Бауэрс Н., Гербер Х., Джанс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика
Подождите немного. Документ загружается.
10.2.
Две
случайные
величины
281
Теперь
сделаем
замену
переменных
z = (t +
1)/10
и
получим
1
100
-z2/2
1
fJ(2)
= -
eo,005~
е
dz
= -
eo,005~[1
-
Ф(О,l»)
=0,1159.
10
0,1
~
10
Следовательно,
fJ(l)
= 0,8841.
Наконец,
функция
вероятностей
С.в.
J
при
условии
выбытия
в
момент
времени
t
получается
из
формулы
(10.2.15):
t 1
fJIT(1I
t
)=t+1'
fJIT(2I
t
)=t+l'
~
Пример
10.2.2.
Для
совместного
распределения
С.в.
Т
и
J,
приведенного
в
примере
10.2.1,
подсчитаем
Е{Т]
и
E{TI
J=2).
Решение.
Используя
маргинальную
функцию
плотности
fT(t),
имеем
{ОО
t+1
(t
2
+
2t)
Е[Т]
=
Jo
t 100
ехр
- 200 dt.
Интегрируя
по
частям,
как
в
(3.5.1),
получим
Е[Т]
=
-texp
( - t
2
2
;o2t)
~
+
100
ехр
( - t
2
2
;o2t)
dt =
0+
100fA2).
Следовательно,
Е{Т]
= 11,59.
Используя
функцию
плотности
условного
распределения
fT,J(t,
2)/
fJ(2),
приходим
к
равенству
{ОО
1
(t
2
+
2t)
1
Е[Т
IJ =
2)
=
Jo
t 100
ехр
- 200 0,1159 dt.
Этот
интеграл
можно
вычислить
следующим
образом:
1
{ОО
t +1
(t
2
+
2t)
E[TI
J=2)
=
Е[(Т
+
1)
-11
J=2]
= 0,1159
Jo
100
ехр
- 200
dt-1
1
(t
2
+
2t)
00
= - 0,1159
ехр
- 200
о
- 1 = 7,63.
Суть
примеров
10.2.1
и
10.2.2
состоит
в
том,
что,
раз
определено
совместное
рас
пределение
С.в.
Т
И
J,
можно
найти
маргинальные
и
условные
распределения
и
вычислить
моменты
этих
распределений.
~
В
некоторых примерах
конкретные
приложения
могут
потребовать
модифика
ции
приведенной
выше
модели.
Непрерывное
распределение
с.в.
Т,
времени
до
мо
мента
выбытия,
не
подходит
для
тех
приложений,
для
которых
вероятность
выбы
тия
в
некоторый
момент
времени
положительна.
Одним
таким
примером
является
пенсионная
схема
с
обязательным
возрастом
выхода
на
пенеию,
т.
е.
возрастом,
в
котором
все
еще
работающие
лица
обязаны
выйти
на
пенеию.
Вторым
примером
является
срочный
договор
страхования
жизни,
в
котором,
как
правило,
выплаты
в
случае
досрочного
прекращения
действия
договора
не
производятся.
В
этом
слу
чае,
после
того,
как
премия
выплачена,
никто
из
доживших
страхователей
не
станет
прерывать
договор
до
тех
пор,
пока
не
наступит
дата
следующей
выплаты
премиЙ.
Здесь
мы
не
будем
пытаться
обобщить
обозначения,
чтобы
включить
в
рассмотре
ние
такие
ситуации.
Тем
не
менее,
в
дальнейшем
мы
опишем
модели,
пригодные
для
этих
примеров.
282
Гл.
10.
Модели
выбытия
по
нескольким
причинам
(10.2.17)
(10.2.18)
(10.2.19)
Случайная
величина
К,
пошаговое
время
до
момента
выбытия
лица
(х),
опре
деляется,
как
и
в
гл.
3,
т.
е.
как
наибольшее
целое
число,
меньшее
Т.
Используя
формулы
(10.2.1)
и
(10.2.11),
мы
можем
записать
совместное
распределение
с.в.
К
и
J
как
r
k
+
1
Р[(К
=:: k) n
(J
=
j)]
=
P[(k
<
Т
~
k +
1)
n
(J
=
j)]
=Jk
tP~T)
J1-~)
(t) dt.
Переписав
tP~T)
В
подынтегральном
выражении
в
экспоненциальной
форме,
согласно
(10.2.9),
и
разбив
его
на
два
сомножителя,
приведем
правую
часть
формулы
(10.2.17)
к
виду
kP1
r
)
l
k
+
1
ехр
[-
[1t1
r
)(u) dU]It}!)(t) dt.
Сделав
в
ней
замену
переменных
r =
и
- k
и
s =t - k,
получим
kP~r)
11
ехр
[
-1'
It~r)(k
+
Т)
dr]
It}!)(k +s) ds.
До
сих
пор
мы
проводили
преобразования,
которые
справедливы
для
всех
типов
таблиц.
Если
мы
используем
агрегативную
или
заключительную
(не
селекционную)
таблицу,
где
интенсивности
выбытия
зависят
от
исходного
возраста
и
от
продол
жительности
рассматриваемого
периода
только
через
сумму
этих
величин,
т.
е.
от
достигнутого
возраста,
то
для
т и
всех
j
имеет
место
равенство
J1-ж(k+s)
=
J1-Ж+k(S)
при
всех
х,
k
и
s
~
О,
а
формула
(10.2.17)
может
быть
переписана
в
виде
Р
(Т)
11
р(Т)
II(Л
(8)
ds =
р.
(T)q(j)
k
ж
s
ж+k
"-ж+k
k
ж
ж+k'
О
Вероятность
выбытия
по
всем
причинам
между
возрастами
х
+k
и
х
+ k + 1
при
условии
дожития
до
возраста
х
+ k
обозначается
через
q~1k'
и,
следовательно,
1
11
т
т
(Т)
f
(Т) (Т)
( ) d
(Т)
""
(j)
( ) d
""
(j)
qж+k
=
Jo
SРж+k
J1-
ж
+k
8 s =
SРж+k
L.J
J1-
ж
+k
S 8 =L.J qx+k'
О
О
j=1
j=1
Анализ
формул
(10.2.18)
и
(10.2.19)
показывает,
почему
теория
выбытия
по
не
скольким
причинам
также
называется
теорией
конкурирующих
рисков.
Вероятность
выбытия
по
причине
j
между
возрастами
x+k
и
x+k+1
зависит
от
sP~1k'
О
:Е;
s
:Е;
1,
и,
таким
образом,
от
всех
компонент
интенсивностей
выбытия.
Если
интенсивности
выбытия
для
всех
других
причин
возрастают,
вероятность
SP~1k
уменьшается
и,
следовательно,
вероятность
q~~k
также
уменьшается.
10.3.
Совокупность
случайного
дожития
Рассмотрим
совокупность
I~T)
лиц
возраста
а
лет.
Предполагается,
что
распре
деление
времени
до
момента
выбытия
и
причины
выбытия
для
каждого
лица
задано
функцией
fr,J(t,j)
=
tpi
T
)J1-';j)
(t), t
~
О,
j =1,2,
...
,т.
Обозначим
через
n
v~j)
случайную
величину,
равную
числу
лиц,
которые
покидают
совокупность
по
причине
j
между
возрастами
х
и
х
+
n,
х
~
а.
Обозначим
E[nVV)j
10.3.
Совокупность
случайного
дожития
через
nd<j)
и
получим
равенство
283
(10.3.1а)
(10.3.2)
(10.З.1Ь)
Как
обычно,
если
n = 1,
нижний
левый
индекс
в
nV<j)
И
nd~)
опускается.
Заметим,
что
т
V(
Т)
=
'"
V(j)
n
х
L-in
х
,
j=l
и
положим
m
nd~T)
=
E[nV~T)]
=L
nd~j).
j=l
Тогда,
используя
формулу
(10.3.1а),
получаем
т
[х+n-а
[х+n-а
nd~T)
=
li
T
)
~
J.-a
tpi
T
)
/l~)
(t) dt =
li
T
)
J.-a
tpi
r
)
/li
r
)
(t) dt.
Если
определить
.с(Т)(х)
как
случайную
величину,
равную
числу
доживших
до
воз
раста
х
из
li,T)
лиц
в
первоначальной
совокупности
лиц
возраста
а
лет,
то
по
анало
гии
с
формулой
(3.3.1)
можем
записать
li
T
)
=
Е[.с(т)
(х)]
=
zi
T
)
x_ap~T).
(10.3.3)
Интеграл
в
(10.3.1а)
для
случая
n;:::: 1
совпадает
с
интегралом
из
(10.2.17)
при
х
=
а
и
k =
х
-
а.
Таким
образом,
для
неселекционной
таблицы
из
соотношения
(10.2.18)
следует,
что
d
(j)
=
l(T)
p(T)q(j)
=
l(T)q(j)
(1034)
х а
х-а
а
х
х
х·
..
Этот
результат
дает
нам
возможность
связать
таблицу
значений
p~T)
И
q~j)
И
со
ответствуюrцyю
таблицу
значений
l~T)
и
d~).
Каждая
из
этих
таблиц
называется
таблuцей
выбъtтu.я
по
нес7СОЛЫСUМ
nрu'Ч.uна.м..
Пример
10.3.1.
Построим
таблицу
значений
величин
l~7")
и
i;/),
соответствую
щую
вероятностям
выбытия,
приведенным
ниже:
х
(1)
(2)
qж
qж
65
0,02 0,05
66
0,03 0,06
67 0,04 0,07
68 0,05 0,08
69 0,06 0,09
70
0,00 1,00
Хотя
эта
таблица
взята
для
простоты
расчета,
ее
можно
считать
грубым
приближе
нием
ситуации
с
двумя
причинами
выбытия,
первая
-
смерть,
вторая
-
выход
на
пенсию.
Ясно,
что
в
этом
случае
70
лет
-
возраст
обязательного
выхода
на
пенсию.
Решение.
Произвольным
образом
придадим
величине
l~~)
значение
1000
и
ис
пользуем
формулу
(10.3.4),
как
показано
ниже.
284
Гл.
10.
Модели
выбытия
по
нескольким
причинам
х
q1
1
)
q~2)
q1
T
)
p~T)
I~T)
=
l~~1
p~T~1
d~1)
=
I~T)q~1)
d~2)
=
I~T)q12)
65
0,02 0,05 0,07 0,93 1000,00 20,00 50,00
66
0,03 0,06 0,09 0,91 930,00 27,90 55,80
67 0,04 0,07 0,11 0,89 846,30 33,85 59,24
68
0,05 0,08 0,13 0,87 753,21 37,66 60,26
69
0,06 0,09 0,15 0,85 655,29 39,32 58,98
70
0,00 1,00 1,00 0,00 557,00 0,00 557,00
Заметим
в
качестве
проверки
расчетов,
что
1~11
=
I~T}
-
d~l}
-
d~2)
С
точностью
до
ошибки
округления.
Применяя
элементарные
факты,
продолжим
этот
пример
вычислением
некото
рых
вероятностей:
2P~~)
=
p~~)p~~)
= (0,93)(0,91) =0,8463,
2Iq~~)
=
p~~)p~;)q~~)
= (0,91)(0,89)(0,05)
:;
0,0405,
(2) (2)
(Т)
(2)
О
07
(О
89)( ) 4
2q67
=
q67
+
Р67
q68
= , + , 0,08 = 0,1 12.
_ 59,24
+60,26 =
О
1412
84630
,.
,
(Т)
_
l~~)
846,30 _ 4
2Р65
-
(Т)
- 100000 - 0,8 63,
165 '
(1)
(1) _
d
68
_
37,66 - 4
21q66 -
(Т)
-
93000
- 0,0 05,
166 '
(2) (2)
(2) _ d
67
+d
68
2q67
-
(Т)
[67
Последние
три
столбца
приведенной
выше
таблицы
могут
быть
использованы
для
получения
тех
же
вероятностей.
Ответы
совпадают
с
точностью
до
четвертого
де
сятичного
знака,
10.4.
Совокупность
детерминированного
дожития
Общую
интенсивность
выбытия
можно
также
рассматривать
как
общий
(эф
фективный
годовой)
коэффициент
выбытия,
а
не
только
как
плотность
условного
распределения.
С
этой
точки
зрения,
когда
рассматривается
непрерывная
демогра-
фическая
модель
1),
совокупность
[i
T
)
лиц
изменяется
с
течением
времени
с
детер
минированной
интенсивностью
выбытия
J.t~T)
(у
-
а),
у
;?:
а.
Число
доживших
до
возраста
х
из
начальной
совокупности,
состоящей
из
li
T
)
лиц
возраста
а
лет,
зада
ется
формулой
I~T)
=
I!,T)
ехр
[ - [
р!,Т)
(у
-
а)
d
Y
], (10.4.1)
а
общее
число
выбывших
между
возрастами
х
и х
+1
составит
d~T)
=
I~T)
-1~11
=
I~T)
(1
-
11~?)1
) =
I~T){
1 -
ехр
[ _
[+1
р!,Т)
(У
-
а)
d
Y
]}
=
[~T)
[1
-
p~T)]
=
[~T}
q1
T
}.
(10.4.2)
1)
См..
гл.
19. -
Прu.,м.
ред.
10.4.
Совокупность
детерминированного
дожития
285
Далее,
по
определению
или
с
помощью
дифференцирования
равенства
(10.4.1)
имеем
1
dl(')
J.ti')(x -
а)
=
--с
)
_ж_.
(10.4.3)
1
ж
'
dx
(10.4.6)
(10.4.4)
(10.4.5)
по
причине
J
т
l~')
=
Ll~j).
j=1
Мы
можем
теперь
определить
интенсивность
выбытия
в
возрасте
х
формулой
l(j)
-
l(j)
J.t(j)
(х
-
а)
=
Нт
ж
Ж+h,
о
h-+O
hl~')
где
в
знаменателе
стоит
l~'),
а
не
l~).
Это
дает
. 1
dl~j)
J.t(J)(x
-
а)
=
--
-.
о
l~')
dx
Из
формул
(10.4.3)-(10.4.5)
следует,
что
1 d m т
II(')(Х
-
а)
=
--
-
'"
l(j)
=
'"
Н(Л(Х
-
а).
ro
l(')
dx
LJ
ж
LJ'-o
ж
j=1
j=1
Заменив
в
формуле
(10.4.5)
переменную
х
на
у,
придем
к
равенству
-dl~)
=
11')
Il~!>
(у
-
а)
dy
Эти
формулы
аналогичны
формулам,
использованным
для
таблиц
смертности
в
разд.
3.4.
Здесь
q~')
является
эффективным
годовым
коэффициентом
выбытия
по
всем
причинам
между
возрастами х
и
х
+1,
соответствующим
интенсивности
вы-
бытия
J.ti')
(у
-
а),
х
~
у
<
х
+
1.
Рассмотрим
теперь
т
причин
выбытия
и
предположим,
что
1~')
доживших
до
возраста
х
лет
все
выбудут
исключительно
по
этим
т
причинам.
Тогда
можно
себе
представить,
что
эти
l~')
лиц
разбиты
на
подгруппы
по
l~j)
лиц,
j = 1,2,
...
,
т,
где
l~)
означает
число
тех
членов
первоначальной
группы
из
l~')
лиц,
которые
будут
выбывать
по
причине
j,
так что
(10.4.9)
(10.4.7)
(10.4.8)
и,
проинтегрировав
его
по
у
от
х
до
х
+1,
получим
1
Ж
+
1
l(j} - l(j} =
d(j)
=
1(')
ни)
(у
-
а)
dy
ж
ж+1
ж
У
'-0
•
х
Суммирование
по
j
от
1
до
т
даст
1
Ж
+
1
l(')
-[(,)
=
d(')
=
[(,)
Н(')(У
-
а)
dy
х
ж+1
ж у
'-0
•
ж
Далее,
разделив
формулу
(10.4.7)
на
l~'),
получим
d(j)
1
Ж
+
1
_ж_
=
р(')
Н(Л
(у
-
а)
dy
=
q(Л
(,)
у-ж
ж
'-а
ж
,
lж
ж
где
q<j)
-
доля
тех
лиц
из
числа
l~')
доживших
до
возраста
х,
которые
выбывают
по
причине
j
до
возраста
х
+1,
когда
имеют
место
все
т
причин
выбытия.
286
Гл.
10.
Модели
выбытия
по
нескольким
причинам
(10.5.1)
Как
и
в
случае
таблиц
смертности,
детерминистическая
модель
создает
другой
язык
и
концептуальную
основу
теории
выбытия
по
нескольким
причинам.
10.5.
Сопутствующие
таблицы
выбытия
по
единственной
причине
Для
каждой
причины
выбытия,
рассмотренной
в
модели
выбытия
по
нескольким
причинам,
можно
определить
модель
выбытия
по
единственной
причине,
которая
зависит
лишь
от этой
выбранной
причины
выбытия.
Определим
функции
сопут
ствующих
моделей
с
единственной
nри'Чиной
выбытия
следующим
образом:
<р~(Л
=
ехр
[
-1'
Il~,л
(8)
d8]
,
Такие
величины,
как
tq~(j),
В
биологической
статисти~е
называются
'Чистыми
ве
роятностями
выl'ыыия,'
так
как
они
не
связаны
с
другими
причинами
выбытия.
Однако
эти
величины
имеют
много
других
названий.
Одно
из
них
-
независим,ыu
'Коэффициент
выбытия
-
связано
с
тем,
что
причина
j
не
зависит
от
других
причин
при
вычислении
tq~(j)
.
Мы
будем
использовать
для
tq~(j)
термин
абсолютный
'Коэф
фuциент
выбытия.
Использование
слова
«коэффициент»
при
описании
величины
tq~(j)
происходит
от
желания
избежать
слова
«вероятность»,
чтобы
не
путать
q
и
q'.
Символ
tq1})
означает
вероятность
выбытия
по
причине
j
между
возрастами
х
и
х
+
t,
и
мы
покажем,
что
эта
вероятность
не
совпадает
с
tq~(}).
Кроме
того,
коэф
фициент
tp~j),
В
отличие
от
вероятности
tP~T),
не
обязательно
является
функцией
дожития,
потому
что
она
не
подчинена
условию
liШt-tоо
tp~j)
=
О.
Так
как
['О
J.I~T)
(t) dt =
00,
из
(10.2.14)
мы
можем
лишь
заключить,
что
100
J.I~)
(t) dt =
00
по
крайней
мере
для
одного
j.
Могут
существовать
причины
выбытия,
для
которых
этот
интеграл
конечен.
Мы
редко
сталкиваемся
с
системами
случайного
дожития,
в
которых
имеется
лишь
одна
единственная
причина
выбытия.
В
пенсионной
схеме
для
работающих
выход
на
пенсию,
потеря
трудоспособности
и
увольнение
не
позволяют
рассматри
вать
эту
систему
как
модель,
в
которой
смерть
является
единственной
причиной
выбытия
в
течение
периода
трудоспособности.
В
биологических
приложениях
слу
чайное
выбытие
из
наблюдаемой
совокупности
и
произвольное
окончание
периода
исследования
мешают
считать
смертность
единственной
причиной
выбытия
из
со
вокупности.
Как
мы
увидим
в
разд.
10.6,
обычно
первым
шагом
при
построении
модели
с
несколькими
причинами
выбытия
является
выбор
абсолютных
коэффициентов
вы
бытия
и
принятие
предположений
о
характере
возникновения
выбытий
в
любом
отдельно
взятом
годичном
возрастном
интервале,
для
того
чтобы
получить
веро-
ятности
q1}).
Обратная
задача
определения
абсолютных
коэффициентов
на
основе
10.5.
Сопутствующие
таблицы
выбытия
по
единственной
причине
287
этих
вероятностей
также
включает
в
себя
предположения
о
характере
возникно
вения
выбытий.
Эти
предположения
неявно
отражены
в
статистических
методах
оценивания
абсолютных
коэффициентов
и будут
обсуждаться
в
разд.
10.5.5.
В
следующем
подразделе
мы
проверим
несколько
соотношений
между
табли
цами
выбытия
по
нескольким
причинам
и
сопутствующими
таблицами
выбытия
по
отдельным
причинам.
Затем
мы
рассмотрим
несколько
специальных
предположений
о
характере
возникновения
выбытий
в
течение
годичных
возрастных
интервалов
и
отметим
некоторые
неявные
соотношения.
В
разд.
10.5.5
будут
исследованы
неко
торые
статистические
подходы
к
оценке
распределений
с
выбытием
по нескольким
причинам.
10.5.1.
Основные
соотношения
Сначала
заметим,
что
так
как
'P~T)
=
ехр
{ -
J.'
Ut~l)(s)
+
,,~2)(s)
+... +
,,~m)(s)]
dS},
(10.5.2)
то
m
Р
(7')
=
П
pl(i)
t
х
t z .
i=1
Этот
результат
не
использует
никакой
аппроксимации.
Он
базируется
на
опреде
лении
сопутствующей
таблицы
выбытия
по
единственной
причине,
в
которой
един
ственная
интенсивность
выбытия
равна
интенсивности
выбытия
по
этой
же
причине
в
модели
с
несколькими
причинами
выбытия.
Мы
требуем,
чтобы
этот
факт
имел
место
для
любого
метода
построения
таблиц
выбытия
по
нескольким
причинам
на
основе
набора
абсолютных
коэффициентов
выбытия.
Теперь
сравним
величины
абсолютных
коэффициентов
и
вероятностей.
Из
фор
мулы
(10.5.2)
мы
видим,
что
если
действует
еще
одна
причина
выбытия
помимо
j,
то
tp~j)
~
tP~7').
Из
этого
следует,
что
tp~(j)
J1-~)
(t)
~
tP~7')
J1-~)
(t),
и
если
эти
функции
проинтегрировать
по
t
на
интервале
(О,
1),
то
мы
получим
q~(j)
=
[tp~j)
,,!1)
(t) dt
~
[
'P~T)
,,!1)
(t) dt =
q~j)
. (10.5.3)
Величина
других
интенсивностей
выбытия
может
так
влиять
на
величину
tp~(j)
,
что
она
окажется
значительно
больше,
чем
tP~7'),
и,
таким
образом,
могут
возникнуть
соответствующие
различия
между
абсолютными
коэффициентами
и
вероятностями.
(10.5.4)
10.5.2.
Повозрастные
коэффициенты
выбытия
по
нескольким
причинам
В
модели
выбытия
по
нескольким
причинам
существует
функция,
которая
до
статочно
близка
к
соответствующей
функции
для сопутствующей
модели
выбытия
по
единственной
причине.
Для
того
чтобы
ввести
эту
функцию,
вернемся
к
таблице
смертности
и
вспомним
повозрастной
коэффициент
смертности
в
возрасте
х,
обо
значаемый
через
т
ж
и
определяемый
по
формуле
(3.5.13)
следующим
образом:
Jo
1
tPz
J1-z(t)
dt
J;
lz+t
J1-z(t)
dt
dz
т
ж
=
Jo
1
tPz
dt
= J
0
1
lz+t
dt
L
z
.
288
Гл.
10.
Модели
выбытия
по
нескольким
причинам
Таким
образом,
m
ж
-
взвешенное
среднее
интенсивности
смертности
между
возрас
тами
х и х
+ 1
и
это
говорит
в
пользу
термина
~повозрастной
коэффициент»
1) .
Такие
повозрастные
коэффициенты
могут
быть
определены
в
контексте
выбы
тия
по
нескольким
причинам.
Повозраст'Н,ой
"оэффuцuе'Н,т
6'ЫБЪLтuя
по
всем
nрu
'Чuнам
определяется
по
формуле
(1
(1")
(1")()
d
т
(1")
= Jo
tРж
J.Lж
t t (10 5
5)
ж
г
1
(1")
dt
..
Jo
tРж
и
является
взвешенным
средним
величины
J.L~1")
(t),
о
~
t < 1.
Аналогично,
nовоз
растной
'К;оэффu'Цuен.т
6ЪLбытuя
по
nрu'Чuн.е
j -
это
(1
(Т)
(j)()dt
т(Л
= Jo
tРж
J.Lж
t .
ж
(1
(1")dt '
Jo
tРж
он
является
взвешенным
средним
величины
J.L~)
(t),
о
~
t < 1.
Ясно,
что
(10.5.6)
(10.5.7)
т
т~T)
=
Eт~).
j=l
Соответствующий
повозрастной
коэффициент
выбытия
в
сопутствующей
модели
с
выбытием
по
единственной
причине
задается
формулой
1
1(')
(')
(и)
_ f
o
tРж
J
J.Ll
(t)
dt
m
ж
-
г
1
'(Л
dt
.
Jo
tРж
Это
-
снова
взвешенное
среднее
величины
J.L<j)
(t)
в
течение
того
же
возрастного
интервала,
но
весами
вместо
tp~1")
являются
tp~j).
Если
интенсивность
выбытия
J-LCj)
(t)
постоянна
для
О
~
t < 1,
то
т~)
=
т~Л
=
J-L<j)
(О).
Если
J-L~)
(t)
является
возрастающей
функцией
от
t,
то
tp~j)
дает
большие
веса
для
более
высоких
значений
этой
интенсивности,
чем
tp~1"),
И
т~(;)
>
mCj)
.
Если
J-LCj)
(t) -
убывающая
функция
от
t,
то
т~и)
<
mCj)
.
См.
упр.
10.33
для
более
формального
разбора
этих
утверждений.
Повозрастные
коэффициенты
выбытия
обеспечивают
удобный,
но
приближен
ный
метод
перехода
от
q~(j)
к
q1j), j =
1,2,
...
,
т,
и
обратно.
Это
иллюстрируется
в
упр.
10.18.
10.5.3.
Предположение
о
постоянстве
интенсивности
выбытия
в
модели
выбытия
по
нескольким
причинам
Исследуем
специальные
предполо>кения
относительно
возникновения
случаев
выбытия.
Сначала
предполо>ким,
что
постоянны
интенсивность
выбытия
по
при
чине
j
и
интенсивность
выбытия
по
всем
причинам
в
течение
возрастного
интервала
(х,
х
+ 1).
Из
этого
следует,
что
11<j)(t)
=
J.L~)(O),
J.L~1")(t)
=
I1~T)(O),
О
~
t <
1.
1)
Это
высказывание
относится
к
английскому
варианту
термина
4:central
rate
•. -
Прu.м..
ред.
10.5.
Сопутствующие
таблицы
выбытия
по единственной
причине
289
(10.5.8)
Тогда
для
О
~
s < 1
имеем
1
1 (})
(О)
18
(j)
(О)
sq(j) = tp(T)
р,())
(t)
dt
=
/-Lx
tP(T) j.L(T)(t)
dt
=
/-Lж
sq(r)
х
о х
х
j.L~T)
(О)
О
ж
х
/-L~T)
(О) х
Но,
кроме
того,
для любого
r
из
(0,1)
в
предположении,
что
интенсивность
выбытия
постоянна,
rJ.l~T)
(О)
=
-ln
Tp~T)
так
что
в
силу
формулы
(10.5.8)
и
(10.5.9)
1
,(Л
и)
_ n
тРх
(Т)
8qx
-
(7")
8Qx
.
lnrPx
Равенство
(10.5.9)
может
быть
переписано
в
виде
P
/(j)
=(
p(T».q~j)/.qiT)
r
х
r
х
,
а
затем
в
пределе
при
т,
стремящемся
к
1,
его
можно
разрешить
относительно
q~(j)
:
(')
()
и)/
(Т)
Q~
J = 1 -
(рх
Т
).qz
·qz
. (10.5.10)
Если
предположение
о
постоянстве
интенсивности
выбытия
имеет
место
для
каж
дой
из
причин
выбытия
(а
следовательно,
автоматически,
для
выбытия
по
всем
причинам),
то
формулу
(10.5.9)
при
r
и
s,
близких
к
1,
и
равенство
(10.5.2)
можно
использовать
для
вычисления
q~j)
по
заданным
значениям
q~(j),
j =
1,2,
...
,
т.
Кро
ме
того,
равенство
(10.5.10)
полезно
для
получения
абсолютных
коэффициентов
по
заданному
набору
вероятностей
выбытия.
Заметим,
что
формулы
(10.5.9)
и
(10.5.10)
требуют
особого
обсуждения,
если
р~Л
или
p~T)
равны
нулю.
(10.5.11)
Тогда
и
10.5.4.
Предположение
о
равномерности
распределения
моментов
выбытия
в
модели
выбытия
по
нескольким
причинам
Формула
(10.5.10)
имеет
место
при
других
предположениях.
Одно
из
них
состоит
в
том,
что
моменты
выбытия
по
причине
j
и
моменты
выбытия
по
всем
причинам
в
контексте
модели
выбытия
по
нескольким
причинам
равномерно
распределены
в
возрастном
интервале
(х,
х
+1).
Таким
образом,
мы
предполагаем,
что
tq~j)
=
tq~j)
и
tq~T)
=
tq~T).
При
данном
предположении
мы
также
видим,
что
в
силу
(10.2.12)
tP~T)
J.l~)
(t) =
q~j)
q(j) q(j)
J.t<j)
(t) =
~T)
=
Х
(Т)
•
tPx 1 - tqx
8P~j)
=
ехр
[-
(В
J.l~)(t)
dt]
=
ехр
(_
(В
q~j)
dt)
10
10
1 -
tq~T)
[
q(j) ]
(")
()
=
ехр
q~T)
ln(1 -
sq~T»)
=
(8P~T»)qz'
/qz"'.
(10.5.12)
При
s = 1
равенства
(10.5.10)
и
(10.5.12)
дают
то
же
самое
соотношение,
связыва
ющее
q~(j)
с
q~j)
и
q~T).
А
тогда
формулу
(10.5.9)
при
r = 1
можно
использовать
290
Гл.
10.
Модели
выбытия
по
нескольким
причинам
для
получения
q1j).
Упражнение
10.22
дает
дополнительную
информацию
о
связи
между
изложенным
в
разд.
10.5.3
и
10.5.4.
Пример
10.5.1.
Продолжим
пример
10.3.1,
подсчитав
q~(1)
и
q~(2)
С
помощью
формулы
(10.5.10).
Решение.
Согласно
(10.5.10),
получаются
следующие
результаты:
х
(1)
(2)
1(1) 1(2)
qж
qж
qж
qж
65
0,02 0,05 0,02052 0,05052
66 0,03
0,06 0,03095
0,06094
67
0,04 0,07 0,04149 0,07147
68
0,05 0,08 0,05215 0,08213
69
0,06 0,09
0,06294 0,09291
70
0,00
1,00
в
возрасте
70
лет
коэффициенты
зависят
от
требования
обязательного
выхода
на
пенеию,
и
нет
необходимости
в
q~~l)
И
q~~),
хотя
их
можно
найти,
использовав
q+~)
и
q+~)
соответственно.
,.
10.5.5.
Проблема
оценивания
В
определение
абсолютного
коэффициента
выбытия,
данное
формулой
(10.5.1),
входит
интенсивность
выбытия
из
теории
выбытия
по
нескольким
причинам
,
задан
ная
формулой
(10.2.11).
Из
определения
(10.5.1)
следуют
все
результаты
настоящего
раздела
и
возможность
их
применения
к
построению
распределений
для
нескольких
причин
выбытия
по
абсолютным
коэффициентам
выбытия.
Тем
не
менее,
остаются
вопросы
об
интерпретации
и
оценивании
tp~(j)
.
Если
функция
«плотности»
fT,J(t,j)
совместного
распределения
С.В.
Т
и
J
из
вестна,
то
функция дожития
и интенсивности
выбытия
определяются
по
формулам
из
разд.
10.2.
Например,
формула
(10.2.13)
следует
из
предположения
о
том,
что
выбытие
происходит
по
т
взаимоисключающим
причинам.
Настоящий
подраздел
посвящен
вопросу
о
том,
при
каких
условиях
информация,
полученная
в
контексте
единственной
причины
выбытия,
может
быть
использована
для
построения
распре
деления
пары
(Т,
J).
Мы
проиллюстрируем
этот
вопрос,
рассмотрев
случай
двух
причин
выбытия.
Каждая
сопутствующая
модель
с
единственной
причиной
выбытия
задается
С.В.
T
j
(Х)
продолжительности
периода
до
момента
выбытия
по
причине
j
и
соответ
ствующей функцией
дожития
ST;
(t) =
P(Tj(x)
>
t),
j =
1,2.
Совместная
функция
дожития
с.в.
Т
1
(х)
И
Т
2
(х)
задается
формулой
ST.,T
2
(tl,
t2)
=
Р{[Т
1
(х)
>tl] n
[Т
2
(х)
>t2]},
в
этом
контексте
С.в.
Т
продолжительности
периода
времени
до
выбытия
равна
ми
нимуму
ИЗ
Т
1
(х)
И
Т
2
(х),
и,
согласно
формуле
(9.3.1)
из
разд.
9.3,
соответствующая
функция дожития
имеет
вид
ST(t) =
вт.
,Т2
(t, t).
Если
С.В.
Т
1
(х)
И
Т
2
(х)
независимы,
то
ST(t) =
ST.
(t)ST2
(t) =
8Т.
,Т2
(t)(t,
O)ST
1
,T2
(О,
t)
и
(10.5.13)