Бауэрс Н., Гербер Х., Джанс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика
Подождите немного. Документ загружается.
9.3.
Статус
дожития
всех
лиц
из
группы
241
и,
применяя
известную
в
теории
вероятностей
формулу
для
вероятности
объедине
ния
событий,
получим
FT(t) =
Р[Т(х)
~
t]
+
Р[Т(у)
~
t]
-
Р[Т(х)
~
t n
Т(у)
~
t]
= tqx +tqy - FT(x)T(y)(t,
t).
(9.3.2)
Тот
факт,
что
в
равенстве
(9.3.2)
используются
как
символы
Международной
системы
актуарных
обозначений,
так
и
стандартные
обозначения
теории
вероятно
стей
и
математической
статистики,
показывает,
что,
хотя
Международная
система
актуарных
обозначений
содержит
символы,
относящиеся
к
статусам
дожития,
она
не
содержит
таковых
для
совместного
распределения
нескольких
статусов,
за
ис
ключением
того
случая,
когда
предполагается
независимость,
сводящая
все
к
обо
значениям
для
статусов
отдельных
лиц.
Если
с.в.
Т(х)
и
Т(у)
независимы,
то
функция
распределения
с.в.
Т
может
быть
представлена
через
актуарные
функции
для
одного
лица
в
следующих
двух
формах:
и
Fr(t)
= P{min[T(x),
Т(у)]
~
t}
= 1 - ST(x)T(y)(t, t) = 1 -
tPx tPy
(9.3.3)
FT(t) =tqx + tqy - FT(x)T(y)(t, t) =tqx + tqy -
tQx
tqy.
(9.3.4)
Функция дожития
tPxy
для
статуса
дожития
всех
лиц
из
группы
получается
вычи
танием
соответствующей
функции
распределения
из
1.
Для
общего
случая,
используя
формулу
(9.3.1),
получаем
tPxy =
ВТ(х)Т(у)
(t,
t).
В
случае
независимости,
согласно
(9.3.3),
tPxy =
tPx
tPy·
(9.3.5)
Выражение
(9.3.5)
является
удобной
отправной
точкой
в
случае
независимости,
так
как
статус
дожития
всех
лиц
из
группы
сохраняется
до
момента
времени
t
в
том
и
только
в
том
случае,
если
оба
лица
(х)
и
(у)
доживут
до
момента
времени
t.
Пример
9.3.1.
Определим
функцию
распределения,
функцию
дожития
и
ма
тематическое
ожидание
С.в.
Т(ху)
продолжительности
периода
сохранения
статуса
дожития
всех
лиц
из
группы
из
примера
9.2.1.
Решение.
Для
t
~
О
и
t > 10
значениями
функции
FT(xy) (t)
будут
О
и
1
соответственно.
При
О
< t
~
10,
согласно
результатам
примера
9.2.1,
пп.
(а),
(Ь),
и
равенству
(9.3.2),
имеем
FT(xy) (t) = 2{0,5 + 0,00005[t
4
- (10 - t)4]) - 0,0001 t
4
= 1 - 0,0001(10 - t)4.
Тогда
tPxy =1 -
РТ(ху)
(t) =0,0001(10 - t)4,
О
~
t < 10.
В
силу
формулы
(3.5.2)
ежу
=
Е[Т(ху)]
=
100
tРжу
dt =
110
0,0001(10 -
t)4
dt =
2.
,
Пример
9.3.2.
Определим
функцию
распределения,
функцию
дожития
и
ма
тематическое
ожидание
с.в.
Т(ху)
продолжительности
периода
сохранения
статуса
дожития
всех
лиц
из
группы
из
примера
9.2.3.
Решение.
В
случае
независимости,
используя
равенство
(9.3.5)
и
результаты
примера
9.2.3,
приходим
к
формуле
tPxy =[0,01(10 -
t)2]2
=0,0001(10 - t)4
при
О
~
t < 10.
242
Гл.
9.
Актуарные
функции
ДЛЯ
нескольких
лиц
и
Тогда
FT(xy)(t)
= 1 - 0,0001 (10 -
t)4
при
О
< t
~
10
~жу
=1100,0001 (10 - t)4 dt =
2.
,
Эти
два
примера
приводят
к
интересному
наблюдению.
Хотя
совместные
рас
пределения
пар
случайных
величин
продолжительности
предстоящей
жизни
в
этих
примерах
отличаются
друг
от
друга,
распределения
соответствующих
продолжи
тельностей
предстоящего
периода
до
потери
статуса
дожития
обоих
лиц
из
группы
одинаковы.
Это
замечание
важно
в
тех
случаях,
когда
можно
наблюдать
только
момент
первой
смерти
в
группе,
поскольку
по
этой
информации
нельзя
однозначно
определить
совместное
распределение.
В
математической
статистике
такое
положе
ние
называется
'Неuде'Нтuфuцuруе.м.остъю,
поскольку
по
имеющимся
наблюдениям
не
удается
выбрать
одну
из
двух
(или
ИЗ
многих)
моделей.
Функция
плотности
С.в.
Т
может
быть
получена
дифференцированием
ее
функ
ции
распределения,
выписанной
в
формуле
(9.3.1)
или
(9.3.2).
В
случае
формулы
(9.3.1)
необходимо
взять
производную
по
t
от
выражения
SТ(ж)Т(у)
(t, t) =
[>О
['"
fт(ж)Т(у)
(и,
v) du dv.
Используя
формулы
из
математического
анализа,
приведенные
в
приложении
5,
мы
получим
~
SТ(ж)Т(у)
(t, t) =-
[[>О
fТ(ж)Т(у)(t,
v)
dv +
['"
fт(ж)т(у)
(и,
t)
dU]
.
Следовательно,
/Т(жу)
(t) =
['"
fт(ж)т(у)
(t, v) dv +
[>О
/1'(Ж)Т(у)
(и,
t) du. (9.3.6)
Используя
соотношение
(9.3.2),
читатель
может
показать,
что
функция
плотно
сти
С.в.
Т
может
быть
также
выписана
в
виде
/Т(жу)
(t) =
fт(ж)
(t) + fT(y)(t) -
[11
fт(ж)т(у)
(t, v) dv +
[fт(ж)т(у)
(и,
t) du] ,
или,
в
актуарных
обозначениях,
fт(жу)
=
IРж
p(x+t)+IPy
р(уН)-
[11
fТ(ж)Т(у)(t,
v)
dv+
11
/т(ж)т(у)(u,
t) du]. (9.3.7)
Если
С.в.
Т(х)
и
Т(у)
независимы,
то
fT(x)T(y)
(и,
v) =
uРх
р(х
+
и)
vPy
р(у
+ v)
и
правая
часть
формулы
(9.3.6)
сводится
к
выражению
tPy
tPy[J.l(X
+t) +
р(у
+t)]. (9.3.8)
Пример
9.3.3.
Используя
формулу
(9.3.6),
выпишем
функцию
плотности
С.В.
Т(ху)
из
примера
9.2.1.
Проверим
правильность
полученного
результата,
рассмат
ривая
функцию
распределения
из
примера
9.3.1.
Решение.
Используя
формулу
(9.3.6),
получим
{
Jt
10
O,0006(t -
V)2
dv
+
//0
ОДО06(u
-
t)2
du
fT(t) = = 0,0004(10 -
t)3
при
О
< t < 10,
.
О в
остальных
случаях.
9.3.
Статус
дожития
Бсех
лиц
из
группы
243
Это
выражение
совпадает
с
производной
функции
распределения
из
примера
9.3.1
.•
Мы
видели,
что
С.в.
Т(ху)
из
примеров
9.3.1
и
9.3.2
имеют
одинаковые
распре
деления.
Если
для
нахождения
функции
плотности
С.в.
Т(ху)
в
примере
9.2.3
мы
используем
выражение
(9.3.8),
то
снова
убедимся
в
этом.
Нахождение
этой
функции
составляет
упр.
9.8.
Как
было
объяснено
в
гл.
3,
распределение
Т
=
Т(ху)
можно
определить
и
через
интенсивность
~смертности~
или,
более
общим
образом,
через
интенсивность
4:потери
CTaTyca~.
Сначала
введем
обозначение
для
интенсивности
потери
статуса
в
момент
времени
t.
Традиционным
обозначением
для
нее
является
l
)
J1x+t:y+t
(по
аналогии
с
J.Lx+t),
но,
готовясь
к
обсуждению
других
статусов,
где
необходимо
ука
зывать
продолжительность
периода,
прошедшего
с
момента
заключения
договора
страхования,
а
также
учитывая
соглашение
об
обозначениях
из
гл.
3,
мы
будем
пользоваться
обозначением
J1жу
(t).
Это
обозначение
не
обязательно
означает,
что
(х)
и
(у)
или
статус
дожития
(ху)
подвергается
процессу
селекции
рисков,
просто
этот
статус
возникает
в
указанных
возрастах.
По
аналогии
с
первым
равенством
формулы
(3.2.13)
при
замене
fT(x)(X)
и
РТ(х)
(х)
на
fT(xy)(t)
и
FT(xy) (t)
соответственно
мы
получим
Hxy(t) = fT(xy)(t) (9.3.9)
r 1 -
РТ(ху)
(t)
Для
зависимых
С.в.
Т(х)
и
Т(у)
это
выражение
нельзя
упростить.
Однако
для
независимого
случая,
используя
формулы
(9.3.3)
и
(9.3.8),
мы
получаем
J1xy(t) =
М(Х
+t) +
J.L(Y
+
t).
Иными
словами,
если
продолжительности
предстоящей
жизни
независимы,
то
интенсивность
потери
статуса
дожития
всех
лиц
из
группы
является
суммой
ин
тенсивностей
смертности
для
этих
лиц.
Как
и
в
гл.
3
для
случая
одного
лица,
мы
можем
описать
распределение
С.в.
Т(ху)
функцией
плотности,
функцией
распреде
ления,
функцией
дожития
или
интенсивностью
потери
статуса.
Пример
9.3.4.
Определим
интенсивность
потери
статуса
дожития
обоих
лиц
(х)
и
(у)
из
примеров
9.2.1
и
9.2.3.
Решение.
Поскольку
совместные
распределения
из
этих
двух примеров
при
ВОДЯТ
к
одному
и
тому
же
распределению
С.в.
Т(ху),
будем
считать,
что
условие
независимости
выполнено.
Из
п.
(а)
примера
9.2.3
и
формулы
(9.3.9)
получаем
J-Lxll(t)
= 4/(10 - t),
о
< t <
10.
•
Теперь
перейдем
к
пошаговой
продолжительности
предстоящего
периода
сохра
нения
статуса
дожития
всех
лиц
из
группы.
Вероятность
того,
ЧТО
статус
дожития
всех
лиц
из
группы
теряется
в
течение
периода
времени
с
k
по
k +1,
определяется
формулой
P(k
<
Т
~
k +
1)
=
Р(Т
~
k +
1)
-
Р(Т
~
k) =kPxy - k+1Pxy = kPxy Qx+k:y+k'
(9.3.10)
Если
продолжительности
предстоящей
жизни
лиц
(х)
и
(у)
независимы,
то
вероят
ность
потери
статуса
(х
+k :
у
+k)
дожития
обоих
лиц
в
течение
следующего
года
l)Начиная
с
этой
главы,
символ
.двоеточие.,
который
раньше
использовался
как
обязатель
ный
элемент
обозначений
типа
а
х
:щ,
будет
использоваться
и
как
необязательный разделительный
символ,
который
может
опускаться,
если
нет
опасности
неправильного
понимания
формулы.
Прu.м..
ред.
244
Гл.
9.
Актуарные
функции
ДЛЯ
нескольких
лиц
можно
выписать
в
терминах
вероятностей
независимых
случаев
смерти
этих
отдель
ных
лиц
следующим
образом:
qx+k:y+k
= 1 -
Px+k:y+k
= 1 -
Px+k
Py+k
=
(1
-
qx+k)(l
-
qy+k)
=
qx+k
+
qy+k
-
Qx+k
Qy+k
=
Qx+k
+
(1
-
Qx+k)Qy+k.
(9.3.11)
Из
обсуждения
пошаговой
продолжительности
предстоящей
жизни
лица
(Х)
в
разд.
3.2.3
мы
видим,
что
равенство
(9.3.10)
также
дает
функцию
распределения
С.В.
К,
числа
полных
лет,
прошедших
до
момента
потери
статуса
дожития
всех
лиц
из
группы,
т.
е.
для
k =
0,1,2,
...
Р(К
=
k)
=
P(k
~
Т
<k +1) =
P(k
<
Т
~
k +1) =
kPxy
Qx+k:y+k
=
klQxy.
(9.3.12)
Пример
9.3.5.
Определим
функцию
вероятностей
и
математическое
ожидание
с.в.
К(ху),
используя
функции
распределения
из
примеров
9.3.1
и
9.3.2.
Решение.
В
силу
примера
9.3.2
kPxy
= 0,0001(10 -
k)4.
Следовательно,
Р[К(ху)
=
kJ
=0,0001[(10 -
k)4
-
(9
-
k)4],
Согласно
формуле
(3.5.5),
k
=
0,1,2,3,
...
,9.
00
9
еху
=
Е[К(ху)]
= L
k+1Pxy
= L 0,0001(9 -
k)4
= 1,5333.
k=O
k=O
9.4.
Статус
дожития
последнего
лица
в
группе
В
дополнение
к
страховым
выплатам,
определенным
в
терминах
времени
первой
смерти,
существуют
выплаты,
определенные
в
терминах
момента
последней
смерти.
В
настоящем
разделе
мы
рассмотрим
ситуации,
в
которых
рассматривается
случай
ная
величина
момента
последней
смерти.
Статус,
который
сохраняется
до
тех
пор,
пока
живо
хотя
бы
одно
лицо
из
неко
торой
группы,
и
теряется
в
момент
смерти
последнего
из
них,
называется
стату
сом
дожития
последнего
лица
в
группе.
Он
обозначается
через
(ХIХ2'"
х
т
),
где
Xi
-
возраст
i-ro
члена
группы,
а
т
-
число
членов
группы.
Будем
рассмат
ривать
распределение
С.В.
Т
=
mах[Т(Хl),
Т(Х2),'
..
,
Т(х
т
)],
продолжительности
периода
до
потери
данного
статуса,
где
T(Xi) -
случайная
величина
продолжи
тельности
предстоящей
жизни
лица
с
номером
i.
Случайную
величину
Т
мож
но
интерпретировать
как
наибольшую
nоряд'ICовую
cтaтucmu'ICY,
образованную
С.В.
Т(Х1),
Т(Х2),""
Т(х
т
).
В
отличие
от
ситуации,
типичной
ДЛЯ
такой
порядковой
ста
тистики,
указанные
т
случайных
величин
не
обязаны
быть
независимыми
и
одина
ково
распределенными.
Для
случая
двух
лиц
(х)
и
(у)
имеет
место
равенство
Т(ху)
=
mах[Т(х)
,
Т(у)].
Между
С.в.
Т(ху), Т(ху),
Т(х) и
Т(у)
существует
связь.
Так,
если
С.в.
Т(ху)
равна
Т(х),
то
С.в.
Т(ху)
равна
Т(у),
и
наоборот,
если
с.в.
Т(ху)
равна
Т(у),
то
С.в.
Т(ху)
равна
Т(х).
Таким
образом,
для
всевозможных
совместных
распределений
С.в.
Т(х)
9.4.
Статус
ДОЖИТИЯ
последнего
лица
в
группе
и
Т
(у)
справедливы
соотношения
Т(ху)
+
Т(ху)
=
Т(х)
+
Т(у),
Т(ху)Т(ху)
=
Т(х)Т(у),
аТ{ХУ)
+
аТ(ХУ)
=
аТ{Х)
+
аТ(У)
при
а
>
О.
245
(9.4.1)
(9.4.2)
(9.4.3)
Можно
также
записать
ряд
соотношений,
связывающих
распределения
этих
че
тырех
случайных
величин,
которые
вытекают
из
следующей
формулы
включения
и
исключения:
Р(А
U
В)
+
Р(А
n
В)
=
Р(А)
+
Р(В).
(9.4.4)
Определяя
событие
А
как
{Т(х)
~
t},
а
В
-
как
{Т(у)
~
t},
получим
А
n
в
=
{Т(ху)
~
t}
и
А
u
В
=
{Т(ху)
~
t},
что
даст
следующее
равенство:
FT(xy)(t) +FT(xy)(t) = FT(x)(t) +FT(y)(t). (9.4.5)
Отсюда
следует,
что
tPxy
+
t'Pxy
=
tPx
+tPy,
fT(xy)(t)
+ fT(xy)(t) = fT(x)(t) +
fT{y)
(t).
(9.4.6)
(9.4.7)
Соотношение,
полученное
выше,
позволяет
исследовать
распределение
продол
жительности
предстоящего
периода
сохранения
статуса
дожития
последнего
лица
в
группе,
используя распределение
продолжительности
предстоящего
периода
со
хранения
статуса
дожития
всех
лиц
из
группы,
полученное
в
предыдущем
разделе.
В
качестве
иллюстрации
этого
утверждения
подставим
формулу
(9.3.2)
в
(9.4.5)
и
получим
РТ(ху)
(t) =
РТ(х)
(t) +
РТ(у)
(t) -
FT(xy)
(t) =FT(x)T(y) (t, t);
это
соотношение
также
следует
из
равенства
FT(xy)(t) =
Р[Т(х)
~
t n
Т(у)
~
t].
Пример
9.4.1.
Найдем
функцию
распределения,
функцию
дожития
и
функцию
плотности
С.в.
Т(ху)
для лиц
из
примера
9.2.1.
Решение.
В
силу
формулы
(9.4.5)
и
решения
п.
(Ь)
примера
9.2.1
и
примера
9.3.1
имеем
РТ(ху)
(t) = 2{0,5 +
ОДОО05[t
4
- (10 - t)4]) -
[1
- 0,0001(10 -
t)4]
= 0,0001 t
4
=
РТ(х)Т(у)
(t,
t),
о
~
t < 10,
tPxy =1 -
FT(xy)
(t) =1 - 0,0001
t\
О
< t
~
10.
Дифференцируя,
получим
fT(xy) (t) = 0,0004 t
3
,
О
< t < 10.
'f
Пример
9.4.2.
Найдем
функцию
распределения,
функцию
дожития
и
функцию
плотности
С.в.
Т(ху)
для
лиц
из
примера
9.2.3.
Решение.
Из
формулы
(9.4.5)
и
решений
примеров
9.2.3
и
9.3.2
имеем
для
О
<
t
~
10
FT(xy)
(t) =
2[1
- 0,01(10 -
t)2]
-
[1
- 0,0001(10 -
t)4]
=
[1
- 0,01(10 -
t)2]2
=t
2
(0,2 - 1,Olt)2 =FT(x)T(y) (t, t),
t'Pxy
= 1 -
РТ(ху)
(t) = 1 - t
2
(0,2
- 0,01t)2,
fT(xy)
(t) =0,04 t(2 - O,lt)(l - O,lt),
о
< t < 10.
246
Гл.
9.
Актуарные
функции
ДЛЯ
нескольких
лиц
Сравнивая
примеры
9.3.1
и
9.3.2
с
примерами
9.4.1
и
9.4.2,
получаем,
что
два
различных
совместных
распределения
могут
приводить
к
одному
И
тому
же
рас
пределению
продолжительности
предстоящего
периода
сохранения
статуса
дожи
тия
всех
лиц
из
группы,
но
к
разным
распределениям
продолжительности
периода
сохранения
статуса
дожития
последнего
лица
в
группе.
Такая
возможность
могла
быть
предсказана
заранее,
исходя
из
общего
характера
равенства
(9.4.5).
Для
применения
равенства
(9.4.5)
и
(9.4.7)
удобнее
переписать
в
актуарных
обо
значениях:
tfftV =
tqж
+ tqy -
tqжу,
tPxy
J.tжу(t)
=
tРж
J.t(x
+t) +
tPy
J.t(y
+t) -
tРжу
J.tжу(t).
(9.4.5')
(9.4.7')
(9.4.8)
(9.4.9)
(9.4.10)
Интенсивность
потери
статуса
дожития
последнего
лица
в
группе
неявно
определена
формулой
(9.4.7'):
-(t)
-
fT(xy)
(t) _
tРж
J.t(x
+ t) +
tPy
J.t(y
+t) -
tРжу
J.tжу(t)
J.tЖУ
-
1 -
FТ(жу)(t)
tРжу
Если
С.в.
Т(х) и
Т(у)
независимы,
то
J.tжу(t)
в
(9.4.7')
и
(9.4.8)
можно
заменить
на
J.tж(t)
+
J.ty(t)
,
Т.е.
они
примут
вид
tPxy
J.tжу(t)
=tqy
tРж
J.t(x
+t) +
tqж
tPy
J.t(y
+t),
-(t)
-
tqy
tРж
J.t(x
+t) +
tqж
tPy
J.t(y
+t)
J.tжу
- .
tqy
tРж
+
tqж
tPy
+
tРж
tPy
В
такой
форме
интенсивность
потери
статуса
дожития
последнего
лица
в
группе
представляет
собой
взвешенное
среднее
интенсивностей
смертности,
которые
явля
ются
функциями
плотностей
условных
распределений,
а
вероятность
того,
что
оба
лица
(х)
и
(у)
умрут
в
момент
времени
t,
равна
О.
Таким
образом,
интенсивность,
связанная
с
произведением
tPx
tPy
во
взвешенном
среднем,
равна
О.
Пример
9.4.3.
Найдем
интенсивность
потери
статуса
дожития
последнего
из
двух
лиц
из
(а)
примера
9.2.1,
(Ь)
при
мера
9.2.3.
Решение.
(а)
Используя
результаты
примера
9.4.1,
получаем
0,0004 t
3
4 t
3
J.lxy(t)
= 1 - 0,0001 t
4
-
10000 - t
4
•
(Ь)
Используя
результаты
при
мера
9.4.2,
получаем
-(t)
_ 0,04 t(2 - 0,1 t)(1 - 0,1 t) _ 4t(20 - t)(10 - t)
J.txy
-
1-
t
2
(0,2
- 0,01 t)2 - 10000 - t
2
(20
- t)2 .
~
Для
пошаговых
продолжительностей
предстоящего
периода
сохранения
статуса
дожития
имеются
дискретные
аналоги
соотношений
(9.4.1)-(9.4.3)
и
(9.4.5)-(9.4.7),
а
именно
К(ху)
+
К(ху)
=
К(х)
+
К(у),
К(ху)К(ху)
=
К(х)К(у),
аК(ЖУ)
+
аК(ЖУ)
=
аК(Ж)
+
аК(У)
при
а
>
О,
FK(xy)(k) + FK(xy)(k) =FK(x)(k) + FK(y)(k).
(9.4.11)
(9.4.12)
(9.4.13)
(9.4.14)
9.5.
Вероятности
и
математические
ожидания
Из
формулы
(9.4.14)
следует,
что
fK(xy)(k)
+
fК(жу)(k)
=
fK(x)(k)
+
fK(y)(k).
247
(9.4.15)
Из
этих
соотношений
и
результатов
ДЛЯ
пошаговой
продолжительности
предсто
ящего
периода
сохранения
статуса
ДОЖИТИЯ
всех
лиц
из
группы
можно
получить
распределение
С.в.
К(ху)
числа
полных
лет
до
потери
статуса
дожития
последне
го
лица
в
группе,
т.
е.
числа
полных
лет
до
смерти
последнего
лица
из
группы.
Из
(9.4.15)
следует,
что
Р[К(ху)
=
k]
=
fК(жу)(k)
=
kРж
Qx+k
+
kPy
qy+k -
kРжу
qж+k:у+k
. (9.4.16)
Для
независимых
лиц
формулы
(9.3.5)
и
(9.3.12)
позволяют
переписать
(9.4.16)
в
виде
Р[К(ху)
=
k]
=
kРж
Qx+k
+
kPy
qy+k -
kРж
kPy(Qx+k +qy+k -
Qx+k
Qy+k)
=
(1
-
kРу)kРж
qx+k +
(1
- kPx)kPy qy+k +
kPx
kPy
Qx+k
Qy+k
.
В
последнем
выражении
первые два
слагаемых
-
это
вероятность
того,
что
только
вторая
смерть
произойдет
между
моментами
времени
k
и
k +1.
Третье
слагаемое
является
вероятностью
того,
что
обе
смерти
произойдут
в
течение
указанного
года.
Это
выражение
для
P[K(xy}=k]
аналогично
выражению
(9.4.9)
для
плотности
С.в.
Т
(ху),
в
котором
имеются
лишь
два
слагаемых, так
как
вероятность
того,
что
обе
смерти
про
изойдут
в
одно
И
то
же
время,
равна
О.
9.5.
Вероятности
и
математические
ожидания
В
разд.
9.2
и
9.3
мы
выразили
функции
плотности
и
функции
распределения
продолжительностей
преДСТОЯIЦего
периода
до
потери
статуса
дожития
всех
лиц
из
группы
и
статуса
дожития
последнего
лица
в
группе
в
терминах
функций
рас
пределения
для
отдельных
лиц.
В
этом
разделе
мы
используем
эти
выражения
для
решения
вероятностных
задач
и
для
вывода
формул
для
математических
ожиданий,
дисперсий
и,
если
случайные
величины
продолжительности
преДСТОЯIЦей
жизни
от
дельных
лиц
независимы,
ковариаций
продолжительностей
преДСТОЯIЦего
периода
сохранения
статуса
дожития
всех
лиц
из
группы
и статуса
дожития
последнего
лица
в
группе.
Пример
9.5.1.
Предполагая,
что
продолжительности
преДСТОЯIЦей
жизни
лиц
(80)
и
(85)
независимы,
выразим
в
терминах
актуарных
функций
для
отдельных
лиц
вероятности
того,
что
(а)
первая смерть
произойдет
не
ранее
5,
но
не
позднее
10
лет
от
наСТОЯIЦего
момента
времени,
(Ь)
последняя
смерть
произойдет
не
ранее
5,
но
не
позднее
10
лет
от
настоящего
момента
времени.
Решение.
(а)
Для
Т
=
Т(80:85)
получим
Р(5
<
Т
~
10) =
Р(Т
>
5)
-
Р(Т
>10) =
5Р80:85
-
10Р80:85
=
5Р80 5Р85
-
10Р80
lOPS5.
Заметим,
что
предположение
о
независимости
использовано
лишь
на
последнем
шаге.
(Ь)
ДЛЯ
Т
=
Т(80:85)
Р(5
<
Т
~
10)
=
Р(Т
>
5)
-
Р(Т
>10) =
5Ps0:"85
-
lOPSO:85,
_24_8
г_л_"
_9_.
_A_K_T.l::.y_a=-рН_bl_е
функции
ДЛЯ
нескольких
лиц
а,
согласно
равенству
(9.4.6),
последнее
выражение
равно
БР80
- lOPSO +
5РВ5
-
10Р85
-
(5Р80:85
-
10Р80:85)'
(9.5.1)
Используя
предположение
о
независимости,
можно
заменить
sP80:85
на
5Р80
sP85
и
10Р80:85
на
10Р80
10Р85·
.-
Результаты
разд.
3.5
о
математических
ожиданиях
с.в.
Т,
продолжительности
предстоящей
жизни
лица
(х),
также
справедливы,
если
Т
=
Т(и)
-
продолжитель
ность
предстоящего
периода
сохранения
статуса
(и).
Мы
использовали
некоторые
из
этих
результатов
в
двух
предыдущих
разделах.
Теперь
сформулируем
их
в
явном
виде.
Согласно
формуле
(3.5.2),
€и
=
Е[Т(и)]
,
что
в
случае
статуса
(и)
можно
полу
чить
ИЗ
формулы
е
и
=
[Ю
tPu
dt.
о
.
Если
(и)
-
статус
(ху)
дожития
обоих
лиц,
то
е.
у
=
!А""
tP.y
dt, (9.5.2)
а
если
(и)
-
статус
(ху)
дожития
последнего
из
двух
ЛИЦ,
то
ежу
=
!А""
tPжii
dt. (9.5.3)
Взяв
математические
ожидания
от
обеих
частей
равенства
(9.4.1),
получим
о о о
о
ежу
=
еж
+
е
у
-
ежу.
(9.5.4)
К
(и)
для
статуса
00
ежу
=
LkРжу
k=l
Согласно
формуле
(3.5.7),
математическое
ожидание
с.в.
К
дожития
(и)
-
это
00
е
и
=
LkPu,
k=l
00
И
ежу
=L kPxy.
k=l
в
частности,
в
силу
равенства
(9.4.11)
ежу
=
еж
+
е
у
-
ежу.
(9.5.5)
Формулы
для
дисперсий,
полученные
в
разд.
3.5,
можно
использовать
для
расчета
дисперсий
продолжительности
предстоящего
периода
сохранения
некоторого
стату
са
дожития
(и)
или
пошаговой
продолжительности
предстоящего
периода
сохране
ния
этого
статуса.
Таким
образом,
D[T(xy)] =
210""
ttp.ydt
-
(е.
у
)',
D[T(xy)] =
21000
t
tPжiidt
-
(е.
у
)',
(9.5.6)
(9.5.7)
в
при
мере
9.2.1
мы
вычислили
ковариацию
для зависимых
С.в.
Т(х)
и
Т(у).
Вернемся
к
случаю
зависимых
продолжительностей
предстоящей
жизни
и
исследуем
ковариацию
С.В.
Т(ху)
и
Т(ху)
в
общем
случае:
Соу[Т(ху),
Т(ху)]
=
Е[Т(ху)Т(ху)]
-
Е[Т(ху)]
E[T(xy)J.
(9.5.8)
9.6.
Модели
зависимых
продолжительностей
предстоящей
жизни
249
в
силу
формулы
(9.4.2)
имеем
Е[Т(ху)Т(ху)]
=
Е[Т(х)Т(у)].
Использовав
этот
результат
и
формулу
(9.5.4),
M~I
можем
записать
Cov[T(xy),
Т(ху)]
=
Е[Т(х)Т(у)]
-
Е[Т(ху)]{Е[Т(х)]
+
Е[Т(у)]
-
Е[Т(ху)]};
правую
часть
этого
равенства
можно
переписать
в
виде
Cov[T(x),
Т(у)]
+
{Е[Т(х)]
-
Е[Т(ху)]}
{Е[Т(у)]
-
Е[Т(ху)]}.
Если
С.в.
Т(х)
и
Т(у)
некоррелированы,
то
о
о
о
о
Cov[T(xy),
Т(ху)]
=
(еж
-
ежу)(е
у
-
ежу).
(9.5.9)
(9.5.10)
Поскольку
оба
сомножителя
в
(9.5.10)
должны
быть
неотрицательными,
ясно,
что
если
Т(х)
и
Т(у)
некоррелированы,
то
с.в.
Т(ху)
и
Т(ху)
положительно
коррели-
о
о
рованы,
за
исключением
тривиальных
случаев,
когда
одна
из
величин
еж
или
е
у
о
равняется
ежу.
Пример
9.5.2.
Для
С.в.
Т(х)
и
Т(у)
из
примеров
9.2.1
и
9.2.3
определим
(а)
Cov[T(xy),
Т(ху)]
,
(Ь)
коэффициент
корреляции
между
с.в.
Т(ху)
и
Т(ху).
Решение.
Б6льшая
часть
необходимых
расчетов
была
проделана
в
предыдущих
примерах.
Оставшиеся
вычисления
можно
легко
завершить,
используя
вид
функций
плотности,
приведенных
в
этих
примерах.
Для
завершения
расчетов
сведем
резуль
таты
в
таблицу,
указывая
вид
формулы
и
номер
примера.
Распределение
Формула
(а)
~x
=
~y
=
Е[Т(х»)
=
Е[Т(у»)
~жу
=
Е[Т(ху»)
Cov[T(x),
Т(у)]
Cov[T(xy),
Т(ху)]
(Ь)
Е[Т(ху)2]
D[T(xy)]
Е[Т(ху)]
Е[Т(ху?]
D[T(xy)]
РТ(жу)Т(жу)
Примеры
9.2.1,
9.3.1, 9.4.1
5
2
-25/3
2/3
20/3
8/3
8
200/3
8/3
1/4
Примеры
9.2.3,
9.3.2, 9.4.2
10/3
2
О
16/9
20/3
8/3
14/3
80/3
44/9
9.6.
Модели
зависимых
продолжительностей
предстоящей
жизни
В
разд.
9.2
рассматривалось
совместное
распределение
с.в.
Т(х)
и
Т(у).
Для
иллюстрации
приводились
два
при
мера,
которые
не
кажутся
подходящими
для
мо
делирования
совместного
распределения
продолжительнастей
предстоящей
жизни.
Пример
9.2.1
иллюстрирует
случай,
когда
С.В.
Т(х)
и
Т(у)
зависимы,
а
пример
9.2.3
-
когда
они
независимы.
250
Гл.
9.
Актуарные
функции
ДЛЯ
нескольких
лиц
в
этом
разделе
будут
изучены
два
общих
подхода
к
построению
совместного
распределения
С.в.
Т(х)
И
Т(у).
Удобный
частный
случай
независимых
случайных
величин
охватывается
каждой
из
этих
моделей.
9.6.1.
Модель
с
возмущением
Пусть
Т*
(х)
и
Т*
(у)
-
две
случайные
величины
продолжительностей
предсто
ящей
жизни,
которые
при
отсутствии
возмущения
являются
независимыми,
т.
е.
ST"(x)T"(y)(s,t) =
P[T*(x»snT*(y»t)
=ST"(x)(S)ST"(y)(t).
(9.6.1)
(9.6.3а)
(9.6.ЗЬ)
0<
t < s,
о
< S < t.
Пусть
имеется
также
случайная
величина
воз.мущенuл,
обозначаемая
через
Z,
кото
рая
может
влиять
на
совместное
распределение
продолжительностей
предстоящей
жизни
лиц
(х)
и
(у).
Эта
случайная
величина
возмущения
независима
от
пары
[Т*(х),Т*(у»)
и
имеет
показательное
распределение,
Т.е.
sz(z) =
e->'z,
z >
О,
л
~
О.
Можно
представлять
себе,
что
С.в.
Z
связана
с
моментом
катастрофы,
например,
с
землетрясением
или
с
авиационной
катастрофой.
Для
построения
моделей
страхова
ния
жизни
и
аннуитетов
для
лиц
(х)
и
(у)
нам
ПО
надобятся
С.в.
Т(х)
= min[T*(x),
Z)
и
Т(у)
=min[T*(y), Z).
Совместная
функция дожития
С.в.
Т(х)
и
Т(у)
-
это
ST(x)T(y)(S,
t) =
P{min[T*(x),
Z)
>S nmin[T*(y),
Z)
> t}
=
Р{[Т*(х)
>S n
Z>
В)
n
[Т*(у)
>t n Z >
t]}
=
Р[Т*(х)
>S n
Т*(у)
>t n
Z>
mах(в,
t»)
=
вт"(х)(в)
ST"(y)(t)
е-Л[mах(s.t)].
(9.6.2)
Последнее
равенство
формулы
(9.6.2)
справедливо
в
силу
независимости
случайных
величин
Т*(х),
Т*(у)
и
Z.
Используя
совместную
функцию
дожития
(9.6.2),
можно
определить
функцию
плотности
совместного
распределения
пары
[Т(х),Т(у»).
За
исключением
случая,
когда
S =
t,
эта
функция
плотности
имеет
вид
fт(ж)т(у)(S,
t) =
B~~t
Sто(ж)
(S)STO
(у)
(t)
е-л(mах(в,t)]
{
[B~"(x)(B)
S~"(y)(t»)
-
Лsт.(х)(s)
S~"(y)(t»)
е-
ЛS
,
[s~
..
(x)(s)
S~"(y)(t»)
-
лs~.(х)(s)
ST.(y)(t»)
e->'t,
Этой
формулы
недостаточно,
чтобы
полностью
определить
рассматриваемую
функ
цию
плотности.
Когда
S = t,
вклад
возмущения
в
эту
функцию
равен
fT(x)T(y) (t, t) =
Ле->.t
ВТ.(х)
(t)ST.
(у)
(t).
(9.6.3с)
Область
определения
этой
смешанной
плотности
с
гребнем
на
линии
S = t
изобра
жена
на
рис.
9.6.1.
Замечание.
Интерпретация
функции
плотности,
заданной
формулами
(9.6.За),
(9.6.3Ь)
и
(9.6.Зс),
требует
тщательного
анализа
распределения
пары
[Т*(х),
Т*(у»)
и
пары
{Т(х)
= min[T*(x), Z),
Т(у)
= min[T*(y),
Z]}.
Таблица
9.6.1
помогает
этому
анализу.
Из-за
наличия
возмущения
Z
реализации
с.в.
Т*(х)
и
Т*(у)
не
могут
наблюдаться
при
условии
предшествующей
реализации
С.в.
Z.
Случайная
вели
чина
возмущения
может
маскировать
или
цензурировать
наблюдения
с.в.
Т*(х)
и