Бауэрс Н., Гербер Х., Джанс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика

Подождите немного. Документ загружается.

11.6.

Выплаты

на

случай потери

трудоспособности

321

для

каждого

года.

Предположив,

что

моменты

потери трудоспособности

равномер

но

распределены

течение

каждого

годичного

возрастного

интервала,

заменив

переменную

на

k +

получим

выражение

для

актуарной

настоящей

стоимости,

очень

похожее

на

формулу

(11.2.5):

у-х-l

- 12000

"'"

(Т)

(i)

т/12

{а

i .. (12)i d

L...J

Qx+k

J()

m/12P[x+k+s]

a[x+k+s]+m/12:u-x-k-s-m/121

k=O

(11.6.2)

Эта

формула

станет

проще,

если

ввести

предположение,

что

выбытие

по

при

чине

i (

нетрудоспособность)

может

происходить

только

лицами,

которые

дожи

вают до

конца

периода

ожидания

продолжительностью

месяцев,

будучи

нетру

доспособным.

Если

смерть

произошла

течение

периода

ожидания,

причина

выбы

тия

регистрируется

как

смерть.

Это

означает,

что

нет

необходимости

сомножителе

т/12P[X+k+s]

вероятности

дожития

нетр.удоспособного

лица,

так

как

эта

вероятность

была

учтена

определении

величины

Q~~k'

Заметим,

что

это

также

означает

следую

щее:

возраст

на

момент

потери

трудоспособности

достигается

по

окончании

периода

ожидания

такой

форме

указывается

качестве

возраста

селекции

функциях

страхового

аннуитета

нетрудоспособного

лица.

При

меняя

формулу

прямоугольников

выбирая

значение

функции

середине

интервалов

разбиения,

аппроксимируем

интегралы

формуле

(11.6.2)

получаем

1 s

(12)i d -

1/2

.. (12)i

(1163)

s - V

[x+k+s+m/12]:u-x-k-s-m/121

[x+k+l/2+m/12]:u-x-k-l/2-m/12

учетом

этих

двух изменений

формула

(11.6.2)

может

быть

переписана

виде

у-х-l

= 12000

"'"

k+l/2

(Т)

(i)

m/12··(12)i

Qx+k

a[x+k+l/2+m/12]:u-x-k-l/2-m/121'

k=O

(11.6.4)

11.6.2.

Освобождение

от

уплаты

премий

Проведем

аналогичные

вычисления

случае

освобождения

от

уплаты

премиЙ.

Предположим,

что

премия

Р,

от

уплаты

которой

освобождается

нетрудоспособное

лицо,

выплачивается

пожизненно

раз

год.

Первое

различие

между

этим

видом

обязательств

выплатами

на

случай потери

трудоспособности

состоит

том,

что

освобождение

от

уплаты

премий

представляет

собой

аннуитет,

выплачиваемый

раз

год,

начиная

даты

выплаты

первой

премии

по

окончании

периода

ожидания.

Начнем

частного

случая,

пусть

актуарная

настоящая

стоимость,

записанная

виде

определенного

интеграла,

уже

разбита

на

годы

потери

трудоспособности.

Рас

сматриваемый

частный

случай

состоит

освобождении

от

уплаты

премий,

выплачи

ваемых

пожизненно

раз

полгода

случае

потери

трудоспособности,

произошедшей

до

момента

наступления

возраста.

лет

продолжающейся

течение

четырехмесяч

ного

периода

ожидания.

предположим,

что

выплаты

имеют

обратную

силу,

так

что

премии,

выплаченные

страхователем

обычные

сроки,

но

попавшие

пери

од

ожидания,

возврarцаются

учетом

расчетной

процентной

ставки.

Это

увеличит

количество

интегралов,

относящихся

каждому

годичному

возрастному

интервалу,

потому

что

при

утрате

трудоспособности,

наступившей

первые

два

месяца

каждого

1855

322

Гл.

11.

Приложения

теории

выбытия

по

нескольким

причинам

(11.6.5)

полугодия,

премии

не

выплачиваются

течение

периода

ожидания:

у-х-1

1/6

kP~T)

8P~1k

JL~i)

1/2-8Ia[~~k+8]

k=O

1/2

(Т)

(i)(k

)(

(2)i

1/2-s

1/6

SРж+k

f.lж

l-slа[ж+k+в)

4/12Р[ж+k+8)V

2/3

(Т)

(i)

)

(2)i

+ v

SРж+k

J..lж

+ s

1-slа(ж+k+s]

1/2

1 8

(Т)

(i)(k

)(

(2)i

1-8

)d]

+ 1/2 v

SРж+k

3/2-

[ж+k+s]

4/12Р[ж+k+s]V

в.

Если

ввести

предположение

равномерности

распределения

моментов

потери

тру

доспособности

течение

годичных

возрастных

интервалов

учитывать

только

те

случаи потери

трудоспособности,

когда

лицо

доживает

до

конца

периода

ожидания,

оставаясь

нетрудоспособным,

то

формула

(11.6.5)

примет вид

у-х-1

[

1/6

""'

(Т)

(i) r

8+4/12

(2)i

L.....J

qж+k

1/2-s-4/12Iа[Ж+k+8+4/12]

k=O

1/2

(

а+4/12

••

(2)i

1/21)

1/6

1-s-4/12

[x+k+s+4/12)

2/3

а+4/12

(2)i d

+ V

l-s-4/12Ia[x+k+s+4/12]

1/2

(В+4/12

(2)i

d ]

(11

66)

+ 12/3 V

З/2-s-4/

[Ж+k+s+4/12)

v2'

в.

. .

При

меняя

формулу

прямоугольников

выбирая

значение

функции

середине

ИН

тервала

интегрирования,

мы

получим

у-х-1

[

""'

(Т)

(i) 1

5/12

..(2)i

L.....J

qж+k

1/12Iа[Ж+k+5/12)

k=O

(2/3

(2)i

1/2

11/12

(2)i

+ 3 V

1/3I

[x+k+2/3J

+V 2 + 6v

[Ж+k+11/12]

(v7/61/3Iiif;~k+7/6]

v~)

] .

(11.6.7)

11.6.3.

Нетто-премии

резервы

Нетто-премии

по

договору

страхования

потери

дохода

вследствие

нетрудоспо

собности,

согласно

принципу

эквивалентности,

находятся

из

условия

равенства

ак

туарной

настоящей

стоимости

соответствующих

выплат

актуарной

настоящей

сто

имости

указанных

премиЙ.

случае

освобождения

от

уплаты

премий,

обсуждавше

гося

разд.

11.6.2,

ежегодная

нетто-премия

y-хПж

равна

величине

.А

ИЗ

формулы

(11.6.7),

деленной

на

a~~~_yr'

11.7.

Замечания

литература

323

(11.6.8)

Нетто-резервы

для

работающих

ЛИЦ,

т.

е.

резервы

для

случая,

когда

нет

освобо

ждения

от

уплаты

премий,

наиболее

удобно

выразить

помощью

формулы

разности

премий:

(П

)

(Т)

k -

y-x-k

x+k

у-х

x+k:y-x-kl'

Конечный

резерв

для

нетрудоспособного

лица

является

актуарной

настоящей

стои

мостью

будущих

выплат

на

случай потери

трудоспособности,

рассчитанных

пред

положении,

что

нетрудоспособность

наступила.

Сумма

премий,

от

уплаты

которых

освобождается

страхователь,

или

ставка

выплат

на

случай

потери

трудоспособно

СТИ

умножается

на

актуарную

настоящую

стоимость

соответствующего

аннуитета

для

лиц,

потерявших

трудоспособность.

Эта

величина

учитывает

возраст

момент

потери

трудоспособности,

ПРОДОЛ2Кительность

периода

потери

трудоспособности

возраст

момент

прекращения

выплат.

11.7.

Замечания

литература

этой

главе

мы

не

определяли

потерь

страховщика

не

исследовали

их

дис

персии.

Формула

(11.2.7)

позволяет

определить

дисперсию

этих

потерь,

если

рас

сматриваются

выплаты

по

всем

причинам

выбытия.

Если

рассмотреть

только

один

вид

выплат,

например,

пенсионных,

то

имеется

несколько

вариантов

определения

потерь.

Обычно

считается,

что

премии

резервы,

относящиеся

выплатам

по

каж

дой

отдельной

причине

выбытия,

не

распространяются

на

другие

причины

выбытия.

Таким

образом,

если

произойдет

выбытие

не

по

выбранной

причине,

по

другой,

то

выплаты,

связанные

первой

причиной,

нулевые,

т.

е.

имеется

доход.

Потери

страховщика

при

таком

подходе

приводят,

например, К

формуле

(11.4.3).

Однако

потери,

определенные

таким

образом,

могут

иметь

ненулевые

ковариации,

так

что

дисперсия

потерь

по

всем

видам

выплат

не

является

суммой

дисперсий

потерь

по

отдельным

видам

выплат.

Можно

рассмотреть

другой

подход,

при

котором,

если

происходит

выбытие

по

определенной

причине,

то

резервы,

накопленные

для

выплат

по

всем

другим

при

чинам,

идут

на

обеспечение

выплат

по

данной

причине.

Тогда

случайные

величины

потерь,

определенные

для

выплат,

обусловленных

различными

причинами

выбытия,

имеют

нулевые

ковариации

дисперсия

потерь

по

всем

видам

выплат

равна

сумме

дисперсий

потерь

по

отдельным

видам

выплат.

Однако

рамках

этого

подхода

на

много

сложнее

рассчитать

премии

резервы

для

отдельных

типов

выплат,

такие

премии

резервы

существенно

отличаются

от

премий

резервов,

полученных

тра

диционным

путем.

Более

подробно

эти

вопросы

изложены

работе

[Hickтan

1964].

Полученный

разд.

11.4

результат,

согласно

которому

выплата

ВЫКУПНОЙ

сум

мы

не

влияет

на

премии

резервы,

когда

эта

выкупная

сумма

равна

нетто-резерву

на

случай

смерти,

не

выполняется,

когда

речь

идет

дискретной

модели

страхо

вания.

Это

было

отмечено

работе

[Nesbitt 1964]

при

обсуждении

работы

Шютте.

Возникающая

связи

этим

проблема

заключается

том,

что

дискретной

модели

вероятность

досрочного

прекращения

действия

договора

зависит

от

интенсивности

смертности.

11*

324

Гл.

11.

Приложения

теории

выбытия

по

нескольким

причинам

Хотя

существует

много

книг

статей,

посвященных

математике

пенсионных

фондов,

настоящем

вводном

изложении

нам

кажется

полезным

отослать читателя

другим

актуарным

учебникам,

которых

имеются

аналогичные

главы;

см.,

на

пример,

[Hooker, Longley-Cooke 1957], [Jordan 1952]

[Neill 1977].

Авторы

этих книг

уделяют

большое

внимание

выражению

актуарных

настоящих

стоимостей

терми

нах

пенсионных

коммутационных

функций

использованию

таблиц

таких

функций

для

проведения

расчетов.

Напротив,

мы

основном

рассматриваем

представления

через

интегралы

ап

проксимирующие

суммы

подынтегральными

выражениями

слагаемыми,

выпи

санными

терминах

основных

функций.

Эти

аппроксимирующие

суммы можно

вы

числять

различными

способами,

использующими

или

не

использующими

коммута

ционные

функции.

Для

пенсионных

выплат,

определенных

на

основе

сложных

пра

вил

пенсионной

схемы,

возможно,

более

гибкими

эффективными

будут

методы

расчета,

не

требующие

частого

обращения

коммутационным

функциям.

Проти

воположная

точка

зрения,

подчеркивающая

высокую

эффективность

коммутаци

онных

функций

для

выражения

актуарных

настоящих

стоимостей и

проверки

их

вычисления,

высказана

работе

[Chamberlin 1982].

Существуют

другие

основы

построения

модели

страхования

на случай

потери

трудоспособности.

разд.

11.6

была

использована

модель

выбытия

по

нескольким

причинам,

которая

заведомо

не

учитывала

случая

выздоровления.

Были

развиты

модели

несколькими

состояниями

потери

трудоспособности

возможностью

пе

рехода

из

одного

состояния

другое.

Эти

модели

часто

используются

долгосроч

ном

медицинском

страховании.

книге

[Ноет

1988]

дано

введение

эти

вопросы

полезными

ссылками

на

литературу.

Модель

выбытия

по

нескольким

причинам,

построенную

гл.

использо

ванную

настоящей

главе,

можно

рассматривать

как

модель

m + 1

состояниями,

ИЗ

которых

состояний

называются

поглощающими,

так

как

из

них

невозможен

возврат

состояние

трудовой

активности.

Эти

состояний

ассоциируются

причинами

выбытия,

оставшееся

состояние

связывается

сохранением

исходного

статуса.

Если

некоторые

из

причин

выбытия

не

являются

поглощающими,

т.

е.

возможен

переход

из

них

активное

состояние

или

другое

непоглощающее

со

стояние,

то

получается

более

сложная,

но,

возможно,

более

реалистическая

модель.

Оценка

вероятностей

перехода

из

одного

состояния

другое

может

быть

сложной,

так

как

вероятности

могут

зависеть от

пути,

пройденного

до

текущего

состояния.

Упражнения

разде.лу

11.2

11.1.

Работающие

лица

вступают

пенсионную

схему

возрасте

лет.

Если

такое

лицо

продолжает

работать

вплоть

до

выхода

на

пенсию,

то

оно

получит

ежегодную

пенсию,

равную

числу

проработанных

лет,

умноженному

на

300.

Если

работающий

участник

схемы

умирает

трудоспособном

возрасте,

то

выгодоприобретателю

немедленно

выплачивается

сумма

размера

000.

Если

он

прекращает

работать

до

достижения

им

лет

по

какой

либо

причине

за

исключением

смерти,

то

получает

право

на

отсроченный

(до

наступления

возраста

лет)

бессрочный

аннуитет

ежегодными

выплатами,

равными

числу

прорабо

танных

лет,

умноженному

на

300.

Выразите

актуарную

настоящую

стоимость

этих

выплат

для

работающего

участника

схемы

возрасте

лет

помощью

интегралов

непрерывных

аннуитетов.

Упражнения

325

11.2.

Пусть

J = 1

обозначает

смерть

от

несчастного

случая,

J 2 -

смерть

от

других

причин.

Известно,

что

(i) J = 0,05,

(н)

JL~l)(t)

= 0,005

для

О,

где

JL~l)(t)

представляет

собой

интенсивность

смертности

от

несчастного

случая,

(iii)

JL~2)

(t)

= 0,020

для

О.

Лицом

(х)

заключается

договор

страхования

на

случай

смерти

сроком на

лет

выпла

той

размера

если

смерть

произошла

результате

несчастного

случая,

размера

если

смерть

произошла

по

другой

причине,

причем

осуществляются

они

момент

смерти.

Най

дите

математическое

ожидание

дисперсию

случайной

величины

настоящей

стоимости

выплат.

разделу

11.4

11.3.

Модель

выбытия

по

двум

причинам

определена

условиями

JL~l)(t)

1l~2)(t)

l/(a

t),

t <

а.

(а)

модели

выбытия

единственной

причиной

(1)

случайная

величина

перспектив

ных

потерь

момент

времени

задана

формулой

l -

Т(ж)-t

Т(

) J 1

-v

<t~

х,

< t

Т(х),

J = 1,

< t

Т(х),

J =

Убедитесь,

что

1 -

е-б(а-t)

1._

-А-

t -

д(а

ж+t·

(Ь)

модели

выбытия

по

двум причинам

случайная

величина

перспективных

потерь

момент

времени

задана

формулой

{

vт(ж)-t

L'I

- '

t -

vТ(ж)-t

у1.

Т(ж)

Убедитесь,

что

E[tL'IIT~t]

tY1..

разделу

11.5

11.4.

Для

расчетов

пенсионной

схеме

предполагается,

что

функция

тарифов

зара

ботной

платы

Ву

линейна

820

= 1.

Если

(Е8)45

2(А8)25

найдите

Sж

для

20.

11.5.

Новая

пенсионная

схема

двумя

участниками

(35)

(40)

обеспечивает

ежегод

ные

пенсионные

выплаты

размере

от

последней

заработной

платы,

умноженной

на

число

проработанных

лет,

включая

проработанную

часть последнего

года

работы.

Подсчи

тайте

максимальное

значение

величины

[R(40,

О,

- R(35,

О,

t)]

при

О,

если

(i)

увеличение

заработной

платы

происходит

непрерывно,

(ii)

(А8)40

= 50000

840+t

= 1 +

O,06t

для

лица

(40),

(iii)

(А8)З5

=35000

З5

= 1 +O,10t

для

лица

(35).

11.6.

Предполагается,

что

нового

участника

схемы,

вступившего

нее

возрасте

лет,

заработная

плата

будет

увеличиваться

на

год,

чтобы

учесть

влияние

инфляции

повышение

уровня

производительности.

Кроме

того,

предполагается,

что

возрастах

40,

лет

будет

происходить

продвижение

по

службе,

увеличивающее

заработную

плату

на

10%.

(а)

Постройте

функцию

тарифов

заработной

платы

ЗО

+k,

которая

отражает

эти

пред

положения.

(Ь)

Определите

актуарную

настоящую

стоимость

взносов

размере

10%

от

будущей

заработной

платы

для

нового

участника

схемы

начальной

заработной

платой

размера

24000,

которая

будет

расти

соответствии

функцией

тарифов,

построенной

п.

(а).

11.7.

Каждый

год

вкладчик

пенсионной

схемы

вносит

10%

от

суммы,

на

которую

за

работная

плата

каждого

участника

схемы

превышает

определенную

величину.

Эта

сумма

составляет

15000

настоящем

году

будет

ежегодно

увеличиваться

на

5%.

Выразите

ак

туарную

настоящую

стоимость

взносов

вкладчика

для

участника

схемы,

вступившего

нее

возрасте

лет

заработной

платой,

равной

40000.

326

Гл.

11.

Приложения

теории

выбытия

по

нескольким

причинам

11.8.

Пенсионная

схема

обеспечивает

момента

выхода

на

пенсию

до

возраста

лет

ставку

пенсионных

выплат

размере

от

средней

заработной

платы

за

последние

три

года

работы

перед

выходом

на

пенсию

за

каждый

год стажа.

После

лет

эта

ставка

составляет

1i%

от

средней

заработной

платы

за

последние

три

года

работы

перед

выходом

на

пенсию

за

каждый

год

стажа.

(а)

Определите

актуарную

настоящую

стоимость

выплат

участнику

схемы

возрасте

лет,

вступившему

схему

возрасте

лет

имеющему

настоящий

момент

заработную

плату

48000,

если

самый

ранний

возраст

выхода

на

пенсию

составляет

лет

не

оговорен

возраст

обязательного

выхода

на

пенсию.

(Ь)

Выразите

актуарную

настоящую

стоимость

выплат

указанному

выше

лицу,

если

максимальное

число

лет

стажа,

учитываемого

схемой,

равно

35.

(с)

Определите

для

указанного

выше

лица

актуарную

настоящую

стоимость

пенсион

ных

выплат

на

основе

уже

проработанных

лет.

11.9.

Пенсионная

схема,

учитывающая

среднюю

заработную

плату

за

весь

период

тру

довой

деятельности

участника,

обеспечивает

пенсию

размере

от

совокупной

заработ

ной

платы

за

все

годы

трудовой

деятельности

участника

схемы.

Минимальный

возраст

выхода

на

пенсию

составляет

лет,

возрасту

лет

на

пенсию

выходят

все.

Для

участ

ника

схемы

возрасте

лет,

который

начал

работать

возрасте

лет,

которому

за

про

шедший

период

была

выплачена

суммарная

заработная

плата

размера

450 000

и текущая

заработная

плата

которого

равна

42000,

выразите:

(а)

годовую

ставку

пенсионных

выплат

участнику

схемы

случае

выхода

на

пенсию

ровно

лет,

(Ь)

годовую

ставку

пенсионных

выплат

участнику

схемы

учетом

1/2

года

стажа,

если

он

выходит

на

пенсию

между

возрастами

лет,

(с)

актуарную

настоящую

стоимость

пенсионных

выплат

участнику

схемы

на

основе

уже

проработанных

лет,

(d)

актуарную

настоящую

стоимость

пенсионных

выплат

участнику

схемы

на

основе

предстоящих

лет

его

трудовой

деятельности.

11.10.

Новый

участник

пенсионной

схемы

возрасте

лет

может

выбирать

между

двумя

возможными

схемами

пенсионных

выплат:

(1)

схемой

установленными

взносами

размере

20%

от

заработной

платы

ежегодно,

причем

взносы

осуществляются

начале

каждого

года,

и на

них

начисляется

годовых,

накопленные

взносы используются

дЛя

обеспечения

ежемесячного

бессрочного

пенсионного

аннуитета

пренумерандо,

(2)

схемой

установленными

выплатами,

осуществляемыми

ежемесячно,

годовой

ставкой

размере

40%

от

средней

заработной

платы

за

последние

года.

Известно,

что

(а)

a~;2)

= 10,

(Ь)

= (1,05)k

дЛя

о,

где

Ву

ступенчатая

функция

постоянными

значениями

пределах

каждого

годичного

возрастного

интерва

ла.

Предполагая,

что

выход

на

пенсию

произошел

ровно

лет

что

участник

дожил

до

этого

момента,

рассчитайте

отношение

ожидаемых

ежемесячных

выплат

схеме

установ

ленными

взносами

соответствующим

выплатам

схеме

установленными

выплатами.

11.11.

Выпишите

определенные

интегралы

актуарных

настоящих

стоимостей

указан

ных ниже

возможных

выплат

работающему

участнику

схемы

со

стороны

этой

пенсионной

схемы.

Предположим,

что

участнику

настоящий

момент

лет,

его

заработная

плата

составляет

40 000

год.

Он

начал

работу

возрасте

лет

тех

пор

получил

качестве

заработной

платы сумму

320000.

Выплаты

пенсии

возможны

только

по

достижении

лет,

выплаты

связи

увольнением

до

возраста

лет

имеют

форму

аннуитета

отсрочкой

выплат

до

исполнения

данному

лицу

лет.

(а)

Пенсионные

выплаты

годовой

ставкой

50%

от

последНей

заработной

платы.

(Ь)

Пенсионные

выплаты

со

ставкой

0,015

от

величины

последней

заработной

платы,

умноженной

на

стаж

(включая

прора60Танную

часть последнего

года

работы)

момент

выхода

на

пенсию.

(с)

Выплаты,

связанные

увольнением,

вычисленные

по

формуле

из

п.

(Ь).

(d)

Пенсионные

выплаты

со

ставкой

0,025

от

совокупной

заработной

платы

за

весь

период

трудовой

деятельности.

Упражнения

327

(е)

Выплаты,

связанные

увольнением,

вычисленные

по

формуле

из

п.

(d).

11.12.

Пенсионные

выплаты,

представляющие

собой

непрерывный

бессрочный

анну

итет,

являются

частью

пакета

гарантий

работающему

участнику

пенсионной

схемы.

Для

лиц,

выходящих

на

пенсию

между

годами,

годовая

ставка

выплат

составляет

60%

от

ставки

заработной

платы

на

момент

выхода

на

пенсию.

Для

лица,

вышедшего

на

пенсию

после

лет,

ставка

выплат

составляет

60%

от

заработной

платы

между

годами.

Найдите

выражение

аппроксимирующей

суммы

для

актуарной

настоящей

стоимости

таких

выплат

для

лица

лет,

только что

приступившего

работе

годовым окладом

35000.

разделу

11.6

11.13.

(а)

Вычислите

ежегодные

нетто-премии,

выплачиваемые

до

возраста

лет

по

договору

страхования

на

случай потери

трудоспособности

ежемесячными

выплатами

размере

2000

до

возраста

лет,

заключенного

лицом

(35),

если

это

лицо

станет

нет

рудо

способным

до

достижения

им

лет

доживет

до

конца

периода

ожидания,

составляющего

месяцев.

(Ь)

Определите

величину

нетто-резерва

для

трудоспособного

лица

на

конец

10-го

года

действия

договора,

описанного

п. (а).

Ко

всем

темам

главъt

11.14.

Теорема

Хаттендорфа

для

непрерывной

модели,

сформулированная

упр.

8.24,

может

быть

переформулирована

обозначениях

настоящей

главы

для

непрерывной

модели

несколькими

причинами

выбытия:

D[oL

]

= f

[v'(B~j~,

)]2

,p~,)

I'~j)(t)

dt.

j=1

Покажите,

что

этот

результат

имеет

место

для

бессрочного

страхования

на

случай

смерти

непрерывной

модели,

рассматривавшегося

разд.

11.4.

Набросок

решения:

(а)

Покажите,

что

случайная

величина

потерь

дЛя

такого

договора

имеет

вид

{

- -

oLl

= v

-_P~Ax)-

~Тl,_

2 _

Т,

J =

TV(A

) -

P(A

aТl'

Т,

J =

(Ь)

Используя

формулы

(11.4.6)

(11.4.7),

перепишите

дифференциальное

уравнение

(11.4.3),

затем

используйте

интегрирующий

множитель

е-1St

дЛя

получения

решения

,V(

Ixj =

Р(АЖ)й

-1'

е-Б,

I'~')(o)[1

,V(А

)]

ds.

(с)

Используйте

результат

п.

(Ь)

дЛЯ

модификации

определения

oLl

п.

(а),

затем

покажите,

что

D[oL.1.J

{V'[1 -

,V(А

)]

-1'

I'~')

(о)[1

(Аж)]

} 2

,p~,)

I'~')

(t)

{1'

I'~')

(о)

,V(А

)]

,p~,)

I'~2)

(t) dt.

(d)

Преобразуйте

выражение,

стоящее

фигурных

скобках

подынтегральном

выра

жении

первого

интеграла

п.

(с),

объедините

два

интеграла,

подынтегральное

выражение

которых

содержат

величину

{J~

JL~1)

(8)[1 - s

V(A

)] d8}2.

Затем,

интегрируя

по

частям,

получите

D[oL

]

100

- tV(A

)]}

tP~T)

JL~1)

(t) dt.

Этот

результат

упрощает

формулу

для

дисперсии

при

установлении

выкупной

суммы

размере

(Ах)

МОДЕЛИ

КОЛЛЕКТИВНЫХ

РИСКОВ

НА

КОРОТКОМ

ИНТЕРВАЛЕ

ВРЕМЕНИ

12.1.

Введение

главах

по

мы

рассматривали

модели

долговременного

страхования.

этих

моделях

существенным

было

наличие

процентного

дохода.

настоящей

гла

ве

мы

возвращаемся

теме,

рассматривавшейся

гл.

именно,

краткосрочным

страховым

договорам.

Поэтому

настоящей

главе

процентный

доход

мы

учитывать

не

будем.

Цель

этой

главы

предложить

альтернативу

для

модели

индивидуаль

ного

страхового

договора,

обсуждавшейся

гл.

Модель

индивидуальных

рисков,

предложенная

гл.

рассматривает

отдель

ные

страховые

договоры

страховые

случаи,

возникающие

по

каждому

ИЗ

них.

При

этом

суммарные

страховые

выплаты

получаются

сложением

выплат

по

всем

стра

ховым

договорам,

содержащимся

портфеле.

Модел/ь

'К:олле?Сmuвн:ых

рисков

связана

со

случайным

процессом,

который

поро

ждает

страховые

случаи

по

всему

страховому

портфелю.

Этот

процесс

описывается

терминах

портфеля

целом,

не

терминах

отдельных

составляющих

его

до

говоров.

Математически

это

формулируется

следующим

образом:

пусть

N -

чис

ло страховых

случаев

по

страховому

портфелю

на

заданном

временном

интервале,

величина

выплаты

по

первому

страховому

случаю,

величина

выплаты

по

второму

случаю

т.

д.

Тогда

случайная

величина

(12.1.1)

равна

суммарным

выплатам

по

всем

страховым

случаям

из

рассматриваемого

порт

феля,

произошедшим

на

заданном

временном

интервале.

Число

страховых

случаев

является

случайной

величиной,

связанной

частотой

возникновения

страховых

случаев.

Величины

страховых

выплат

•.•

также

являются

случайными

ве

личинами.

Говорят,

что

они

измеряют

«тяжесть~

страховых

потерь.

Чтобы

модель

было

легче

анализировать,

мы

делаем два

основных

предположе-

ния:

(1)

случайные

величины

одинаково

распределены;

(2)

случайные

величины

Xl,

..•

взаимно

независимы.

Выражение

(12.1.1)

мы

будем

называть

случайной

суммой

и,

если

не

оговоре

но

противное,

будем

считать,

что

для

ее

слагаемых

выполняются

предположения

(1)

(2).

Главным

техническим

средством

развитии

теории,

которой

посвящена

эта

гла

ва,

является

производящая

функция

моментов.

Эта

функция

дает

читателю

простое,

но

мощное

средство

приобрести

навыки

для

работы

моделью

коллективных

рисков.

12.2.

Распределение

суммарных

страховых

выплат

329

Для

читателя,

который

давно

не

работал

этими

функциями,

было

бы

полезно

осве

жить

свои

знания

производящих

функциях

моментов,

средних

дисперсиях

широко

используемых

вероятностных

распределений,

обратившись

приложению

где

такие

сведения

собраны.

12.2.

Распределение

суммарных

страховых

выплат

этом

разделе

мы

увидим,

как

распределение

суммарных

страховых

выплат

за

фиксированный

период

времени

можно

получить

из

распределения

числа

страховых

случаев

распределения

величины

выплат

по

отдельным

страховым

случаям.

Пусть

Р(х)

общая

для

всех

независимых

одинаково

распределенных

С.в.

функция

распределения,

пусть

произвольная

случайная

величина

такой

функцией

распределения.

Обозначим

через

k-й

центральный

момент,

через

Mx(t)

E[e

]

производящую

функцию

моментов

С.в.

Х.

Кроме

того,

введем

MN(t) =

E[e

производяrцyю

функцию

моментов

числа

страховых

случаев,

Ms(t)

E[etsJ,

(12.2.1)

(12.2.2)

(12.2.3)

(12.2.4)

производящую

функцию

моментов

с.в.

суммарных

страховых

выплат.

Функция

распределения

суммарных

страховых

выплат

будет

обозначаться

через

Fs(x).

Воспользовавшись

формулами

(2.2.10)

(2.2.11)

учитывая предположения

(1)

(2)

разд.

12.1,

мы

получим

Е[В]

Е[Е[В

N]J

= E[PlN] =

P1E[N]

D[S] = E[D[SIN]] +D[E[SIN]]

= E[ND[X]] + D[PlN] = E[N]D[X] + PID[N],

(12.2.5)

(12.2.6)

где

D[X] =

Р2

Pt.

Утверждение

(12.2.5)

том,

что

математическое

ожидание

суммарных

страхо

вых

выплат

является

произведением

математического

ожидания

величины

индиви

дуальной

страховой

выплаты

математического

ожидания

числа

страховых

случа

ев,

не

вызывает

удивления.

Выражение

(12.2.6)

для

дисперсии

суммарных

страхо

вых

выплат

также

имеет

естественную

интерпретацию.

Дисперсия

суммарных

стра

ховых

выплат

является

суммой

двух

слагаемых,

первое

из

которых

относится

изменчивости

величины

индивидуальной

страховой

выплаты,

второе

измен

чивости

числа

страховых

случаев.

Аналогичным

образом

мы

получаем

выражение

для

производящей

функции

мо

ментов

с.в.

В:

Ms(t)

E[e

] =

E[E[e

N]J

Е[М

(t)N]

= E[e

N1n

Mx(t)]

:::

MN(ln

Mx(t)).

(12.2.7)

330

Гл.

12.

Модели

коллективных

рисков

на

коротком

интервале

времени

Пример

12.2.1.

Предположим,

что

с.в.

имеет

геометрическое

распределение,

т.

е.

ее

функция

вероятностей

задается

формулой

P(N

=pqn, n =

0,1,2,

...

где

< q < 1

= 1 -

Выразим

Ms(t)

через

Mx(t).

Решение.

Поскольку

(12.2.8)

из

формулы

(12.2.7)

следует,

что

Ms(t)

= 1 -

qMx(t)

(12.2.10)

(12.2.9)

Для

того

чтобы

найти

функцию

распределения

С.в.

В,

мы

рассмотрим

события

воспользуемся

формулой

полной

вероятности:

Fs(x)

P(B~x)

LP(S~xIN=n)P(N=n)

n=О

LP(X

...

x}P(N=n).

n=О

Применяя

итеративный

процесс

взятия

свертки,

определенной

разд.

2.3,

мы

можем

записать

P(X

...

+ Х

х)

[Р

*... *

Р](х)

Р*n(х),

т.

е.

получить

n-кратную

свертку

функции

распределения

Р.

Напомним,

что

р.О(х)

{1,

О,

О.

Таким

образом,

формула

(12.2.10)

приобретает

вид

(12.2.11)

(12.2.12)

Fs(x) = L

p.n(x)P(N=n).

n=О

Если

распределение

индивидуальных

страховых

выплат

является

дискретным

функцией

вероятностей

р(

х)

(Х

х),

то

распределение

суммарных

страховых

выплат

также

дискретно.

По

аналогии

рассуждениями,

проведенными

выше,

функ

ция

вероятностей

С.в.

может

быть

получена

непосредственно:

где

fs(x)

LP*n(x)

P(N=n),

n=О

(12.2.13)

р*n(х)

[р

*... *

р](х)

P(X

+ Х

...

х),

(12.2.11А)

р*О(х)

{о,

=1-

о,

о.

этом

соотношении

знак

неравенства

из

левой части

(12.2.11)

заменен

на

знак

равенства.