Бауэрс Н., Гербер Х., Джанс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика
Подождите немного. Документ загружается.
15.3.
Выкупные
суммы
Таблица
15.3.4.
Отчет
о
прибылях
и
убытках
(первоначально
10
страхователей)
421
Прибыли
и
убытки
(а)
Нетто-резервы
в
качестве
пассива
в
модели
с
единственной
причиной
выбытия
(Ь)
Нетто-
резервы
и
резервы
расходов
в
качестве
пассива
в
модели
с
двумя
причинами
выбытия
в
течение
первого
года
Доход
Премия
(10)
Инвестиционный
доход
(15%)
Оm'Чuсленuя
uз
дохода
Расходы
начисляемые
в
процентах
к
премии
(20%)
постоянные
(8)
Страховые
выплаты
на
случай
смерти
(1)
Выкупная
сумма
(1)
Увеличение
резервов
Чистый
доход
в
течение
второго
года
Доход
Премия
(10)
Инвестиционный
доход
(15%)
От'Ч't'сления
из
дохода
Расходы
начисляемые
в
процентах
к
премии
(6%)
постоянные
(2)
Страховые
выплаты
на
случай
смерти
(0,8889)
Выкупная
сумма
(0,8889)
Увеличение
резервов
Чистый
доход
в
течение
третьего
года
Доход
Премия
(6,2222)
Инвестиционный
доход
(15%)
Оm'Числения
из
дохода
Расходы
начисляемые
в
процентах
к
премии
(6%)
постоянные
(2)
Страховые
выплаты
(6,2222)
Увеличение
резервов
Чистый
доход
3429,60
3429,60
549,55
549,55
3979,15
3979,15
685,92
685,92
80,00 80,00
1000,00 1000,00
227,73
227,73
2059,28 1743,52
4052,93 3737,17
-73,78
241,98
2743,68 2743,68
832,28
832,28
3575,96
3575,96
164,62 164,62
16,00
16,00
888,90
888,90
501,70
501,70
1556,83 1732,15
3128,05
3303,37
447,91 272,59
2133,97
2133,97
1047,56 1047,56
3181,53 3181,53
128,04
128,04
12,44 12,44
6222,22 6222,22
-3616,11
-3475,67
2746,59 2887,03
434,94 294,50
выбытия,
в
которой
учитываются
расходы.
Также
очевидно
выравнивающее
воздей
ствие
более
сложной
системы
резервов
на
отчетный
чистый
доход.
Если
выбирать
выкупные
суммы
из
других
соображений,
нежели
уменьшение
изменений
премий
и
резервов
при
переходе
от
модели
с
единственной
причиной
выбытия
к
модели
с
двумя
причинами
выбытия,
то
различия
в
прибыли
для
этих
двух
моделей
будут
более
существенными.
422
Гл.
15.
Модели
страхования,
включающие
расходы
Таблица
15.3.5.
Балансовый
отчет
(первоначально
10
страхователей)
(а)
(Ь)
Нетто-резервы
в
Нетто-резервы
и
качестве
пассива
резервы
расходов
в
модели
с
в
качестве
пассива
единственной
в
модели
с
двумя
причиной
причинами
Прибыли
и
убытки
выбытия
выбытия
В
конце
первого
года
Активы
2985,50
2985,50
Пассивы
(резервы)
2059,60
1743,52
Сальдо
926,22
1241,68
2985,50
2985,20
В
конце
второго
года
Активы
4990,24 4990,24
Пассивы
(резервы)
3616,11 3475,67
Сальдо
1374,13
1514,57
4990,24 4990,24
В
конце
третьего
года
Активы
1809,07 1809,07
Пассивы
(резервы)
О
О
Сальдо
1809,07 1809,07
Комментарии
к
таблицам
15.3.4
и
15.3.5:
1.
Общий
чист'ый
доход
=
-73,78
+447,91 +
434,94
=
809,07
[столбец
(а)]
::=
241,98
+
272,59
+
294,50
=
809,07
[столбец
(Ь)!
2.
Другой
способ
расчета
совокупного
дохода:
(Процентный
доход
от
инвестирования
начального
фонда)
+
(Накопленная
стоимость
надбавок
на
прибыль)
=
1000[(1,15)3
-
1]
+
10[10(0,8)(1,15)3
+
8(0,94)(1,15)2
+
(6,2222)(0,94)(1,15)]
=
809,26.
Разница
между
результатами
Этих
двух
расчетов
связана
с
накоплением
ошибки
округления,
которая
возникла
из-за
округления
брутто-премии
до
двух
знаков
после
запятой.
15.4.
Виды
расходов
Система
бухгалтерского
учета
страховых
компаний
предназначается
для
записи,
классификации
и
обобщения
финансовых
операций.
Но
она
же
будет
предоставлять
данные
и
по
сферам
деятельности:
количество
и
сумма
продаж,
число
произведен
ных
страховых
выплат,
количество
выплаченных
премий
и
т.
п.
После
сбора
этой
информации
можно
провести
анализ,
цель
которого
-
соотнести
основные
статьи
расходов
с
направлениями
деятельности,
которые
они
обеспечивают.
Это
распреде
ление
составит
основу
для
определения
надбавки
к
премии
для
страховых
договоров,
которые
будут
проданы
в
будущем.
Если
используется
принцип
эквивалентности,
актуарная
настоящая
стоимость
надбавки на
расходы
равна
актуарной
настоящей
стоимости
расходов,
производимых
в
связи
С
этим
договором.
Классификация
и
распределение
расходов
страховой
организации
-
трудные
задачи.
Пример
такой
классификации
приведен
в табл.
15.4.1.
Здесь
предложена
примерная
система
классификации
и
показаны
ее
результаты.
При
определении
премий
с
надбавкой
на
расходы
основное
внимание
уделяется
расходам
на
страхование.
Однако
расходы,
связанные
с
инвестированием,
обычно
рассматриваются
как
необходимая
составляющая
инвестиционного
процесса
и
отра
жаются
на
величине
премий
через
сокращение
прогнозируемой
процентной
ставки.
15.4.
Виды
расходов
423
в
некоторых
случаях
практика
указывает
естественные
связи
между
статьями
затрат
и
видами
деятельности.
Например,
обычно
комиссионное
вознаграждение
страховому
агенту
составляет
некоторый
процент
от
премии
первого
года
и
после
дующих
лет.
В
разд.
15.2
выплачиваемые
комиссионные
составляли
10%
от
премии
первого
года
и
2%
от
премии
второго
и
третьего
года.
Налоги
на
страховые
компа
нии,
особенно
налоги,
установленные
штатами!),
обычно
являются
долей
от
премии,
собранной
на
соответствующей
территории.
В
разд.
15.2
считалось,
что
на
налоги,
лицензии
и
сборы
приходилось
2%
от
премиЙ.
Таблица
15.4.1.
Схема
классификации
расходов
страховой
компании
Классификация
расходов
Расходы
на
инвестирование
Расходы
на
страхование
1.
Расходы
на
привлечение
новых
страхователей
2.
Расходы
на
ведение
договоров
3.
Административные
расходы
4.
Расходы
на
урегулирование
страховых
случаев
Компоненты
(
а)
расходы
на
анализ
(Ь)
расходы
на
покупку,
продажу
и
техническое
обслу
живание
(а)
расходы
на
продажу,
включая
комиссионные
аген
там
и
расходы
на
рекламу
(Ь)
расходы
на
андеррайтинг,
включая
медицинское
освидетельствование
(
с)
расходы
на
подготовку
новых
договоров
и
их
реги
страцию
(а)
расходы
на
сбор
премий
и
учет
(Ь)
расходы,
связанные
со
сменой
выгодоприобретате
ля
и
реализации
права
изменений
условий
договора
(страховых
опционов)
(
с)
расходы
на
переписку
с
владельцем
договора
(а)
расходы
на
исследования
(Ь)
расходы
на
актуарные
и
общие
юридические
услуги
(с)
расходы
на
бухгалтерский
учет
и
управление
(d)
налоги,
лицензии и сборы
(а)
расходы
на
расследование
требований
о
выплатах
и
юридическую
защиту
(Ь)
расходы,
связанные
с
осуществлением
страховых
выплат
Распределение
других
статей
расходов
менее
очевидно,
и
часто
используется
комбинация
статистического
анализа
и
здравого
смысла.
Обычно
расходы
на
при
влечение
клиентов
включаются
в
надбавку
на
расходы
для
премий
первого
года
действия
договора,
потому
что
для
подготовки
и
продажи
новых
страховых
дого
воров
производятся
маркетинговые
и
андеррайтинговые
расходы.
Некоторые
виды
расходов
на
привлечение
клиентов
зависят
от
размера
премии,
как,
например,
ко
миссионные.
Некоторые
изменяются
в
зависимости
от
размера
страховой
суммы,
как,
например,
расходы
на
андерраЙтинг.
Некоторые
расходы
имеют
место
для
каж
дого
заключенного
договора,
независимо
от
размера
страховой
суммы
или
премии,
например,
расходы
на
ведение
внутренней
документации.
Классификация
и
распределение
расходов
являются
важными
инструментами
контроля
за
страховыми
операциями.
Однако
при
определении
премий
точка
зре
ния
на
расходы
является
скорее
перспективной,
чем
ретроспективной.
Цель
такого
l)в
отличие
от
федеральных.
-
При.м.
ред.
424
Гл.
15.
Модели
страхования,
включающие
расходы
контроля
-
сбалансировать
будущие
расходы
и
будущие
надбавки
к
премии.
Поэто
му
динамика
расходов
при
ожидаемой
инфляции
или
дефляции
и
экономия
средств
от
введения
автоматизации
учитываются
в
надбавке
на
расходы.
Спорным
является
включение
в
надбавку
к
премии
средств
на
покрытие
расхо
дов,
которые
приведены
в
табл.
15.4.1
в
статьях
.Расходы
на
страхование,
админи
стративные
расходы:
(а),
(Ь)
и
(c)~,
и
расходов,
возникающих
при
создании
системы
распространения
страховых
продуктов.
Эти
расходы
непосредственно
не
связаны
с
одним
отдельно
взятым
договором.
Некоторые
из
этих
вопросов
обсуждаются
в
разд.
16.4.
Таблица
15.4.2
иллюстрирует
систему
классификации
из
табл.
15.4.1
для
расхо
дов
на
страхование
и
соответствующих
надбавок.
Таблица
15.4.2.
Пример
распределения
будущих
страховых
расходов
16
и
далее
10-15
2-9
Первый
год
Второй
и
последующие
годы
На
1000
Про-
На
На
1000
Про
цент
от
премии
единиц
цент
один
единиц
для
года
действия
страхо-
от
дого-
страхо-
договора
вой
пре-
вор
вой
суммы
мии
суммы
На
один
дого
вор
Классификация
3%
1%
2%
5,0%
1,5%
2,0%
7,0%
2,5%
2,0%
0,25
0,25
2,00
4,00
60%
25%
0,50
0,252,00
12,50
18,00
4,00
1.
Расходы
на
при
влечение
страхователей
(а)
Затраты
на
продажу
Комиссионные
Содержание
бюро
продаж
Другие
виды
затрат,
связанные
с
продажами
(Ь)
андеррайтинг
(с)
заключение
и
регистрация
договоров
2.
Расходы
на
ведение
договора
3.
Административ
ные
расходы
(а),
(Ь),
(с)
4,00 0,25
(d)
налоги
2%
Итого
(1,2,3) 40,50 5,0 87% 6,00
0,50 11,5%
8,5% 6%
4.
Расходы
на
урегулирование
страховых
случаев
18,00
единиц
на один
договор
плюс
0,10
на
1000
единиц
страховой
суммы
Пример
15.4.1.
Используя
принцип
эквивалентности,
выведем
формулу
еже
годной
премии
с
надбавкой
на
расходы
для
договора
бессрочного
страхования
на
случай
смерти,
заключенного
лицом
(х),
со
страховой
суммой
1000
Ь в
полунепре
рывной
модели.
Статьи
расходов
перечислены
в табл.
15.4.2.
Используем
модель
с
единственной
причиной
выбытия
или
предположим,
что
выкупные
суммы
опреде
лены
так,
что
они
никак
не
влияют
на
премии,
рассчитанные
в
модели
со
смертью
как
единственной
причиной
выбытия.
Предполагая,
что
андеррайтинг
приведет
к
селекции,
используем
таблицу
смертности
с
15-летним
периодом
селекции.
Решение.
Обозначим
через
С(Ь)
премию
с
надбавкой
на
расходы
для
договора,
по
которому
выплаты
на
случай
смерти
производятся
в
размере
Ь
тысяч.
Тогда,
15.5.
Алгебраические
основы
бухгалтерского
учета
425
используя
принцип
эквивалентности,
получим
(актуарная
настоящая
стоимость
премии
с
надбавкой
на
расходы)
=
(актуарная
настоящая
стоимость
страховых
выплат,
расходов
на
урегулирование
страховых
случаев
и
других
видов
расходов),
С(Ь)а[:е]
= 1000
ЬА[х]
+ [40,50 + 5,00
Ь
+
О,87С(Ь)]
+ (6,00
а[х]
+ 0,50
Ьа[х])
+
[(0)15
а[х]:81
+ 0,085
916а[х]
+0,0615Iii[xj)G(b)] + (18,00 + 0,10 b)A[xj,
С(Ь)(а[х]
- 0,87 -
0)15
a[x]:81- 0,085
916
а
[х]
-
0,0615Iа[х])
= (1000,1
А[х]
+5,00 +0,50
а[х])Ь
+ 40,50 + 6,00
а[х]
+ 18,00
.А[х].
Величина
постоянной
ежегодной
премии
с
надбавкой
на
расходы
для
выплаты
на
случай
смерти
размера
1000
Ь
составляет
С(Ь)
=
(1000,lА[х]
+
~,oo
+ 0,50
а[х])Ь
+.:0,50 +6,00
~[x]
+ 18,00
А[х]
.
0,94
а[х]
- 0,755 - 0,03
а[х]:91-
0,025
a[x]:I51
Постоянная
ежегодная
премия
с
надбавкой
на
расходы,
рассчитанная
на
тысячу
единиц
страховой
суммы,
равна
С(Ь)
_
1000,lА[х]
+5,00 +0,50
а[х]
+ (40,50 + 6,00
а[х]
+18,00 A[xJ)jb
Ь
0,94
а[х]
- 0,755 - 0,03
а[х]:91-
0,025
a[x]:I51
На
практике
премии
обычно
определяются
как
доля
от
единицы
страховой
сум
мы.
Для
страхования
жизни
эти
доли,
как
правило,
устанавливаются
на
1000
еди
ниц
страховой
суммы.
Для
аннуитетов
они
обычно
устанавливается
по
отношению
к
ежемесячной
выплате.
В
примере
15.4.1
величина
премии
с
надбавкой
на
расходы
С(Ь)
не
пропорцио
нальна
Ь,
потому
что
величина
некоторых
видов
расходов
не
зависит
оТ
Ь.
[Если
бы
таких
расходов
не
было,
отношение
G(b)jb
было
бы
постоянным.]
Средства,
преду
смотренные
на
покрытие
этих
не
зависящих
от
Ь
расходов,
можно
определить
с
по
мощью
специальных
методов.
Один
из
таких
методов
-
заменить
Ь
на
усредненную
по
портфелю
страховую
сумму.
Другой
метод
-
отделить
расходы,
не
зависящие
от
страховой
суммы,
от
тех
статей расходов,
которые
изменяются
пропорционально
страховой
сумме
договора,
и
компенсировать
такие
расходы
специальной
надбав
кой,
не
зависящей
от
страховой
суммы.
В
примере
15.4.1
величина
такой
ежегодной
надбавки
будет
равна
40,50 + 6,00
а[х]
+
18,00.А[х]
0,94
а[х]
- 0,755 - 0,03
а[х]:91
- 0,025
a[x]:I51
.
Часто
эти
специальные
надбавки
усредняются
по
договорам,
заключенным
лицами
одного
возраста,
так
что
они
постоянны
при
данном
возрасте
заключения
договора.
15.5.
Алгебраические
основы
бухгалтерского
учета:
модель
с
единственной
причиной
выбытия
в
этом
разделе
многие
соображения,
разъяснявшиеся
в
разд.
15.2.2,
будут
из
ложены
более
точно.
В
помощь
читателю
даются
частые
ссылки
на
табл.
15.2.5
и
15.2.6.
426
Гл.
15.
Модели
страхования,
включающие
расходы
Одной
из
целей
финансового
учета
является
определение
элементов
уравнения
баланса
на
последовательных
интервалах,
A(h)
=
L(h)
+U(h).
(15.5.1)
в
формуле
(15.5.1)
A(h}
обозначает
размер
активов,
L(h)
-
размер
пассивов,
а
U(h)
-
акционерный
капитал
(сальдо
в
терминологии
страхового
учета),
рассчитанные
на
конец
отчетного
периода
h.
Изменение
сальдо
можно
представить
формулой
~U(h)
=
~A(h)
-
~L(h)
=
чистый
доход
в
период
h + 1.
(15.5.2)
Проиллюстрируем
эту
основную
модель,
используя
алгебраические
соотношения
при
идеализированных
условиях
из
табл.
15.5.1.
Таблица
15.5.1.
Пример
бухгалтерского
учета
Постоянные
выплаты,
постоянная
страховая
премия
Нет
расходов
или
надбавок
на расходы
Эмпирические
данные
инвестирования
соответствуют
предположениям
Бухгалтерские
записи
ведутся
в
терминах
математиче
ских
ожиданий
на
момент
заключения
договора
для
каж
дого
из
застрахованных
в
начальный
момент
2.
Характер платежей
З.
Возраст и
время
заключения
договора
4.
Расходы
5.
Эмпирические
данные!)
1.
Вид
страхования
Бессрочное
страхование
на
случай
смерти
со
страховой
суммой
размера
1
Дискретная
модель
Заключен
лицом
(х)
в
начале
первого
отчетного
периода
Этот
пример
основан
на
рекуррентной
формуле
для
резерва
(8.3.10)
при
b
h
=
1,
1Гh-l
=
Р
Х
И
hV
=
hVж'
Умножая
на
h-lРх
(1
+ i),
получим
h-lРж(h-lVж
+
Р
х
)(1
+i) -
h-lРж
Qx+h-l
=
hРж
hVж,
h =
1,2,...
. (15.5.3)
При
сделанных
выше
предположениях
формулу
(15.5.3)
можно
интерпретиро
вать
как
ожидаемое
изменение
страховых
активов и
пассивов
для
каждого
из
группы
застрахованных
в
начальный
момент.
Левую
часть
этого
равенства
можно
интер
претировать
как
ожидаемый
денежный
поток,
изменяющий
активы,
а
правая
часть
-
это
размер
ожидаемых
обязательств
каждого
лица
из
группы
застрахованных
в
начальный
момент.
Рассмотрим,
что
происходит
в
первом
отчетном
периоде.
В
течение
этого
пери
ода
ожидаемые
активы,
приходящиеся
на
каждое
лицо
из
группы
лиц,
застрахован
ных
в
начальный
момент,
изменяются
следующим
образом:
у
величение
Поступление
премий
Доход
от
инвестирования
Уменьшение
Выплаты
на
случай
смерти
Если
начальные
фонды
отсутствуют,
то
А(l)
=
А(О)
+
[А(I)
-
А(О)]
=
0+
[Р
ж
(l
+i) -
Qx],
и,
используя
(15.5.3)
при
h = 1,
получим
А(l)
=
РЖ
V
Ж
=
L(l).
В
этом
примере
А(I)
-
L(l)
=
И(1)
=
О.
l)B
оригинале
«experience•.
Термин
может
переводиться
и
как
(наблюдаемые.
или
«опытные
данные
•.
-
Прuм.
ред.
15.5.
Алгебраические
основы
бухгалтерского
учета
427
Формула
(15.5.3)
может
также
быть
использована
для
изучения
рекуррентным
образом
по
всем
годам
действия
договора
динамики
отчетности.
Предположим,
что
A(h) =
L(h)
в
конце
отчетного
периода
h
и
что
мы
исследуем
баланс
в
(h +
l)-м
периоде:
дА
(h) =
(поступление
премий
+
инвестиционный
доход
-
выплаты
на
случай
смерти)
=
hPx
Р
Х
+hPx(hVx + Px)i -
hPx
qx+h.
Тогда
A(h
+
1)
=
A(h)
+
дА(h)
=
hPx
hVx
+ {hPx[P
x
+
(hVx
+Px)i] -
hPx
Qx+h}
=
hPx
[(Р
Х
+h
V
x)(l
+i)] -
hPx
Qж+h
=
h+1Рж
h+1VЖ
=
L(h
+1). (15.5.4)
В
этом
примере,
где
нет
ни
начального
фонда,
ни
прибылей,
ни
надбавок
«на
случай
ность»,
ожидаемые
результаты
страхования
описываются
равенством
A(h)
-
L(h)
=
U(h)
=
О,
h =
О,
1,2,3,
....
Теперь
изменим
предположения
табл.
15.5.1,
допустив,
что
к
нетто-премии
в
качестве
надбавки
добавляется
положительная
постоянная
величина
с
и что
eh-l
-
расходы,
выплачиваемые
в
начале
h-ro
периода
по
каждому
договору
для
до
жившего
лица.
Постоянная
надбавка
может
включать
компоненту,
учитывающую
прибыль,
т.
е.
актуарная
настоящая
стоимость
надбавки
с
может
быть
больше,
чем
актуарная
настоящая
стоимость
последовательности
eh-l,
h =
1'2'
....
Усложненный
вариант
равенства
(15.5.3),
включающий
премии
с
такой
надбав
кой
и
расходы,
имеет
вид
h-1Px{[h-1
V
x +
u(h
- 1)] +
(Р
х
+
f)
-
eh-l}(l
+i) -
h-lРх
Qж+h-l
=
hРж
[hVж
+u(h)], h =
1,2,3,
. .
..
(15.5.5)
Элементы,
составляющие
усложнение
формулы
(15.5.3),
подчеркнуты.
В
формуле
(15.5.5)
u(h)
обозначает
ожидаемую
величину
сальдо
для
каждого
дожившего
стра
хователя
к
концу
отчетного
периода
h.
Вычитая
формулу
(15.5.3),
в
которую
не
включены
надбавки,
из
формулы
(15.5.5),
получим
h-lРх(u(h
-
1)
+
(с
-
eh-l)](l
+i) =
hржu(h),
h =
1,2,3,...
. (15.5.6)
Умножая
разностное
уравнение
(15.5.6)
на
v
h
и
п~регруппировывая
слагаемые,
по
лучим
V
k
-
1
h-lрж[u(h
-
1)
+
(с
-
eh-l)]
=
vhhРЖ
u(h),
д[v
h
-
1
h-lРж
u(h
-
1)]
=V
h
-
1
h-1Рж(С
-
eh-l).
Налагая
начальное
условие
u(О)
=
О,
из
формулы
(15.5.7)
получаем
h h
L
д[v
j
-
1
j-lРх
ии
-
1)]
= L
v
j
-
1
j_1Рж(С
-
ез-l),
з=1
з=1
h
h
(h)
_
"'"
j-l.
(
.)
V
hPx
и
-
L..J
v
J-IРх
С
- e
J
-l
,
з=1
h
hPx
u(h)
=
L(1
+
i)h-
j
+l
j-lРж(С
-
ej-l).
j=1
(15.5.7)
(15.5.8)
428
Гл.
15.
Модели
страхования,
включающие
расходы
h-lРХ(РЖ
+
е)
h-lРх[h-lVх
+
u(h
-
1)
+
Рх
+
е
-
eh-l)i
Таким
образом,
ожидаемое
сальдо
на
конец
h-ro
отчетного
периода
для
каждого
из
лиц,
застрахованных
в
начальный
момент,
является
накопленной
стоимостью
ожидаемых
вкладов
в
сальдо
в
каждый
из
предшествующих
отчетных
периодов.
Этот
результат
следует
сравнить
с
табл.
15.2.5,
комментарий
3.
Если
нетто-резервы
рассматриваются
как
мера
пассива,
то
ожидаемые
величи
ны,
приходящиеся
на
одно
лицо
из лиц,
застрахованных
в
начальный
момент,
будут
выглядеть
в
отчетности
нашей
модельной
страховой
компании
к
концу
отчетного
периода
h
следующим
образом:
БалаНСО8ъtй
от'Чет
(на
конец
от'Ч.етного
периода
h)
A(h)
= L(h) +U(h) =
hPx
hVx
+
hPx
u(h)
h
=
hPx
hVx
+
:L)1
+
i)h-j+l
j-lРх(е
-
ej-l)
1
От'Чет
оприбылях
'u
убытках
(h-u
от'Ч.етныЙ
период)
Доход
Поступление
премий
Инвестиционный
доход
h-lРх{(Р
х
+
е)(1
+i) +
[h-lVх
+
u(h
- 1) -
eh-l)i}
Всего
Отчисления
из
дохода
Выплаты
в
случае
смерти
Расходы
Изменение
резерва
Всего
Чистый
доход
(изменение
сальдо)
h-lРх
Qx+h-l
h-lРх
eh-l
hPx
hVx
-
h-lРх
h-1V
x
h-lРх[u(h
- 1)i +
(е
-
eh-l)(1
+i)
(15.5.9)
Для
завершения
отчетности
используем
формулы
(15.5.8)
и
(15.5.3).
Левые
столб
цы
табл.
15.2.5
и
15.2.6
обеспечивают
численную
иллюстрацию
этого
подхода.
Таб
лицы
представлены
в
терминах
группы
детерминированного
дожития,
а не
ожи
даемых
величин
для
каждого
из
лиц,
застрахованных
в
начальный
момент.
Таким
образом,
ожидаемое
сальдо
в
конце
h-ro
отчетного
периода
для
каждого
ИЗ
таких
лиц
составит
hPx
и(h)
=
h-lРх
и(h
-
1)
+
h-lРх[u(h
- 1)i +
(е
-
eh-l)(1
+i)).
(15.5.10)
Формула
(15.5.10)
совпадет
с
(15.5.6);
однако
она
была
выведена
с
позиций
бухгал
терского
учета.
Умножая
на
v
h
и
перегруппировывая
слагаемые,
получим
Д[v
h
-
1
h-lРх
u(h
-
1)]
=V
h
-
1
h-lРх(е
-
eh-l),
а
это
формула
(15.5.7),
но
выведенная
с
позиций
бухгалтерского
учета.
Ранее
в
этой
главе
отмечалось,
что
на
практике
расходы
проявляют
тенденцию
к
снижению
со
временем.
Таким
образом,
ожидаемое
сальдо
h
hPx
u(h) =
L{1
+
i)h-j+l
j-lРх(е
-
ej-l)
j=l
15.6.
Доля
активов
429
(15.6.1)
обычно
будет
отрицательным
при
малых
значениях
h
и
положительным
при
боль
ших
значениях.
Это
замечание
относится
к
модели
бухгалтерского
учета,
в
которой
нетто-резервы
рассматриваются
как
мера
пассивов,
надбавки
являются
постоянны
ми,
а
расходы
уменьшаются
по
мере
увеличения
интервала
времени
с
момента
за
ключения
договора.
Для
того
чтобы
избежать
ситуации,
когда
активы
меньше
пассивов,
на
ранних
периодах
можно
предпринять
ряд
действий:
•
страховая
организация
может
получить
дополнительный
капитал
для·
перво
начального
сальдо
u(О),
чтобы
выражение
h
u(О)(l
+
i)h
+
2::(1
+
i)h-j+l
j-lРх(С
-
ej-l)
j=l
было
положительным
ДЛЯ
h =
0,1,2,3,
...
;
•
надбавка
может
зависеть
от
периода,
так
что
Ch-l
-
eh-l
~
О,
h =
1,2,3,
...
;
•
пассивы
страховой
организации
могут
определяться
на
основе
такого
отраже
ния
организации
резерва,
который
уменьшает
указываемые
в
отчетности
пассивы
в
начальные
годы
действия
договора.
Принцип,
согласно
которому
в
качестве
пас
сива
указывается
нетто-резерв
плюс
резерв
расходов
из
столбцов
(Ь)
табл.
15.2.5
и
15.2.6,
является
примером
таких
действий.
(Эта
последняя
возможность
является
предметом
разд.
16.6
и
16.7).
15.6.
Доля
активов
Для
обеспечения
алгебраических
основ
бухгалтерского
учета
в
модели
с
двумя
причинами
выбытия
на
основе
принципа
эквивалентности
необходимо
получить
ряд
рекуррентных
соотношений.
Они
имеют
много
приложений,
и
некоторые
из
них
мы
рассмотрим
в
разд.
16.4.2
и
16.5.
Основную
переменную
этих
рекуррентных
соотношений
называют
по-разному
в
зависимости
от
приложения.
В
этом
разделе
мы
назовем
ее
долей
шк;muвов
-
термином,
имеющим
долгую
историю.
В
других
разделах
будут
рассматривать
другие
интерпретации
в
зависимости
от
приложения.
15.6.1.
Рекуррентные
соотношения
Договор
страхования
на
случай
смерти
является
долгосрочным
контрактом,
в
котором
доходы
страховщика
-
премии,
поступления
от
инвестиций,
а
убытки
-
выплаты
на
случай
смерти,
выплаты
выкупных
сумм
и
выплаты
на
погашение
рас
ходов.
На
брутто-премию,
обычно
исчисляемую
на
единицу
страховой
суммы,
влияет
конкуренция,
а
на
выкупные
суммы
влияют
закон
и
конкуренция.
Необходим
баланс
(в
смысле
актуарных
настоящих
стоимостей)
между
различными
элементами
струк
туры
премий
и
выплат.
Этому
и
служит
расчет
доли
активов,
излагаемый
в
этом
разделе.
Это
-
не
обобщение
прошлого
опыта,
а
преспективные
расчеты,
направ
ленные
на
то,
чтоБыI
учесть
наиболее
значимые
аспекты,
влияющие
на
ожидаемый
финансовый
результат
по группе
договоров.
Мы
начнем
с
модификации
формулы
(15.5.5)
для
случая
страховой
выплаты
размера
1:
hP~r)(hAS)
=
h_lP~r){[h_lAS
+
G(l
-
Ch-l)
-
eh-l](l
+ i)
(1) (2)
CV}
h
-
Qx+h-l
-
Qx+h-l
h , =
1,2,
З,
....
430
Гл.
15.
Модели
страхования,
включающие
расходы
h =
1,2,3,.
.
..
(15.6.3)
(15.6.2)
h =
1,2,3,
....
Умножая
(15.6.1)
на
l/h_1P~T),
получим
P~1h-l
(h
AS
) =
[h-lАS
+
а(1
- Ch-l) - eh-1J(1 +i)
(1) (2)
CV
-
qж+h-l
-
qж+h-l
h ,
В
формулах
(15.6.1)
и
(15.6.2)
hAS
обозначает
ожидаемую
долю
активов
спустя
h
лет
с
момента
заключения
до
говора,
непосредственно
перед
началом
(h
+
1)-го
года
действия
договора;
G
обозначает
постоянную
брутто-премию;
Ch
обозначает
долю
брутто-премии,
предназначенную
на
покрытие
расходов,
ко
торая
выплачивается
в
момент
времени
h;
eh
обозначает
величину
расходов,
не
зависящих
от
страховой
суммы
и
выплачи
ваемых
в
мС?мент
времени
h;
q~~h
обозначает
вероятность
смерти
страхователя,
которому
сейчас
х
+ h
лет,
до
достижения
им
возраста
х
+h +1
лет;
q~~h
обозначает
вероятность
досрочного
прекращения
действия
договора
со
стра
хователем,
которому
сейчас
х
+h
лет,
до
достижения
им
возраста
х
+ h +1
лет;
hCV
обозначает
размер
выкупной
суммы,
выплачиваемый
в
момент
времени
h.
Она
также
называется
денежной
стоимостью.
Формула
(15.6.1)
относится
к
дискретной
модели
страхования,
где
страховая
сум
ма
размера
1
выплачивается
в
конце
года
смерти,
а
сумма
hCV
-
в
конце
года
досрочного
прекращения
действия
договора.
Формула
(15.6.1)
является
обобщением
рекуррентного
соотношения,
связыва
ющего
последовательность
конечных
резервов.
Она
будет
переписана
несколькими
способами,
которые
напоминают
сходные
преобразования
уравнений
для
резервов.
Умножая
формулу
(15.6.2)
на
vhl~1h_l'
получим
Д(l~1h-l
v
h
-
1
h-1
AS
) =
[а(1
- Ch-l) -
eh-l]l~1h_l
v
h
-
1
(d
(l)
d(2)
CV)
h
-
ж+h-l
+
ж+h-l
h
v,
Суммирование
по
h =
1,
2,
...
,n
дает
n
l~1n
v
n
nАВ
-l~Т)оАS
=L
([а(1
- Ch-l) -
eh-l]l~1h-l
V
h
-
1
h=l
(1) (2) ) h}
()
-
(dж+h-l
+
d
ж
+
h
-
1
h
CV
V . 15.6.4
Если
оАВ
=
О,
то
величина
nАВ
равна
~
{[а(1
- Ch-l) -
eh-l]l~1h_l(1
+i) -
(d~~h_l
+
d~21h_l
hCV)}(1
+
i)n-h
~
l(T)
h=l
ж+n
(15.6.5)
Для
бессрочного
страхования
на
случай
смерти
положим
n = w -
х
в
формуле
(15.6.4).
Тогда,
учитывая,
что
в
пределе
математическое
ожидание
доли
активов
равно
нулю,
мы
перепишем
выражение
(15.6.5),
чтобы
получить
w-ж
w-ж
а
"(Т)
-
А(l)
+
""
(а
+ )
h-l
(Т)
+ "
(Т)
(2) h
CV
аж
-
ж
LJ
Ch-l
eh-l
v
h-lРж
LJ
h-lРж
qx+h-l v h .
h=l
h=l
(15.6.6)