Бауэрс Н., Гербер Х., Джанс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика
Подождите немного. Документ загружается.
Упражнения
301
10.27.
Что
следовало
бы
сделать,
чтобы
построить
таблицы
выбытия
по
нескольким
причинам
,
если
бы
были
заданы
(а)
q~(l),
q~(2),
q1
3
)
,
(Ь)
q~(1)!
q~2),
q~3)?
10.28.
Предположим,
что
в
примере
10.6.2
распределение
моментов
выбытия
по
при
чине
3
в
возрасте
69
лет
не
является
равномерным,
а
описывается
формулой
1(3)
{1-0,12t,
0<t<1,
tP69
=
О
t = 1.
,
Иначе
говоря,
абсолютный
коэффициент
дЛя
причины
3
равен
0,12
в
течение
этого
годич
ного
возрастного
интервала.
Затем
непосредственно
перед
наступлением
возраста
70
лет
все
оставшиеся
в
совокупности
выбывают
по
причине
3.
Это
согласуется
с
предположением
о
том,
что
q~~3)
= 1.
Чему
равно
значение
q~~)?
10.29.
В
таблице
выбытия
по
двум
причинам,
в
которой
причина
(1)
означает
смерть,
а
причина
(2) -
увольнение,
предполагается,
что
•
случаи смерти
равномерно
распределены
в
течение
года
от возраста
h
до
возраста
h +1,
•
случаи
увольнения
в
году
между
возрастами
h
и
h +1
происходят
непосредственно
после
достижения
возраста
h.
u
(Т)
(2)
(l)
(2)
Из
этои
таблицы
известно,
что
в
возрасте
50
лет
[50
= 1000,
q50
= 0,2
и
d
50
= 0,06d
so
.
'(
l)
Определите
qso
.
Ко
всем
темам
гл.авы.
10.30.
На
основе
таблицы
выбытия
по
трем
причинам
укажите,
какая
величина
явля
ется
вероятностью
того,
что
лицо
(20)
не
выбудет
по
причине
(2)
до
возраста
65
лет.
10.31.
(а)
Пусть
заданы
величины
q~{1),
q~(2),
т~3)
и
т~4).
Какие
действия
следует
предпринять
для
построения
таблицы
выбытия
по
нескольким
причинам,
в
которой
тру
доспособное
лицо
может
выбывать
из
группы
работающих
вследствие
смерти
(1),
увольне
ния
(2),
потери
трудоспособности
(3)
и
выхода
на
пенсию
(4)?
(Ь)
На
основе
таблицы
из
п. (а)
выразите
вероятность
того,
что
работающий
член
этой
группы
возраста
у в
будущем
не
выйдет
на
пенсию,
но
выбудет
из
данной
группы
по
какой-либо
другой
причине.
10.32.
Докажите
и
интерпретируйте
соотношение
q
(j)
-
q'(j)
_
""'
11
р(Т)
JL(k}(t)
q'(j}
dt
ж
-
ж
~
t
ж
r-ж
l-t
ж+t
•
k::;e.·
О
10.33.
Пусть
J
(Т)
l{j)
W(T}(t) =
tРж
и
w(j}(t)
=
tРж.
О
~
t
~
1.
Jo
1
tP~T}
dt
Jo
1
tP~(З)
dt
'
Предположим,
что
j
и
по
меньший
мере
еще
одна
причина
выбытия
имеют
положительные
интенсивности
выбытия
на
интервале
О
~
t
~
1.
(а)
Покажите,
что
(i)
ш(Т)
(О)
>
ш(})
(О),
(ii)
ш(Т)(1)
< w(j)(1) ,
(iii)
существует
единственное
число
т,
О
< r < 1,
такое,
что
Ш(Т)(Т)
=
Ш(Л(Т).
(Ь)
Пусть
Покажите,
что
-/
=
J.T
[w(j>Ct)
- W(T)(t)] dt.
1 =
[[w(j)(t)
- W(T)(t)] dt.
302
Гл.
10.
Модели
выбытия
по
нескольким
причинам
О
<
()
< 1,
а
>
О,
{з
>
О,
t
~
О.
(с)
Предположим,
что
J1.~)(t)
-
возрастающая
функция
на
интервале
О
~
t
~
1.
Поль
зуясь
теоремой
о
среднем
значении
для
интеграла,
докажите
следующие
соотношения:
m~(j)
-
тер
=
11
[w(j)(t)
-
W(T)(t)],,~)(t)
dt
=
[[w(j)
(t)
-
W(T)
(t)],,~)
(t)
dt
+[ [w(j)(t) -
W(T)
(t)],,~)
(t)
dt
-
и)
1
(j)
1
(О
t t
1)
-
-J1.
x
+to +
J1.X+tl
<
О
< r < 1 <
=
I[J1.~)
(t1) -
J1.~)
(to)]
>
О.
10.34.
Совместное
распределение
С.В.
Т
и
J
определяется
формулами
(}t
Q
-
1
-{3t
(1)
_
е
J1.x
(t) - J
1
=
SQ-1
e
-{3s
ds'
(1
(})t
Q-l
-{3t
(2)(t)=
-
е
J1.x
J1=
SQ-l
e
-{3s
ds'
(а)
Найдите
формулы
для
fr,J(t,j),
fJ(j)
и
fr(t).
(Ь)
Выразите
Е[Т]
и
D[T]
через
а
и
{З.
(с)
Покажите,
что
С.В.
J
и
Т
независимы.
11
ПРИЛОЖ:ЕНИЯ
ТЕОРИИ
ВЫБЫТИЯ
ПО
НЕСКОЛЬКИМ
ПРИЧИНАМ
11.1.
Введение
Модель
выбытия
по
нескольким
причинам,
изложенная
в
гл.
10,
создает
основу
для
изучения
многих
систем
страхового
обеспечения.
Например,
договоры
страхо
вания
жизни
часто
обеспечивают
специальные
выплаты,
если
смерть
наступила
в
результате
несчастного
случая
или
если
страхователь
стал
нетрудоспособным.
Мо
дель
выбытия
по
одной
причине,
являющаяся
предметом
гл.
3-9,
не
может
служить
адекватной
математической
моделью
для
договоров
с
такими
различными
типами
выплат.
Кроме
того,
существует
возможность
сохранения
обязательств
в
сокращен
ном
объеме,
если
страхователь
досрочно прекратил
выплату
премиЙ.
Определение
размера
таких
сохраненных
выплат
и
связанные
с
этим
вопросы
экономической
по
литики
обсуждаются
в
гл.
16.
В
настоящей
главе
рассматривается
базовая
модель,
связанная
с
выплатами,
зависящими
от
причины
выбытия.
Другим
важным
приложением
моделей
выбытия
по
нескольким
причинам
яв
ляются пенсионные
схемы.
В
этой
главе
мы
рассмотрим
основные
методы,
исполь
зуемые
при
расчете
актуарных настоящих
стоимостей
выплат
и
взносов
участников
пенсионной
схемы.
Участниками
такой
схемы
могут
быть
как
работники
одного
ра
ботодателя,
так
и
группы
работодателей,
занимающихся
сходной
деятельностью.
Схема
обычно
обеспечивает
пенсии по
старости
или
выслуге
лет,
а
также
в
связи
с
потерей
трудоспособности.
В
случае
ухода
с
работы
может
быть
предусмотрен
возврат
накопленных
за
период
работы
взносов
или
отсроченная
пенсия.
В
случае
смерти
до
выхода
на
пенсию
по
одной
из
указанных
причин
может
быть
предусмот
рена
выплата
выгодоприобретателю
единовременной
суммы
или
множества
плате
жей.
Платежи
для
обеспечения
выплат
пенсий,
как
правило,
называются
взносами,
а
не
премиями,
как
в
страховании,
и
выплачиваются
они
в
различных
долях
участ
никами
и
вкладчиками!)
пенсионной
схемы.
Пенсионную
схему
можно
считать
системой
приобретения
отсроченного
аннуи
тета
(выплачиваемого
по
достижении
пенсионного
возраста)
и
некоторых
дополни
тельных
выплат
в
обмен
на
ту
или
иную
форму
срочного
аннуитета
взносов
в
те
чение
периода
трудовой
деятельности.
Обеспечение
баланса
актуарных
настоящих
стоимостей
выплат
и
взносов
может
осуществляться
на
индивидуальной
основе,
но
чаще
-
на
некоторой
агрегированной
основе
для
целых
групп
участников.
Методы
поддержания
этого
баланса
составляют
содержание
теории
оценивания
пенсионных
фондов.
Здесь
нас
будут
интересовать
лишь
отдельные
задачи,
состоящие
в
расчете
1)
в
оригинале
.plan
sponsor
•.
Обычно
под
вкладчиком
понимается
работодатель.
См.
далее
гл.
20.
-
Прu.м.
ред.
304
Гл.
11.
Приложения
теории
выбытия
по
нескольким
причинам
(11.2.1)
(11.2.2)
актуарных настоящих
стоимостей
выплат
и
взносов
пенеионной
схемы
в
отношении
типичного
участника.
Агрегированные
значения
можно
затем
получить путем
сум
мирования
по
всем
участникам.
Здесь
будут
представлены
основные
методы
оцени
вания
выплат
из
пенеионной
схемы
и
взносов
в
пенеионную
схему,
но
их
приложение
к
возможным
методам
финансирования
пенеионных
схем
будет
отложено
до
гл.
20.
В
разд.
11.6
мы
изучим
выплаты
на
случай
потери
трудоспособности,
как
пра
вило,
связанные
с
индивидуальными
договорами
страхования
жизни.
При
таких
выплатах
предусматривается
освобождение
от
уплаты
премий
и
возмещение
потери
дохода
вследствие
потери
трудоспособности.
Мы
обсудим
широко
используемую
для
расчета
нетто-премий
и
нетто-резервов
по
этим
видам
покрытия
на
случай
потери
трудоспособности
аппроксимацию
с
помощью
модели
выбытия
по
одной
причине.
11.2.
Актуарные
настоящие
стоимости
и
их
численный
расчет
Модели
выбытия
по
нескольким
причинам
возникают
в
актуарных
приложени
ях,
когда
размер
выплаты
зависит
от
причины
выбытия
из
совокупности
работаю-
щих.
Пусть
B~~t
обозначает
величину
выплаты
в
возрасте
х
+t
лет
при
выбытии
в
этом
возрасте
по
причине
j.
Тогда
актуарная
настоящая
стоимость
выплаты,
обо
значаемая
в
общем
случае
через
.4,
будет
задаваться
формулой
А
= f ["
B~~,
v'
,p~T)
p!l'
(t) dt.
j=1
О
Если
т
= 1
и
B~~t
= 1,
величина
А
равна
актуарной
настоящей
стоимости
Ах
стра
ховой
выплаты
размера
1
по
договору
бессрочного
страхования
на
случай
смерти
с
выплатой
непосредственно
после
смерти.
Более
подходящим
для
этой
главы
является
при
мер
двойной
страховой
суммы,
которая
выплачивается,
если
смерть
произошла
в
результате
несчастного
случая.
Пусть
J = 1
для
смерти
в
результате
несчастного
случая
и
J = 2,
если
смерть
произошла
по
другим
причинам
,
и
пусть
B~~t
=2
и
B~~t
= 1.
Актуарная
настоящая
стоимость
выплаты
по
договору
страхования
на
срок
n
лет
задается
формулой
А
=2
!ОП
V',p~T)p~I)(t)
dt
+
!ОП
V',p~T)p~2)(t)
dt.
Первым
шагом
численных
расчетов
является
разложение
этого
выражения
в
сумму
интегралов,
каждый
из
которых
относится
к
одному
году,
входящему
в
рассматри
ваемый
период.
Для
первого
интеграла
из
формулы
(11.2.2)
получим
2
(n
v',p~T)p~I)(t)
dt
=2
~
vkkP~T)
(1
v'
.P~1k
p~I)(k
+s) ds.
J
o
k=O J
O
Если
мы
теперь,
как
и
для вывода
формулы
(10.5.11),
предположим,
что
случаи
вы
бытия
по
каждой
причине
равномерно
распределены
в
каждом
годичном
возрастном
интервале,
то
получим
11.2.
Актуарные
настоящие
стоимости
и
их
численный
расчет
305
(11.2.4)
(11.2.5)
Применяя
те
же
рассуждения
для
второго
интеграла
и
объединяя
результаты,
по
лучим
А
=
HI:
Vk+l
kP1T)(2q~~k
+
q~~k)]
=
~
I:
vk+l
kP1T)(q~~k
+
q~~k)
k=O
k=O
-1
(1)
-1
= A
x
:
1iI
+A
x
:
1iI
'
(11.2.3)
-
(1)
где
A;:1iI
-
актуарная
настоящая
стоимость
срочного
страхования
на
случай
смерти
от
несчастного
случая
с
выплатой
размера
1
и
A~:1iI
-
актуарная
настоящая
стои
мость
срочного
страхования
на
случай
смерти
от
всех
причин
с
выплатой
размера
1.
Величина
kP~T)
здесь
может
браться
как
функция
дожития
из
таблицы
смертности.
Если
значения
величины
q~~k
известны,
то
для
нахождения
численных
значений
ак
туарных
настоящих
стоимостей
из
формулы
(11.2.3)
в
предположении,
что случаи
выбытия
по
каждой
причине
равномерно
распределены
в
течение
годичных
воз
растных
интервалов,
не
обязательно
составлять
полные
таблицы
выбытия
по
двум
причинам.
Этот
пример
очень
прост,
потому
что
размер
страховых
выплат
не
зависит
от
возраста
выбытия
и,
в
частности, не
меняется
в
течение
годичного
возрастного
ин-
тервала.
Приведем
совсем
другой
пример:
положим
B~~t
=t
и
B~~t
=
О
для
t >
О.
В
этом
случае
А
=
Г:Ю
tv
t
tP~T)
J-L~1)
(t) dt =
f:
v
k
kP~T)
r\k
+s
)V
S
sP~1k
J-L~1)
(k
+s) ds.
Jo
k=O
Jo
Снова
предположив,
что
случаи
выбытия
по
каждой
причине
в
модели
выбытия
по
нескольким
причинам
равномерно
распределены
в
каждом
годичном
возрастном
интервале,
мы
получим
00
г
1
А
=L V
k
+
1
kP~T)q~~k
Jo
(k +
s)(l
+
i)1-s
ds
k=O
О
=
~
V
k
+
1
kp(T)q(1)
i
(k
+
~
-
~)
L..J
х
x+k
б б
i .
k=O
На
практике
B~~t
часто
оказывается
сложной
функцией,
для
которой
может
потре
боваться
определенная
аппроксимация.
В
этом
случае,
если
мы
применим
предпо
ложение
О
равномерности
распределения
к
j-My
интегралу
в
формуле
(11.2.1),
то
получим
00
1
'"'
V
k
+
1
p(T)q(j)
r
В(Л
(1
+
i)1-s
ds
L..J
k
х
x+k
Jo
x+k+s
.
k=O
О
Тогда,
пользуясь
формулой
прямоугольников
~
выбирая
значение
функции
в
сере
дине
интервала
интегрирования,
мы
находим
формулу
00
'"'
V
k
+
1
/
2
p(T)q(j)
В(Л
L..J
k
х
x+k
x+k+1/2'
k=O
которую
можно
использовать
для
вычисления
этого
выражения
на
практике.
306
Гл.
11.
Приложения
теории
выбытия
по
нескольким
причинам
(11.2.6)
Чтобы
рассмотреть
пример,
вернемся к
формуле
(11.2.4).
Здесь
величину
k +
1/6
-
l/i
можно
рассматривать
как
фактический
средний
размер
выплаты
в
го
ду
k + 1,
а
хорошо
известное
отношение
i/6
-
как
поправку,
необходимую
для
обеспечения
немедленных
выплат
при
страховом
случае.
Величина
(11.2.4)
хорошо
аппроксимируется
выражением
~
V
k
+
1
/
2
p(T)q(j)
(k
+
~)
LJ
k
х
x+k
2'
k=O
которое
можно
получить
с
помощью
формулы
прямоугольников,
выбирая
значение
функции
в
середине
интервала
интегрирования,
для
вычисления
интеграла
"
l'(k +8)(1 +
i)'-'
d8.
В
разд.
10.6
мы
обсуждали
ситуации,
когда
предположение
о
равномерности
распределения
моментов
выбытия
неприменимо.
Для
таких
ситуаций
следует
про
водить
специальную
корректировку
актуарных настоящих
стоимостей.
Возвратимся
к
примеру
10.6.3,
где
в
сопутствующей
модели
выбытия
по
единственной
причине
(3)
половина
ожидаемых
случаев
увольнения
происходит
в
середине
года,
а
другая
по
ловина
-
в
конце
года.
Актуарная
настоящая
стоимость
для
выплат
в
случае
уволь
нения
задается
формулой
00
[
()()
- _ k
(Т)
1
1(3)
1/2
(3) 1 1(1) 1
1(2)
А
- L V
kPx
'2
Qx+k
V B
x
+
k
+
1
/
2
1 -
'2
qx+k
1 -
'2
qx+k
k=O
1 1(3) (3) ( 1(1) ) (
1(2)]
+
"2
qx+k
VB
x
+
k
+
1
1 -
Qx+k
1 -
qx+k)
.
Здесь
мы
имеем
дело
с
распределением
моментов
выбытия
в
сопутствующих
табли
цах
выбытия
по
одной
причине,
а не
с
выбытием
по
многим
причинам.
Возможная
аппроксимация
состоит
в
использовании
среднего
геометрического
коэффициентов
дисконтирования
в
году
выбытия,
v
3
/
4
,
и
среднего
арифметического
выплат
в
слу
чае
увольнения,
Таким
образом,
А ~
~
k+3/4
(Т)
13(3)
[~
1(3)
(1
_
~
1(1))
(1
_
~
1(2))
-
LJ
V
kP
x
x+k
2
qx+k
2
Qx+k
2
Qx+k
k=O
+
~
Q'(3)
(1
_
q'(l)
)(1 _
q'(2)
)]
= ~ V
k
+
3
/
4
p(T)Q(3)
13(3)
2
x+k
x+k x+k
LJ
k
х
x+k
x+k'
k=O
Замечание.
В
этом
разделе,
в
отличие
от
гл.
6,
мы
не
занимались
проблемами
определения
размера
премиЙ.
Это
сделано
из
соображения
экономии
места.
Задачи
вычисления
премий
в
этом
разделе
можно
было
бы
решить,
определив
функцию
по
терь
и
применив
принцип
эквивалентности
или
какой-либо
другой
принцип
расчета
премиЙ.
Предположим,
например,
что
по
договору
страхования,
заключенному
с
лицом
(х),
выплачивается
сумма
11.3.
Нетто-премии
и
нетто-резервы
307
(а)
2В
в
случае
смерти
в
результате
несчастного
случая
и
до
наступления
воз
раста
r
лет,
(Ь)
В
в
случае
смерти
по
всем
другим
причинам
и
до
наступления
возраста
r
лет,
(с)
В
в
случае
смерти
после
наступления
возраста
r
лет.
Различаются
две
причины
выбытия:
J = 1,
несчастный
случай,
и
J = 2,
смерть
по
иной
причине.
Функция
потерь
имеет
вид
{
2BV
T
-
7r,
J =
1,
О
<
Т
~
r -
х,
L =
Bv
T
-
7r
J =
2,
О
<
Т
~
r -
х,
Bv
T
-
7r:
J =1,2,
Т
> r -
х.
В
силу
принципа
эквивалентности
E[L] =
О,
или
".
'"
В
[[-х
v
t
tP~T)
,,~1)
(t) dt +
100
v
t
tP~T)
,,~T)
(t)
dt]
.
Мерой
разброса,
обусловленного
случайной
природой
момента
и
причин
смерти,
является
дисперсия
D[LJ
= E[L
2
].
Можно
проверить,
что
в
этом
случае
D[L]
'"
в
2
[з1
r
-.
v
2t
tP~T)
,,~1)
(t) dt +
100
v
2t
tP~T)
Jl~T)(t)
dt]
_".2.
В
общем
случае,
когда
актуарная
настоящая
стоимость
задана
формулой
(11.2.1),
мы
получаем
что
можно
привести
к
виду
(11.2.7)
11.3.
Нетто-премии
и
нетто-резервы
В
этом
разделе
мы
исследуем
метод
финансирования
страховых
выплат
по
до
говору
страхования
на
случай
смерти,
который
соответствует
модели
выбытия
по
нескольким
причинам.
Часто
дополнительные
страховые
выплаты
в
такой
ситуа
ции
включаются
в
договор
страхования
жизни
в
качестве
дополнительных
условий,
т.
е.
за
них
назначается
специальная
дополнительная
премия
и
для
них
образуются
особые
резервы.
Эта
дополнительная
премия
выплачивается
до
тех
пор,
пока
есть
необходимость
в
фонде
для
покрытия
соответствующих
обязательств.
При
назначе
нии
двойной
страховой
выплаты,
если
смерть
происходит
в
результате
несчастного
случая,
обычно
дополнительнуювыплату
производят,
лишь
если
несчастный
случай
происходит
до
определенного
возраста,
например,
до
65
лет,
и,
таким
образом,
спе
циальная
дополнительная
премия
должна
выплачивается
только
до
этого
возраста.
Далее
в
качестве
такой
дополнительной
выплаты
мы
будем
рассматривать
вы
плату
двойной
страховой
суммы,
если
смерть
произошла
в
результате
несчастного
случая.
Эта
модель
не
полна,
так
как
не
рассматривается
возможность
досрочно
го
прекращения
действия
договора
с
выплатой
соответствующей
выкупной
суммы.
308
Гл.
11.
Приложения
теории
выбытия
по
нескольким
причинам
(11.3.2)
(11.3.1)
Такая
возможность
будет
рассматриваться
в
разд.
11.4,
но
в
основном
эта
тема
об
суждается
в
гл.
15
и
16.
Рассмотрим
дискретную
модель
бессрочного
страхования
на
случай
смерти
лица
в
возрасте
30
лет
с
дополнительным
условием
выплаты
двойной
страховой
суммы,
если
смерть
произошла
в
результате
несчастного
случая.
Страховая
сумма
равна
единице
в
случае
смерти,
наступившей
не
в
результате
несчастного
случая
(]
= 1),
или
двум,
если
смерть
произошла
в
результате
несчастного
случая
(J
= 2).
Принцип
эквивалентности
теперь используется
дважды:
один
раз
для
вычисления
премии
по
договору
страхования
на
случай
смерти
без
дополнительного
условия
и
один
раз
для
премий,
выплачиваемых
до
возраста
65
лет,
которые
обеспечивают
дополнительную
выплату,
если
смерть
наступит
в
результате
несчастного
случая
до
возраста
65
лет.
Для
договора
без
дополнительных
условий
размер
выплаты
равен
единице
при
обеих
причинах
выбытия
(и
1,
и
2),
и
премии
выплачиваются
пожизненно.
Таким
образом,
00
""
V
k
+
1
kP(T)q(T)
LJ
30
30+k
Р
(Т)
_
k=O
30
-
---00------
L
vkkP~~)
k=O
Нетто-премия
для
обеспечения
дополнительной
выплаты
вычисляется
с
учетом
того,
что
премии
выплачиваются
до
достижения
65
лет,
а
размер
выплаты
равен
единице,
причем
выплата
производится только
в
случае
выбытия
по
причине
2.
Величина
нетто-премии
определяется
по
формуле
~
V
k
+
1
kp(T)q(2)
LJ
30
30+k
(2) k=O
35РЗО
=
---34------
L
vkkP~~)
k=O
Теперь
мы
можем
выписать
нетто-резерв
по
договору
с
указанным
дополнительным
условием
для
периода
до
достижения
65
лет:
00
34-k
k V = L V
h
+
1
kP;~~k
q~~~k+h
+ L V
h
+
1
hP~~~k
q~~~k+h
h=O h=O
(Р
(Т)
~
h
(Т)
р(2)
3~k
h
(Т)
)
-
30
t:o
v
hP30+k
+
35
30
t:o
v
hP30+k
.
Этот
резерв
является
суммой
резерва
по
основным
обязательствам и
резерва
по
дополнительным.
Резерв
по
основным
обязательствам
является
нетто-резервом
из
гл.
7
для
дискретной
модели
бессрочного
страхования
на
случай
смерти
с
qx
=
q~T)
=
(1) + (2)
qx
qx.
11.4.
Примеры
выкупных
сумм,
которые
можно
не
учитывать
при
определении
премий
и
резервов
В
главах
с
6
по
8
строилась
модель
выбытия
по
единственной
причине
для
индивидуального
договора
страхования
жизни
с
ежегодными
нетто-премиями
и
ре
зервами.
В
этой
модели
время
и,
возможно,
размер
выплат
определяются
временем
11.4.
Примеры
выкупных
сумм,
которые
можно
не
учитывать
309
смерти
стахователя,
а
премии
выплачиваются
пожизненно
или
до
конца
периода
выплаты
премий,
установленного
в
договоре.
На
практике
невозможно
препятство
вать
досрочному
прекращению
выплаты
премий
страхователем.
В
этой
ситуации
возникает
проблема
примирения
интересов
сторон,
заключивших
договор,
для
раз
решения
которой
подходит
модель,
основанная
на
теории
выбытия
по
нескольким
причинам.
Государственное
законодательство,
призванное
регулировать
отношения
между
страховщиком
и
страхователем,
досрочно
прекратившим
выплату
премий,
является
предметом
обсуждения
с
давних
времен.
Прежде
чем
определить
премии
и
резервы,
необходимо
принять
принцип
регу
лирования.
Принцип
регулирования
необходим
и
для
определения
размера
сохра·
нен'Ных
выплат,
т.
е.
выплат,
право
на
которые
не
теряется
вследствие
досрочного
прекращения
выплаты
премиЙ.
В
этом
разделе
мы
примем
простой
рабочий
прин
цип,
который
на
самом
деле
близок
к
принципу,
принятому
В
страховом
регулиро
вании
Соединенных
Штатов
Америки.
Этот
принцип
состоит
В
том,
что
страхова
тель,
досрочно
прекративший
выплату
премий,
получает
такую
сумму,
чтобы
вы
плата,
премии
и
структура
резерва,
построенные
с
использованием
модели
выбытия
по
единственной
причине,
согласовывались
с
этими
величинами,
рассчитанными
в
контексте
выбытия
по
нескольким
причинам.
Этот
принцип
мотивируется
специфическим
положением
равного
отношения
к
двум
различным
классам
страхователей:
тех,
кто
прервал
действие
договора
страхо
вания
до
истечения
его
срока,
и
тех,
кто
продолжает
соблюдать
договор.
Ясно,
что
могут
существовать
самые
разные
точки
зрения
на
достижение
этого
равенства,
на
чиная
с
точки
зрения,
что
страхователи,
досрочно
прекратившие
выплату
премий,
нарушили
условия
договора
и,
следовательно,
не
имеют
права
на
какие-либо
выпла
ты
со
стороны
страховщика
(пусть
даже
в
сокращенном
объеме),
до
точки
зрения,
что
страхователя,
досрочно
прекратившего
выплату
премий,
следует
вернуть
к
ис
ходному
состоянию,
выплатив
ему
накопленную
стоимость
всех
премий,
возможно
за
вычетом
организационных
расходов.
Концепция
равенства,
на
которой
основан
принцип
регулирования,
принятый
в
Соединенных
Штатах
Америки,
является
про
межуточной,
а
именно,
страхователь,
досрочно
прекративший
выплату
премий
по
договору
страхования
на
случай
смерти,
имеет право
на
сохранение
обязательств
страховщика
в
сокращенном
объеме
или
на
выкупную
сумму,
но
соответствующие
выплаты
не
должны
изменить
соотношение
«цена-выплата»
для
страхователей,
ко
торые
продолжают
выплачивать
премии
по
своим
договорам.
Для
того
чтобы
про
иллюстрировать
действие
этого
принципа,
рассмотрим
до
говор
бессрочного
страхования на
случай
смерти
с
выплатами
в
случае
смерти
и
досрочного
прекращения
действия
договора
в
непрерывной
модели.
Интенсив-
ность
досрочного
прекращения
действия
договора
обозначается
через
JJ1
2
)
(t),
при
чем
Jl~T)
(t) =
Jl~l)
(t) +
JJ~2)
(t).
В
модели
выбытия
по
нескольким
причинам
требуется,
чтобы
100
(Т)
о
J.lж+t
dt =
00,
так
что
liШt-tоо
tP~T)
=
О,
но
интенсивность
JJ~2)
(t)
и
полученная
из
нее
вероятность
tP~(2)
этим
свойством
могут
не
обладать.
Мы
предполагаем,
что
введение
возможности
досрочного
прекращения
действия
договора
в
модель
не
изменит
интенсивности
смертности,
которую
мы
будем
обо-
значать
через
Jl~l)
(t)
как
в
модели
с
одной
причиной
выбытия,
так
и
в
модели
310
Гл.
11.
Приложения
теории
выбытия
по
нескольким
причинам
(11.4.1)
с
несколькими
причинами
выбытия.
Другими
словами,
случайные
величины
про
должительности
предстоящей
жизни
и времени
до
момента
расторжения
договора
будут
предполагаться
независимыми,
хотя
это
предположение
на
практике
может
нарушаться.
Этот
вопрос
обсуждался
в
гл.
10.
Начнем
описание
нашей
модели
с
того,
что
перепишем
равенство
(8.6.4)
для
слу
чая
бессрочного
страхования
на
случай
смерти
с
премиями
и
резервами
из
модели
выбытия
по
одной
причине:
:t
tv(A
x
)
=
Р(А
х
)
+
б
tv(A
x
)
-
p~1)
(t)[l - tV(A
x
)].
Вспомнив
(см.
разд.
10.2),
что
d
dt
tP~T)
=
-tР~Т)
[p~1)
(t) +
J1.~2)
(t)],
мы
можем
найти
выражение
для
следующей
производной:
~
(v
t
tP~T)
tv(Ax)] = v
t
tP~T)
{.Р(А
х
)
+
б
tv(Ax)
-
p~1)
(t)[l - tV(A
x
)]}
- v
t
tP~T)
iV(.Ах)[б
+
p~1)
(t) +
p~2)
(t)]
=
vttP1T)
[Р(.А
х
)
-
Jl1
1
)(t) -
J.L~2)(t)
tV(.Ax)]' (11.4.2)
Изменение
во
времени
величины
резервов
для
договора
бессрочного
страхования
на
случай
смерти,
который
предполагает
выплату
выкупной
суммы
размера
tV(Ax),
используя
премии
и
резервы,
определенные
в
модели
выбытия
по
двум
причинам,
аналогично
изменению,
описанному
формулой
(11.4.1),
и
выражается
формулой
(11.4.3),
выписанной
ниже.
В
ней
верхний
индекс
1..
означает
премии
и
резервы,
рассчитанные
в
модели
выбытия
по
двум
причинам:
:
[tV(Ax)l..]
=
Р(А
х
)l..
+
б
iV(A
x
)l..
-
p~1)
(t)[l -
tV(.Ах)Ч
-
p~2)(t)[tV(Ax)
-
tV(.Ax)l..].
(11.4.3)
(11.4.5)
Последний
член
в
равенстве
(11.4.3)
является
чистой
стоимостью
прекращения
дей
ствия
договора,
а
резерв
tV
(А
х
)l..
рассматривается
как
фонд
для
обеспечения
выплат
[см.
формулу
(8.4.5)].
Таким
образом,
:(vttp~T)tV(Ax)l..]
=
vttP~T){P(.AX)l..
+
б
tV(Ax)l.. -
J.L~l)(t)[l-
tV(Ax)~]
-
J1.~~t[tV(Ax)
- tV(.Ax)l]} -
vttр~Т)iv(Ах)Чб
+
Jl~l)(t)
+
1L~2)(t)J
=
vttp~T)[p(Ax)I_1L~l)(t)
-
J.L~2)(t)
tV(.Ax)J. (11.4.4)
Комбинируя
формулы
(11.4.2)
и
(11.4.4),
получим
~
{vttp~T)[tV(.Ax)l-
iV(.A
x
)]}
=
vttp~T)[p(Ax)l-
Р(.А
х
)).
Теперь,
проинтегрировав
это
равенство
по
t
от
О
до
00,
придем
к
соотношению
(11.4.6)
ИЗ
которого
следует,
что