Бауэрс Н., Гербер Х., Джанс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика

Подождите немного. Документ загружается.

9.8.

Вычисления:

специальные

предположения

смертности

261

9.8.1.

Законы

Гомперца

Мейкема

Здесь

мы

рассмотрим

предположение

о том,

что

смертность

подчиняется

закону

Мейкема

или

его

важному

частному

случаю,

закону

Гомперца,

также

следствия

из

этого

предположения

для

расчетов

актуарных

настоящих

стоимостей

контексте

статусов

для

группы

лиц.

Мы

будем

считать,

что

случайные

величины

продолжи

тельности

предстоящей

жизни

независимы.

Начнем

предположения,

что

смертность

для

каждого

лица

подчиняется

закону

Гомперца

р,{х)

ВеХ.

Мы

ищем

статус

дожития

(ш)

для

отдельного

лица,

такой,

что

интенсивность

потери

этого

статуса

совпадает

интенсивностью

потери

статуса

(ху)

дожития

обоих

лиц

для

всех

;:::

О.

Рассмотрим

Т.е.

р'ХУ{В)

p,(w

В),

О,

(9.8.1)

или

(9.8.2)

СУ

= e

что

определяет

искомый

возраст

ш.

Отсюда

следует,

что

для

t >

'Pw

ехр

[

-1'

I"(W +

dS]

ехр

[

-1'

••

(S)

dS]

,Р

••

· (9.8.3)

Таким

образом,

случае

возраста

определенного

формулой

(9.8.2),

все

ве

роятности,

математические

ожидания

дисперсии

для

статуса

дожития

обоих

лиц

(ху)

равны

соответствующим

величинам

для

одного

лица

(w).

Таким

образом,

при

задании

величин

форме

таблицы

отпадает

необходимость

двумерном

массиве.

этом

случае

можно

ограничиться

одномерным

массивом,

но

поскольку

обыч

но

не

целое

число,

для

определения

соответствующих

значений

этому

массиву

при

меняется

интерполяция.

Если

предполагать,

что

смертность

каждого

лица

следует

закону

Мейкема

(см.

табл.

3.6),

то

процедура

становится

более

сложной.

Интенсивность

потери

статуса

дожития

обоих

лиц

равна

(9.8.4)

Мы

не

можем

подобрать

статус

для

одного

лица,

как

выше,

из-за

слагаемого

2А.

Заменим

(ху)

другим

статусом

дожития

обоих

лиц

паре,

(ww).

Тогда

(9.8.5)

мы

выбираем

такое

ш,

что

(9.8.6)

отличие

от

закона

Гомперца,

где

одномерный

массив

основывается

на

актуарных

функциях

для

одного

лица,

этот

одномерный

массив

основывается

на

актуарных

функциях

для

статуса

дожития

двух

лиц

одного

возраста

(ww).

Пример

9.8.1.

Используя

формулу

(3.7.1)

значения

величины

хх

определя

емые

по

Иллюстративной

таблице

смертности

(приложение

2А)

считая

процент

ную

ставку

равной

6%,

вычислим

значения

величины

а60:70'

Сравним

полученный

результат

со

значениями

а60:70

из

таблицы

для

+l0.

262

Гл.

Актуарные

функции

для

нескольких

лиц

(9.8.9)

Решение.

Поскольку

100,04

6О

7О

= 2c

мы

получаем

w = 66,11276.

Тогда

линейная

интерполяция

дает

а60:70

0,88724а66:66

0,11276а67:67

= 7,55637.

Значение

из

таблицы

для

+l0

равно

7,55633.

9.8.2.

Равномерное

распределение

Мы

сохраняем

предположение

независимости

дополнительно

предполагаем,

что

моменты

смерти

каждом

годичном

возрастном

интервале

для

каждого

ли

ца

из

группы

равномерно

распределены.

При

этом

дополнительном

предположении

мы

можем

вычислить

актуарные

настоящие

стоимости

аннуитетов,

выплачиваемых

чаще,

чем

раз

год,

страховых

выплат,

осуществляемых

момент

смерти.

Из

табл.

3.6

следует,

что

предположении

равномерности

распределения

момен

тов

смерти

каждом

годичном

возрастном

интервале

tPx = 1 - tqx

tPx

J-L(x

+ t) =

- tPx) =qx· (9.8.7)

Если

мы

применим

это

предположение

к статусу

дожития

обоих

лиц

(ху)

при

неза

висимых

с.в.

Т(х)

Т(у),

то

получим

для

tPxy J.lxy(t) =

tPx

tPy[J.l(x

+t) +

J.l(y

+t)]

tPy

tPx

J-L(x

tPx

tPy

р,(у

+ t) =

- tqy)qx +

- tqx)qy

- qxqy +

- 2t)qxqy = qxy +

- 2t)qxqy. (9.8.8)

Согласно

формуле

(4.4.1),

актуарная

настоящая

стоимость

страховой

выплаты,

со

пряженной

со

статусом

дожития

(и),

может

быть

записана

виде

.А

kPu

i)l-S

k+sPu

Jlu(k +8)

d8.

k=O

kPu

Используя

(9.8.8),

можно

переписать

это

равенство

для

статуса

дожития

обоих

лиц

(ху)

виде

1 ]

.Аху

kPxy

qx+k:y+k

i)l-S

ds +

qx+k

qy+k

i)l-S(1-

28) ds

k=O

_ i i ( 2

k+l

"JA

+ J

L,v

kPxyqx+kQy+k·

k=O

Из

формулы

(4.4.2)

следует,

что

первое

слагаемое

правой

части

этого

соотно

шения

равно

.Аху,

если

продолжительность

(ху)

периода

сохранения

статуса

(ху)

равномерно

распределена

каждом

годичном

интервале.

Это

не

выполняется

для

Т(ху)

= {min[T(x),

Т(у)]},

где

с.в.

Т(х) и

Т(у)

независимы

равномерно

распреде

лены

каждом

таком

интервале.

этом

случае

условное

распределение

с.в.

Т(ху)

при

условии,

что

Т(х) и

Т(у)

лежат

различных

годичных

интервалах,

также

рав

номерно

каждом

годичном

интервале

предстоящего

периода

сохранения

статуса.

Однако

если

Т(х)

Т(у)

лежат

внутри

одного

того

же

интервала,

то

масса

распре

деления

их

минимума

смещена

началу

этого

интервала

(см.

упр.

9.38).

Наличие

такого

смещения

приводит

необходимости

во

втором

слагаемом

правой

части

ра

венства

(9.8.9)

для

покрытия

дополнительных

ожидаемых

расходов

по

более

ранним

страховым

случаям

эти

годы.

Это

второе

слагаемое,

которое

является

произведе

нием

коэффициента,

зависящего

от

процентной

ставки

приблизительно

равного

9.8.

Вычисления: специальные

предположения

смертности

263

i/6

(см.

упр.

9.39),

актуарной

настоящей

стоимости

страховых

выплат

на

случай

смерти

обоих

лиц

одном

том

же

году,

очень

мало.

Для

актуарной настоящей

стоимости

.Аху

обычно

берут

приближенное

значение,

пренебрегая

малым

коррек

тирующим

слагаемым

и,

тем

самым,

упрощая

формулу

(9.8.9)

до

приближенного

равенства

1 -

аху

= 8(1 -

Аху),

И,

подставляя

сюда

выражение

из

(9.8.9),

имеем

Аху

Аху,

(9.8.10)

которое

является

точным,

как

отмечал

ось

выше,

если

с.в.

Т(ху)

равномерно

распре

делена

каждом

годичном

интервале

предстоящего

периода

сохранения

статуса.

Для

вычисления

аху,

заменяя

статус

(х)

на

(ху),

мы

получаем

из

формулы

(5.2.8)

__1{ i [

k+l

] }

аху

- 8 1 - 8

Аху

+ 1 - 8+ i

f='o

kPxy

Qx+k

qy+k

Теперь

силу

формулы

(5.3.7)

для

статуса

(ху)

мы

заменим

Аху

на

1 - dii

используем

(5.4.12)

(5.4.13),

чтобы

получить

(9.8.11)

i ( 2

k+l

аху

(а(оо)а

ху

,8(00)]

1 - 8+ i L.,.; V

kPxy

Qx+k

Qy+k·

k=O

Формула

(9.8.11)

следует

из

предположения,

что

С.в.

Т(х)

Т(у)

независимы

равномерно

распределены

каждом

будущем

годичном

интервале.

Если

мы

пред

положим,

что

С.в.

Т(ху)

сама

имеет

равномерное

распределение

каждом

будущем

годичном

интервале,

то

для

непрерывного

аналога

равенства

(5.4.11)

при

мы

сразу

же

получим

аху

а(оо)а

ху

,8(00).

(9.8.12)

Формула

(9.8.12)

отличается

от

(9.8.11)

небольшой

величиной,

которая

аппроксими

рует

произведение

коэффициента

i /

(66)

на

актуарную

настоящую

стоимость

стра

ховых

выплат,

если

оба

лица

умрут

одном

том

же

году.

Для

того

чтобы

использовать

тот

же

подход

для

вычисления

актуарной

настоя

щей

стоимости

аннуитета

пренумерандо

выплатами

раз

год,

нам

нужно

най-

ти

выражение

дЛЯ

A1~)

предположении

равномерности

распределения

моментов

смерти

для

каждого

лица

каждом

годичном

возрастном

интервале.

По

аналогии

непрерывным

случаем

мы

начнем

(т)

'"""

j/m(

)

ху

kPxy

L.,.; V

(j-l)/mРх+k;у+k

j/mPx+k;y+k

k=O

j=l

(9.8.13)

(9.8.14)

упр.

9.40

это

выражение

предположении,

что

С.В.

Т(х) и

Т(у)

независимы

равномерно

распределены

каждом

годичном

возрастном

интервале,

сводится

виду

(т)

_ _

_i_(

k+l

Аху

i(m)

Аху

i(m)

d(m)

+ i L.,.; V

kPxy

Qx+k

Qy+k

k=O

264

Гл.

Актуарные

функции

ДЛЯ

нескольких

лиц

При

члены

правой

части

формулы

(9.8.14)

стремятся

соответствующим

членам

(9.8.9).

Для

того

чтобы

интерпретировать

эту

правую

часть,

мы

по

ана

логии

(9.8.9)

замечаем,

что

первое

слагаемое

является

обычной

аппроксимацией

дЛЯ

A~Т;;)

точности

равно

этой

величине,

если

Т(ху)

равномерно

распределена

каждом

годичном

интервале.

Тогда

i ( 1 2

- 1 .

1+----+-

'" z

i(m)

d(m)

6т2'

что

меньше,

чем

i/б.

Подставляя

(9.8.14)

формулу

(5.4.4),

переформулированную

для

статуса

(ху),

заменяя

Аху

на

1 - dii

получим

формулу

для

a~,;),

которая

аналогична

фор

муле

(9.8.11).

Если

пренебречь

вторым

слагаемым

(9.8.14),

то

формула

для

a~7:)

сведется

a~~)

а(т)а

ху

/З(т).

(9.8.15)

Вновь

согласно

(5.4.11),

это

приближенное

равенство

является

точным

предпо

ложении,

что

распределение

С.в.

(ху)

равномерно

каждом

годичном

интервале

предстоящего

периода

сохранения

статуса.

9.9.

Актуарные

функции,

которых

учитывается

очередность

наступления

моментов

смерти

этом

разделе

мы

изучим

договоры

страхования,

выплаты

по

которым

зависят

не

только

от

времени

потери

статуса,

но

от

очередности,

которой

умирают

лица,

образующие

рассматриваемую

группу.

этом

разделе

будет

предполагаться,

что

функция

совместного

распределения

С.в.

Т(х)

Т(у)

непрерывна.

Это

предположе

ние

делается,

чтобы

исключить

модель

возмущением,

рассмотренную

разд.

9.6.1.

Мы

начнем

вычисления

вероятности

того,

что

лицо

(х)

умрет

прежде

лица

(у)

до

истечения

лет

настоящего

момента

времени.

Международной

системе

актуарных

обозначений

эта

вероятность

обозначается

через

nq;y'

где

над

указы

вает

на

то,

что

эта

вероятность

относится

событию

«лицо

(х)

умрет

прежде

лица

(y)~,

показывает,

что

это

событие

происходит

не позже,

чем

через

лет.

Тогда

nq;y

равна

двойному

интегралу

от

функции

плотности

совместного

распределения

с.в.

Т(х)

Т(у)

по

набору

таких

исходов,

что

Т(х)

Т(у)

Т(х)

nq;y =

!ОП

[Ю

fт(ж)Т(у)

(S,

!ОП

['"

fТ(у)lт(ж)(t

fт(ж)

(S)

!ОП

Р[Т(у);"

Т(х)

s]fт(ж)(s)

!ОП

Р[Т(у)

Т(х)

,Рж

JL(x

+s)

ds.

(9.9.1)

случае

независимости

имеет

место

равенство

[Т

(у)

S I

(х)

аРу,

так

что

nq;y =

!ОП

,Ру

,Рж

JL(X

ds.

(9.9.2)

Интерпретация

этого

выражения

состоит

из

трех

моментов.

Во-первых,

так

как

является

моментом

смерти

лица

(х),

вероятность

аРх

аРу

показывает,

что

оба

лица,

(Х)

(у),

доживут

до

момента

времени

Во-вторых,

/L(X+S)

является

вероятностью

(9.9.4)

9.9.

Актуарные

функции,

которых

учитывается

очередность

смертей

265

того,

что

лицо

(х),

которому

сейчас

Х+8

лет,

умрет

интервале

(8,

s+ds).

В-третьих,

вероятности

суммируются

для

всех

моментов

времени

между

Пример

9.9.1.

Вычислим

5Q;y

для

лиц

из

примера

9.2.1.

Решение.

Из

формулы

(9.9.1)

получаем

5q~y

J.I0

0,0006(t -

S)2

dtds

0,0002(10 - s)3

= 0,46875.

...

Теперь

мы

можем

вычислить

вероятность

того,

что

лицо

(у)

умрет

после

лица

(х),

но

до

окончания

n-летнего

периода,

начиная

нынешнего

момента

времени.

Эта

вероятность

обозначается

через

nqж;,

где

над

показывает,

что

лицо

(у)

умрет

вторым,

n -

то,

что

это

произошло

течение

лет.

Для

того

чтобы

вычислить

nqж;,

проинтегрируем

функцию

плотности

совместного

распределения

с.в.

Т(х)

Т(у)

для

события

{O~T(x)

~T(y)

~n}:

nqж;

[

/Т(ж)Т(у)

(s,

/Т(у)IТ(ж)(S

/Т(у)

(t)

= 1

P[T(x),,;tIT(y)=t]jT(y)(t)dt

= 1

Р[Т(х)";

t I

Т(у)

=t]

tPy

,,(у

+t) dt.

(9.9.3)

предположении

независимости

вновь

имеем

nqж;

tqж

tPy

,,(у

nqy

nqжt·

Если

изменить

порядок

интегрирования

(9.9.3),

то

получим

nqж;

= 1

J.n

/т(ж)т(у)(s,

= 1

J.n

/Т(у)lт(ж)(t

Is)

/Т(ж)

(s)

P[S

,,;

Т(у)

,,;

n I

Т(х)

,Рж

"(х

ds.

предположении

независимости

С.в.

Т(х) и

Т(у)

последнее

выражение

можно

переписать

виде

nqж;

(,Ру

пРу)

.Рж

"(х

+s)

nq~y

пРу

nqж.

(9.9.5)

Здесь

подынтегральное

выражение

интерпретируется

как

вероятность

того,

что

ли

цо

(х)

умрет

момент

времени

при

< 8 < n,

лицо

(у)

доживет

до

момента

времени

но

не

до

момента

Теперь

можно

записать

1 2

nQжу

nqжу

пРу

nqж·

Отсюда

следует

неравенство

1:>-

nQxy

nqжу·

Аналогичные

интегралы

могут

быть

записаны

для

актуарных

настоящих

сто

имостей

страховых

выплат

по

договорам,

учитывающим

порядок

наступления

мо

ментов

смерти,

но

некоторые

из

них

нельзя

упростить

до

такой

степени.

Рассмотрим

актуарную

настоящую

стоимость

страховых

выплат

размера

момент

смерти

ли-

266

Гл.

Актуарные

функции

ДЛЯ

нескольких

лиц

ца

(х)

при

условии,

что

лицо

(у)

еще

живо.

Эта

актуарная

настоящая

стоимость,

обозначаемая

через

A~y,

есть

E[Z],

где

Z =

{vT(X),

Т(х)

Т(у),

О,

Т(х)

Т(у).

Поскольку

является

функцией

С.в.

Т(х)

Т(у),

ее

математическое

ожидание

мож

но

получить,

используя

функцию

плотности

совместного

распределения

С.в.

Т(х)

Т(у):

A~y

foOO

/.00

fT(x)T(y) (" t) dt

fooo

/.00

fT(x)IT(y)(t

1.)

dtfT(x)(.)

fooo

[/.00

fT(y)IT(x)(tl.) dt]

.Рх

р(х

+.)

d..

(9.9.6)

При

независимости

с.в.

Т(х)

Т(у)

продолжительностей

предстоящей

жизни

можно

упростить

формулу

(9.9.6),

записав

ее

помощью

Международной

системы

актуар

ных

обозначений

виде

A~y

foOO

[/.00

tPy

р(у

+t) dt]

.Рх

р(х

+.)

fooo

,Ру

.Рх

р(х

+.)

d..

(9.9.7)

Последнее

выражение

можно

интерпретировать

следующим

образом:

если

лицо

(х)

умрет

какой-либо

будущий

момент

времени

лицо

(у)

будет

еще

живо,

то

будет

произведена

выплата

размера

имеющая

настоящую

стоимость

•

Если

8 =

О,

то

-1

Аху

схЛ

ху

Пример

9.9.2.

Выведем

формулу

актуарной

настоящей

стоимости

выплаты

размера

1000

момент

смерти

лица

(х)

при

условии,

что

лицо

(у)

еще

живо,

для

лиц

из

примера

9.2.3,

если

= 0,04.

Решение.

Поскольку

С.в.

Т(х)

Т(у)

примере

9.2.3

независимы,

можно

под

ставить

полученные

там

результаты

формулу

(9.9.7)

получить

1000

A~y

= 1000

1000

е-

,04

••

Ру

.Рх

р(х

+.)

= 1000

1010

е-

,04'0,01(10

- .)20,02(10

-.)

= 0,21010

е-

•

'(10

- .)3 ds = 462,52. .,

Пример

9.9.3.

(а)

Выведем

простую

интегральную

формулу

актуарной

насто

ящей

стоимости

страховой

выплаты

размера

момент

смерти

лица

(у),

если

ей

предшествовала

смерть

лица

(х).

(Ь)

Упростим

этот

интеграл

предположении

независимости

продолжитель

ностей

предстоящей

жизни.

(с)

Изменим

порядок

интегрирования

решении

п.

(Ь)

получим

другой

вари

ант

ответа.

Решение.

(а)

Актуарная

настоящая

стоимость,

обозначаемая

через

Ах;,

это

E[Z],

где

Z =

{vT(Y),

Т(х)

Т(у),

О,

Т(х)

Т(у).

9.10.

Вычисления:

актуарные

функции,

которых

учитывается

очередность

267

Снова

является

функцией

от

С.в.

Т(х)

Т(у),

так

что

можно

записать

интеграл

для

математического

ожидания

С.В.

используя

функцию

плотности

совместного

распределения

С.в.

Т(х) и

Т(у):

Аж;

1000

10'

fT(x)T(y)(s, t) ds dt =

10""

fT(x)lT(y)(s It) ds fT(y) (t) dt

1000

v'P[T(x)~tIT(y)=t]jT(y)(t)dt.

(Ь)

Применяя

предположение

независимости

используя

Международную

си

стему

актуарных

обозначений,

получаем

100

-2

t t -

-1

Аху

v tQx tPy

р(у

+t)

tPx)

tPy

f.1.(y

+t) dt =

Ау

Аху·

Заметим,

что

случае

независимых

случайных

величин

можно

выразить

актуарную

настоящую

стоимость

страховых

выплат

по

договору,

учитывающему

очередность

смертей,

на

случай

смерти,

не

являющейся

первой,

терминах

актуарных

насто

ящих

стоимостей

страховых

выплат

по

договорам

страхования

на

случай

первой

смерти.

Это

первый

шаг

численных

расчетах

для

страховых

договоров,

учитыва-

ющих

очередность

смертей

для

независимых

лиц.

(с)

Здесь

00100

- 2 t

Аху

s V

ВРХ

р(х

+ s) tPy

f.1.(y

+t) dtds.

Для

упрощения

заменим

на

r + s

во

внутреннем

интеграле

перепишем

это

вы

ражение

следующим

образом:

Ax~

1000

r+sPy

I'(у

+r +s)

sРж

I'(х

+s) dr ds

1000

аРу sРж

I'(х

+s)

[1000

rPy+s

I'(у

+ s +r)

dr]

10""

аРу аРх

I'(х

+s) ds.

Этот

последний

интеграл

является

приложением

общего

результата,

выраженного

формулой

(2.2.10),

именно

E[W] =

E[E[W

IV]].

Здесь

V =

Т(х) и

W =

МЫ

видим,

что

условное

математическое

ожидание

с.в.

при

условии

Т(х)

= s

пред

ставляет

собой

актуарную

настоящую

стоимость

вРу

обязательств

по

стра

хованию

на

дожитие

настоящей

стоимостью

достаточной

для

обеспечения

страховой

выплаты

размера

для лица

(у

+s).

9.10.

Вычисления:

актуарные

функции,

которых

учитывается

очередность

наступления

моментов

смерти

Перейдем

оценке вероятностей

актуарных

настоящих

стоимостей

предпо

ложениях

Гомперца,

Мейкема

или

случае

равномерного

распределения

моментов

смерти.

Мы

также

будем

предполагать

выполненным

условие

независимости.

Пример

9.10.1.

Предполагая,

что

интенсивность

смертности

подчиняется

за

кону

Гомперца,

рассчитаем:

268

Гл.

Актуарные

функции

ДЛЯ

нескольких

лиц

(а)

актуарную

настоящую

стоимость

выплат

по

договору

страхования

на

срок

лет,

учитывающему

очередность

смертей,

выплатой

суммы

размера

момент

смерти

лица

(х),

если

оно

умерло

раньше

лица

(у);

(Ь)

вероятность

того,

что

лицо

(х)

умрет

течение

лет

раньше,

чем

лицо

(у).

Решение.

-1

(n t

(а)

жу

tРжу

м(х

dt.

Согласно

закону

Гомперца,

A;y.Тil

= {n v

tРжу

еЖ

{n v

tРжу

(еЖ

су)

. J

еЖ

сУ

еЖ

- 1

= V

tРжу

J.Lxy(t)

А,жу"Тil'

еЖ

су

еЖ

сУ

Кроме

того,

если

выполняется

(9.8.2),

то

- 1

-1

А,жу':Тil

Тil

-1

е-

жу

Тil

(9.10.1)

(9.10.2)

(9.10.4)

(9.10.5)

(Ь)

Обращаясь

формуле

(9.9.2),

мы

видим,

что

величина

nq;y

совпадает

A;Y:ffi

при

v = 1.

Таким

образом,

из

равенства

(9.10.2)

следует,

что

если

выполняется

закон

Гомперца,

то

еЖ

nqжу

= -;;;

nQw,

(9.10.3)

где

су

Пример

9.10.2.

Разберем

пример

9.10.1,

предполагая,

что

интенсивность

смерт

ности

подчиняется

закону

МеЙкема.

Решение.

-1

(n t t

(а)

жу

Тil

= J

tРжу(А

ВеЖе)

tРжу

еЖ

{n v

tРжуВ(е

eY)e

еЖ

су

(

2е

)

1- v

tРжу

су

еЖ

+ v

tPxy[2A +

В(е

+eY)e

]

су

(

2е

)

еЖ

- 1

1 -

ажу:Тil

А,жу"Щ'

еЖ

су еЖ

су

Тогда,

используя

(9.8.6),

получим

-1

_ (

еЖ

) _

- 1

жу

1 - -

aww:m

А.ww.,щ

(Ь)

Снова

положим

v = 1

формуле,

полученной

п.

(а).

Тогда

(ех)о

еЖ

nQxy

1 - e

eww:Тil

+ 2c

nqww

9.11.

Замечания

литература

269

Актуарная

настоящая

стоимость

страховых

выплат

конце

года

смерти

по

до

говору,

учитывающему

порядок

наступления

смертей,

это

А;'у

= L v

kPxy

qX~k:y+k·

(9.10.6)

k=O

При

предположениях

равномерности

распределения

моментов

смерти

для

каждого

лица

независимости

соответствующих

случайных

величин

qX~k,y+k

.Px+k,y+k

I'(х

+k +

В)

qx+k(1 - sqy+k) ds =

qx+k

qY+k)' (9.10.7)

Теперь

можно

выразить

sPx+k:y+k

{l(X

+k +s)

через

qX~k:y+k'

именно

.РхН,уН

I'(х

+k +

В)

qX+k(1

- sqy+k) =

qx+k

qY+k) +

qx+k

qy+k

qX~k'Y+k

- s

)QX+k

qy+k' (9.10.8)

Если

страховые

выплаты

осуществляются

момент

смерти,

то

для

актуарной

на

стоящей

стоимости

выполнены

следующие

равенства:

-1

Аху

L....J

kPxy

Jn V

sPx+k:y+k

{l(x

+k +

В)

k=O

Vk+l

kPxy

[Qx~k'Y+k

i)I-.

ds +

Qx+k Qy+k

i)I-.

ds]

_ i

-1

1i ( 2

k+l

Аху

1 -

+ i

L....J

kPxy

Qx+k

Qy+k

. (9.10.9)

k==O

Второе

слагаемое

этой

формуле

очень

мал6

по

сравнению

со

всей

суммой.

Оно

составляет

1/2

от

второго

слагаемого

формуле

(9.8.9).

9.11.

Замечания

литература

Понятие

случайной

величины

продолжительности

предстоящей

жизни,

которое

предыдущих

главах

рассматривалось

для

отдельного

лица,

было

распространено

на

статус

дожития,

частными

случаями

которого

являются

статусы,

определении

которых

фигурируют

несколько

лиц.

Используя

соответствующую

теорию

для

одно

го

лица,

мы

нашли

вероятностные

распределения,

актуарные

настоящие

стоимости,

дисперсии

ковариации,

основанные

на

этих

новых

случайных

величинах

для

ста

тусов,

связанных

двумя

лицами.

гл.

эти

вопросы

будут

излагаться

для

групп,

состоящих

из

более,

чем

двух

лиц.

Обсуждение

материала

этой

главы

без

привлечения

случайных

величин

можно

найти

гл.

9-13

книги

[Jordan 1952]

гл.

7-8

книги

[Neill 1977].

Общий

анализ

законов

смертности,

которые

упрощают

вид

актуарных

функций

для

нескольких

лиц,

приведены

статье

[Greville 1956].

Упражнение

9.36

иллюстрирует

указанный

подход.

_2_70

г._л_.

_9_.

_A_K---'Ту~арL..Н_bl_е

функции

для

нескольких

лиц

Работы

[Marshall, Olkin 1967,1988]

посвящены

семействам

двумерных

распреде

лений.

частности,

там рассматривалась

модель

возмущением.

Семейство

двумер

ных

распределений

Фрэнка

названо

честь

М.

ДЖ.

Фрэнка,

который

его

исследовал.

Это

семейство

анализировалось

работе

[Genest 1987J.

Фриз,

Каррьер

Валдер

[Frees, Carriere, Valder 1996]

использовали

связки

Фрэн

ка

для

анализа

статистики

выплат

аннуитетов

до

момента

смерти

последнего

лица

группе.

Они

предполагали,

что

маргинальные

распределения

принадлежат

семей

ству

Гомперца.

результате

для

было

получено

приближенное

значение,

равное

-3,4.

Сравнение

этой

оценки

ее

приближенным

стандартным

уклонением

приво

дит

выводу,

что

С.в.

Т(х) и

Т(у)

этом

случае

зависимы.

Параметр

не

является

стандартной

мерой

зависимости.

Значение

-3,4

ука

зывает

на

положительную

корреляцию

между

С.в.

Т(х)

Т(у).

Этого

можно

было

ожидать,

поскольку

на

практике

лица,

которым

производятся

выплаты

до

момента

последней

смерти,

живут

одинаковых

условиях.

работе

[Frees, Carriere, Valder

1996J

также

показано,

что

предположение

независимости

с.в.

Т(х)

Т(у)

приводит

более

высокой

оценке

актуарной

насто

ящей

стоимости

аннуитета,

выплачиваемого до

момента

последней

смерти

группе

лиц

по

сравнению

со

значением

соответствующей

актуарной

стоимости

модели,

допускающей

зависимость

этих

величин.

Различия

лежат

интервале

от

з%

до

5%.

Упражнения

Если

не

оговорено

противное,

смертность

всех

лиц

упражнениях

описывается

одной

той

же

таблицей

смертности,

продолжительности

их

предстоящей

жизни

являются

независимыми

случайными

величинами.

разделу

9.2

9.1.

Функция

плотности

совместного

распределения

С.в.

Т(х)

Т(у)

задана

формулой

(n - 1)(n - 2)

fT(x)T(y)(S,

t) =

+s +

t)n'

в,

< t, n >

Найдите:

(а)

совместную

функцию

распределения

С.в.

Т(х)

Т(у);

(Ь)

функцию

плотности

маргинального

распределения

с.в.

Т(х),

функцию

маргиналь

ного

распределения

соответствующую

интенсивность

J-t(x

В);

заметим,

что

силу

сим

метрии

относительно

случайные

величины

Т(х)

Т(у)

распределены

одинаково;

(с)

ковариацию

коэффициент

корреляции

с.в.

Т(х)

Т(у)

при

условии,

что

9.2.

Найдите

функцию

совместного

дожития

с.в.

Т(х),

Т(у)

из

упр.

9.1.

9.3.

Случайные

величины

Т(х) и Т(у)

продолжительностей

предстоящей

жизни

неза

висимы

одинаково

распределены,

причем

функция

плотности

этих

случайных

величин

равна

n-2

f(t)

t)n-l

' n >

t >

О.

Определите

функцию

совместного

распределения

функцию

совместного

дожития.

разделу

9.3

9.4.

Выразите

терминах

вероятностей

для

одного

лица

пРх

пРу

(а)

вероятность

того,

что

статус

(ху)

сохранится

течение

лет;

(Ь)

вероятность

того,

что

точности

одно

лицо

из

двух

«х)

(у»

проживет

лет;

(с)

вероятность

того,

что

по

крайней

мере

одно

лицо

из

двух

«х)

(у»)

проживет

лет;

(d)

вероятность

того,

что

статус

(ху)

будет

потерян

течение

лет;

(е)

вероятность

того,

что

по

крайней

мере

одно

из

двух

лиц

умрет

течение

лет;