Бауэрс Н., Гербер Х., Джанс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика
Подождите немного. Документ загружается.
7.4.
Нетто-резервы
в
дискретной
модели
201
Таблица
7.4.1.
Нетто-резервы
в
дискретной
модели
для
возраста
на
момент
заключения
договора
ж,
момента
k
и
страховой
выплаты
размера
1
Вид
страхового
договора
Междуна
родное
актуарное
обозначение
Перспективная
формула
Бессрочное
страхование
на
случай
смерти
Страхование
на случай
смерти
на
срок
n
лет
Смешанное
страхование
на
срок
n
лет
k <
n,
k=n
k < n,
k=n
Бессрочное
страхование
на
случай
смерти
с
h-летним
сроком
выпла
ты
премий
Смешанное
страхование
на
срок
n
лет
с
h-летним
сроком
выплаты
премий
Страхование
на
дожитие
на срок
n
лет
Бессрочный
страховой
аннуитет,
отсроченный
на
n
лет
k <
h,
k~h
{
Ax+k:n~kl
-
hP
x
:
nl
ax+k:h-kl'
k < h <
n,
Ax+k:n-kl'
h
~
k <
n,
1,
k =n
{
Ax+k:n~kl
-
Px:~ax+k:n-kl,
k <
n,
1,
k = n
{
~-klax+k
-
P(nlax)
ax+k:n-kl'
k <
n,
ax+k,
k~n
Пример
7.4.2.
Выразим
D[kLI
К(х)
= k, k +
1,
...
]
в
терминах
актуарных
на
стоящих
стоимостей
и
нетто-
премий
для
смешанного
страхования
на
срок
n
лет
со
страховой
выплатой
размера
1
в
дискретной
модели.
Решение.
V
K(x}-k+l
(1
+
Р
х
:
щ
)
_
Рх:щ
К()
k k 1 1
d
d'
х=,+,
...
,n-,
k
L
=
V
n
-
k
(1
+
Р
х
:
т
)
_
Р
х
:
т
К(
) +1
d d '
Х
= n, n ,
...
,
[
]
(
Рх:щ)
2[2
2]
D k
L
I
К(х)
=k, k +
1,
...
= 1 + d
Ax+k:n-kl-
(Ax+k:n-kl) .
Когда
речь
идет
не
о
бессрочном
страховании
на
случай
смерти
или
о
смешанном
страховании
с
премиями,
выплачиваемыми
в
течение
всего
срока
страхования,
дис
персию
потерь
бывает
сложно
выразить
в
общепринятых
актуарных
обозначениях.
Формулы,
подобные
тем,
которые
получены
в
разд.
7.3,
можно
получить
для
нетто-резервов
в
дискретной
модели.
Мы
проиллюстрируем
это,
выписав
формулу
для.
величины
kVx:nl
С
минимумом
обсуждений.
Словесные
интерпретации
и
алге
браические
преобразования
аналогичны
тем,
которые
были
проведены
для
нетто
резервов
в
случае
непрерывной
модели.
Формула
разности
премий
-
ЭТО
kVx:m
= (Px+k:n-kl - Px:m)iix+k:n-kI' (7.4.5)
202
Гл.
7.
Нетто-резервы
(7.4.6)
Формула
оплаченной
страховой
суммы
имеет
вид
(
Р
х
:
m
)
kVx:m
= 1 -
Р
Ax+k:n-kl'
x+k:n-kl
Для
ретроспективной
формулы
сначала
получим
результат,
аналогичный
равенству
(7.3.3),
а
именно,
для
h < n - j
j
V
x:n1 = A
x
+
j
:
hl
-
Рх:n1
ax+j:hl
+
hEx+j
j+h
Vx :
m
·
Если
j =
О,
ТО
поскольку
о
V
х
:
щ
=
О,
имеем
hV"ii1
=
h~'
(P.,ii1
ii.,JiJ
-
A~,JiJ)
=
P.,ii1
8.,JiJ
- h
k
,.
(7.4.7)
(7.4.8)
Здесь
накопленная
стоимость
страхования
составит
hkx
=
А;:ю/
hEx
И
возможна
интерпретация
в
терминах
совокупности
дожития.
Ретроспективная
формула
нетто-резерва
позволяет
сделать
интересное
наблю
дение.
Рассмотрим
два
различных
договора,
заключенных
с
лицом
(х),
каждый
со
страховой
суммой
размера
1
в
течение
первых
h
лет.
Здесь
h
не
превосходит
меньше
го
из
двух
периодов
выплаты
премий
по
этим
договорам.
Выпишем
ретроспективные
формулы
нетто-резерва
для
первого
и
второго
договоров
соответственно:
Тогда
VV(l)
-
VV(2)
=
(Р(l)
-
Р(2)
)Вх:Ы'
(7.4.9)
и
эта
формула
показывет,'
что
разность
двух
нетто-резервов
эквивалентна
актуар
ной
накопленной
стоимости
разности
нетто-премий
P(l)
-
Р(2)'
Поскольку
1/В
х
:
ю
=
Px:~'
формула
(7.4.9)
может
быть
переписана
в
виде
(7.4.10)
Теперь
разность
нетто-премий
выражена
как
нетто-премия
по
страхованию
на
до
житие
на
срок
h
лет
со
страховой
суммой,
равной
разности
нетто-резервов
на
конец
года
h.
Формула
(6.3.10)
является
частным
случаем
формулы
(7.4.10)
при
nV
x
:
m
=1
и
~Vx
=
А
х
+
n
.
Другой
иллюстрацией
формулы
(7.4.10)
является
равенство
(7.4.11)
(7.4.12)
(7.4.13)
(7.4.14)
так
как
nVx1:m
=
О.
Как
и
в
случае
непрерывной
модели,
в
дискретной
модели
существуют
специаль
ные
формулы
для
резервов
по
договорам
бессрочного
страхования
на
случай
смер
ти
и
бессрочного
смешанного
страхования.
Используя
соотношения
Ау
=1 - d
ау
и
l/а
у
=
Ру
+
d,
мы
получаем
формулы
V
1
d
..
(1
d)
..
1 ax+k
k
= -
а
+k
- - -
а
+k
=
---
х
х
..
х
.. ,
ах ах
V
-
1 _
Р
х
+d P
x
+
k
-
Р
х
k
х
~
Px+k +d Px+k +d '
V - 1 _ 1 - A
x
+
k
A
x
+
k
-
Ах
k
х
- 1 -
Ах
1 -
Ах
7.4.
Нетто-резервы
в
дискретной
модели
203
аналогичные
формулам
(7.3.8)-(7.3.10).
Похожая
специальная
формула
также
имеет
место
для
нетто-резервов
по договору
смешанного
страхования
на
срок
n
лет,
но
не
по
произвольному
договору.
Страхование
в
дискретной
модели
дает
полезные
примеры
для
детерминистиче
ских
или
ожидаемых
денежных
потоков,
моделирующих
операции
с
нетто-резервами.
Это
показано
в
примерах
7.4.3
и
7.4.4.
Пример
7.4.3.
Предположим,
что
с
каждым
членом
совокупности
из
[50
лиц
В
возрасте
50
лет
заключен
договор
страхования
на
случай
смерти на
срок
5
лет
со
страховой
выплатой
размера
1000
в
дискретной
модели.
Проследим
ожидаемые
денежные
потоки
для
этой
группы
на
базе
Иллюстративной
таблицы
смертности
с
процентной
ставкой
6%
и
в
качестве
побочного
результата
получим
нетто-резервы.
Решение.
Сначала
рассчитаем
ежегодную
нетто-премию
1г
1000
P;o:5J
= 6,55692.
Величина
ожидаемых
накоплений
фонда
для
рассматриваемой
группы,
определяющаяся
собранными
премиями,
начисленными
процентами
и
страховыми
выплатами,
указана
в
следующей
таблице:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) (6) (7) (8)
год
ожидаемые
ожидаемый
ожидае-
ожидаемые
ожидаемыl\
ожидае-
1000hV
s
1
O
:
51
h
нетто-
фонд
на
мый
выплаты
на
фонд
на
мое
число
(б)h/(7)h
премии
на
начало
процент
случаl\
конец
года
доживших
начало
года
(2)h +
(0,Об)(3)h
смерти
(З)h
+
на
конец
года
(6)h-l
1000d
sO
+
h
-
1
(4)h - (5)h
года
lso+h
lSO+h-l
1Т
1
586903 586903 35214
529884 92233
88979)1
1,04
2
583429 675662 40540 571432
144770
88407,68
1,64
3
579682
724452
43467
616416 151503 87791,26 1,73
4
575640 727143 43629
665065
105707
87126,20 1,21
5
571280
676987
40619
717606
О
86408,60
0,00
Заметим,
что
нетто-резервы,
указанные
в
таблице,
соответствуют
резервам,
рас
считанным
по
формуле.
Например,
по
прошествии
двух
лет
1000А;2:31
=20,09
и
а
52
:31
=2,81391.
Тогда
10002V510:51 =20,09 - (6,55692)(2,81391) =1,54.
Пример
7.4.4.
Предположим,
что
с
каждым
членом
группы
из
[50
лиц
возраста
50
лет
заключены
договоры
смешанного
страхования
со
страховой
суммой
размера
1000
на
срок
5
лет
в
дискретной
модели.
Проследим
ожидаемые
денежные
пото
ки
для
этой
группы
на
основе
Иллюстративной
таблицы
смертности
с
процентной
ставкой
6%
и
в
качестве
побочного
результата
определим
нетто-резервы.
Решение.
Здесь
ежегодная
нетто-премия
составляет
1г
= 1000 P50:51
=170,083.
Ожидаемые
денежные
потоки
показаны
в
следующей
таблице:
204
(1)
год
h
1
2
3
4
5
Гл.
7.
Нетто-резервы
(2)
(3) (4) (5)
(6)
(7)
(8)
ожидаемые
ожидаемый
ожидаемый
ожидаемые
ожидаемый
ожидаемое
lOOOhV5~;51
нетто-
фонд
на
процент
выплаты
на
фонд
на
число
(6)h/(7)h
премии
на
начало
(O,06)(3)h
случай
конец
года
доживших
начало
года
(2)h
+
смерти
(3)h
+
на
конец
года
(6)h-l
1000d
5O
+h_l
(4)h
-
(5)h
года
150+h
150+h
-11Г
15223954 15223954
913437 529884
15607507
88979,11
175,14
15133829
30741336
1844480
571432
32014384
88407,68
362,12
15036638
47051022 2823061 616416
49257667
87791,26
561,08
14931 796
64189463
3851368
665065
67375766
87126,20
773,31
14818
б80
82194446
4931667
71760б
86408507
86408,60
1000,00
у
РИСУНКИ
7.4.1
и
7.4.2
показывают
ожидаемые
нетто-премии
и
ожидаемые
выпла
ты
на
случай
смерти
для
двух
предыдущих
примеров.
В
при
мере
7.4.3
ожидаемые
нетто-
пр ем
ии
превосходят
ожидаемые выплаты
на
случай
смерти
в
течение
двух
лет,
но
затем
становятся
меньше
них.
Избыток
премий
аккумулируется
в
началь
ные
годы
в
фонд
с
тем,
чтобы
использовать
его
в
последующие
годы,
когда
ожида
емые
выплаты
на
случай
смерти
выше.
Ожидается,
что
к
концу
пятого
года
фонд
истощится.
750
х
700
650
х
600
х
• •
==
550
х
•
•
~
х
500
~
450
•
ожидаемые
нeтro-премии
100
х
ожидаемые
выlатыы
50
на
случай
смерти
О
1 2 3 4
5
оды
Рис.
7.4.1.
Ожидаемые
нетто-премии
и
ожидаемые
выплаты
на
случай
смерти
дЛЯ
примера
7.4.3
• •
•
ожидаемые
нeтro-премии
х
ожидаемые
выплаты
на
случай
смерти
16
15
14
~13
~
12
~
~
4
3
2
1
• •
х Х
х
)(
х
о
1
2
з
4 5
Годы
Рис.
7.4.2.
Ожидаемые
нетто-премиии
ожидаемые
выплаты
на
случай
смерти
дЛЯ
примера
7.4.4
7.6.
Нетто-резервы
в
случае
нетто-премий,
выплачиваемых
m
раз
в
год
205
Для
случая
смешанного
страхования
на
срок
5
лет
в
при
мере
7.4.4
картина
иная.
Как
показано
на
рис.
7.4.2,
ожидаемые
премии
остаются
намного
больше
ожидае
мых
выплат
на
случай
смерти
в
течение
всего
срока.
Ожидаемый
фонд
в
конце
пятого
года
достаточен
для
обеспечения
выплат
на
дожитие
по
окончании
срока
страхования
в
размере
1000
каждому
из
ожидаемого
числа
доживших.
Первый
из
двух
приведенных
выше
договоров,
договор
страхования
на
случай
смерти
на
срок
5
лет,
служит
примером
договора
страхования
с
низкой
премией
и
низкой
накопительной
компонентой,
в
то
время
как
второй,
смешанного
страхования
на
срок
5
лет,
служит
примером
страхования
с
высокой премией
и
высокой
нако
пительной
компонентой.
Большинство
видов
страхования
жизни
находится
между
этими
двумя
предельными
случаями.
7.5.
Нетто-резервы
в
полунепрерывной модели
В
конце
разд.
6.3
было
замечено,
что
на
практике
существует
необходимость
в
полунепрерывной
модели
с
ежегодными
нетто-премиями
Р(А
х
),
Р(Ах:nд,
P(.4;:nJ)
,
hP(A
x
)
и
hP(Ax:nJ),
чтобы
учесть
ситуацию,
когда
страховая
выплата
производит
СЯ
непосредственно
после
смерти.
В
этом
случае
в
формулах
для
нетто-резерва
из
табл.
7.4.1
необходимо
заменить
А
на
А
и
Р
на
Р(А).
Кроме
того,
главным
символом
для
нетто-резерва
теперь
будет
v(A),
а
тип
страхового
покрытия
будет
указываться
с
помощью
нижнего
индекса
при
А,
как
и
при
обозначении
нетто-премии.
Например,
для
смешанного
страхования
на
срок
n
лет
с
h-летним
периодом
выплаты
премий
k < h <
n,
h
~
k < n,
k =n.
(7.5.1)
Если
предполагается
равномерное
распределение
моментов
смерти
в
течение
каж
дого
годичного
возрастного
интервала,
то
из
формул
(4.4.2)
и
(6.3.12)
мы
получаем
(7.5.2)
с
учетом
этого
нетто-резервы
в
полу
непрерывной
модели
легко
рассчитать
на
основе
соответствующих
нетто-резервов
в
дискретной
модели.
7.6.
Нетто-резервы
в
случае нетто-премий,
выплачиваемых
m
раз
в
год
В
этом
разделе
мы
выведем
формулы
для
нетто-резервов,
соответствующие
фор
мулам
для
рассмотренного
в
разд.
6.4
случая
выплаты
истинных
премий
т
раз
в
год.
Согласно
перспективному
методу,
можно
непосредственно
записать
формулу
hV(m)
для
k
x:nJ'
а
именно
hV(m)
_
А
Р(т)
..
(т)
k x:1il -
x+k:n-kl
- h
х:m
а
x+k:h-kl'
k < h.
(7.6.1)
Ее
можно
подсчитать
после
того,
как
мы
вычислим
hP;~
по
формуле
(6.4.1)
или
(6.4.2)
и
a~:~:h_kl
по
формуле
(5.4.15)
или
(5.4.17).
206
Гл.
7.
Нетто-резервы
(7.6.3)
(7.6.2)
(7.6.5)
(7.6.6)
Теперь
рассмотрим
разность
между
zv;:~ И
ZV
ж
:
rn
В
общем
случае
смешанного
страхования
с
ограниченным
периодом
выплаты
премиЙ.
Для
k < h
имеем
hV(m)
hV
_
р"
р(т)
..
(т)
k
ж:nl
- k
х:т
- h
ж:nl
ax+k:h-kl
- h
х:rn
а
ж+k:h-kl
..
(т)
а
р(т)
x:hl··
р(т)
..
(т)
= h
х:rn
~
ax+k:h-kl-
h
x:1i1
аж+k:h-kl'
х:М
В
предположении
равномерности
распределения
моментов
смерти
в
каждом
годич
ном
возрастном
интервале
равенство
(7.6.2)
принимает
вид
..
(т)
..
{З(
)Аl
h
(т)
h _
(т)
{ал
а
ж
:h1
-
т
ж:h1
.•
k V
x
:
rn
- k V
x
:
nI
-
hPx:nI
а
a
x
+
k
:
h
-
k
!
ж:hl
[
..
(т)
..
{З(
)А
1 ] }
- a
Il
ax+k:h-kl
-
т
x+k:h-kl
.
Члены,
содержащие
4
т
),
взаимно
уничтожаются,
и
мы
получим
hV(m)
hV
-
{З(
)
р(т)
V
1
k
х:nJ
- k
х:rn
-
т
h
Х:nJ
k
х:h1'
Таким
образом,
(нетто-резерв
в
случае
истинных
нетто-премий,
выплачиваемых
т
раз
в год)
=
(соответствующий
нетто-резерв
в
дискретной
модели)
+
(нетто-резерв
по
договору
срочного
страхования
в
дискретной
модели,
заключенного
на
период
выплаты
премий,
для
{З(т)-й
доли
от
премии,
выплачиваемой
т
раз
в
год,
ПО
исходному
типу
страхового
покрытия
в
полунепрерывной
модели).
Аналогичный
результат
имеет
место
для
нетто-резервов
в
полунепрерывной
мо
дели
для
договора
с
выплатой
премий
т
раз
в
год
в
предположении
о
равномер
ности
распределения
моментов
смерти
в
каждом
годичном
возрастном
интервале.
Согласно
перспективному
методу,
для
k < h
Z
v(m)
(Ах:nд
=
Ax+k:n-kl
-
hp(m)
(А
х
:
rn
)
ii~:~:h_kl'
(7.6.4)
Используя
те
же
рассуждения,
что
и
при
выводе
формул
(7.6.1)
из
(7.6.3),
получим
h
(т)
- h -
(т)
- 1
k
V
(А
ж
:
nI
)
= k
V(Аж;nд
+
{З(т)
h
P
(АЖ;ffi)
k
V
x
:h1'
Далее,
устремляя
в
этой
формуле
т
к
00,
получим
для
непрерывной
модели
h-
- h - - - 1
k
V(A
x
:
nI
)
= k
V(A
x
:
rn
) +
{З(оо)
hР(Ах:nд
kVж:hl'
Вновь
отметим,
что
нетто-резерв
по
срочному
страхованию
в
этой
формуле
соответ
ствует
дискретной
модели.
Пример
7.6.1.
Для
договора
смешанного
страхования
на
срок
20
лет
со
стра
ховой
выплатой
размера
1
и
истинной
нетто-премией,
выплачиваемой
два
раза
в
год,
заключенного
с
лицом
(50),
на
основе
Иллюстративной
таблицы
смертности
и
i =0,06
и
в
предположении
равномерности
распределения
моментов
смерти
в
тече
ние
каждого
годичного
возрастного
интервала
рассчитаем
следующие
величины:
(а)
нетто-резерв
на
конец
10-го
года,
если
выплаты
на
случай
смерти
осуще
ствляются
в
конце
года
смерти;
7.7.
Нетто-резервы
для
премий
с
корректирующим
платежом
207
(Ь)
нетто-резерв
на
конец
10-го
года,
если
выплаты
на
случай
смерти
осуще
ствляются
в
момент
смерти.
Проверим
также
формулу
(7.6.5)
для
нетто-резерва
из
п. (Ь).
Решение.
(а)
В
дополнение
к
величинам,
подсчитанным
в
примере
6.4.1,
нам
нужны
А6~:IOl
= 0,13678852,
А
60
:
1О1
= 0,58798425,
а
60
:IOl
= 7,2789425,
10V5~:201
=
А
6
1
0
:
IOl
- pio:201
li
60
:I01
= 0,052752,
10
V
50:201 =
А
60
:
IOl
-
Р
50
:2О1
а
60
:IOl
= 0,355380.
Далее,
в
предположении
равномерности
распределения
моментов
смерти
в
каждом
годичном
возрастном
интервале
имеем
(1~~IOl
=
а(2)
(160:101 -13(2)(1 -
10
Е
60)
= 7,1392299.
Нетто-резерв
10V5~:km
можно
подсчитать
с
помощью
формулы
(7.6.1):
А
60
:
IOl
-
Р;~~IOl
а~~~IOl
= 0,355822,
или
формулы
(7.6.3):
10
V
50:201
+
f3(2)P;~~20110V5~:201
= 0,355822.
(Ь)
Нам
нужны
дополнительные
величины:
z 1
"8
А
50
:
2О1
= 0,13423835,
р(2)
(.450,201)
=
~~~'201
=0,03286830,
а
50
:
2О1
z 1 -
"8
А
60
:
1О1
= 0,14085233,
А
50
:
2О1
= 0,36471188,
-
А
50
:
2О1
-
Р(А
50
:
2О1
)
=
..
= 0,03229873,
А
60
:
IOl
= 0,59204806,
а
50
:2О1
10V(A50:2Ol) =
А
60
:
I01
-
Р(А
5о
:20д
(160:101 . 0,3569475,
(2) - _ - (2) -
..
(2)_
10v
(A
50
:
2Ol
) -
А
60
:
I01
-
р
(A
50
:
Wl
)
а
60
:
IOl
- 0,3573937,
(3(2)р(2)
(А
50
:
2О1
)
10V5~:201
= 0,000446.
Эта
последняя
величина
является
разностью
между
двумя
величинами,
выпи-
санными
непосредственно
перед
ней,
как
показывает
формула
(7.6.5).
~
7.7.
Нетто-резервы
ДЛЯ
премий
с
корректирующим
платежом
В
разд.
6.5
мы
обсудили
премии
с
корректирующим
платежом,
а
теперь
рас
смотрим
соответствующие
нетто-резервы.
Для
целых
k,
согласно
перспективному
методу,
hv{m}(A
) -
А
р{т}(А-
)
..
{т}
k
х:rn
-
x+k:n-kl
- h
х:rn
ax+k:h-kl'
Но,
согласно
(6.5.2),
k <
h.
(7.7.1)
208
и,
согласно
(5.5.4),
Гл.
7.
Нетто-резервы
..
{т}
8 _
а
---а
~
x+k:h-kl -
d(m)
x+k:h-k,'
Подставляя
эти
выражения
в
формулу
(7.7.1),
получим
для
целых
k
соотношение
(7.7.2)
Это
означает,
что
в
годовщины
заключения
договора
для
всех
вариантов
корректи
рующих
платежей,
вне
зависимости
от
характера
выплаты
премий,
можно
исполь
зовать
резервы,
рассчитанные
в
непрерывной
модели.
Условие,
состоящее
в
том,
что
k
должно
быть
целым,
можно
ослабить,
беря
в
качестве
k
концы
интервалов
длины
11т,
если
премии
выплачиваются
m
раз
в
год.
В
разд.
6.5
было
замечено,
что
нетто-премия
с
корректирующим
платежом
раз
бивается
на
две
компоненты:
(7.7.3)
Поскольку
где
верхний
индекс
ВП
используется
для
обозначения
премии
на
покрытие
возврата.
Аналогичное
разложение
имеет
место
для
нетто-резервов.
В
этом
можно
убедиться
с
помощью
перспективного
метода
и
формулы
(6.5.7).
Доказательство
проводится
так:
V(А
ВП
)
=
Р(А
) Ax+k - A
X
+
k
_
Р(АВП)"
k
х
х
д
х
ax+k
=
Р(А
х
)
dax+k
~
tSax+k
_
[p{l}
(Ах)
- P(Ax)Jax+k.
:
Р(А
х
)
=
P{l}(A
x
),
это
выражение
может
быть
сведено
к
виду
Таким
образом,
(7.7.4)
7.8.
Замечания
и
литература
В
этой
главе
представлены
способы
определения
резервов,
соответствующие
об
суждавшимся
в
гл.
6
способам
расчета
премиЙ.
Обсуждение
рекуррентных
формул
для
резервов
будет
проведено
в
гл.
8.
Сначала
использовались
принципы
расчета
резервов,
базирующиеся
на
функциях
полезности
и
применявшиеся
в
гл.
6.
Гер
бер
[Gerber 1976, 1979]
рассматривал
эти
резервы
в
более
абстрактной
постановке.
Широко
исследовались
нетто-резервы,
которые
получаются
при
использовании
ли
нейной
функции
полезности.
Шер
[Scher 1974]
изучал
резервы,
соответствующие
нетто-премии
с
корректирующим
платежом,
как
дисконтированные
нетто-резервы
в
непрерывной
модели.
Упражнения
Упражнения
209
к
разделу
7.1
7.1.
Определите
нетто-резервы
для
t =
2,3,4
и
5
по
договору
страхования
из
примера
6.1.1.
7.2.
Определите
экспоненциальные
резервы
для
t =
2,
3,4
и
5
ПО договору
страхования
из
примера
6.1.1.
7.3.
Определите
экспоненциальные
резервы
для
t =
1,2,3,4
и
5
ПО
договору
страхо
вания
из
упр.
6.2.
7.4.
Рассмотрите
договор
страхования
из
примера
7.1.1
и
для
страховщика
из
упр.
6.3
с
функцией
полезности
и(х)
=
х
- 0,01
х
2
,
О
<
х
< 50,
определите
такой
резерв
kV
в
моменты
времени
k =
1,2,3
и
4,
чтобы
страховщику,
имеющему
капитал
величины
10
в
каждый
период,
было
безразлично,
оставлять
ли
риск
на
собственном
удержании
при
премии
величины
0,30360
(см.
упр.
6.3)
или
передать
риск
перестраховщику,
уплатив
kV
в
качестве
перестраховочной
премии.
7.5.
Рассмотрите
договор
страхования
с
выплатой
размера
1
для
страхователей
воз
раста
О
в
непрерывной
модели,
используя
следующие
предположения:
(i)
закон
смертности
Муавра
с
w = 5,
(Н)
i = 0,06, (iii)
принцип
111
примера
6.1.1
при
Q = 0,1.
(а)
Выведите
уравнения,
из
которых
можно
определить
величину
экспоненциальных
премий
и
экспоненциального
резерва
в
момент
времени
t = 1.
(Ь)
Решите
уравнения
из
п. (а)
для
указанных
численных
значений,
чтобы
получить
экспоненциальные
премии
и
экспоненциальный
резерв.
Для
получения
этих
решений
мож
но
использовать
численные
методы.
к
разделу
7.2
7.6.
Определите
перспективные
потери
tL
по
прошествии
t
лет
для
договора
смешанно
го
страхования
на
срок
n
лет
со
страховой
выплатой
размера
1
для
лица
(х)
в
непрерывной
модели.
Покажите,
что
2 - - 2
D[ L I
Т>
tJ
=
Ax+t:n=tI-
(Az+t:n=tl)
t
(бй,х:m)2
7.7.
Перспективные
потери
по
прошествии
t
лет
по
непрерывному
аннуитету
на
срок
n
лет
с
годовой
выплатой
размера
1,
выплачиваемому
лицу
(х),
которое
вносит
за
это
единовременную
нетто-премию,
задаются
формулой
tL =
{ат-ф
t
~
Т
<
n,
(in-tl,
Т;>,
n.
Выразите
E{tL I
Т
>
t]
и
D[tLI
Т>
t]
в
терминах
актуарных
настоящих
стоимостей.
7.8.
Выведите
перспективную
формулу
для
20
- -
(а)
10
V(А
з5
:ЗQl)
,
(Ь)
нетто-резерва
на
конец
5-го
года
для
договора
страхования
на
срок
10
лет
со
страховой
выплатой
размера
1
и
с
единовременной
премией,
заключенного
с
лицом
(45).
7.9.
(а)
Для
договора
бессрочного
страхования
на
случай
смерти
в
непрерывной
мо
дели
с
нетто-премией,
определенной
согласно
принципу
эквивалентности,
найдите
то
зна
чение
ио
=
Т(х)
- t,
когда
потери
равны
нулю.
[Предупреждение.
Для
больших
значений
t
решения
может
не
существовать.]
(Ь)
Определите
значение
ио
для
t =
20
в
примере
7.2.3
и
воспользуйтесь
рис.
7.2.1,
чтобы
оценить
приемлемость
такого
выбора.
7.10.
Пусть
выполнены
предположения
примера
7.2.3.
Найдите
такие
значения
t,
что
минимальные
потери
равны
нулю.
Проверьте
результат
с
помощью
рис.
7.2.2.
7.11.
(а)
Повторите
рассуждения,
приведенные
при
выводе
равенства
(7.2.9),
для
определения
функции
распределения
случайной
величины
потерь
по
договору
смешанного
страхования
на
срок
n
лет
в
непрерывной
модели.
210
Гл.
7.
Нетто-резервы
(Ь)
Нарисуйте
график
для
такого
договора
смешанного
страхования,
который
соответ
ствует
рис.
7.2.1.
7.12.
Проделайте
упр.
7.11
ДЛЯ
страхования
на
случай
смерти
на
срок
n
лет
в
непре
рывной
модели.
7.13.
Проверьте)
что
функция,
заданная
формулой
(7.2.10),
удовлетворяет
условиям,
налагаемым
на
функцию
плотности.
К
разделу
7.3
7.14.
Выпишите
четыре
формулы
для
~gV(A40).
7.15.
Выпишите
семь
формул
для
10v(A
40
:2QJ)'
7.16.
Приведите
ретроспективную
формулу
для
~8V(ЗОlаЗ5).
7.17.
Покажите,
что
для
О
< t
~
т
- - -
-1
- 1
--
(а)
Р(А
ж
:
m
+
ni
)
=
Р(А
ж
:
ffil
)
+
Рж:ffil
mV(А
ж
:
m
+
nl
)
,
- - -
-1
~
1
--
(Ь)
tV(A
x
:
m
+
nl
) =
tV(А
ж
:
rm
)
+tV
x
:
ffil
mV(А
ж
:
m
+
nl
)
,
и
дайте
словесную
интерпретацию
этих
выражений.
7.18.
Установите,
с
какой
формулой
из
разд.
7.3
связано
следующее
равенство,
и
дайте
его
словесную
интерпретацию:
20 - - - 1 20 - - - - -
10
V(А
зо
)
=
А
4о
:
51
+
5Е
40
15
V(А
зо
)
-
20Р(А
зо
)
a40:51'
к
разделу
7.4
7.19.
Выпишите
четыре
формулы
для
i8V40.
7.20.
Выпишите
семь
формул
дЛЯ
10V
40
:
201
.
7.21.
Покажите,
что
для
О
< k
~
т
1 1
v:
kVж:m+nl
=
kVж:ffil
+
kVж:ffil
m x:m+nl'
7.22.
Вычислите
kVx+k:n-kl'
если
k <
n/2,
kVх:Щ
=
1/6
и
ax:Тil
+iix+2k:n-2k) =2iix+k:n_kl'
К
разделу
7.5
7.23.
На
основе
Иллюстративной
таблицы
смертности
и
процентной
ставки
6%
под
считайте
величину
нетто-резервов
из
следующей
таблицы
(см.
упр.
6.10).
Непрерывная
модель
Полунепрерывная
модель
Дискретная
модель
10v(А
з5
:
зой
lОv(А
зs
)
-
-1
10V(А
з5
:
3Ol
)
10V
(.4
з5
:
зоЙ
10v(А
з5
)
-1
10V(А
з5
:
3Ol
)
10VЗ5:3Ol
10V
З5
10V
з
1
5
:
3Ol
..
(т)
(
d) 1 _
а
55
..
(т)
.
а
40
У
(т)?
15
40
.
(
)
Р
(т)
••
(т)
k
с
40
S
40:I5]
- 15
40,
7.24.
В
предположении
равномерности
распределения
моментов
смерти
в
течение
каж
дого
годичного
возр~стного
интервала
опре~елите,
какие
из
следу~щих
равенств
верны:
-
~
- z
-1
1.
1
(а)
kV(A
x
:
Тil
)
= J
kVж:Щ,
(Ь)
kV(А
ж
)
=
~
kVж,
(с)
kV(А
ж
:
щ
)
= J
kVЖ:Щ.
К
разделу
7.
б
7.25.
Покажите,
что
в
предположении
равномерности
распределения
моментов
смерти
в
течение
каждого
годичного
возрастного
интервала
V(4)
v;
5
ЗО:2Щ
- 5
зо:2О1
_
А
зо
:
2Ol
20тт(4)
_
20тт
А
зо
'
5
Узо
5
узо
(Указанное
предположение
достаточно,
но
не необходимо.)
7.26.
Какие
из
следующих
равенств
являются
верными
для
(
р(т»)
(а)
(pJ~)
-
pJ:»ii;~)
)
(Ь)
1 -
~~)
А
55
,
РЗ5