Бауэрс Н., Гербер Х., Джанс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика
Подождите немного. Документ загружается.
11.4.
Примеры
выкупных
сумм,
которые
можно
не
учитывать
Таким
образом,
равенство
(11.4.5)
приобрело
вид
~
{v
t
tp~T)(tV(Ax)~
- tV(Ax)]} =
о,
что
с
учетом
начальных
условий
о
Y(Ax)~
=
о
У(А
х
)
дает
311
tV(Ax)~
=tV(Ax)
для
всех
t
~
О.
(11.4.7)
Поэтому
если
выкупная
сумма
в
непрерывной
модели
с
выбытием
по
двум
причинам
для
бессрочного
страхования
на
случай
смерти
равна
резерву
в
соответствующей
модели
выбытия
по
одной
причине,
то
премия
и
резервы,
рассчитанные
на
основе
модели
выбытия
по
двум
причинам,
равны
премии
и
резерву
в
модели
выбытия
по
одной
причине.
Этот
результат
не
используется
непосредственно
в
практических
задачах
определения
размера
сохраненных
выплат
при
досрочном
прекращении
дей
ствия
договора.
Тем
не
менее
это
подсказывает
основную
идею,
как
минимизировать
влияние
выплат
в
случае
досрочного
прекращения
действия
договора на размер
пре
мии
и
резервов
(определяемых
в
модели
выбытия
по
одной
причине).
Эти
идеи будут
обсуждаться
в
гл.
16.
Материал
настоящего
раздела
тесно
связан
с
примером
6.6.2,
в
котором
пока
зано,
что
если
выплата
на
случай
смерти
в
течение
периода
выплаты
премий
для
отсроченного
бессрочного
аннуитета
равна
накопленным
премиям,
то
премия
не
за
висит
от
предположений
о
смертности
в
течение
периода
отсрочки.
Это
наблюдение
используется
в
при
мере
11.4.1.
Пример
11.4.1.
Непрерывный
аннуитет
для
лица
(х)
обеспечивает
годовой
до
ход
размера
1
с
возраста
х
+n
лет.
Выплата
на
случай
смерти
(причина
выбытия
J = 1)
или
выкупная
сумма
в
случае
досрочного
прекращения
действия
договора
в
течение
n-летнего
периода
отсрочки
(причина
выбытия
J = 2),
выплачиваемая
в
момент
выбытия,
равна
накопленным
нетто-премиям
с
учетом
процента,
начис
ляемого
по
той
же
процентной
ставке,
которая
используется
при
расчете
премии.
Премии
выплачиваются
непрерывно
с
возраста
х
до
возраста
х
+n
или
до
момента
выбытия,
если
оно
произойдет
раньше
достижения
возраста
х
+
n.
Предполагается,
что
после
начала
выплаты
аннуитета
выбытия
по
причине
2
не
происходит.
(а)
Выпишем
случайную
величину
потерь.
(Ь)
Определим
величину
ежегодной
нетто-премии
1г
с
использованием
принципа
эквивалентности.
(с)
Определим
нетто-резервы
в
момент
времени
t,
О
~
t
~
n.
Решение.
(а)
L =
{7r~~SТl
-
7rii!,'
о
~
т
~
n,
J =1,2,
V sT_nl -
1Гащ,
Т
>
n,
J =
1.
(Ь)
Используя
принцип
эквивалентности,
получим
Е[
L]
={'"
(v
n
a'-nl -
1ra
rn
)
'P~T)
JL~l)
(t) dt.
Это
дает
n
(Т)-
-
(Т)
V
nРх а
х
+
n
=
1Гащ
nРх
и
n-
-
V
а
х
+
n
а
х
+
n
7r=--~-
llщ
312
Гл.
11.
Приложения
теории
выбытия
по
нескольким
причинам
(с)
Резерв
в
момент
времени
t, t
~
n,
рассчитанный
по
перспективной
формуле,
определяется
так:
[n-t(
э-
_)
(Т)
(T)(t ) d
}
о
1ГV
St+sl
-
1raSl
sPx+t
JL
x
+S S
+
(СО
(vn-tаs_(n_t)I-1Гаn_tl)
sp~1t
JL~l)(t
+
s)
ds
}n-t
_ -
(1
(Т)
) + - -
(Т)
_ -
-
1ГВn
-
n-tРх+t
n-tlax+t
-
1Гаn-tln-tРх+t
-
1rSn·
Упрощение
последнего
слагаемого
происходит
за
счет
определения
величины
1г
из
п. (Ь).
Можно
считать,
что
нетто-премии и
нетто-резервы
в
течение
периода
отсрочки
рассчитаны
в
модели
с
отсутствием
выбытия.
...
11.5.
Расчеты
в
пенсионных
схемах
Для
определения
актуарных настоящих
стоимостей
выплат
из
пенсионных
схем
и
взносов
для
их
обеспечения
необходимы
два
ряда
предположений.
Один
из
них
можно
назвать
набором
демографических
предположений
(таблицы
выбытия
из
со
вокупности
работающих
и
функции
дожития
для
лиц,
вышедших
на
пенсию,
утра
тивших
трудоспособность
и,
возможно,
вышедших
из
этой
пенсионной
схемы),
дру
гой
-
это
набор
экономических
предположений
(доход
от
инвестиций
и
динамика
заработной
платы).
11.5.1.
Демографические
предположения
Исходным
пунктом
для
расчета
выплат
из
пенсионной
схемы
является
таблица
выбытия
по
нескольким
причинам
из
совокупности
работающих,
построенная
так,
чтобы
для
совокупности
дожития
участников
в
различные
года
их
трудоспособного
возраста
указывать
следующие
вероятности:
•
увольнения
с
работы,
•
смерти
в
период
трудовой
деятельности,
•
выхода
на
пенсию
вследствие
потери
трудоспособности,
•
выхода
на
пенсию
по
старости.
Эти
вероятности
для
года
между
возрастами х
и
х+
1
обозначаются
через
q1
W
)
,
q1
d
)
,
q~i)
и
q1
r
)
соответственно.
Эти
обозначения
согласуются
с
обозначениями,
исполь
зуемыми
в
гл.
10.
Мы
также
будем
использовать
функцию
дожития
l1
T
)
из
гл.
10,
которая
удовлетворяет
условию
l~~l
=
l~T)
[1
_
(q~w)
+
q~d)
+
q~i)
+
q~r»)]
=
l~T)p~T).
Эту
функцию
можно
использовать
для
вычисления
таких
величин,
как
kP~T);
таким
образом
kp
(T) =
l(T)
/l(T)
х
x+k
х
.
Ее
можно
также
вычислять
непосредственно
с
помощью
рекуррентных
соотноше
ний,
а
именно
(Т)
_
(Т) (Т)
kP
x
-
k-lР
х
Px+k-l'
Интенсивности
выбытия
Б
таблице
выбытия
из
совокупности
работающих
будут
для
большинства
возрастов
непрерывны.
Мы
их
обозначим
через
JL1
w)
(t),
р1
d)
(t),
JL~i)
(t)
11.5.
Расчеты
в
пенсионных
схемах
313
и
J.t~r)
(t).
в
некоторых
возрастах
могут
иметь
место
разрывы.
Чаще
всего
это
проис
ходит
в
возрасте
а,
наиболее
раннем
из
допускаемых
законом
возрастов
выхода
на
пенсию.
Мы,
как
правило,
предполагаем,
что
выбытия
происходят
в
течение
всего
года.
В
первые
годы
трудовой
деятельности
величина
коэффициентов,
отражающих
частоту
случаев
увольнения,
достаточно
высока,
и
выплаты
на
этот
случай могут
назначаться
лишь
в
размере
взносов
участника
с
учетом
накопления
процентов,
ес
ли
вообще
назначаются.
По
прошествии
некоторого
времени,
например,
через
5
лет,
величина
таких
коэффициентов
становится
несколько
меньше
и
уволенный
участ
ник
может
получить
право
на
отсроченную
пенсию.
Если
эти
условия
выполняются,
то
может
возникнуть
необходимость
для
определенного
числа
лет
использовать
се
лекционные
коэффициенты,
отражающие
частоту
увольнений.
Условия
для
выхода
на
пенсию
вследствие
потери
трудоспособности
могут
также
указывать
на
необхо
димость
использования
селекционной
модели.
Математические
модификации
для
исп6льзования
селекционной
модели
сделать
несложно,
а теория,
использующая
се
лекционные
коэффициенты,
более
пригодна
для
практических
приложений.
В
на
стоящей
главе
мы
будем
обозначать
возраст
вступления
в
пенсионную
схему
через
х,
но
больше
никак
не
будем
указывать,
какие
из таблиц,
агрегативные,
селекционные
или
селекционные
и
заключительные,
имеются
в
виду.
Иллюстративная
таблица
выбытия
из
совокупности
работающих
в
приложении
2В
соответствует
вступлению
в
схему
в
возрасте
30
лет
при
наиболее
раннем
из
допускаемых
возрастов
выхода
на
пенсию
а
= 60
и
с
непременным
прекращением
трудовой
деятельности
после
71
года.
Здесь
l~~)
=
О.
Как
было
замечено
ранее,
главными
видами
выплат
из
пенеионных
схем
явля
ются
аннуитеты
тем
лицам,
которые
имеют
на
них
право.
Для
вычисления
разме
ра
аннуитетных
выплат
необходимо
подобрать
подходящие
таблицы
смертности,
в
которых
будет
учитываться,
произошел
выход
на
пенсию
вследствие
потери
трудо
способности,
по
старости
или,
возможно,
в
связи
с
увольнением.
Обозначения
для
соответствующих
стоимостей
аннуитетов
будут
различаться
правым
верхним
ин
дексом.
Аннуитет
с
непрерывными
выплатами
используется
как
удобный
способ
ап
проксимации
фактического
вида
пенсионных
выплат,
которые
обычно
производятся
ежемесячно,
но
для
начальной
и
конечной
выплат
могут
быть
оговорены
специаль
ные
условия.
11.5.2.
Прогнозирование
будущих
пенсионных
выплат
и
взносов
Наиболее
распространенным
видом
пенсионных
схем
являются
такие,
где
размер
пенсионных
выплат
определяется
по
определенной
расчетной
формуле. Такие
схе
мы
называются
схемами
с
устан,овл.ен'Н.wмu
выплатами.
В
некоторых
пенеионных
схемах
выплаты
определяются
как
функции
от
уровня
заработной
платы
в
момент
выхода
на
пенсию
или
за
некоторый
период
перед
этим
моментом.
В
таком
случае
для
определения
размера
выплат
необходимо
оценить
размер
будущей
заработной
платы.
Взносы
вкладчиков
также
часто
являются
долей
от
выплачиваемой
заработ
ной
платы,
так
что
и
здесь
важны
оценки
ее
величины
в
будущем.
Для
получения
таких
оценок
введем
следующие
показатели:
(AS)X+h -
фактическая
годовая
ставка
заработной
платы
участника
схемы
в
возрасте
х
+h
лет,
вступившего
в
нее
в
возрасте
х
лет и
достигшего
возраста
х
+h
лет;
314
Гл.
11.
Приложения
теории
выбытия
по
нескольким
причинам
(11.5.1)
(ES)X+h+t -
прогнозируемая
(оценочная)
годовая
ставка
заработной
платы
в
возрасте
х
+ h + t
лет.
Далее,
предположим,
что
имеется
функция
тарифов
заработной
платы
Ву,
такая,
что
()
(
В)
Bx+h+t
ЕВ
x+h+t
=
А
x+h
8 .
x+h
Функция
тарифов
заработной
платы
Ву
может
отражать
увеличение
заработной
платы
не
только
вследствие
деловых
качеств
и
трудового
стажа
работника,
но
также
и
в
связи
с
инфляцией.
Например,
в
Иллюстративной
таблице
выбытия
из
совокуп
ности
работающих
по
нескольким
причинам
8
у
=(1,06)y-30
sy
,
где
множитель
Sy
от
ражает
рост
заработной
платы
вследствие
деловых
качеств
и
опыта
работника,
а
ко
эффициент
накопления
при
процентной
ставке,
равной
6%,
отражает
долгосрочное
воздействие
инфляции
и
роста
производительности
труда
всех
участников
схемы.
Как
и
для
функции
l~T),
одно
из
значений
функции
Ву
можно
выбрать
произволь
но;
например,
в
Иллюстративной
таблице
выбытия
из
совокупности
работающих
по
нескольким
причинам
величина
830
взята
равной
единице.
Обычно
предполагает
ся,
что
функция
8у
является
ступенчатой,
с
постоянными
значениями
в
пределах
любого
годичного
возрастного
интервала.
Теперь
перейдем
к
проблеме
оценки
размера
выплат
пенсионной
схемы.
С
этой
целью
введем
функцию
R(x,
h, t)
для
обозначения
прогнозируемой
величины
(или
ставки)
ежегодных
пенсионных
выплат,
которые
начинаются
с
возраста
х
+h +t
лет,
для
участника,
вступившего
в
схему
h
лет
назад
в
возрасте
х
лет.
Предполагается,
что
х
и
h
принимают
целые
значения.
Предположим,
что
ставка
пенсионных
вы
плат
остается
постоянной
в
течение
периода
выплат,
так
что,
вычисляя
актуарную
настоящую
стоимость
пенсионных
выплат
в
момент выхода
на
пенсию,
мы
получа
ем
просто
величину
R(x,
h,
t)a~+h+t.
Как
сказано
в
предыдущем
разделе,
правый
верхний
индекс
r
показывает,
что
следует
использовать
таблицу
смертности,
соот
ветствуюrцyю
статистике
для
пенсионеров.
Рассмотрим
теперь
некоторые
наиболее
часто
встречающиеся
типы
функций
R(x,
h,
t)
величины
ежегодных
пенсионных
выплат.
Процедуры
их
оценивания
рас
падаются
на
две
группы.
Во-первых,
имеются
функции,
которые
не
зависят
от
раз
мера
заработной
платы.
Для
других
типов
функций
выплат,
которые
зависят
от
ве
личины
будущей
заработной
платы,
нужно
оценить
будущие
уровни
годового
дохо
да.
Имеются
функции,
которые
зависят
либо
от
ставки
заработной
платы
непосред
ственно
перед
выходом
на
пенсию,
либо
от
средней
заработной
платы
за
последние
несколько
лет
перед
выходом
на
пенсию.
Также
имеются
формулы,
которые
зависят
от
величины
средней
заработной
платы
за
весь
период
работы
на
некоторого
вклад
чика
пенсионной
схемы.
Ниже
при
водятся
примеры
наиболее
часто
встречающихся
типов
формул
для
пенсионных
выплат
с
соответствующими
их
оценками.
(а)
Рассмотрим
ставку
пенсионных
выплат,
которая
является
долей
d
от
ставки
последней
заработной
платы.
Иными
словами,
R(x,
h,
t) = d(EB)X+h+t.
Здесь
мы
оцениваем
последнюю
заработную
плату,
исходя
из
текущей
ставки
заработной
пла
ты
в
возрасте
х
+h
лет
по
формуле
(EB)X+h+t = (AB)x+h(Sx+h+t/SX+h),
так
что
R(x,
h,
t) = d(AS)x+h(Sx+h+t/Sx+h)'
(Ь)
Ставка
выплат,
зависящих
от
сред'Н,его
размера
заработной
nлатЪt
за
по
следние
т
лет,
является
долей
d
от
средней
ставки
заработной
платы
за
последние
т
лет
перед
выходом
на
пенсию.
Проиллюстрируем
это
в
общем
случае
при
т
=
5.
11.5.
Расчеты
в
пенсионных
схемах
315
При
t > 5
оценка
средней
заработной
платы
за
последние
5
лет
будет
задана
фор
мулой
(
AS)
0,5
Sx+h+k-5
+
Sx+h+k-4
+
Sх+h+k-З
+
Sx+h+k-2
+
Sx+h+k-l
+0,5 Sx+h+k
x+h
5S
'
x+h
где
k -
наибольшее
целое
число,
не
превосходящее
t.
Смысл
этого
выражения
состоит
в
том,
что
если
выход
на
пенсию
произой
дет
в
середине
года,
то
заработная
плата
в
этом
году
выплачивается
только
за
полгода.
Общепринятым
обозначением
для
приведенного
выше
среднего
является
5Zx+h+k/
SX+h'
Если
участнику
пенсионной
схемы
осталось
меньше
5
лет
до
выхо
да
на
пенсию,
расчеты
можно
делать
на
основе
фактической,
а не
прогнозируемой
заработной
платы.
Б
приведенных
выше
формулах
не
учитывается
стаж
участника
в
момент
вы
хода
на
пенсию.
Рассмотрим
теперь
три
формулы,
в
которых
выплаты
пропорцио
нальны
стажу
к
моменту
выхода
на
пенсию.
(с)
Рассмотрим
пенсионные
выплаты,
которые
равняются
общему
числу
прора
ботанных
лет,
включая
отработанную
долю
года
выхода
на
пенсию,
умноженному
на
d.
В
этом
случае
R(x,
h,
t) = d(h + t).
Если
учитывается
лишь
полное
число
проработанных
лет,
то
R(x,h,t)
= d(h + k),
где
k -
наибольшее
целое
число,
не
превосходящее
t.
(d)
Рассмотрим
ставку
пенсионных
выплат,
которая
равна
произведению
доли
d
средней
заработной
платы
за
последние
5
лет
и
числа
проработанных
лет
к
моменту
выхода на
пенсию.
В
этом
случае
()
)()
5Zx+h+k
R
х,
h,
t =d(h +t
AS
x+h S '
x+h
где
d -
указанная
доля.
Снова
отметим,
что
если
участнику
осталось
меньше
5
лет
до
выхода
на
пенсию,
то
можно
учитывать
фактическую,
а
не
прогнозируемую
заработную
плату.
(е)
Рассмотрим
ставку
пенсионных
выплат,
которая
представляет
собой
произ
ведение
коэффициента
d,
числа
проработанных
лет,.
и
средней
заработной
платы
за
все
проработанное
время.
Такая
формула
выплат
называется
средней
в'Ыnлатоu
за
все
nрорабоmа'Н'Ное
вре,м,я,
вх:лю'Чае.мое
в
трудовой
стаж.
Это
то
же,
что
опреде
лить
ставку
пенсионных
выплат
как
долю
d
от
совокупной
заработной
платы
лица,
выходящего
на
пенсию,
за
весь
период
его
работы.
Анализ
средних
пенсионных
выплат
за
все
проработанное
время
естественно
распадается
на
две
части:
одна
-
по
уже
проработанному
периоду,
когда
инфор
мация
о
заработной
плате
известна,
другая
-
по
будущему
периоду
работы,
для
которого
нужно
оценить
размер
заработной
платы.
Здесь
в
оценку
пенсионных
вы
плат
включается
размер
заработной
платы,
выплаченной
за
прошлые
годы,
для
всех
участников
пенсионной
схемы, а
не
только
для
тех,
кто
скоро
достигнет
пенсионного
возраста.
Если
обозначить
совокупную
заработную
плату
за
прошлые
годы
участ
ника
в
возрасте
х
+ h
лет
через
(Т
Р
S)x+h,
то
ставка
пенсионных
выплат
по
уже
проработанным
годам
составит
d(T
Р
S)x+h.
Ставка
пенсионных
выплат
на
основе
будущих
лет
работы
задается
формулой
d(AS)x+h
SX+h + SX+h+l +
...
;
Sx+h+k-l
+ O,5S
x
+h+k ,
x+h
316
Гл.
11.
Приложения
теории
выбытия
по
нескольким
причинам
(11.5.3)
где
k -
наибольшее
целое
число,
не
превосходящее
t,
и
предполагается,
что
выходы
на
пенсию
происходят
в
середине
года.
Наконец,
приведем
еще
одну
формулу
для
выплат,
в
которой
компонента,
отно
сящаяся
к
проработанным
годам
участника
с
большим
стажем
к
моменту выхода
на
пенсию
модифицирована.
(f)
Рассмотрим
ставку
пенсионных
выплат,
которая
представляет
собой
произ
ведение
средней
заработной
платы
за
последние
три
года,
умноженную
на
0,02
от
числа
проработанных
лет
к
моменту выхода
на
пенсию
из
числа
первых
30
лет
ра
боты
плюс
0,01
от
числа
лет,
прора60танных
сверх
30
лет,
Т.е.,
согласно
(d),
{
0'02(h
+
t)(АS)Ж+h
ЗZХ+h+k
, h +t
~
30,
R(x
h t) =
SX+h
, , [0,30 +
O,OI(h
+
t)](АS)Ж+h
ЗZ;+h+k,
h +t > 30.
ж+h
11.5.3.
Схемы
с
установленными
выплатами
Теперь
попытаемся
вывести
формулы
для
актуарных
настоящих
стоимостей
та
ких
выплат
и
для
взносов,
которые,
как
ожидается,
обеспечат
необходимые
фи
нансовые
средства
для
этих
выплат.
Сначала
рассмотрим
общий
случай
схемы
с
установленными
выплатами,
а
затем
исследуем
при
меры
с
типичными
структурами
установленных
выплат.
Рассмотрим,
прежде
всего,
вычисление
актуарной
настоящей
стоимости
выплат
пенсии по
старости
и
аппроксимацию
этой
величины.
Предположим,
что
функция
ставки
выплат
-
это
R(x,
h,
t)
и
выплаты
включают
страховой
аннуитет
без
га
рантированного
периода
выплат.
Тогда
можно
записать
интегральное
выражение
актуарной
настоящей
стоимости
пенсионных
выплат
(АНС)
следующим
образом:
Ане
=
i:X-h
v'
tP~1h
I'~r)(h
+
t)R(x,
h, t)a;+h+' dt.
(11.5.2)
Как
и
в
разд.
11.2,
для
практических
расчетов
актуарной
настоящей
стоимости
воспользуемся
аппроксимацией
этого
интеграла.
Для
этого
запишем
Ане
=
f=
vkkP~1h
[
v·
.P~1h+k
I't;J(h
+k +s)R(x, h, k +s)a;+h+k+'
ds.
k=а-ж-h
О
Предполагая,
что
распределение
моментов
выхода
на
пенсию
в
каждом
годичном
возрастном
интервале
равномерно,
можно
переписать
это
выражение
в
виде
00
11
АНС
= L
vkkP~1h
q~1h+k
V
S
R(x,
h,
k +
s)a~+h+k+s
ds.
k=a-x-h
О
Используя
аппроксимацию
формулой
прямоугольников
с
выбором
значения
подын
тегральной
функции
в
середине
отрезка
разбиения,
получим
00
АНС
= L v
k
+
1
/
2
kP~1h
q~1h+kR(x,
h,
k +
1/2)a~+h+k+l/2'
k=a-x-h
Формула
(11.5.3)
дает
общий
метод
расчета
актуарных настоящих
стоимостей
пенси
онных
выплат
при
выходе
на
пенсию
по
старости
и
при
соответствующем
обобщении
для
других
выплат
пенсионной
схемы.
11.5.
Расчеты
в
пенсионных
схемах
317
Теперь
дадим
пример,
демонстрирующий
различные
типы
расчетов,
которые
можно
использовать
при
вычислении
разных
видов
выплат
гипотетической
пенси
анной
схемы
с
установленными
выплатами.
Пример
11.5.1.
Найдем
актуарные настоящие
стоимости
следующих
пенсион
ных
выплат
для
участника,
присоединившегося
к
схеме
3
года
назад
в
возрасте
30
лет
и
получающего
сейчас
заработную
плату
в
размере
45000:
(а)
Выплаты
пенсии
участнику
схемы,
начиная
с
возраста
65
лет
или
с
момента,
когда
сумма
достигнутого
возраста
и
стажа
превзойдет
90
лет.
Выплаты
осуществля
ются
в
форме
ежемесячного
страхового
аннуитета
с
гарантированным
периодом
вы
плат
10
лет
с
годовой
ставкой,
равной
0,02
от
величины
средней
заработной
платы
за
последние
5
лет,
умноженной
на
общее
число
проработанных
лет,
включая
часть
последнего
года
работы.
(Ь)
Выплаты
пенсии
участнику,
имеющему
не
менее
5
лет
стажа
в
момент
уволь
нения.
Размер
и
формула
ставки
пенсионных
выплат
такие
же,
как
и
для
пенсии
по
старости.
Однако
начальные
выплаты
пенеионного аннуитета
отсрочены
до
наибо
лее
ранней
даты
выхода
на
пенсию
по
старости,
если
участник
продолжает
работать.
(с)
Выплаты
пенсий
нетрудоспособным
участникам,
которые
слишком
молоды
ДЛЯ
получения
пенсии
по
старости.
Ставка
пенеионных
выплат
-
большее
из
50%
и
ДОЛИ,
рассчитанной
на
основе
количества
проработанных
лет,
исходя
из
средней
заработной
платы
за
последние
5
лет.
Выплаты
образуют
страховой
аннуитет
с
га
рантированным
сроком
выплат
10
лет.
(d)
Единовременная
выплата
выгодоприобретателям
тех
участников,
которые
умерли
в
период
трудовой
деятельности,
равная
двукратной
ставке
заработной
пла
те
на
момент
смерти.
Решение.
Участник
присоединился
к
пенеионной
схеме
в
возрасте
30
лет
и,
следовательно,
получает
право
на
выход
на
пенсию
в
возрасте
60
лет
(60+
(60-30)
=
90).
Предположим,
что
выход
на
пенсию
произойдет
в
середине
года.
Тогда
ставка
пенсионных
выплат
задается
формулой
0,02(h +
t)(АS)ж+h
5
Z
ж+h+k
= 0,02(3 + k +
0,5)(45000)5
Z
30+З+k
sж+h
830+3
при
выходе
на
пенсию
в
году,
следующем
за
годом,
когда
участнику
исполняется
33
+ k
лет.
Актуарную
настоящую
стоимость
выплат
пенсии
по
старости
можно
аппроксимировать
выражением
00
АНС
- 900
'""
k+l/2
(Т)
(r)
(3
5 +k) 5
Z
30+3+k
-_r
__
-=
-
L...J
v
kРзо+з
Q30+3+k'
S
а3З+k+l/2:IOl'
k=27
30+3
Выплаты
при
увольнении
производятся
в
том
случае,
если
оно
произошло
между
возрастами
35
и
60
лет.
После
достижения
возраста
60
лет
увольнения
рассматри
ваются
как
выход
на
пенсию.
Ставка
выплат
вновь
задается
формулой
0,02(h +
t)(АS)Ж+h
5
Z
;+h+k
= 0,02(3 + k + 0,5)(45000)
5~O+3+k
.
x+h
30+3
318
Гл.
11.
Приложения
теории
выбытия
по
нескольким
причинам
Для
увольнения
в
возрасте
от
35
до
37
лет
используется
фактическая
заработная
плата,
а
не
функция
Z.
Актуарная
настоящая
стоимость
выплат
на
случай
уволь
нения
аппроксимируется
выражением
26
АНС
~
k+l/2
(Т)
(ш)
( k)
SZ30+3+k
-ш
= 900
L...J
v
kРзо+з
Q30+3+k
3,5 + S 27-k-l/2Ia33+k+l/2:I01'
k=2
30+3
Для
пенсии по
потере
трудоспособности
функция
ставки
выплат
различается
в
зависимости
от
того,
проработал
участник
25
лет
до
потери
трудоспособности
или
нет.
Поэтому
ставка
выплат
равна
O,5(AS)X+h 5
Z
x+h+k
= 0,5(45000)
5
Z
ЗО+З+k
для
О
~
k
~
21
SX+h
830+3
и
0,02(h +
t)(A8)x+h
5
Z
x+h+k
= 0,02(3 +k +0,5)(45000) 5
Z
30+3+k
для
22
~
k
~
26.
8
x
+h
830+3
Итак,
актуарная
настоящая
стоимость
выплат
по
потере
трудоспособности
аппрок
симируется
величиной
21
АНС
-
22
500
~
v
k
+
1
/
2
(Т)
(i)
5
Z
30+3+k
(i.;,...i
__
----::=
-
L...J
kРзо+з
qЗО+З+k
S
ЗЗ+k+1/2:IOl
k=O
30+3
26
+ 900
~
k+l/2
(Т)
(i)
5
Z
ЗО+З+k
(3
5 +
k)
-..:..i
__
----::=
L...J
V
kРзо+з
Q30+З+k
8 '
аЗЗ+k+1/2:I01"
k=22
30+З
ДЛЯ
выплаты
на
случай смерти
прогнозируемая
единовременная
выплата
рав
няется
2(A8)X+h 8
x
+h+k
= 2(45000)
8
3О
+
З
+
k
"
Sx+h
8
зо
+
з
Таким
образом,
актуарная
настоящая
стоимость
выплат
на
случай
смерти
аппрок
симируется
выражением
АНС
-
90
000 ~ k+l/2
(Т)
(d)
8
ЗО
+
З
+
k
-
L..J
V
kРзо+з
QЗО+З+k
S "
k=O
ЗО+З
Существует
много
методов
оценки
финансирования
пенсионных
схем,
которые
позволяют
гарантировать
адекватность
взносов
в
схему
обязательствам
схемы.
Об
зор
этих
методов
представлен
в
гл.
20.
11.5.4.
Схемы
с
установленными
взносами
Основными
выплатами
пенсионной
схемы
обычно
являются
отсроченные
анну
итеты
пенсий по
старости.
В
схемах
с
установлен/ними
взносами
актуарная
настоя
щая
стоимость
рассчитывается
как
сумма
накопленных
с
учетом
процента
взносов,
сделанных
участником
или
вкладчиком
для
данного
участника,
а
выплаты
пред
ставляют
собой
аннуитет,
который
можно
приобрести
на
эти
накопленные
взносы.
Накопленная
сумма
обычно
выплачивается
в
случае
смерти
и,
при
определенных
условиях,
при
увольнении
до
выхода
на
пенсию.
Мы
исследуем
связь
между
став
ками
взносов
и
выплат
участнику
в
следующем
примере.
Величина
установленных
взносов
может
быть
определена,
исходя
из
размера
пенсии,
которую
хочет
получать
11.5.
Расчеты
в
пенсионных
схемах
319
(11.5.4)
(11.5.5)
участник.
Риск,
связанный
с
тем,
что
достичь
этого
уровня
пенсии
не
удастся,
ле
жит
на
участнике
схемы,
а
не
на
вкладчике.
Разумеется,
вкладчик
может
уменьшать
сумму
своих
взносов
в
соответствии
со
своими
бюджетными
возможностями.
Пример
11.5.2.
Найдем
ставку
взносов
вкладчика
для
обеспечения
пенсии
по
старости
с
возраста
65
лет
в
виде
страхового
аннуитета
с
гарантированным
периодом
выплат
10
лет
и
с
начальной
ставкой
выплат
в
размере
50%
от
средней
заработной
платы
за
5
лет
работы
между
возрастами
60
и
65
лет.
Ставка
взносов,
которая
уста
навливается
как
доля
от
заработной
платы,
рассчитывается
для
нового
участника
в
возрасте
30
лет.
Предположим,
что
не
оговариваются
выплаты
на
случай
увольнения
в
течение
первых
5
лет,
но по
истечени:u:
этого
срока
накопленные
взносы
зачисля
ются
на
ЛИЧНЫЙ
пенсионный
счет
участника,
с
которого
в
случае
увольнения
будет
выплачиваться
пенсионный
аннуитет,
но
не
ранее,
чем
с
возраста
60
лет.
(Участник,
утративший
трудоспособность,
рассматривается
как
уволившийся
и
обеспечивает
ся
страховым
покрытием
на
случай потери
трудоспособности
ИЗ
других
источников
вплоть
до
достижения
им
возраста
65
лет,
когда
начинается
выплата
обычной
пенсии
по
старости.)
В
случае
смерти
накопл~нные
взносы выплачиваются,
если
завершился
начальный
5-летний
наКОПИ1'ельный
период,
но
не
начиналась
выплата
пенсии.
Решение.
В
течение
первых
q
лет
наша
модель
учитывает
как
выбытие
по
при
чине
смерти,
так
и
по
причине
увольнения.
Структура
выплат
после
этого
5-летнего
периода
аналогична
структуре
выплат
в
примере
11.4.1.
Таким
образом,
для
пери
ода
после
этих
5
лет
и
до
достижения
участником
возраста
65
лет используется
модель
с
отсутствием
выбытия.
Начнем
с
расчета
актуарной
настоящей
стоимости
ставки
взносов,
равной
го
довой
ставке
заработной
платы,
которая
для
удобства
предполагается
равной
1
в
возрасте
30
лет,
умноженной
на
коэффициент
с,
Ане
-
[~
k+1/2
8
ЗО
+k
(Т)
(1
_!
(Т)
) +
(Т)
~
k+1/2
8
ЗО
+
k
]
-
с
L....J
v 8
kРзо
2
qЗО+k
БРЗ0
L....J
v 8 .
k=O
зо
k=5
зо
В
формулу
(11.5.4)
заложено
предположение,
что
взносы
осуществляются
в
середине
года,
а
прогнозируемая
ставка
заработной
платы
в
возрасте
30 +k
лет
составляет
величину
830+k/8зо,
умноженную
на
начальную
ставку
в
возрасте
зо
лет,
т.
е.
1.
Для
k =
о,
...
,4
необходимо
дожитие
до
момента
времени
k +(1/2).
Поскольку
по
прошествии
5
лет
случаи
выбытия
не
рассматриваются,
для
k = 5,
...
,34
необходимо
лишь
не
выбыть
в
течение
этих
5
лет.
В
качестве
первого
шага
оценки актуарной
настоящей
стоимости
планируемых
пенсионных
выплат
оценим
)f
..
ела'l'ельную
ставку
выплат
в
возрасте
65
лет.
Прогно
зируемая
средняя
заработная
плата
между
возрастами
60
и
65
лет
равна
(860
+
В
61
+
862
+
863
+864)/(5830).
Желательная
ставка
выплат
будет
ПОЛОВИНОЙ
от
нее,
и
актуарная
настоящая
стоимость
планируемых
.выплат
задается
формулой
АНС
=
(T)v
35
(O
5)860 +
861
+
862
+
863
+
864
a_r_.
SРЗО'
5830
65:IOl
В
этом
выражении
требуется
не
выбыть
только
до
истечения
5
лет,
но
дисконтиро
вание
при
учете
процентов
должно
проводиться
из
расчета
всех
35
лет.
Теперь
приравняем
две
полученные
актуарные
настоящие
стоимости,
чтобы
по
лучить
уравнение
относительно
с,
коэффициента
взносов
вкладчика,
КОТОрЫЙ
при-
320
Гл.
11.
Приложения
теории
выбытия
по
нескольким
причинам
(11.6.1)
меняется
ко
всей
будущей
заработной
плате
и
должен
обеспечить
желательный
раз
мер
пенеии.
Т
В
некоторых
схемах
этого
типа
предполагают
взносы
как
со
стороны
вкладчика,
так
и
со
стороны
участника.
Обычно
при
этом
устанавливается
некоторое
соотно
шение
междУ
размерами
взносов
вкладчика
и
взносов
участника.
11.6.
Выплаты
на
случай
ПQтери
трудоспособности
по
индивидуальным
договорам
страхования
жизни
В
разд.
11.5.3
мы
обсуждали
выплаты
на
случай потери
трудоспособности,
вклю
ченные
в
пенеионную
схему.
Теперь
вернемся к
выплатам
на
случай
потери
трудо
способности
по
индивидуальным
договорам
страхования
жизни.
В
договор
может
быть
включено
условие
освобождения
от
выплаты
премий
в
течение
периода
потери
трудоспособности.
С
другой
стороны,
в
договоре
может
содержаться
положение
о
ежемесячных
выплатах
(иногда
связанных
со
страховой
суммой),
если
произошла
потеря
трудоспособности.
Для
изучения
обязательств,
связанных
с
такими
услови
ями,
удобна
модель
выбытия
по
нескольким
причинам.
Обычный
пункт
договора,
касающийся
потери
трудоспособности,
обеспечива
ет
выплаты
в
случае
полной
потери
трудоспособности.
Определение
полной
поте
ри
трудоспособности
может
предполагать
высокую
степень
нетрудоспособности,
не
позволяющую
выполнять
никакую
работу
с
удовлетворительным
уровнем
оплаты,
или
невозможность
выполнять
свои
профессиональные
обязанности.
Полная
утра
та
трудоспособности,
которая
продолжается
в
течение
некоторого
периода
време
ни,
определенного
в
договоре
и
называемого периодом
ожидания
или
иС1Слю'Чен'Uя,
обеспечивает
страхователю
право
на
получение
выплат.
Период
ожидания
может
составлять
1, 3, 6
или
12
месяцев.
По
договорам
с
освобождением
от
уплаты
пре
мий
принято
придавать
выплатам
обратную
силу,
т.
е.
возвращать
страхователю
все
премии,
полученные
от
него
в
течение
периода
ожидания.
Покрытие
предусматрива
ется
только
для
потери
трудоспособности,
которая
наступила
до
возраста
окончания
действия
обязательств
на
случай
потери
трудоспособности.
Обычно
это
60
или
65
лет.
Однако
выплаты
в
форме
аннуитета
(как
по
договору
с
выплатами
в
период
нетрудоспособности,
так
и
по
договору
с
освобождением
от
уплаты
премий)
часто
продолжаются
и
далее,
как
правило,
до
момента
прекращения
действия
договора
страхования
жизни
или
до
момента
прекращения
выплаты
премиЙ.
11.6.1.
Выплаты
на случай потери
трудоспособности
Начнем
с
выражения
для
актуарной
настоящей
стоимости
выплат
на
случай
потери
трудоспособности
в
размере
1000
в
месяц
по
договору
с
лицом
(х)
на
срок
до
исполнения
ему
у
лет и
производящихся
до
достижения
этим
лицом
возраста
и
лет.
Предположим,
что
период
ожидания
продолжается
т
месяцев.
Используя
обозначения
из
гл.
10
и
предыдущих
разделов
гл.
11,
можно
выразить
эту
актуарную
настоящую
стоимость
в
виде определенного
интеграла:
l
у
-
х
А
- t
(Т)
(i)(t)
т/12
(i)
(12000
..
(12)i ) d
-
о
V
tP
x
Рх
V
т/12P[x+t]
a[x+t]+т/12:u-x-t-m/121
t.
Верхний
индекс
i
в
выражении
т/
12P
l
x
+t]
указывает,
что
вероятность
дожития
отно
сится
к
нетрудоспособному
лицу.
Разобьем
этот
интеграл
на
отдельные
интегралы