Бауэрс Н., Гербер Х., Джанс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика
Подождите немного. Документ загружается.
16.2.
Денежные
СТОИМОСТИ
441
и
в
контексте
выбытия
по
нескольким
причинам.
Принятие
этого
принципа
также
позволяет
использовать
для
надзора
за
страховой
деятельностью
менее
сложную
модель.
Применение
этого
принципа
мотивируется
определенной
концепцией
равенства
страховой
защиты
двух
классов
страхователей:
тех,
кто
прекратил
выплату
премий
прежде,
чем
условия
основного
страхового
договора
были
полностью
выполнены,
и
тех,
кто
не
сделал
этого.
Ясно,
что
можно
предложить
разные
концепции
такого
рода
равенства,
от
точки
зрения,
что
страхователи,
досрочно
прекратившие
выплату
пр
е
мий,
не
выполнили
условия
договора
и,
следовательно, не
имеют
права
на
выкупные
суммы,
до
точки
зрения,
что
таких
страхователей
следует
вернуть к
первоначаль
ному
состоянию
путем
возврата
накопленной
стоимости
всех
премий,
возможно
за
вычетом
расходов
на
ведение
дела.
Концепция
равенства,
рассматриваемая
в
этом
разделе,
является
промежуточной,
т.
е.
страхователь,
досрочно
прервавший
дого
вор
страхования
жизни,
имеет
право
на
сохраненные
выплаты,
но
эти
выплаты
не
должны
изменить
соотношение
между
премиями
и
выплатами
для
страхователей,
которые
не
аннулировали
своих
договоров.
В
разд.
11.4
не
затрагивался
вопрос
о
расходах
и
соответствующих
надбавках
к
премии.
Поэтому,
если
для
определения
размера
сохраненных
страховых
выплат
на
момент
прекращения
выплаты
премий
применяется
общий
принцип,
сформули
рованный
в
указанном
разделе,
то
необходимо
компенсировать
эти
недостающие
факторы.
Приближенный
метод
внесения
в
нетто-резерв
поправок
на
начальные
расходы,
еще
не
покрытые
надбавкой
на
расходы
к
премии,
и риска
досрочного
пре
рывания
договора
в
неудобное
для
страховщика
с
финансовой
точки
зрения
время
-
это
расчет
величины
kCV
= kV - kSC, (16.2.1)
В
этом
равенстве
kCV
означает
денежную
стоимость
выкупной
суммы
в
момент
k =
1,2,3,
...
после
заключения
договора,
kV -
конечный
резерв
l
),
а
kSC
-
штраф
за
нарушен:uе
условий
договора.
Из-за
сложности
сбора
дополнительных
средств
со
страхователей,
досрочно
прекративших
выплату
премий,
kCV
~
О.
Денежные
стоимости,
определенные
формулой
(16.2.1),
составляют
основу
того,
что
называлось
выкупными
суммами
в
разд.
11.4
и
15.3.
В
предыдущих
разделах
они
обозначались
B~~t.
Эти
выкупные
суммы
не
обязательно
выплачиваются
наличны
ми,
но
являются
основой
для
эквивалентных
(с
актуарной
точки
зрения)
изменений
условий
договора,
описанных
в
разд.
16.3.
Постоянным
вопросом
при
регулировании
денежной
стоимости
сохраненных
страховых
выплат
является
необходимость
непосредственного
определения
суммы
и
момента
возникновения
расходов.
В
связи
с
этим
возникает
мысль
определить
минимальную
денежную
стоимость
на
единицу
страховой
суммы
по
формуле
k
CV
= A(k) -
ра
a(k) =k
V
-
(ра
- P)a(k),
(16.2.2)
где
A(k)
и
a(k) -
соответственно
символы
актуарной
настоящей
стоимости
стра
ховых
выплат
и
аннуитета
в
моменты
времени
k, k =
1,2,3,
...
,
после
заключения
договора,
kV
означает
конечный
резерв
на
тот
же
момент
времени,
Р -
ежегодная
нетто-премия,
а
ра
называется
C7Coppe7CmupOBaHHoil
npeoМueil.
Вместо
А(О)
и
а(О)
мы
будем
писать
А
и
а
соответственно.
Проблема
страхового
регулирования
сводится
к
определению
величины
скорректированной
премии.
l)см.
определение
в
разд.
8.3. -
Прu.м.
ред.
442
Гл.
16.
Некоторые
аспекты
отчетности
и
регулирования
Отчет
Комитета
Общества
актуариев по
изучению
сохраненных
обязательств
и
смежных
вопросов
от
1975
г.
включает
в
себя
обсуждение
двух
типов
расходов
при
определении
скорректированной
премии.
Первым
является
постоянная
величина
на
единицу
страховой
суммы,
обозначенная
через
Е,
которая
возникает
каждый
год
на
всем
протяжении
периода
выплаты
премиЙ.
Вторым
является
компенсация
допол
нительных
расходов
первого
года
в
размере
Ео.
Предполагается,
что
брутто-премия
G
состоит
из
скорректированной
премии
и
компоненты
постоянных
ежегодных
рас
ходов
Е,
а
компонента
дополнительных
расходов
первого
года
Е
о
обеспечивается
скорректированной
премиеЙ.
Таким
образом,
а=
ра+Е,
аа
=
(ра
+
Е}а
=
А
+
Е
о
+
Еа.
Из
равенств
(16.2.3В)
мы
получаем
ра
=
(А
+
Ео}/а.
Формула
(16.2.4)
может
быть
переписана
после
замены
ii
=
а
+1
в
виде
ра
_
Е
о
+
раа
=
А.
(16.2.3А)
(16.2.3В)
(16.2.4)
(16.2.5)
Пример
16.2.1.
Примерное
положение
Национальной
ассоциации
специальных
уполномоченных
по
страхованию!)
от
1980
г.
о
расчете
сохраненных
обязательств
использует
для
определения
минимальных
денежных
стоимостей
формулы
(16.2.2)
и
(16.2.4).
Согласно
этому
примерному
положению,
для
договоров
с
постоянными
страховыми
выплатами
и
постоянными
брутто-премиями
Ео
=1,25
min(P,
0,04) +
0,01,
где
Р
обозначает
величину
годовой
нетто-премии
в
пересчете
на
единицу
вы
плат
на
случай
смерти
по
этому
договору.
Выразим
расходы
первого
года
Е
о
и
соответствующие
скорректированные
премии
для
(а)
Р
< 0,04,
(Ь)
Р
~
0,04.
Решение.
(а)
Р
< 0,04,
Е
о
=
1,25Р
+0,01,
ра
=
(А
+
1,25Р
+
О,Оl)/а;
(Ь)
р
~
0,04,
Е
о
=0,06,
ра
=
(А
+
0,06)/а.
При
мер
15.3.1
можно
интерпретировать
как
использование
формул
(16.2.2)
и
(16.2.4)
для
определения
денежных
стоимостей
при
Ео
= 0,04.
~
В
этом
разделе
мы
обсудили
принцип
определения
минимальной
денежной
сто
имости,
используемый
в
законодательстве
многих
штатов
и
стран.
Этот
метод
явля
ется
еще
одним
примером
использования
модели
с
единственной
причиной
выбытия
(при
произвольных
предположениях
о
величине
и
моменте
возникновения
расходов)
для
аппроксимации
более
сложной
модели
с
двумя
причинами
выбытия.
В
истории
законодательного
регулирования
величин
сохраненных
выплат
отклонения
от
этого
общего
принципа
наблюдались
редко.
Для
юридического
завершения
определения
минимальных
денежных
стоимо
стей
нужно
указать
процентную
ставку
и
таблицу
смертности,
которые
предписы
вается
использовать.
Законодательные
изменения
предписаний
об
использовании
процентных
ставок
и
таблиц
смертности
при
установлении
минимальной
денежной
стоимости
происходили
более
часто,
чем
изменения
общих
принципов.
Примерное
положение
от
1980
г.
обеспечивает
пересмотр
максимальной
процентной
ставки
в
l)Подробнее
об
этой
ассоциации
см.,
например:
Страхование
и
управление
риском.
Термино
логический
словарь.
-
М.:
Наука,
2000. -
ПРU'м.
ред.
16.3.
Право
изменения
условий
договора
443
соответствии
с
формулой,
частично
опирающейся
на
индекс
средних
учетных
ста
вок,
наблюдавшихся
в
течение
некоторого
периода
времени
до
момента
заключения
договора.
Когда
брутто-премия
или
страховые
выплаты
не
являются
постоянными,
это
примерное
положение
нуждается
в
модификации.
Такие
модификации
будут
рас
сматриваться
в
разд.
16.9.
Они
являются
частным
случаем
очень
похожих
модифи
каций,
которые
необходимы,
чтобы
приспособить
стандарты,
выработанные
органа
ми
страхового
регулирования
при
рассмотрении
обязательств
по
резервам,
к
случаю
непостоянных
брутто-премий
и
страховых
выплат.
Так
как
исходный
договор
был
договором
страхования,
существует
точка
зре
ния,
что
выкупная
сумма
может
быть
использована
для
обеспечения
обязательств
по
измененному
договору
страхования.
С
этой
точки
зрения
денежная
стоимость
является
инструментом
определения
новых
страховых
выплат.
Варианты
такого
из
менения
договора
обсуждаются
в
разд.
16.3.
Кроме
того,
денежные
стоимости
фор
мируют
основу
другого
важного
положения,
а
именно
права
на
получение
займа
под
договор.
Согласно
этому
положению,
страховщик
обязуется
выдать
денежный
заем
под
залог
денежной
стоимости,
не
превышающий
ее
размера.
Одно
время
про
центная
ставка
по
таким
займам
устанавливалась
в
договоре.
Однако
в
ответ
на
неустойчивость
процентной
ставки
возникла
тенденция
привязывать
процентные
ставки
по
займу
под
договор
к некоторой
рыночной
процентной
ставке,
приемле
мой
в
момент вьщачи
займа.
Невыплаченная
сумма
долга
вычитается
из
выплат
на
случай
смерти,
дожития
или
выкупной
суммы,
в
зависимости
от
типа
договора.
16.3.
Право
изменения
условий
договора
Денежные
стоимости
выплачиваются
либо
в
форме
единовременной
выплаты,
либо
как
страховые
выплаты
равной
им
актуарной
настоящей
стоимости.
Далее
обсуждается
три
общих
вида
новых
договоров.
16.3.1.
Оплаченное
страхование
Для
определения
измененной
величины
страховой
суммы
оплаченного
страхо
вания
в
соответствии
с
условиями
выплат
по
договору
используется
принцип
эк
вивалентности.
Если
прекращение
выплаты
премий
произойдет
через
k
лет
после
заключения
договора,
общее
уравнение
для
оплаченной
страховой
суммы,
обозна
чаемой
через
bk,
записывается
в
виде
(16.3.1)
где
kCV
-
денежная
стоимость
в
момент
прекращения
выплаты
премий,
а
A(k)
-
актуарная
настоящая
стоимость
будущих
страховых
выплат
размера
1
по
этому
договору
в
момент
времени
k.
На
практике,
если
нужно,
используются
различные
усложнения
символа
A(k),
чтобы
указать
различные
сроки,
наличие
выплат
на
до
житие
и
то,
что
выплаты
происходят
сразу после
страхового
случая.
Для
страховой
выплаты
размера
1
в
частном
случае,
когда
kCV
= kV,
где
kV
-
нетто-резерв,
формула
(16.3.1)
может
быть
переписана
в
еще
более
прозрачной
форме.
Некоторые
из
подобных
соображений
уже
были
приведены
в
связи
с
форму
лами
(7.3.2)
и
(7.4.6).
В
этом
частном
случае
для
обозначения
оплаченной
страховой
суммы
используется
символ
kW =b
k
=kV/A(k).
В
табл.
16.3.1
представлены
некото
рые
соотношения
между
k W
и
другими
актуарными
величинами.
Дополнительные
соотношения
этого
типа
приведены
в
упр.
16.7
и
16.8.
444
Гл.
16.
Некоторые
аспекты
отчетности
и
регулирования
Таблица
16.3.1.
Оплаченная
страховая
сумма
непрерывная
модель
Частный
случай
bk
=
kW
=kV/A(k)
дискретная
модель
Бессрочное
страхование
на
случай
смерти
с
n-летним
периодом
выплаты
премий
(k < n)
nw-
(А-
) _ A
x
+
k
-
nP(Ax)Q.x+k:~
nW
_
Аж+k
-
nРжQ.Х+k:n=kI
k
х
- - k
ж-
Аж+k
Ax+k
=1 _
n~(~x)
=1 _
nР
х
n-kР(Ах+k)
n-kР:z:+k
Смешанное
страхование
на
срок
n
лет
(k <
n)
W
-
(А-
) -
A:c+k:~
-
P(AX:ffi)o.x+k:~
w _
Ax+k:~
-
Px:ffio.x+k:n=k'l
k x:7il - k
:с:Щ-
A:c+k:n-kl Ax+k:n-kl
=1 _
P(A
x
:
7il
) =1 _
Р
х
:
m
P(Ax+k:n-kl)
n-kРх+k:n-kl
Результаты
табл.
16.3.1
МОЖНО
пояснить
с
помощью
следующих
рассуждений.
В
возрасте
х
+ k
лет
нетто-премия
по
договору
бессрочного
страхования
на
слу
чай
смерти
со
страховой
суммой
размера
1
составляет
Рж+k.
Таким
образом,
еже
годной
премии
Р
х
,
выплачиваемой
с
возраста
х
+ k,
достаточно
для
обеспечения
страховых
выплат
лишь
в
размере
Р
ж
/
Px+k.
Поскольку
Рх
является
нетто-премией,
фактически
выплачиваемой
для
обеспечения
страховой
суммы
размера
1,
разность
1-
Р
х
/
P
X
+
k
В
момент
времени
k
должна
обеспечиваться
резервом.
Эти
рассуждения
можно
применить
и
к
другим
видам
страхования.
16.3.2.
Измененный
срок
страхования
Для
определения
продолжительности
действия
нового
договора
срочного
стра
хования
с
такой
же
страховой
суммой,
как
в
исходном
договоре,
обеспеченного
вы
купной
суммой,
используется
принцип
эквивалентности.
В
случае
страховой
выпла
ты
размера
1
нужно
разрешить
относительно
s
уравнение
- 1
kCV
=
A
x
+
k
:
вt
'
(16.3.2)
В
случае
смешанного
страхования
может
случиться
так,
что
s
больше
n -
k,
времени,
оставшегося
до
окончания
действия
договора.
В
этом
случае
величина денежной
стоимости,
не
использованная
для
обеспечения
срочного
оплаченного
страхования
используется
для
обеспечения
страхования
на
дожитие
со
страховой
суммой
(
kCV
-
A-l------.:1)/A-~
(16.3.3)
x+k:n-kl
x+k:n-kl'
Если
под
договор
со
страховой
суммой
Ь
в
момент
прекращения
выплаты
премий
был
взят
заем
в
размере
L,
то,
как
правило,
заключается
договор
с
измененным
сро
ком
страхования
на
сумму
Ь
- L.
Без
этого
условия
страхователь,
взяв
заем
размера
L
с
сохранением
выплат
на случай
смерти
Ь
-
L,
мог
бы
увеличить
страховую
сумму
16.3.
Право
изменения
условий
договора
445
дО
Ь,
просто
отказавшись
вносить
премии.
В
случае
займа
под
договор
размера
L
формула
(16.3.2)
приобретает
вид
- 1
Ь
kCV
- L =
(Ь
-
L)А
ж
+
k
:
Sl
•
Если
страхователь,
прекратив
выплату
премий,
выбирает
изменение
страховой
суммы
или
изменение
срока
страхования,
то
страховщик
должен
предоставить
ему
такую
возможность
изменить
условия
договора.
Лица
с
хорошим
здоровьем
чаще
предпочитают
изменить
страховую
сумму,
а
лица
с
плохим
здоровьем
-
изменить
срок
страхования.
Для
компенсации
дополнительных
расходов,
связанных
с
реали
зацией
права
на
изменение
условий
договора,
при
определении
величины
A.-!.-k
~
в
х+
:8.
формуле
(16.3.2)
некоторые
страховщики
используют
таблицы
смертности
с
более
высокими
вероятностями
смерти,
чем
при
определении
величины
A(k)
в
формуле
(16.3.1).
Основное
соображение
состоит
в
том,
что
переход
страхователя
из
одного
состо
яния,
определенного
в
договоре,
в
другое
-
это
информация,
которую
следует
ис
пользовать
при
определении
условных
распределений
продолжительности
периода
между
моментом
такого
перехода
и
моментом
смерти.
Эти
соображения
возникают
также
при
обсуждении
ускоренных
выплат
в
разд.
17.6
и
страхования
на
случай
последней
смерти
в
группе
в
разд.
18.7.
Пример
16.3.1.
По
договору
бессрочного
страхования
на
случай
смерти
в
полу
непрерывной
модели,
заключенному
с
лицом
(40),
предусмотрена
страховая
выплата
размера
100000.
Используя
Иллюстративную
таблицу
смертности
с
равномерным
распределением
случаев
смерти
в
течение
каждого
годичного
возрастного
интервала
и
i = 0,06,
определим
следующие
показатели
на
момент
времени
10:
(
а)
минимальную
выкупную
сумму
в
соответствии
с
При
мерным
положением
Национальной
ассоциации
специальных
уполномоченных
по
страхованию
от
1980
г.
о
расчете
сохраненных
обязательств;
(Ь)
продолжительность
измененного
срока
страхования
при
условии,
что
размер
денежной
стоимости
по
договору
равен
8700;
(с)
продолжительность
измененного
срока
страхования
при
сформулированном
в
п.
(Ь)
условии
в
случае
непогашенного
займа
под
договор
в
размере
5000.
Решение.
Приведенные
ниже
расчеты
произведены
на
основе
Иллюстративной
таблицы
смертности,
составленной
в
ходе
решения
упражнений
с
использованием
компьютера.
Од'Н,овре.ме'Н,'н.ое
использование
этой
Иллюстративной
таблицы
смерт
ности
как
для
исходных
оценок
премий
и
резервов,
так
и
для
расчета
продолжитель
ности
измененного
срока
страхования
может
быть
нереалистичным,
так
как
продол
жительность
предстоящей
жизни
страхователя,
реализующего
право
на
изменение
срока
страхования,
может
определяться
более
высокими
показателями
смертности,
чем
продолжительность
предстоящей
жизни
только
что
застрахованного
лица.
(а)
Р(А
40
)
=
А
40
/а40
=
(i/б)А
40
/ii
40
= 0,011211537,
Е
о
= 1,25
Min[P(A
4o
), 0,04] +0,01 = 0,024014421,
ра
=
Р(А
40
)
+
Е
о
/а
4
0
= 0,012832315.
Минимальная
денежная
стоимость
на
момент
времени
10
равна
8620,2247.
Нетто-резерв
на
момент
времени
10
равен
10770,4823.
(Ь)
ДЛЯ
определения
s
формула
(16.3.2)
дает
следующие
соотношения:
8700 =
100000A~o:81'
или
0,08700 =
A~o:sr'
Чтобы
использовать
предположение
о
равномер
ности
распределения
моментов
смерти
в
течение
каждого
годичного
возрастного
446
Гл.
16.
Некоторые
аспекты
отчетности
и
регулирования
интервала,
начнем
с
определения
такого
целого
числа
ls
J,
ЧТО
-1 -1
А
50
:
L8J
I< 0,08700 <
А
50
:
L8J+ll'
Согласно
Иллюстративной
таблице
смертности,
-1 -1
А
sо
:
IЗl
= 0,083094960
и
A
SO
:
I4l
= 0,090194845.
[Указание.
См.
п.
(Ь)
в
конце
разд.
4.3.]
Таким
образом,
1
8-13
0,087 =
A~o:i1
=0,083094960 +
v1313PSO
О
qб3
v
t
dt,
0,003905040(1,06)13 1 - v
8
-
13
13РБО
Q63
v
8
-
13
= 0,968948162
и
Эту
величину
можно
округлить
до
13
лет
и
198
дней.
(с)
Найдем
теперь
такое
s,
что
(8700 - 5000) = (100000 -
5000)A~O:B1'
или
0,038947368 =
Ag
o
:
i1
.
Рассуждая,
как
в
п.
(Ь),
получим
s = 6,444084519.
Округляя,
получаем
6
лет
и
163
дня.
~
16.3.3.
Автоматический
заем
на
уплату
премий
Другим
вариантом
условия,
которое
не
все
актуарии
относят
к
сохраненным
выплатам,
является
условие
автоматического
займа
на
уплату
премиЙ.
Это
усло
вие
обеспечивает
сохранение
обязательств
по
исходному
договору
в
полном
объеме
при
прекращении
выплаты
премий
до
тех
пор,
пока
соответствующая
денежная
стоимость
больше,
чем
растущий
вследствие
начисления
процента
и
прекращения
выплаты
премий
размер
займа
под
договор.
По
такому
условию
страхователь
имеет
одностороннее
право
на
восстановление
обязательств
по
договору
в
полном
объ
еме по
возмещении
займа.
Споры
по
поводу
классификации
такого
варианта
уело
вий
ведутся
из-за
того,
что
восстановление
обязательств
в
полном
объеме
по
дру
гим
типам
условий,
предусмотренных
в
подобных
случаях,
обычно
требует
выпла
ты
накопленной
задолженности
по
брутто-премии
и
часто
проведения
повторного
андерраЙтинга.
При
прекращении
выплаты
премии
в
момент
времени
k
для
договора
стра
хования
со
страховой
выплатой
размера
1
в
непрерывной
модели
максимальная
длительность
периода
предоставления
займа
на
уплату
премий
является
решением
уравнения
GS
tli
=
k+t
CV
(16.3.4)
относительно
t,
в
котором
• G -
величина
брутто-премии
на
единицу
страховой
суммы;
•
k+t
CV
-
денежная
стоимость
на
единицу
страховой
суммы;
• i -
процентная
ставка
по
займу
под
страховой
договор.
На
практике
t
иногда
находят
как
целое
число,
такое,
что
GSIIi
~
k+t
CV
и
GS
t
+
11i
> k+t+l
CV.
Оставшаяся
денежная
стоимость
k+tCV
-
GSt1i
используется
для
обеспечения
стра
хования
на
измененный
срок,
16.4.
Премии
и
экономические
соображения
447
Пример
16.3.2.
Пусть
условия
договора
бессрочного
страхования
со
страховы
ми
выплатами
размера
1,
заключенного
лицом
(х),
в
непрерывной
модели
изменя
ются
в
конце
k-ro
года
его
действия.
(а)
При
условии,
что
kCV
= k
V(A
x
),
выразим
отношение
дисперсии
будущих
потерь,
связанных
с
изменением
условий
договора
страхования,
непосредственно
по
сле
этого
изменения
к
дисперсии
будущих
потерь
в
момент
k
по
исходному
договору
страхования,
если
сохраненные
выплаты
обеспечивают
(i)
оплаченное
страхование;
(ii)
страхование
с
измененным
сроком.
(Ь)
При
х
=
35
и
k =
10
подсчитаем
отношения
из
п.
(a)(i)
и
п.
(a)(ii)
на
основе
Иллюстративной
таблицы
смертности
с
процентной
ставкой
6%
(см.
упр.
6.10
и
7.23).
Решение.
(а)
(i)
Согласно
формуле
(7.2.5),
дисперсия
перед
изменением
усло
вий
составляет
- - 2
2-
- 2
[
1
+
Р(А
х
)]
[2А
_
(А
)2}
=
:A
x
+
k
- (A
x
+
k
)
б
x+k
ж+k
(1
-
А
ж
)2
Для
оплаченного
страхования
мы
имеем
случайную
величину
потерь
k
w(Аж)vТ{х)-k
-
kv(А
ж
),
дисперсия
которой
составляет
[kW(А
ж
)]2[2А
Х
+
k
-
(А
ж
+
k
)2].
Отношение
ее
к
диспер
сии
перед
изменением
условий
договора
равно
[k
W
(Аж)]
2
(1
-
Аж)
2,
что
меньше
1.
(ii)
В
случае
изменения
срока
страхования
из
формул
(16.3.2)
и
(4.2.5)
получа
ем,
что
дисперсия
после
изменения
условий
договора
составит
2A--.!-k
81
-
(A-..!...-k
81)2.
х+
:8
ж+
:8
Теперь
отношение
дисперсий
представляет
собой
2-
1 - 1 2 - 2
2-
- 2
[
А
Ж
+
k
:
81
-
(A
x
+
k
:
i1
)
](1
-
Ах)
/[
Ax+k - (Ax+k)
].
(Ь)
(i)
10
w(А
з5
)
=
10
v(А
з5
)/
А
45
= 0,08604/0,20718 = 0,41529,
А
35
= 0,13254,
[0,41529(1 - 0,13254)]2
=0,13.
Дисперсия
потерь
по
оплаченному
страхованию
составит
13%
от
дисперсии
по
терь
по
исходному
договору
страховании
в
конце
10-го
года
его
действия.
(ii)
10
V(А
з5
)
=
0,08604A~5:il
дает
величину
s
между
19
и
20.
При
s =
19
имеем
2A~5:i91-
(A~5:I91)2
(1
_
А
)2
=0,04308
(О
86746)2 =
111
2А
45
-
(А
45
)2
35
0,02922'
, .
Так
как
s
лежит
между
19
и
20,
дисперсия
увеличивается
примерно
до
111%
от
.~.
величины
дисперсии
до
изменения
условий
договора.
"
16.4.
Премии
и
экономические
соображения
в
разд.
15.2.1
и
15.3.1
мы
ввели
в
Qr;>рмулы
для
премий
ожидаемые
расходы,
использовав
для
этого
принцип
эквивалентности.
Полученные
премии
были
названы
премиями
с
надбавкой
на
расходы,
но
их
можно
было
бы
также
назвать
премиями
с
учетом
ожидаемых
расходов.
В
разд.
15.2.2
и
15.3.2
была
введена
дополнительная
сумма
для
обеспечения
прибыли,
а
также
«на
случайность»
как
постоянная
надбавка
к
премии
с
надбавкой
на
расходы.
Определение
целевых
значений
прибыли
и
их
введение
в
процесс
определения
премий
не
обсуждались
.
В
этом
разделе
рассматриваются
четыре
метода
определения
премий,
которые
можно
сформулировать
в
терминах
моделей,
включающих
расходы.
Эти
четыре
448
Гл.
16.
Некоторые
аспекты
отчетности
и
регулирования
метода
изучаются
в
порядке
увеличения
экономической
сложности
целей,
которые
преследуются
при
расчете
прибыли.
16.4.1.
Естественные
премии
При
определении
брутто-премии
для
одновременного
вычисления
премий
и
де
нежных
стоимостей
используется
метод,
называемый
.методом
естествен'Н'Ых
пр
е
мuй
и
резервов.
Сначала
на
основе
модели
с
единственной
причиной
выбытия
вычис
ляется
некоторый
набор
премий
с
надбавкой
на
расходы
и
соответствующие
резервы,
как
это
было
сделано
в
табл.
15.2.4.
Затем
выкупные
суммы
устанавливаются
равны
ми
совокупным
резервам,
нетто-резервам
плюс
резервы
расходов,
а
к
премии
с
над
бавкой
на
расходы
добавляется
надбавка
на
прибыль
и
получается
брутто-премия.
Этот
метод
основан
на
том,
что
полученные таким
образом
выкупные
суммы
будут
слабо
влиять
на
премии
и
резервы,
определенные
в
модели
с
двумя
причинами
выбы
тия,
учитывающей
расходы.
Конечно,
следует
проверить,
что
полученные
значения
выкупных
сумм
соответствуют
минимальным
значениям,
установленным
органами
страхового
регулирования.
Термины
«естественные
премии.
и
«естественные
резер
вы.
в
некоторых
актуарных
приложениях
используются
в
другом
значении.
Этот
метод подробно
излагался
в
разд.
15.3.
16.4.2.
Целевое
значение
фонда
Формула
(15.6.6)
рассматривается
здесь
как
общая
формула
для
определения
премии
с
надбавкой
па
расходы
согласно
принципу
эквивалентности.
Исследование
разд.
15.6.1
можно
раСlIIИрить,
указав способ
учитывать
компоненту,
отражающую
целевые
значения
прибыли,
при
определении
брутто-премии.
При
такой
постановке
менеджеры
устанавливают
целевое
значение
доли
активов
в
размере,
скажем,
К
>
20V'
Если
ожидаемые
расходы
и
обязательства
по
обеспече
нию
денежных
стоимостей
известны,
то
формулу
(15.6.5)
можно
использовать
для
определения
брутто-премии
G
следующим
образом.
Пусть
пробное
значение
брутто
премии,
обозначаемое
через
Н,
выбрано
произволъно,
и
пусть
величина
20АВ
вы
числена
с
помощью
выражения
(15.6.5)
с
этим
значением
Н
и
с
n = 20:
20
20
А
В
=
(T~
{L[H(1
-
Ch-l)
-
eh-l]
l~1h-l
(1
+
i)21-h
lx+20
h=l
-
(d(l)
+
d(2)
CV)
(1
+
i)20-h}
x+h-l
z+h-lh
.
(16.4.1)
Целевое
значение
К
получается
в
результате
применения
формулы
(16.4.1)
с
заме
ной
Н
на
а.
Вычитая,
получим
АВ
_
~
(С
-
Н)(1
-
Ch-l)l~1h_l
(1
+
i)21-h
К
-
20
-
L..J
(Т)
,
h=l
lZ+20
И
искомая
брутто-премия
задается
формулой
(16.4.2)
16.4.
Премии
и
экономические
соображения
449
Второе
слагаемое
в
формуле
(16.4.2)
корректирует
начальную
премию
Н
так,
что
целевое
значение
К
достигается
в
смысле
актуарных настоящих
стоимостей.
Зна
менатель
второго
слагаемого
можно
интерпретировать
как
актуарную
настоящую
стоимость
увеличения
прибыли
при
увеличении
брутто-
премии
на
единицу.
16.4.3.
Целевое
значение
нормы
доходности
Прибыльность,
К
достижению
которой
стремятся
в
экономике, часто
описыва
ется
в
терминах
нормы
доходности
на
инвестированный
капитал.
Существует
точка
зрения,
что
важнейшим
направлением
инвестирования
при
создании
страховой
ком
пании
является
развитие
системы
продаж.
С
этой
точки
зрения
ожидаемую
норму
доходности
инвестиций
в
систему
продаж
можно
выразить
как
долю
актуарной
на
стоящей
стоимости
комиссионных
вознаграждений,
которые
являются
следствием
работы
этой
системы.
Кроме
того,
согласно
этой
точке
зрения,
страховая
компания
должна
покрывать
расходы
на
привлечение
клиента
в
тот
момент,
когда
эти
расхо
ды
возникают,
т.
е.
в
момент
заключения
договора,
в
надежде
на
будущие
доходы
по
этому
договору.
Чтобы
включить
эти
соображения
в
метод
расчета
премий,
начнем
с
модели
доли
активов,
изложенной
в
разд.
15.6.
Одно
из
необходимых
изменений
состоит
в
том,
чтобы
разделить
по
видам
расходы
Ch,
ch
=
9h
+
th,
где
9h
-
ставка
выплаченного
комиссионного
вознаграждения,
а
th
включает
остальные
виды
расходов,
например,
налоги
на
премии.
В
табл.
15.3.4
в
предположении,
что
не
наблюдается
никаких
отклонений
от
математических
ожиданий,
были
показаны
финансовые
операции
очень
маленькой
компании
страхования
жизни.
Рекуррентное
соотношение,
использованное
для
рас
чета
табл.
15.3.4
и
15.3.5,
тесно
связано
с
формулой
для
долей
активов
(15.6.7).
Перепишем
эту
формулу
в
предположении,
что
разность
hAS'
- hV
по
окончании
каждого
года
рассматривается
как
бухгалтерская
прибыль
или
убытки
и
обозна
чается
через
h В
Р,
а
начальная
доля
активов
в
h + 1-
м
году
действия
договора
устанавливается
в
размере
hV'
Символ
hV
обозначает
резерв,
зафиксированный
за
ранее.
Чтобы
подчеркнуть,
что
hBP
выделяется
из
ожидаемого
изменения
фонда
как
прибыль,
к
обозначению
для
доли
активов
добавляется
штрих.
Так
как
величина
hB
Р
измеряется
на
конец
страхового
года
для
каждого
стра
хователя,
который
был
жив
на
начало
этого
года,
имеем
h
BP
=
hAS'
- hV =
([h-lV
+
Н(1
-
9h-l
-
th-l)
-
eh-l](1
+i)
-
q~~h-l
(1
- h
V
) -
q~~h-l
(h
CV
- h
V
)}
- h
V
,
Прибыль,
указанная
в
бухгалтерской
отчетности,
hBP,
рассчитывается
с
помо
щью
произвольной
начальной
премии
Н,
которую
можно
рассматривать
как
нетто
премию;
величина
hBP
может
быть
отрицательной.
Это
особенно
вероятно
в
на
чальные
годы
действия
договора.
Актуарная
настоящая
стоимость
бухгалтерской
прибыли
на
момент
заключения
договора
задается
формулой
vJ
h_lP~T)
h
BP
=
Vj
h-lЕ;
hBP,
h =1,2,
З,
...
,
где
Vj
вычисляетсяна
основе
процентной
ставки
j,
представляющей
собой
желатель
ную
норму
доходности
инвестиций
в
систему
при
влечения
новых
клиентов.
Звездоч
ка
в
обозначении
выплат
на
дожитие
указывает
на
то,
что
соответствующая
вели
чина
вычисляется
с
процентной
ставкой
j
в
модели
с
двумя
причинами
выбытия.
15
-
1855
450
Гл.
16.
Некоторые
аспекты
отчетности
и
регулирования
00
Для
начального
значения
премии
Н
актуарная
настоящая
стоимость
бухгал
терской
прибыли
инвестора
страховой
компании
в
момент
заключения
договора
со-
ставляет
00
Z =
LVj
h-l
Е
;
h
BP
.
h=l
Актуарная
настоящая
стоимость
будущих
комиссионных
вознаграждений,
основан
ная
на
начальном
выборе
премии
и
рассчитанная
на
момент
заключения
договора,
равна
00
Х
=
HL9h-l
h-l
Е
;,
h=l
а
актуарная
настоящая
стоимость
увеличения
выплаты
бухгалтерской
прибыли
ин
вестору
на
каждую
единицу
увеличения
премии
Н,
рассчитанная
на
момент
заклю
чения
договора,
-
это
У
=
L(l
-
9h-l
-
th-l)(l
+
i}vj
h-l
Е
;.
h=l
Значение
величины
У
тесно
связано
со
знаменателем
дроби
из
формулы
(16.4.2).
Различие
состоит
в
том,
что
У
измеряет
влияние
изменения
премии
на
единицу
за
весь
период
действия
договора,
а
в
формуле
(16.4.2)
это
влияние
измеряется
только
за
20
лет,
за
которые
достигается
целевое
значение
фонда.
Пусть,
как и
ранее,
G
обозначает
брутто-премию,
соответствующую
поставлен
ной
экономической
цели,
и
предположим,
что
G >
Н.
Вводятся
две
модифициро
ванные
величины.
Пусть
Z'
= Z +
(С
-
Н)У
(16.4.3)
-
модифицированное
значение
актуарной
настоящей
стоимости
бухгалтерской
при
были
инвестора,
а
Х'=(С/Н)Х
(16.4.4)
-
модифицированное
значение
актуарной
настоящей
стоимости
будущих
комисси
онных
вознаграждений.
Экономическую
цель
можно
описать
формулой
z' =
ьх',
(16.4.5)
где
Ь
-
требуемая
норма
доходности
капитала,
инвестированного
в
систему
продаж.
Тогда
из
формулы
(16.4.3)
получаем
(G -
Н)У
=
Z'
- Z
и
в
силу
(16.4.4)
и
(16.4.5)
Z +(G -
Н)У
=
ЬХ'
=
Ь(С/Н)Х.
(16.4.6)
Равенство
(16.4.6)
имеет
экономическую
интерпретацию.
Правая
часть
устанавлива
ет
экономическую
цель.
Левая
часть
содержит
два
слагаемых.
Первое
слагаемое
Z
является
актуарной
настоящей
стоимостью
бухгалтерской
прибыли
при
начальном
выборе
брутто-премии
Н.
Второе
слагаемое
(С
-
Н)У
представляет
собой
прирост
актуарной
настоящей
стоимости
бухгалтерской
прибыли
при
увеличении
брутто
премии
на
величину
G -
Н.
Разрешая
равенство
(16.4.6)
относительно
С,
получим
G =
(н
2
у
-
HZ)/(HY-
ЬХ).
Эта
премия
соответствует
требуемой
норме
доходности
j
по
новым
договорам
и
норме
прибыли
Ь
по
комиссионному
вознаграждению,
связанным
с
инвестициями
в
систему
продаж
страховых
продуктов.