного

интегрирования

используется

формула

трапеций.

Для

иллюстрации

другого

вычислительного

метода,

который

использует

рех:урренmн'Ы,е

фор.мУЛ'Ы"

рассмотрим

вычисление

полных

пошаговых

ожидаемых

продолжительностей

жизни.

этой

книге

при применении

рекуррент

ных

формул,

как

правило,

используется

одна

из

двух

следующих

форм:

обратная

рекуррентная

формула

u(х)

с(х)

+d(x)u(x +

или

прямая

рекуррентная

формула

с(х)

u(х

= - d(x) + d(x)

U(Х).

Переменная

обычно

принимает

целые

неотрицательные

значения.

Таблица

З.5.1.

Обратные

рекуррентные

формулы

для

e:u

"e:u

(3.5.19)

(3.5.20)

Шаг

Основное

уравнение

Выделение

слагаемого

З.

Вынесение

множителя

рх

замена

переменной

Рекуррентная

формула

)

Начальное

значение

)

ех

kPx

k=1

Рх

kРж

k=2

Рж

Рх

kPx

k=1

Рж

Рх

иХ

еж,

с(х)

Рх,

d(x) =

рх

и(си)

еж

ОО

= Jo

эРх

JOO

=Jo

эРх

ds + 1

"Рж

= f

"Рж

рж

tРж+1

= f

sрж

Рх

~x+l

и(х)

~x,

с(х)

sРж

ds,

d(x) =

Рх

~ж

u(х)

Для

вычисления

функции

u(х)

при

целых

неотрицательных

значениях

хнам

нужно

знать

соответствующие

значения

функций

с(х)

d(x)

начальное

значение

функции

(х).

Эта

процедура

используется

последующих

главах

иллюстрируется

табл.

3.5.1,

где

для

вычисления

применяются

обратные

рекуррентные

формулы.

3.6.

Предположения

для

дробных

возрастов

этой

главе

мы

обсуждали

непрерывную

случайную

величину

Т,

продолжи

тельность

предстоящей

жизни,

дискретную

случайную

величину

К,

пошаговую

1)Интегра.л

с(х)

::::

"Рж

может

быть

подсчитан

использованием

формулы

трапеций,

согласно

которой

с(х)

::::

рж)/2.

2)Из

разд.

3.3.1

мы

знаем,

что

s(x)

::::

О,

нашем

контексте

мы

будем

предпо

лагать,

что

является

целым

числом.