Бауэрс Н., Гербер Х., Джанс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика
Подождите немного. Документ загружается.
15.6.
Доля
активов
431
Формулу
(15.6.6)
можно
интерпретировать
как
общую
формулу
для премии
с
над
бавкой
на
расходы
при
использовании
принципа
эквивалентности.
Из
нее
можно
получить
формулу
для
случаев
срочного
страхования
на
случай
смерти
или
сме
шанного
страхования
жизни.
(Т)
(1) (2)
Делая
замену
Px+h-1 =
1-
q
x+h-1
-QХ+h-l'
можно
переписать
равенство
(15.6.2)
в
виде
hAS
= [h-1
A
S +
а(1
-
Ch-l)
-
eh-l](l
+ i)
-
q~~h-l
(1
- h
AS
) -
q~~h-1
(h
CV
- h
AS
).
(15.6.7)
Это
подчеркивает
особое
значение
разности
hCV
-
hAS
в
изменении
долей
активов.
Расчет
доли
активов
можно
рассматривать
как
определение
ожидаемой
дина
мики
активов
на
один
еще
действующий
договор
из
набора
одинакОВЫХ
договоров.
Для
контроля
баланса
между
различными
компонентами
структуры премий
и
вы
плат
рассчитываются
фиксированная
брутто-премия,
обязательства
по
покрытию
расходов
и
денежные
стоимости.
Целью
этих
расчетов
может
быть
выяснение,
будет
ли
для
всех
лет
действия
договора,
кроме
очень
ранних,
выполняться
неравенство
kAS~kV,
15.6.2.
Бухгалтерский
учет
Пусть
hAS
=
hV
+
u(h),
где
hV -
резерв,
а
u(h) -
ожидаемое
сальдо
на
одного
дожившего
страхователя
на
конец
периода
h.
Значения
u(h)
могут
быть
отрица
тельными,
особенно
в
первые
годы.
Предположим,
что
резервы
определяются
по
рекуррентной
формуле
V
(Т)
- ( V
Р)(l
') (1) (2)
CV
h - 2 3 ( )
h Px+h-1 -
h-1
+ +
~
-
qx+h-l
- Qx+h-l
h,
- 1, ,
,....
15.6.8
Формула
(15.6.8)
является
рекуррентным
уравнением,
которое
позволяет
вычислить
нетто-резервы
в
модели
с
двумя
причинами
выбытия.
Эти
резервы
соответствуют
нетто-резервам,
подсчитанным
в
табл.
15.3.3.
Умножим
равенства
(15.6.2)
и
(15.6.8)
на
h_1P~T)
и
вычтем
одно
из
другого:
u(h)
hP~T)
= [u(h
-1)
+G(l-Ch-l)
-eh-l
-
Р](l
+i)
h_lP~T),
h
==
1,2,
....
(15.6.9)
Пусть
G
==
Р
+
е
и
GCh-l
+
eh-l
=
Eh-l,
где
Eh-l
-
совокупные
расходы.
Тогда
формула
(15.6.9)
сводится
к
формуле
u(h)
hP~T)
==
[u(h -
1)
+
с
-
Eh-l](l
+ i)
h_lP~T),
(15.6.10)
которая
является
вариантом
формулы
(15.5.10)
для
модели
с
двумя
причинами
вы
бытия.
Умножая
рекуррентное
соотношение
(15.6.10)
на
v
h
и
производя
алгебраи
ческие
преобразования,
получим
ДV
h
-
1
h_lP~T)u(h
-
1)
==
v
h
-
1
h_lP~T)
(е
- E
h
-
1
).
Аналогично
тому,
как
в
разд.
15.5
выводилась
формула
(15.5.8),
мы
можем
получить
h
hP~T)u(h)
==
:Е(1
+
i)h-
j
+l
j_lP~T)(C
-
Ej-l).
(15.6.11)
j=1
Остальные
рассуждения
разд.
15.5
можно
повторить
почти
дословно,
заменив
ве
роятность
выбытия
по
единственной
причине
на
соответствующую
вероятность
из
432
Гл.
15.
Модели
страхования,
включающие
расходы
2
3
h
1
модели
выбытия
по
нескольким
причинам
и
прибавив
математическое
ожидание
BЫ~
купной
суммы
h_lP~T)
q~~h-l
h-l
CV.
Численная
иллюстрация
содержится
в
столб
цах
(Ь)
табл.
15.3.4
и
15.3.5.
Пример
15.6.1.
Рассмотрим
пример
из
табл.
15.2.1,
включив
в
него
выкупную
сумму
из
табл.
15.3.1.
Предположим,
как
и
в
табл.
15.3.4
и
15.3.5,
что
G = 342,96.
Вычислим
набор
долей
активов.
Решение.
Для
проведения
расчетов
используем
формулу
(15.6.2).
Период
Доля
активов
[h-l
А
В
+
С(1
-
Ch-l)
-
eh-l](1
+i) -
1000q~~h-l
- h
CV
q~~h-l
=
АВ
(Т)
h
Рж+h-l
[О
+342,96(1 - 0,20) - 8,0](1,15) - 1000(0,1) - 227,73(0,1) =
22944
0,8 '
[229,44
+ 342,96(1 - 0,06) - 2,0](1,15) - 1000(0,1111) - 564,41(0,1111)
0,7778
= 589,46
[589,46
+ 342,96(1 - 0,06) - 2,0)(1,15) - 1000 =
46
32
10
'
,
у
Сравнение
решения
этого
примера
и
математического
ожидания
активов
на
ко
нец
третьего
года,
приведенных
в
табл.
15.3.5,
объясняет
термин
~доля
активов)-:
(доля
активов)
(математическое
ожидание
числа
страхователей,
получающих
выплаты
на
случай
смерти,
на
дожитие
или
выкупную
сумму
в
конце
третьего
года
действия
договора)
=
(совокупные
ожидаемые
активы),
(46,32)[(10)(0,6222)] = 288,22,
(математическое
ожидание
активов
на
конец
третьего
года
действия
договора)
-
(активы,
накопленные
за
счет
инвестирования
начального
фонда)
=
(совокупные
ожидаемые
активы),
1809,07 - 1000(1,15)3 =288,20.
Различие
в
результатах
объясняется
ошибкой
округления.
15.7.
Расходы,
резервы
и
договор
страхования
жизни
общего
вида
в
разд.
15.2
и
15.3,
используя
два
простых
примера,
мы
рассмотрели
ряд
новых
идей.
В
разд.
8.2
были
рассчитаны
резервы
для
договора
страхования
жизни
общего
вида
в
модели
с
единственной
причиной
выбытия,
где
расходы
не
принимались
во
внимание.
Изложение
начиналось
со
следующей
случайной
величины
потерь:
/.
Т(Ж)
t
L
=
ЬТ(ж)
vТ(ж)-t
- t
1Г
и
v
u
-
t
du
для
Т
(х)
>
t.
Наша
цель
состоит
в
обобщении
этой
модели
путем
включения
в
нее
компонент,
рассматривавшихея
в
предыдущих
разделах.
Во-первых,
мы
добавим
15.7.
Расходы,
резервы
и
договор
страхования
жизни
общего
вида
433
возможность
выплаты
выкупной
суммы:
1
т
(х)
ь(1)
vТ(ж)-t
_
1I"
l
v
u
-
t
du
Т(ж)
u
t
Ll
= 1
tT
(X)
ь(2)
vT(x)-t
_
71'"1
v
u
-
t
du
Т(ж)
u
t
при
выбытии
вследствие
смерти,
при
выбытии
вследствие
досрочного
прекращения
дoг~>вopa.
при
выбытии
вследствие
смерти,
при
выбытии
вследствие
досрочного
прекращения
договора.
(15.7.3)
Верхний
правый
индекс
1
добавляется
к
обозначениям
случайной
величины
потерь
и
величины
премии
для
указания
на
то,
что
к
исходной
модели
были
добавлены
выкупные
суммы.
Во-вторых,
добавим
расходы
с
интенсивностью
E
t
в
момент
времени
t,
где
t
-
время
с
момента
заключения
договора.
Это
соответствует
тому,
что
было
сдела
но
в
соотношении
(15.6.10).
Нижний
индекс
е
в
обозначениях
случайной
величины
потерь
и
величины
премий
указывает
на
то,
что
к
модели
добавляются
расходы.
2
Предполагается,
что
e1ru
определяется
согласно
принципу
эквивалентности.
Тогда
1
т
(х)
ь(l)
vТ(ж)-t
_ (
71'"1
-
Е
)v
u
-
t
du
Т(х)
е
u
и
1
tт
(ж)
ь(2)
vT(x)-t
_ (
11"1
-
Е
)v
u
-
t
du
Т(х)
е
u u
t
Тогда,
сделав
замену
переменной
s =
и
- t,
запишем
условное
математическое
ожи
дание
с.в.
tL~
при
условии
Т(х)
>
t:
1
00
[l
y
-
t
]
2 _
(1)
y-t
. 1 s
(Т)
(1)
E[tLe-]
- t
Ь
у
V -
о
(e1l"t+s -
Et+s)v
ds
y-tРж+t
f-Lх+t(У
- t) dy
1
00
[l
y
-
t
]
(2)
y-t
1.
s
(Т)
(2)
+ t
Ь
у
V -
о
(e71'"t+8
-
Et+s)v
ds
y-tРх+t
J1-х+t(У
- t) dy.
(15.7.1)
Теперь
сделаем
замену
переменной
и
=
У
- t
во
внешнем
интеграле
и
сгруппируем
слагаемые
следующим
образом:
E[,L~]
=
[О
[t
ьЩu
Jl~~'(")VU
-
{и
(.~+.
- Et+.)v·
ds
Jl~'2t(")]
up~1t
du.
О
)=1
10
Интегрируя
по
частям
во
втором
слагаемом,
получим
Е[,ц]
=
['
v
u
{
[t
bl~u
Jl~~t(")
-
.~+.
+E
t
+.]
uP~1t}dU
=
(ОО
vU[f(u:t)]
du.
о
)=1
10
(15.7.2)
Формула
(15.7.2)
представляет
интерес
из-за
того,
что
функцию
2
f
(и:
t) =
[Et+u
+
~
b~~u
f-L~~t
(и)
-
е
71'"t+
u
]
up~1t
1=1
можно
интерпретировать
как
ожuдае.м:ыil
денежный
nоmо'Х:
в
момент
времени
t +
и
по
договору
страхования
при
условии
дожития
до
момента
времени
t.
434
Гл.
15.
Модели
страхования,
включающие
расходы
Так
как
положительные
значения
функции
f
(и:
t)
связаны
с
ожидаемым
исхо
дящим
денежным
потоком,
некоторые
актуарии
предпочитают
использовать
функ
цию
9
(и:
t) = - f
(и:
t),
для
которой
ожидаемые
входящие
денежные
потоки
имеют
положительные
значения.
Формула
(15.7.3)
указывает
на
еще
одну
интерпретацию
резервов.
Резерв
представляет
собой
настоящую
стоимость
будущего
ожидаемого
чистого
исходящего
денежного
потока.
Формулу
(8.6.1)
можно
интерпретировать
аналогичным
образом,
но
для
менее
сложной
модели.
В
разд.
15.2.2
и
15.3.2
показано,
что
резервы
могут
описываться
с
большей
или
меньшей
степенью
детализации
в
зависимости
от
того,
какая
поставлена
цель.
В
этом
разделе
был
введен
договор
страхования
весьма
общего
вида.
Для
целей
страхового
регулирования
резервы
могут
вычисляться
с
помощью
формулы
(8.2.4)
в
предпо
ложении,
что
игнорирование
расходов
является
консервативным
в
том
смысле,
что
при
включении
расходов
резервы
обычно
уменьшаются.
Выкупные
суммы
также
могут
быть
исключены
из
рассмотрения,
если
предположить,
что
правильно
опре
деленные
выкупные
суммы
мало
влияют
на
резервы.
Для
финансовой
отчетности,
используемой
на
рынках
капитала,
основой
оценки
резервов
обычно
является
фор
мула
(15.7.2).
В
управлении
финансами
компаний,
занимающихся
страхованием
жизни,
очень
важно
учитывать,
как
изменение
процентной
ставки,
при
которой
произво
дятся
расчеты,
влияет
на
изменение
резерва.
Используя
формулу
(15.7.2)
и
считая,
что
величина
премий,
установленная
в
момент
времени
О,
не
зависит
от
будущих
процентных
ставок,
имеем
:а
Е[,Ц-]
= -
[Ю
UV
U
f(u:t)
du.
(15.7.4)
При
мер
15.7.1.
Найдем
функцию
f
(и:
t)
ожидаемого
денежного
потока
для
до
говора
бессрочного
страхования
на
случай
смерти
в
непрерывной
модели,
в
которой
не
учитываются
расходы,
и
выразим
dE[tLtJ/
dб
в
терминах
актуарных
настоящих
стоимостей.
Решение.
Модифицируя
формулы
(15.7.3)
и
(15.7.4),
получаем
f(u:t)
=
[J.tx+t(u)
- P(.Ax)]uPx+t,
:aE[,L~]
= -
{О
uvU[jlж+'
(и)
-
F(Аж)]uрж+,
du
=
-(iA)Ж+/
+
F(Аж)(lii)ж+"
где
(l.A)x+t
и
(lёi)x+t
рассчитаны
при
процентной
ставке,
используемой
для
оцен
ки
резервов.
Напомним,
что
премия
установлена
в
момент
О
и
не
зависит
от
этой
процентной
ставки.
~
Обычно
9(0:
О)
<
О
и
существует
такое
ио,
что
у(
и:
О)
>
О
ДЛЯ
u >
ио.
Инфор
мация
о
моменте
времени
ио,
когда
ожидаемый
денежный
поток
изменит
знак
с
отрицательного
на
положительный,
может
быть
полезна
для
финансового
планиро
вания.
Пример
15.7.2.
Выведем
уравнение,
которое
может
быть
использовано
для
определения
числа
ио
для
договора,
описанного
в
примере
15.7.1.
Решение.
f(u:O) =
[J.tx(u)
-
Р(Ах)]uрх
=
О,
или
J.tx(U)
=
Р(.А
х
)'
~
Упражнения
435
Пассивы
Резервы
Сальдо
15.8.
Замечания
и
литература
В
этой
главе
мы
ввели
неуклюжий
термин
4:премии
с
надбавкой
на
расходы:&>
для
понятия,
которое
некоторые
называют
брутто-премиями.
Его
использование
долж
но
послужить
предупреждением
о
том,
что
тема
премий
не
исчерпывается
нетто
премиями,
обсуждавшимися
в
предыдущих
главах,
и
надбавкой
для
компенсации
расходов,
представленной
здесь.
При
рассмотрении
премий
нужно
учитывать
сооб
ражения
конкуренции,
надбавки
на
прибыль
при
страховании
без
участия
в
прибы
ли,
ожидаемые
дивиденды
при
страховании
с
участием
в
прибыли,
факторы
риска
и
выплаты
выкупных
сумм.
В
статье
[Guertin
1965]
обсуждаются
многие
из
этих
во
просов.
В
статье
[Chalke
1991]
критикуется
традиционный
подход
4:издержки
плюс»>
для
расчета
премиЙ.
Эта
критика
основывается
на
принципах
классической
микро
экономики.
В
статье
[Fassel1956]
обсуждаются
вопросы,
связанные
с
оценкой
и
распределе
нием
расходов,
не
зависящих
от
страховой
суммы.
До
момента
выхода
этой
статьи
большинство
расходов,
не
зависящих
от
страховой
суммы,
включа.лось
в
надбавку
для
покрытия
расходов,
зависящих
от
размера
страховой
суммы
(при
этом
рассмат
ривался
средний
размер
договора).
Но
использование
надбавок,
не
зависящих
от
страховой
суммы,
или
группового
метода,
многие
годы
считалось
несправедливым
способом
распределения
начислений
на
расходы.
Работа
[Brenner
et
al.
1988]
посвящена
бухгалтерскому
учету
в
страховании
жиз
ни.
Хорн
[Horn
1971]
изучал
влияние
различных
систем
резервов
на
время
появле
ния
чистого
дохода
в
отчетности.
Вычисление
долей
активов
имеет
долгую
историю.
В
статье
[Huffmann
1978]
обсуждаются
модификации
расчетов
долей
резервов.
Упражнения
к
разделу
15.2
15.1.
(а)
Букмекерская
контора
собирает
по
0,55
с
каждого
из
1000
клиентов
1-го
июля
года
Z
и
сразу
же
вносит
эту
сумму
на
сберегательный
счет
с
доходом
3%
за
каждые
6
месяцев.
1-го
июля
года
Z +1
подбрасывается
1000
монет,
каждая
из
которых
отожде
ствляется
с
одним
клиентом.
Если
монета
клиента
выпадает
гербом,
то
клиент
получает
пр
из
размера
1.
Если
монета
выпадает
решкой,
то
клиент
ничего
не
получает.
Составьте
балансовый
отчет
и
отчет
о
прибылях
и
убытках
этой
компании
на
31
декабря
года
Z.
в
пассив
вносите
актуарную
настоящую
стоимость
соответствующих
величин.
Балансовый
отчет
Активы
Сберегательный
счет
Отчет
о
nрuб'Ылях
u
уб'Ыт'ICах
Поступление
премий
Инвестиционный
доход
Увеличение
поступлений
(Ь)
Случайная
величина
У
является
суммой
выплат,
сделанных
1
июля
года
Z +1,
и
имеет
биномиальное
распределение.
Используя
нормальную
аппроксимацию,
вычислите
вероятность
Р[У(l,оз)-l_А
>
о},
где
А
-
активы
на
31
декабря
года
Z.
(с)
Если
компания
имеет
только
одного
клиента,
то
в
расчетах
п.
(а)
должен
появиться
поправочный
коэффициент
0,001.
Покажите,
что
в
случае одного
клиента
вероятность,
выписанная
в
п. (Ь),
равна
1/2.
436
Гл.
15.
Модели
страхования,
включающие
расходы
с
вероятностью
0,25,
15.2.
Случайная
величина
потерь
с
учетом
расходов
по договору
бессрочного
стра
хования
на случай
смерти
в
непрерывной
модели
задается
формулой
L
e
= L +
Х,
где
L =v
T
-
Р(А.з;)аТ]
и
Х
=
Со
+(9 -
е)аТ].
В
этих
формулах
L
является
случайной
величи
ной
потерь,
связанных
с
выплатами
по
договору,
а
Х
-
с
расходами.
Символ
СО
обозначает
неслучайные
начальные
расходы,
9 -
величину
непрерывных
расходов
на
ведение
догово
ра,
а
е
-
надбавку
на
расходы
к
премии.
Применяется
принцип
эквивалентности,
так
что
E[L] =
Е[Х]
=
О.
Покажите,
что
(а)
Х
=coL,
(Ь)
D[L
e
]
=
(1
+co)2D[L],
(с)
Cov(L,
Х)
=
со[еАз;
-
Аз;)2]/(ба
х
)2.
15.3.
Торговая
фирма
направляет
счета
на оплату
в
конце
каждого
годового
отчетного
периода.
Прошлый
опыт
показывает,
что
к
моменту
времени
Т
с
вероятностью
0,25
счета
не
будут
оплачены,
а
с
вероятностью
0,75
полная
оплата
будет
произведена.
Функция
плотности
С.в.
Т
задана
формулой
f(t)
= 4 -
8t,
О
< t < 0,5,
где
t
измеряется
в
годах.
В
конце
некоторого
года
фирма
разослала
100
счетов
на
оплату,
каждый
на
сумму
100.
Случайная
величина
Ri
обозначает
настоящую
стоимость
выплат
по
счету
i
на
конец
этого
года.
(а)
Проверьте,
что
{
О
R·-
а
- 100 v
T
С
вероятностью
0,75.
(Ь)
При
условии,
ЧТО
Ri,
i =
1,2,
...
,100,
являются
независимыми
случайными
вели-
чинами,
подсчитайте
(i)
E[E~OO
Ri], (ii)
D(E~oo
Ri)
при
б
= 0,06.
(с)
Произведите
вычисления
п.
(Ь),
если
б
=
О.
(d)
В
финансовой
отчетности
фирма
предпочитает
указывать
актуарную
настоящую
стоимость
счетов
на
оплату.
Используется
результат
п.
(а).
Какую
сумму
для
счетов
на
оплату
следует
указать
в
отчете?
(е)
В
качестве
альтернативы
при
вычислении
актуарной
настоящей
стоимости
счетов
на
оплату,
указываемой
в
отчете,
фирма
может
использовать
результаты
п.
(с).
Какую
сумму
надо
указывать
в
отчете?
(f)
Еще
одним
методом
составления
отчета
будет
использование
результатов
п.
(с)
при
6 = 0,00
с
указанием
в
отчете
величины
[
100]
[
100
]
Е
~Ri
- k D
~Ri
.
Для
какого
значения
коэффициента
k
величина,
указываемая
в
отчете,
согласно
п.
(f),
будет
равна
соответствующей
величине
из
п.
(d)?
К
разделу
15.3
15.4.
(а)
Предположим,
что
в
примере
табл.
15.3.1
b~~1
= 257,41
и
b~222
= 581,16,
а
нетто-резерв
взят
из
модели
с
единственной
причиной
выбытия.
Найдите
Р;3I'
используя
принцип
эквивалентности.
(Ь)
Предположим,
что
b~'1-1
= 218,41
и
b~2~2
= 559,16,
а
общий
резерв
взят
из
моде
ли
с
единственной
причиной
выбытия.
Определите
G,
премию
с
надбавкой
на
расходы,
используя
принцип
эквивалентности.
К
разделу
15.4
15.5.
Ежегодная
постоянная
премия
с
надбавкой
на
расходы
для
1000
договоров
сме
шанного
страхования
жизни
на
срок
до
возраста
65
лет,
заключенных
лицами
в
возрасте
40
лет,
рассчитывается
при
следующих
предположениях:
•
комиссионные
агенту
составляют
40%
премии
с
надбавкой
на
расходы
за
первый
год,
•
комиссионные
второго
и
последующих
лет
составляют
5%
премии
с
надбавкой
на
расходы
со
2-го
по
10-й
год
действия
договора,
•
налог
на
премии
составляет
2%
от
премии
с
надбавкой
на
расходы
за
каждый
год,
Упражнения
437
Т<О,
О
<Т.
•
расходы
на
ведение
договора
составляют
12,50
на
1000
единиц
страховой
суммы
в
l-й
год
и
4,00
на
1000
единиц
страховой
суммы
в
последующие
годы,
•
нетто-премия
должна
обеспечивать
выплату
на
случай
смерти
в
момент
смерти
без
корректировки
премии
в
случае
смерти,
•
должна
использоваться
селекционная
и
заключительная
таблица
с
15-летним
сроком
действия
селекции.
Запишите
выражение
дЛя
премии
с
надбавкой
на
расходы.
15.6.
Единовременная
премия
С
надбавкой
на
расходы
по
договору
смешанного
стра-
хования
на
срок
n
лет
определяется
при
следующих
предположениях:
•
налоги
составляют
2,5%
от
премий
с
надбавкой
на
расходы,
•
комиссионные
составляют
4%
от
премий
С
надбавкой
на
расходы,
•
другие
расходы
составляют
5
единиц
в
первый
год
и
2,5
единиц
в
последующие
годы
на
1000
единиц
страховой
суммы.
Страховые
выплаты
производятся
сразу после
наступления
страхового
случая, а
расхо
ды
возмещаются
в
начале
каждого
года
действия
договора.
Выведите
формулу
дЛя
премии
с
надбавкой
на
расходы
при
страховой
сумме
1000
единиц
по
договору,
заключенному
с
лицом
(х).
15.7.
Ежегодная
премия
с
надбавкой
на
расходы
по
бессрочному
договору
страхова
ния
на
случай
смерти
со
страховой
суммой
размера
1
в
дискретной
модели
основана
на
следующем
наборе
расходов:
•
начальные
расходы
ео,
•
расходы
еl
+
е2Р
х
в
каждый
год
действия
договора,
включая
первый,
•
расходы,
связанные
с
урегулированием
страховых
случаев
и
выплачиваемые
сразу
после
наступления
страхового
случая
в
размере
ез
на
каждую
единицу
страховой
суммы.
Если
G =
аР
х
+
С,
то
определите
а
и
С.
15.8.
Имеются
две
случайные
величины:
С.в.
Т(х),
продолжительность
предстоящей
жизни
лица
(х),
и
С.в.
В,
размер
страховой
суммы,
выбранной
случайно
взятым
заяви
телем,
желающим
заключить
договор
бессрочного
страхования
на
случай
смерти
в
непре
рывной
модели.
Случайная
величина
потерь
с
учетом
расходов
по
этому
договору
задается
равенством
L(T(x),
В)е
=
{о,
т
Bv
+
a:BaТl
+
BaТl
+
р(В1Г
+
j)aТl
-
(В1Г
+
j)aТl'
в
формуле
дЛя
этой
случайной
величины
потерь
а:В
=
расходы,
пропорциональные
страховой
сумме
и
производимые
непрерывно
в
течение
жизни
лица
(х);
в
=
расходы,
не
зависящие
от
величины премии и
страховой
суммы
и
производи
мые
непрерывно
в
течение
жизни
лица
(х);
р(В1Г
+
f)
=
расходы,
пропорциональные
величине
премии
и
производимые
непрерывно
в
течение
жизни
лица
(х);
1г
=
доля
непрерывно
выплачиваемой
премии,
пропорциональная
страховой
сум
ме;
j =
специальная
надбавка
на
покрытие
расходов,
не
зависящих
от
страховой
сум
мы,
выплачиваемая
непрерывно
в
течение
жизни
лица
(х).
Предположим,
что
С.в.
Т(х)
и
В
независимы.
(а)
Используя
принцип
условной
эквивалентности,
т. е.
E[L(T(x),
В)е
I
В=
Ь]
=
О,
выведите
формулу
для величины
ежегодной
премии
на
единицу
страховой
суммы,
т. е.
получите
выражение
1г
+ j
/Ь.
(Ь)
Используя
принцип
безусловной
эквивалентности,
E[L(T(x),
В)е]
=
О,
выведите
формулу
для величины
ежегодной
постоянной
премии
на
единицу
страховой
суммы.
438
Гл.
15.
Модели
страхования,
включающие
расходы
15.9.
Функция
плотности
распределения
страховой
суммы
по
определенному
виду
ин
дивидуального
страхования
задана
формулой
f(b) =
kb-
З
,
Ь
> 10,
где
Ь
измеряется
в
тысячах.
Вычислите
(а)
нормирующую
константу
k;
(Ь)
математическое
ожидание
страховой
суммы;
(с)
медиану
распределения
страховой
суммы.
15.10.
Один
из
видов
договоров
бессрочного
страхования
на
случай
смерти
(В
полу
не
прерывной
модели)
имеет
следующее
распределение
расходов:
Расходы
первого
года
Расходы
второго
н
последующих
лет
Доля
от
премии
с
надбавкой
на
расходы
30%
5%
На
1000
единиц
страховой
суммы
3,00
0,50
Не
зависящие
от
страховой
суммы
10,00
2,50
(а)
Выведите
формулы
для
премий
с
надбавкой
на
расходы
для
первого
года
и
для
второго
н
последующих
лет,
предполагая,
что
расходы,
не
зависящие
от
страховой
суммы,
рассматриваются
отдельно
для
первого года
и
дЛя
последующих
лет.
(Ь)
Выведите
формулу
для
специальной
надбавки
на
покрытие
расходов,
не
зависящих
от
страховой
суммы,
дЛя
каждого
года,
если
эти
расходы
рассматриваются
совместно
ДЛЯ
первого
и
дЛя
последующих
лет.
к
разделу
15.5
15.11.
Непрерывным
аналогом
формулы
(15.5.5)
является
дифференциальное
уравне-
нне
d
--
----
dt tPx[tV(A
x
) +u(t)] =tPx[P(A
x
) +
дt
У(А
х
)
+
ё
-
ё(t)
+
дu(t)
-
J.tx(t)].
Используя
это
уравнение
и
вариант
формулы
(8.6.4),
который
дает
выражение
дЛя
вели-
d
--
чины
dt
[tPx
tV(A:z:)J,
покажите,
что
,р.
U(t) =
J.'
е'('-У)
ур.[с
-
е(у)]
dy.
к
разделу
15.6
15.12.
Запишите
формулу
для
loAS
2
-
loAS
1
,
если
величина
loAS
1
,
определенная
соотношением
(15.6.7),
представляет
собой
долю
активов
на
конец
года
10,
основанную
на
Gl,
а
loAS
2
-
соответствующую
величину,
основанную
на
С
2
.
15.13.
Непрерывным
аналогом
разностного
уравнения
(рекуррентного
соотношения)
(15.6.3)
является
~
tP~T)vt
tAS
=
[С(1
- f(t) -
ё(t)JtР~Т)vt
-
tp~T)fJ.t~l)
(t) +
J.t~2)
(t)
tcv]vt.
В
этом
дифференциальном
уравнении
черта
сверху
в
обозначениях
указывает
на
непре
рывный
способ
выплат.
(а)
Решите
это
дифференциальное
уравнение
и
используйте
начальное
условие
oAS
=
О
для
получения
непрерывного
варианта
соотношения
(15.6.5):
,АВ
= {
J.'
[Си
-
с(
8))
-
е(
в)]
,p~T)V'
ds -
J.'
,p~T)
[I'~I)
(В)
+
1'~2)
(8)
,CV]v'
d8
} / (v'
,p~T»),
(Ь)
ДЛЯ
договора
бессрочного
страхования
на
случай
смерти
в
непрерывной
модели
oAS
=
w-хАS
=
О.
Покажите,
что
Ca~T)
=
A~l)
+
J.OO
[Сё(э)
+
ё(э)
+
J.t~2)(S)
"СУ]
"p~T)VS
ds.
Упражнения
439
к
разделу
15.7
15.14.
(а)
С
помощью
формулы
(8.2.7)
найдите
аналог
формулы
(15.7.2)
для
модели
с
единственной
причиной
выбытия
без
учета
расходов:
iV
=
100
vU{bt+uJ.!x(t+u)-1rt+u]uРх+t}du=l°О
vUf(u:t)du=
rt(1+i)t-~g(u:О)
du.
о о
J
o
tpx
При
выведении
этой
формулы
следует
предположить,
что
используется
агрегативная
та
блица
смертности,
как
в
разд.
7.2
и
7.3.
(Ь)
В
момент
времени
t
будущая
интенсивность
начисления
про
цента
меняется
с
Ь
на
ь'.
В
распределении
продолжительности
предстоящей
жизни
никаких
изменений
из-за
изменений
в
процентной
ставке
не
ПРОИСХОдИт,
а
изменения
величины
премии
1Гt+u
за
-,
прещены
договором
страхования.
Символ
tV
обозначает
резервы,
рассчитанные
при
ин-
, -, -
тенсивности
начисления
процента
5 .
Выпишите
формулу
дЛя
tV
- tV.
[Если
изменения
интенсивности
начисления
процента
с
5
на
5'
связано
с
наблюдаемыми
изменениями
про
-, -
центных
ставок
на
рынке
капитала,
то
разность
tV - tV
может
рассматриваться
как
оценка
изменения
рыночной
стоимости
резерва.
J
16
НЕКОТОРЫЕ
АСПЕКТЫ
ОТЧЕТНОСТИ
И
РЕГУЛИРОВАНИЯ
16.1.
Введение
В
гл.
15
был
сделан
важный
шаг
в
направлении
повышения
реалистичности
моделей
страхования
жизни,
исследовавшихся
в
предыдущих
главах.
Были
введе
ны
операционные
расходы
и
выкупные
суммы
и
исследовано
влияние
этих
новых
элементов на
премии,
резервы
и
финансовую
отчетность.
В
этой
главе
рассматривается
несколько
вопросов,
которые
развивают
основную
тему
гл.
15.
Два
основных
соображения
обеспечивают
взаимосвязь
между
ними.
Первое
соображение
состоит
в
развитии
моделей
с
единственной
причиной
выбы
тия,
которые
аппроксимируют
результаты
в
более
сложных
моделях
с
несколькими
причинами
выбытия,
учитывающих
расходы,
с
достаточной
для
конкретных
целей
степенью
точности.
Например,
в
'ряде
законодательств
такие
аппроксимирующие
модели
используются
для
страхового
регулирования.
Необходимость
таких
аппрок
симаций
объясняется
очевидной
концептуальной
и
вычислительной
сложностью
мо
делей
выбытия
по
нескольким
причинам,
учитывающих
расходы.
При
имеющихся
возможностях
компьютеров
эта
их
роль
уменьшается.
Второе
из
этих
соображений
исходит
из
экономики.
Те,
кто
предоставляет
ка
питал
для
организации
страховой
компании
и
стабилизации
ее
работы,
ожидают
вознаграждения
за
инвестиции.
Брутто-премии
должны
обеспечивать
прибыль
в
со
ответствии
с
тем
риском,
которому
подвергается
инвестор.
Если
страховая
компания
является
компанией
взаимного
страхования,
то
возникает
вопрос,
как
справедливо
распределить
среди
ее
членов
прибыль,
получаемую
в
случае
благоприятного
раз
вития
событий.
Для
решения
такого
рода
проблем
следует
заимствовать
идеи
из
экономики.
16.2.
Денежные
стоимости
Разделы
11.4
и
15.3
посвящены
выкупным
суммам
и
их
влиянию
на
премии
и
финансовую
отчетность.
Выкупные
суммы
также называются
сохран.ен.'н:ыми
вы
nлатамu,
т.
е.
выплатами,
которые
не
теряются
вследствие
досрочного
прекращения
выплаты
премиЙ.
Для
определения
премий
и
резервов
требуется
сначала
принять
принцип
их
рас
чета.
При
определении
размера
ВЫКУПНЫХ
сумм
также
нужен
руководящий
принцип.
В
этом
разделе
мы
примем
простой принцип,
который
является
близким
к
принци
пу,
принятому
для
регулирования
страховой
деятельности
в
Соединенных
Штатах
Америки.
Этот
принцип
состоит
В
том,
что
страхователь,
досрочно
прервавший
до
говор,
получает
такую
сумму,
что
страховая
выплата,
премия
и
структура
резерва,
основанные
на
модели
выбытия
по
единственной
причине,
остаются
пригодными