Бауэрс Н., Гербер Х., Джанс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика
Подождите немного. Документ загружается.
9.6.
Модели
зависимых
продолжительностей
предстоящей
жизни
251
t
s<t
(9.6.3Ь)
о
s>t
(9.6.3а)
s
Рис.
9.6.1.
Область
определения
плотности
распределения
в
модели
с
возмущением
Т·
(у).
Кроме
того,
в
функцию
плотности
могут
вносить
вклад
такие
события,
как
Т*(х)
< Z <
Т*(у)
и
Т*(у)
< Z <
Т*(х).
Таблица
9.6.1.
Интерпретация
функции
плотности
пары
С.В.
(Т(х),
Т(у)]
в
модели
С
возмущением
9.6.За
Р{[(8
<
Т"'
(х)
~
8 +
д8)
n (t <
Т"'(у)
~
t +
D-t)
n
(Z
>
8)]
U
[(Т·(х)
>
з)
n (t
<Т·(у)
~
t +
D-t)
n (8 <Z
~
8 +
дЗ)]}
::::::
[fT.{x)(S)/T*(y)(t)sz(s)
+
ST*{x)(8)fT*(y)(t)fz(8)]
дз
f:t.t
Формула
Интерпретация
Область
определения
O<t<s
9.6.ЗЬ
P{[(s <
Т·(х)
~
s +
дз)
n
(t
<
Т·(у)
~t
+
D-t)
n
(Z
>
t)]
U
[(в
<
Т*(х)
~
s +
д8)
n
(Т·(у)
>t) n (t <Z
~
t +
6t)]}
~
[fT*
(ж}(S)/Т*(у}(t)sz(t)
+
/Т*(ж)(S)SТ*(у)(t)/z(t)]
д8
D-t
9.6.Зс
Р{[(Т·
(х)
> t) n
(Т·
(у)
> t) n (t <Z
~
t +
D-t)}
~
sт*(ж)(t)SТ*{у}(t)/z(t)
f:t.t
Маргинальные
функции
дожития
задаются
формулами
ВТ(х)
(В)
=
Р{[Т(х)
>
в]
n
[Т(у)
>
О]}
=
ВТ*(х)
(В)
е-АВ,
ВТ(у)
(t)
=
Р{[Т(х)
>
О]
n
[Т(у)
>t]} =
ST.(y)(t)
e-
At
•
O<t<s
s=t
(9.6.4а)
(9.6.4Ь)
Если
нас
интересует
распределение
С.в.
Т(ху)
=
min[T(x)
,
Т(у)]
продолжитель
ности
периода
сохранения
статуса
дожития
всех
лиц
из
группы
в
модели
с
возмуще
нием,
то
с
помощью
формул
(9.3.1)
и
(9.6.3)
соответствующую
функцию
дожития
можно
получить
так:
ST(xy)(t) = ST*(x)(t) ST*(y)(t)
е-М,
О
<
t.
(9.6.5)
Распределение
с.в.
Т(ху)
=
тах[Т(х)
,
Т(у)]
продолжительности
периода
сохранения
статуса
дожития
последнего
лица
в
группе
в
модели
с
возмущением
можно
получить,
используя
формулы
(9.4.5), (9.6.5),
(9.6.4а)
и
(9.6.4Ь):
ST(xy)(t) = [ST*(x)(t) + ST*(y)(t) - ST*(x)T*(y)(t,
t)]
e-
At
,
О
<
t.
(9.6.6)
Если
параметр
возмущения>.
равен
О,
то
формулы
(9.6.5)
и
(9.6.6)
возвраща
ются
к
виду,
который
соответствует
независимости
с.в.
Т(х)
и
Т(у).
Если>.
>
О,
ТО
функции
дожития
случайных
величин
продолжительности
периодов
сохранения
252
Гл.
9.
Актуарные
функции
ДЛЯ
нескольких
лиц
статуса
ДОЖИТИЯ
обоих
лиц
и
последнего
лица
меньше
соответствующих
функций
дожития
при
А
=
О.
При
мер
9.6.1.
Выразим
/Lxy(t)
,
воспользовавшись
формулой
(9.6.5).
d
At
Решение.
J.1,xy(t)
=- dt ln[sr*(x)(t)ST*(y)(t)
е-
] =
J.1,(x
+t) +
J.1,(y
+t) +
А.
•
Пример
9.6.2.
Случайные
величины
Т*(х),
Т*(у)
и
Z
независимы
и
имеют
показательные
распределения
с
параметрами
J.1,1,
/-l2
И
А
соответственно.
Эти
три
случайные
величины
являются
компонентами
модели
с
возмущением.
(а)
Выразим
функцию
плотности
маргинального
распределения
с.в.
Т(у),
найдя
fT(y) (t) =
l'
fT(x)T(y) (s, t) ds +fT(x)T(y)(t, t) +
[Х>
fT(x)T(y) (s, t) ds.
(Ь)
Выразим
маргинальную
функцию
дожития
С.в.
Т(у),
найдя
ST(y)(t) =
[Х>
fT(y)
(и)
du.
(с)
Вычислим
Р[Т(х)
=
Т(у)]
=
100
fT(x)T(y) (t, t) dt.
Решение.
(а)
Используем
три
компоненты
из
формулы
(9.6.3),
записанные
для
показательных
распределений,
и
получим
fT(y) (t) =
l'
1-'1
(1-'2
+
л)
е
-
~1S-
(~2
+л),
ds +
ле
-(~l
+~2+л)t
+
/.00
1-'2(1-'1
+
л)
e-(~l
+Л)'-~2'
ds
=
(J.1,2
+
А)
e-(J12+
А
)t(1
-
e-
J11t
) +
Ae-(J11+Jl2+
л
)t
+
J.1,2
e
-(Jll+J12+
л
)t
=
(J.1,2
+
A)e-(J12+
А
)t,
О
< t.
(Ь)
ST(y)(t) =
/.00
fT(y)
(и)
du
=
е-(М+Л)'
=
STO(y)(t)
е-Л',
что
согласуется
с
фор-
мулой
(9.6.4Ь).
t
А
(с)
Р[Т(х)
=
Т(у)]
=
f/
XJ
Ae-(J!1+J12+
л
)t
dt
=.
•
о
А
+
J.1,1
+
J.1,2
9.6.2.
Связка
Понятие
связки
1
)
используется
в
многомерном
статистическом
анализе
для
опре
деления
класса
двумерных
распределений
с
заданными
маргинальными
распреде
лениями.
В
этом
разделе
мы
про
иллюстрируем
актуарные
приложения
так
называемых
связок
Фрэнка.
Будут
использоваться
обозначения
разд.
9.2.
Мы
утверждаем,
что
1 [
(e
aFT
(z)(8)
-
1)(e
aFT
(y)(t)
-
1)]
FT(x)T(y) (s, t) =
-ln
1+ 1
,(9.6.7)
а
е
а
-
где
а:
=f
О,
является
функцией
совместного
распределения
с
маргинальными
распре
делениями
FT(x)(S)
и
FT(y)(t).
Это
утверждение
можно
проверить,
убедившись,
что
l)в
оригинале
.-:copula
•.
-
Прuм.
ред.
9.6.
Модели
зависимых
продолжительностей
предстоящей
жизни
253
(9.6.8)
(9.6.9)
FT(z)T(y)
(О,
О)
=
О,
Рт(х)т(у)(оо,оо)
=
1,
82
FT(z)T(y)
(8,
t) f
(t)'
88
Bt
=
Т(х)Т(у)
8,
afT(x)
(8)fT(y)
(t)[eo:[FT(z)
(s)+FT(V) (t)]]
еа
_ 1
~
О
[(еа
_
1)
+
(eo:FT(z)(s)
_l)(eo:FT(v)(t)
_
1)]2
( )
~
, (9.6.10)
РТ(х)Т(у)
(8,00) =
РТ(х)
(8),
РТ(х)Т(у)
(00, t) =
РТ(у)
(t).
Утверждения
(9.6.8)
и
(9.6.9)
необходимы
для
того,
чтобы
FT(x)T(y)
(8,
t)
была
функцией
совместного
распределения
двух
случайных
величин
продолжительностей
предстоящей
жизни.
Формула
(9.6.10)
выражает
функцию
плотности
совместного
распределения и
показывает,
что
она
неотрицательна.
Параметр
а
в
функции
распределения
(9.6.7)
и
в
функции
плотности
(9.6.10)
~управляет
зависимостью»
с.в.
Т(х)
и
Т(у).
Это
можно
понять,
вычислив
lim
fT(x)T(y)
(8,
t) =
fT(x)
(8)fT(y)
(t){
Нm
[А(а)В(а)С(а)]}
,
o:~o o:~o
(еО:
-
l)а
В(а)
=
(е
а
_
1)2
'
1
С(а)
=
{1
+
[(eaFT(z)(S)
_
l)(eaFT(v)(t)
_
l)j(ea
_
1)]}2
.
где
Тогда
о
< t <
1.
0<
t <
1.
(Ь)
Нm
А(а)
=1, lim
В(а)
=1,
a~O
o:~O
И
lima----joo
С(а)
зависит
от
выражения
в
знаменателе:
.
(eaFT(z)(S)
-l)(е
аFТ
(v)(t)
-1)
11т
....:.....-----..:......:....----....:....
O:~O
е
а
- 1
.
РТ(х)
(8)eo:
FT
(z)(s)
(eo:FT(z)(t)
-
1)
+F
T
( )
(t)eo:FT(t)(t)
(eo:FT(v)(s)
-
1)
=
11т
у
=
О.
a----joО
е
а
Следовательно,
lima----joo
С(а)
= 1
и
Hтa~O
fT(:c)T(y)(s,
t)
=
fT(:c)
(8)
fT(y)
(t).
Это
озна
чает,
что
С.в.
Т(х)
и
Т(у)
в
пределе
при
а
-+
О
независимы.
Приведем
аналогичную
интерпретацию
функций
плотности
совместного
распределения
при
а
=
О.
Пример
9.6.3.
Пусть
F
T
(x)(8)
=
8,
О
< 8
~
1,
и
FT(y)(t)
= t,
О
< t
~
1,
в
формуле
(9.6.7),
и пусть
Т(ху)
=min[T(x),T(y)].
(а)
Найдем
функцию
распределения
С.В.
Т(ху).
(Ь)
Найдем
функцию
плотности
С.в.
Т(ху).
Решение.
(а)
Используя
(9.3.2),
получим
РТ(:су)
(t)
=
FT(x)
(t)
+
FT(y)
(t)
-
РТ(х)Т(у)
(t, t)
1 [
(e
at
- 1)2]
=
2t
-
-ln
1+ ,
а
еО:
- 1
d
2a(eo:
t
-
1)
eo:tj(eO: -
1)
fT(xy)(t)
=
dt
FT(xy)(t)
= 2 -
а[l
+
(e
at
-l)2/(е
а
-
1)]
2(
eo:
t
-
1)
eo:
t
=2-
,
(еО:
-
1)
+
(e
at
- 1)2
254
Гл.
9.
Актуарные
функции
ДЛЯ
нескольких
лиц
9.7.
Выплаты
по
договорам
страхования
и
по
аннуитетам
Обязательства
по
договорам
страхования
и
по
аннуитетам,
рассматривавшиеся
ранее
для
отдельных
лиц,
можно
определить
для
статуса
дожития
(и).
Это
будет
сделано
в
настоящем
разделе.
Мы
также
рассмотрим
более
сложные
примеры,
в
которых
аннуитет,
выплачиваемый
до
потери
статуса
(и),
отсрочен
на
период,
опре
деляемый
потерей
другого
статуса
(v).
9.7.1.
Статусы
дожития
Модели
и
формулы
гл.
4
и
5
сохраняются
и
при
замене
статуса
дожития
от
дельного
лица
(х)
на
статус
дожития
(и).
Выражения
для
актуарных
настоящих
стоимостей,
дисперсий
и
персентилей
сохраняются
и
когда
речь идет
о
случайной
величине
продолжительности
предстоящего
периода
до
потери
статуса
(и).
Соотно
шения
разд.
9.3
и
9.4
тогда
можно
использовать
для
получения
соответствующих
выражений
в
терминах
актуарных
функций
отдельных
лиц,
входящих
в
определе
ние
статуса
дожития.
Для
договоров
страхования
с
выплатой
суммы
размера
1
в
конце
года,
в
кото
ром
был
потерян
статус
дожития,
применима
модель
и
формулы
разд.
4.3.
Таким
образом,
если
С.в.
К
означает
пошаговую
продолжительность
предстоящего
периода
сохранения
статуса
(и),
то
•
момент
выплаты
-
это
К
+1;
•
настоящая
стоимость
выплаты
в
начальный
момент
равна
Z =v
K
+
1
;
•
актуарная
настоящая
стоимость
А
u
равна
00
E[Z] =
Lvk+1P(K=k);
(9.7.1)
•
D[Z]
=
2А
u
-
(А
u
)2.
k=O
(9.7.2)
В
качестве
иллюстрации
рассмотрим
договор
страхования
с
выплатой
размера
1,
производящейся
в
конце
года
смерти
последнего
лица
из
пары
(х),
(у).
Из
формул
(9.4.16)
и
(9.7.1)
следует,
что
00
Аху
=L V
k
+
1
(kPx
Qx+k
+
kPy
qy+k
-
kPxy
Qx+k:y+k),
k=O
и
это
выражение
можно
использовать
при
интенсивностях
начисления
процента
О
и
20,
откуда
с
помощью
формулы
(9.7.2)
получаются
дисперсии.
Многочисленные
формулы
для
дискретных
аннуитетов
из
разд.
5.3
пригодны
для
случая,
когда
аннуитетные
платежи
сопряжены
с
сохранением
статуса
дожи
тия
1
).
Например,
если
мы
заменим
х
на
и,
чтобы
подчеркнуть,
что
с.в.
К
является
продолжительностью
предстоящего
периода
сохранения
статуса
дожития
(и),
ТО
мы
можем
вновь
установить
следующие
формулы
для
страхового
аннуитета
на
срок
n
лет,
сопряженного
с
(и):
у
=
{~K+lI'
ащ,
к
=О,1,
...
,n
- 1,
К
=
n,n+
1,
...
,
1)
Далее
соотношения
из
предыдущих
разделов,
переформулированные
для
статусов,
имеют
те
же
номера,
что
и
исходные,
но
со
4:ШТРИХОМ
••
-
Прtl..м..
ред.
9.7.
Выплаты
по
договорам
страхования
и
по
аннуитетам
255
n-l
а
u
:
m
=
Е[У]
= L
ii
k
+
11
klqu
+
а
m
пРи,
k=O
n-l n-l
а
u
:
m
= L
kEu
= L
vkkРщ
k=O k=O
а
u
:
m
=
~
(1
-
А
u
:
m
),
1 2 2
D
[У]
=
d,2
[
А
u
:
m
-
(А
u
:
m
)
].
(9.7.3)
(5.3.9')
(5.3.12')
(5.3.14')
в
качестве
иллюстрации
рассмотрим
аннуитет
с
выплатами
размера
1
в
начале
каждого
года
до
тех
пор,
пока
оба
лица
(х)
и
(у)
живы,
в
течение
последующих
n
лет.
Это
-
аннуитет
со
статусом
(ху)
дожития
всех
лиц
из
рассматриваемой
пары.
Подставляя
tPxy
(или
tPx
tPy,
если
продолжительности
предстоящей
жизни
незави
симы)
вместо
tPu
в
приведенные
выше
формулы,
можно
получить
актуарную
насто
ящую
стоимость
этого
аннуитета.
Для
вычисления
дисперсии,
заданной
формулой
(5.3.14),
можно
использовать
равенства
А
ху
:
Щ
=1 -
da
xy
:
m
и
2А
ху
:
щ
=1 - (2d -
d2)2аху:щ,
(4.2.6')
Z
-
т
- v ,
а
можно
вычислить
актуарные настоящие
стоимости
непосредственно.
Кроме
того,
мы
можем
установить
соотношения
между
случайными
величинами
настоящих
стоимостей
для
аннуитетов
и
договоров
страхования,
сопряженных
со
статусом
дожития
последнего
лица
в
группе
и
статусом
дожития
всех
лиц
из
группы.
Из
соотношения
(9.4.13)
имеем
vK(xy)+l
+ v
K
(xy)+l
= V
K
(x)+l
+ v
K
(y)+l,
(9.7.4)
а
К
(ху)+ll
+
uK(xy)+ll
=
а
К
(Х)+ll
+
а
К
(у)+ll'
(9.7.5)
Взяв
математическое
ожидание
от
левой
и
правой
частей
формул
(9.7.4)
и
(9.7.5),
получаем
Аху
+
Аху
=
Ах
+
Ау
и
аху
+
аху
=
ах
+
ау.
Эти
формулы
позволяют
выразить
актуарные
настоящие
стоимости
аннуитетов
и
договоров
страхования,
сопряженных
со
статусом
дожития
последнего
лица
в
груп
пе,
в
терминах
аннуитетов
и
договоров
страхования
для
отдельных
лиц
и
статуса
дожития
всех
лиц
из
группы.
Заметим,
что
эти
формулы
выполняются
для
всех
совместных
распределений;
независимости
не
требуется.
Теперь
рассмотрим
договоры
страхования
и
аннуитеты
в
непрерывной
модели.
Если
С.в.
Т
продолжительности
предстоящей
жизни
из
разд.
4.2
и
5.2
рассматри
вать
как
продолжительность
предстоящего
периода
Т(
и)
до
момента
потери
стату
са
дожития
(и),
то
формулы
этих разделов
для настоящих
стоимостей,
актуарных
настоящих
стоимостей,
персентилей
и
дисперсий
сохраняют
силу
и
для
договоров
страхования и
аннуитетов,
сопряженных
со
статусом
(и).
Для
договора
страхования,
предполагающего
выплату
суммы
размера
1
в
мо
мент
потери
статуса
(и),
настоящая
стоимость
на
момент
заключения
договора,
актуарная
настоящая
стоимость
и
дисперсия
задаются
формулами
-
100
t
А
и
=
о
v
tPu
lJtu(t)
dt,
256
Гл.
9.
Актуарные
функции
ДЛЯ
нескольких
лиц
Например,
в
частном
случае
страхования
на
случай
смерти
последнего
из
двух
лиц
(х)
и
(у)
формула
(4.2.6')
приобретет
вид
-
(ОО
t
Аху
=
Jo
v
tPxy
I-LХ1l(t)
dt.
Согласно
(9.4.7),
эта
величина
равна
Аху
=
/.00
vt[tPx
J.t(x
+t) +
tPy
J.t(y
+t) -
tPxy
J.txy(t)]
dt.
Для
непрерывного
аннуитета,
с
выплатой
размера
1
в
год
вплоть
до
момента
Т
потери
статуса
(и)
имеем
у
=
аТ1'
а
,.
=
100
ail
tP
..
J.tu
(t) dt
=
/.00
v
t
tP
.. dt,
D[Y] =
2..1
..
~~Au)2
Тождество
из
теории
сложных
процентов
баТ]
+v
T
= 1
(5.2.3')
(5.2.4')
(5.2.9')
(5.2.7')
имеет
силу
для
Т
=
Т(u)
и
обеспечивает
связь
между
моделями
аннуитетов
и
дого
воров
страхования.
В
качестве
приложения
рассмотрим
аннуитет,
выплачиваемый
непрерывно
с
ин
тенсивностью
1
в
год,
пока
по
крайней
мере
одно
лицо,
(х)
или
(у),
живо.
Это
-
аннуитет,
сопряженный
со
статусом
(ху);
таким
образом,
из
приведенных
выше
фор
мул
при
Т
=
Т(ху)
имеем
у
=
aТl'
аху
=
/.00
ail[
tPx
J.t(x
+t) +
tPy
J.t(y
+t) -
tPxy
J.txy(t)]
dt =
100
v'
tP<jjdt,
D[Y] =
2Аху-
~~Axy-)2
ИЗ
формулы
(9.4.3)
следует,
что
v
T
(X1l)
+v
T
(X1l)
=
vT(x)
+V
T
(1I)
,
a
T
(X1l)1
+a
T
(X1l)1
=
ат(х),
+Q.T(y)l'
а
из
равенства
(9.4.1) -
что
(9.7.6)
(9.7.7)
(9.7.8)
Эти
тождества
можно
использовать
ДЛЯ
получения
соотношений
между
актуарными
настоящими
стоимостями,
дисперсиями
и
ковариациями
для
аннуитетов
и
договоров
9.7.
Выплаты
по
договорам
страхования и
по
аннуитетам
257
страхования,
сопряженных
с
различными
статусами.
Например,
взяв
математиче
ское
ожидание
левой
и
правой
частей
в
(9.7.6)
и
(9.7.7),
получим
Аху
+
Аху
=
Ах
+
Ау,
аху
+
аху
=
ах
+
ау.
Таким
же
способом,
как
была
выведена
формула
Соу[Т(ху),
Т(ху)]
=
СоУ(Т(х),
Т(у)]
+
(еж
-
ежу)(е
у
-
ежу),
можно
показать,
что
(9.7.9)
(9.7.10)
(9.7.11)
(9.7.12)
Оба
сомножителя
во
втором
слагаемом
в
правой
части
равенства
(9.7.11)
неположи
тельны,
так
что
оно
неотрицательно
и
равно
О
лишь
в
тривиальном
случае,
когда
Ах
или
Ау
равняется
Аху.
Актуарная
настоящая
стоимость
непрерывного
аннуитета,
сопряженного
со
ста
тусом
(ху),
где
совместная
функция
дожития
задана
формулой
(9.6.5),
поскольку
(х)
и
(у)
подвержены
возмущению,
может
быть
переписана
в
форме
текущих
пла
тежей:
аху
=
100
е-(НЛ)'
ST>(x)
(t)
dt
+
100
e-(НЛ)'sт>(у)
(t)
dt
-100
e-(НЛ)'sт>(х)(t)
ST>(y)(t)
dt.
Формула
(9.7.12)
показывает,
как
параметр
возмущения
л
в
некоторых
расчетах
может
сочетаться
с
интенсивностью
начисления
процента.
Пример
9.7.1.
(а)
Перепишем формулу
(9.7.9)
для
актуарной
настоящей
сто
имости
договора
страхования
на
срок
n
лет
с
выплатой
размера
1
в
момент
смерти
последнего
лица
из
пары
(х)
и
(у),
если
эта
смерть
произойдет
до
момента
време
ни
n.
Если
хотя
бы
одно
лицо
ИЗ
этой
пары
переживет
момент
n,
то
никаких
выплат
не
производится
.
(Ь)
Используем
эту
формулу,
чтобы
вычислить
актуарную
настоящую
стоимость
страхования
на
срок
5
лет
с
выплатой
на
случай
смерти
последнего
из
двух
лиц
из
примера
9.2.1
при
б
= 0,05.
Решение.
(а)
Переписав
формулу
(9.7.6)
ДЛЯ
случайных
величин,
описывающих
договор
страхования
на
срок
n
лет,
а
затем
взяв
математическое
ожидание
от
обеих
частей
этого равенства,
получим
- 1
-1
-1
- 1
А
ху
:
n1
=
А
ж
:
щ
+
А
у
:
щ
-
А'Х'У':n1'
Символ
А,;у':n1
представляет
актуарную
настоящую
стоимость
страхования
на
срок
n
лет
на
случай потери
статуса
дожития
обоих
лиц
из
рассматриваемой
пары,
если
она
произошла
в
течение
n
лет.
(Ь)
В
примере
9.2.1
каждая
из
С.в.
Т(х) и
Т(у)
имеет
функцию
плотности
fT(t) =
0,0002
[t
3
+ (10 - t)3],
О
~
t < 10.
Следовательно,
;р
=
А?
=
15
e-
о
.
О5t
{О
0002[t
3
+ (10 -
t)3]}
dt =04563.
x:~
у:fП'
,
о
9- I
R"i"i
258
Гл.
9.
Актуарные
функции
ДЛЯ
нескольких
лиц
Из
при
мера
9.3.3
мы
знаем,
что
fТ(жу)(t)
= 0,0004(10 - t)3,
0<
t < 10,
так
что
А.
1 =
15
e-
О
,О5t[О
0004(10 -
t)3]
dt =
о
8614.
'ху':51
' ,
о
Используя
результат
п.
(а),
получим
Аж~:51
= 2(0,4563) - 0,8614 = 0,0512.
'f
2 1
Z =
"3
aT(xy)1
+
"3
aT(xy)l'
(Ь)
Актуарная
настоящая
стоимость
равна
2 1
E[Z]
= 3
аху
+
"3
аху.
Подставляя
в
эту
формулу
выражение
для
аху,
полученное
из
(9.7.10),
приходим
к
равенству
9.7.2.
Специальные
аннуитеты
для
двух
лиц
В
этом
разделе
мы
рассмотрим
пример
специальных
аннуитетов,
величина
вы-
плат
которых
зависит
от
дожития
двух
лиц.
Пример
9.7.2.
Аннуитет
выплачивается
непрерывно
с
интенсивностью
• 1
в
год,
если
оба
лица
(х)
и
(у)
живы;
•
2/3
в
год,
если
одно
лицо
живо,
а
другое
умерло.
Выразим
(а)
случайную
величину
настоящей
стоимости
аннуитета,
(Ь)
актуарную
настоящую
стоимость
аннуитета,
(с)
дисперсию
случайной
величины
из
п.
(
а)
в
предположении
независимости
с.в.
Т(х)
и
Т(у).
Решение.
(а)
Этот
аннуитет
является
комбинацией
аннуитета,
выплачиваемого
с
интенсивностью
2/3
в
год,
пока
живо
по
крайней
мере
одно
лицо
(х)
или
(у)
(до
момента
времени
Т(ху)),
и
аннуитета,
выплачиваемого
с
интенсивностью
1/3
в
год
до
тех
пор,
пока
оба
лица
живы
(до
момента
времени
Т(ху)).
Настоящая
стоимость
выплат
-
это
221
E[Z]
=
зах
+ 3
ау
-
заху.
С
другой
стороны,
из
(5.2.31)
следует,
что
2
{ОО
1
(ОО
E[Z] =
"3
Jo
v
t
tPxydt +
"3
Jo
v
t
tPxy dt.
Тогда,
рассматривая
три
взаимоисключающих
сочетания
дожития
отдельных
лиц,
если
статус
(ху)
сохраняется
до
момента
времени
t,
мы
можем
записать
t'Pxy = tPxy + (tPx - tPxy) +(tPy - tPxy).
Подставляя
это
выражение
в
первый
интеграл и
складывая
полученный
результат
со
вторым
интегралом,
получим
{ОО
2
{ОО
2
(ОО
E[Z]
=
Jo
vttPxy dt +
"3
Jo
vt(tPx -
tPXY)
dt +
"3
Jo
vt(tPy - tPxy) dt.
Это
выражение
дЛЯ
Е[
Z]
можно
получить,
непосредственно
рассматривая
три
указанных
случая.
Первое
его
слагаемое
является
актуарной
настоящей
стоимостью
выплат
с
интенсивностью
1
в
год
до
тех
пор,
пока
оба
лица
(х)
и
(у)
живы.
Второе
слагаемое
является
актуарной
настоящей
стоимостью
выплат
с
интенсивностью
2/3
9.7.
Выплаты
по
договорам
страхования
и
по
аннуитетам
259
в
год
в
те
моменты
времени
t,
в
которые
живо
(с
вероятностью
tPx)
лицо
(х),
но
не
оба
лица
(с
вероятностью
tPxy).
Третье
слагаемое
имеет
аналогичную
интерпрета
цию,
лишь
х
и
у
меняются
местами.
(с)
D[Z] =D
[~
aT(xy)1
+
~
aT(xy)l]
414
=
9"
D[u
T
(xy)11
+
9"
D(uT(Xy)l]
+
9"
Cov(uT(xy)l'
а
Т
(ху)I)'
Но,
согласно
упр.
9.23,
для
независимых
С.в.
Т(х) и
Т(у)
С
(-
- ) _
Cov(vT(XY)
,
vT(x
y
»)
(Ах
-
Аху)(А
у
-
Аху)
ov
aT(xy)l'
аТ(ху)1
-
(52
62
Следовательно,
D[Z] = t[2Axy -
(Аху)2]
+
Н2А
ху
-
(;;у)2]
+
~(Ax
-
Аху)(А
у
-
Аху).
•
(9.7.13)
(9.7.14)
Т(х)
~
Т(у),
Т(х)
>
Т(у).
Т(х)
~
Т(у),
Т(х)
>
Т(у),
9.7.3.
Реверсивные
аннуитеты
Реверсивн'ы:й
аннуитет
выплачивается
в
периоД,
когда
сохраняется
статус
(и),
но
лишь
после
потери
второго
статуса
(v).
По
сути
это
-
отсроченный
страховой
аннуитет
со
случайным
периодом
отсрочки,
равным
времени
сохранения
второго
статуса.
Это
действительно
обобщение
отсроченного
страхового
аннуитета,
так
как
если
статус
(v)
представляет
собой
статус,
сохраняющийся
до
истечения
фиксиро
ванного
срока
n,
то
реверсивный
аннуитет
сводится
к
аннуитету
с
периодом
отсроч
ки
n
лет.
Если
(и)
сохраняется
до
истечения
фиксированного
срока,
то
реверсив
ный
аннуитет
сводится
к
одному
ИЗ
видов
страхования
-
страхованию
на
случай
потери
кормильца,
изучаемому
в
гл.
17.
Стандартное
обозначение
для
актуарной
настоящей
стоимости
такого
аннуитета
-
это
a
v
I
и'
добавочные
символы
указывают
частоту
выплат
и
то,
каким
образом
они выплачиваются.
Это
понятие
полезно
для
выражения
более
сложных
аннуитетов
через
аннуитеты
для
отдельных
лиц
и
ан
нуитеты,
сопряженные
со
статусом
дожития
всех
лиц
из
группы
(см.
пример
9.7.3).
В
настоящем
разделе
мы
будем
изучать
случайные
величины
настоящих
стоимостей
для
реверсивных
двусторонних
аннуитетов.
Начнем
с
непрерывного
аннуитета,
выплачиваемого
с
интенсивностью
1
в
год
лицу
(у)
после
смерти
лица
(х).
Настоящая
стоимость
в
момент
времени
О,
обозна
чаемая
через
Z,
имеет
вид
Z =
{T(X)lut(y)-т(х)l'
О,
Это
выражение
можно
переписать
так:
Z =
{UT(y)l-
Q,T(x)l'
О,
или
так:
что
приводит
К
z =
{~T(Y)I
-
~T(x)l'
аТ(у)1
- aT(y)l'
Т(х)
~
Т(у),
Т(х)
>
Т(у),
(9.7.15)
(9.7.16)
9*
260
т.
е.
к
формуле
Гл.
9.
Актуарные
функции
для
нескольких
лиц
axl
Y
= E[Z] =
E[aT(y)l]
-
E[aT(Xy)l]
=
ау
-
аху.
(9.7.17)
Формулы
(9.7.16)
и
(9.7.17)
выполняются
для
произвольных
статусов
(и)
и
(v).
Например,
ax:nJly
=
ау
-
аху:nJ,
axlY:nJ
=
а
у
:
щ
-
аху:nJ'
Заметим,
что
формула
(9.7.17)
справедлива
и
для зависимых случайных
величин
продолжительности
предстоящей
жизни.
Пример
9.7.3.
Рассчитаем
актуарную
настояrцyю
стоимость
аннуитета,
выпла
чиваемого
непрерывно
на
следующих
условиях:
1.
с
интенсивностью
1
в
год
гарантированно
до
момента
времени
n,
2.
с
интенсивностью
1
в
год
после
момента
времени
n,
пока
оба
лица
(х)
и
(у)
живы,
3.
с
интенсивностью
3/4
в
год
после
момента
времени
n,
если
лицо
(х)
живо,
а
лицо
(у)
умерло,
4.
с
интенсивностью
1/2
в
год
после
момента
времени
n,
если
лицо
(у)
живо,
а
лицо
(х)
умерло.
Решение.
Для
того
чтобы
выписать
актуарную
настояrцyю
стоимость
выплат
по
этому
аннуитету
в
терминах
аннуитетов
для
отдельных
лиц
и
аннуитетов,
сопря
женных
со
статусами
дожития
всех
лиц
из
группы,
используем
понятие
реверсивного
аннуитета.
Условие
1
приводит
к
аннуитету
с
гарантированным
сроком
выплат
n
лет:
аnJ.
Условие
2
приводит
к
отсроченному
на
n
лет
аннуитету,
сопряженному
со
ста
тусом
дожития
двух
лиц
(ху):
nl
аху
=
аху
-
аху:nJ'
Условие
3
приводит
к
реверсивному
аннуитету,
выплачиваемому
лицу
(х)
с
ин
тенсивностью
3/4
в
год,
причем
выплата
начинается по
истечении
срока
y:ffi:
333
"4
aY:rnl
x
=
"4
(ах
-
ах:(у:nJ»)
=
"4
(ах
-
аху
-
ах:nJ
+axy:ffi)'
Условие
4
приводит
к
реверсивному
аннуитету
с
интенсивностью
1/2
в
год,
ВЫ
плата
которого
лицу
(у)
начинается
после
момента
x:ffi:
1 1
'2
a
x
:
rnjy
=
'2
(ау
-
аху
-
о.у:Щ
+
аху:rn)'
Складывая
результаты
ДЛЯ
этих
четырех
случаев,
получаем
искомую
актуарную
настояrцyю
стоимость
3 1 1 3 1 1
а1i1
+
"4
ах
+
'2
ау
-
"4
аху
-
4"
аХ:ffi
-
2"
ay:ffi
+
"4
u'xy:ffi'
9.8.
Вычисления:
специальные
предположения
о
смертности
В
разд.
9.7
изучалея
ряд
актуарных
настоящих
стоимостей
договоров
страхова
ния
и
аннуитетов,
связанных
с
двумя
случайными
величинами
продолжительности
предстоящей
жизни.
Такие
исследования
обычно
приводят
к
интегралу
или
к
сум
ме.
В
настоящем
разделе
мы
рассмотрим
ряд
предположений
о
распределении
с.в.
т
(и),
которые
упрощают
вычисление
таких интегралов
или
сумм.