Бауэрс Н., Гербер Х., Джанс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика
Подождите немного. Документ загружается.
6.5.
Премии
с
корректирующим
платежом
181
Воспользовавшись
формулой
(6.5.5),
мы
получаем
А~П
=
Р(Ах)Е
[v
T
-
Б
VК
+
1
]
=
Р(А
х
)
(
Ах
~
Ах
).
(6.5.7)
(6.5.8)
Постоянная
ежегодная
нетто-премия
составит,
согласно
принципу
эквивалентности,
величину
Р{А
ВП
)
=
.Р{Ах)(А
х
-
Ах)
х
дli
x
'
Формула
(6.5.7)
допускает
следующую
интерпретацию:
актуарная
настоящая
стои
мость
возврата
является
разностью
между
стоимостью
непрерывного
бессрочного
финансового
аннуитета!)
с
годовой
выплатой
размера
.Р(А
х
),
начинающегося
с
мо
мента
смерти
лица
(х),
и
стоимостью
непрерывного
бессрочного
финансового
ан
нуитета
с
годовой
выплатой
размера
.Р{А
х
),
начинающегося
с
конца
года
смерти
лица
(х).
Теперь
мы
возвращаемся
к
соотношению
(6.5.6),
где,
согласно
(6.5.5),
P{I)(A
x
) -
Р(А
х
)
=
Р(А
х
)
~
-
;:
=
Р(А
х
)
(~
-
::)
=
Р{А
)d
ах
-
бах
=
.Р(А-
)
Ах
-
Ах
=
Р(А-ВП).
(
х
бах
х
бах
х
6.5.9)
Здесь
мы
использовали
равенство
(6.5.8).
Это
доказывает
наше
утверждение
отно
сительно
разности
(6.5.6).
Проведенный
анализ
можно
распространить
на
выплаты
премий,
производящи
еся
т
раз
в
течение
страхового
года,
и
на
иные
договоры
страхования
жизни,
не
только
бессрочные.
В
общем
случае
р{m}
(А)
_
р(т)
(А)
является
величиной
премии,
выплачиваемой
т
раз
в
год,
на
покрытие
возврата.
Пример
6.5.1.
Предположим,
что
договор
из
примера
6.4.1(b)
должен
преду
сматривать
корректирующий
платеж.
Насколько
в
этом
случае
увеличится
ежегод
ная
нетто-премия?
Решение.
Ежегодная
нетто-премия
с
корректирующим
платежом
за
единицу
страхового
покрытия
задается
формулой
(6.5.2),
{2} - _ - -
d(2)
_
А
50
:
2О1
d(2)
р
(А
50
:
2О1
)
-
Р(А
50
:
2О1
)
-~-
- -
~
.
и
a
50
:2Ol
и
В
предположении
равномерности
распределения
смертей
в
каждом
годичном
воз
растном
интервале
это
выражение
при
обретает
вид
(i/б)А~о:2Ol
+
A50:~
d(2)
(i/б)р
s
l
0
:
2Ol
+
РБО:~
d(2)
а(0о)а
50
:2О1
- ,8(00)(1 -
20Е50)
б
-
а(оо)
-
,8(00)(P;o:2Ol
+
d)
fJ
.
Здесь
а(оо)
= 8IlaIl = i
d/б
2
= 1,00028,
(3(00)
=
(ЗI1
-
1)/б
2
= 0,50985.
Пользуясь
другими
значениями,
приведенными
в
примере
6.4.1,
мы
находим
{2} -
10000
Р
(A
so
:
2Ol
) = 329,69.
l)Непрерывные
бессрочные
финансовые
аннуитеты
(ренты)
определены
в
книге:
Гербер
Х.
Математика
страхования
жизни.
-
М.:
Мир,
1995,
разд.
1.6.
Рекомендуем
читателю
обратить
вни
мание
на
формулу
(1.6.5)
для
настоящей
(текущей)
стоимости
этого
аннуитета.
-
Прu.м..
ред.
182
Гл.
6.
Нетто-премии
Таким
образом,
увеличение
годовой
премии
составит
{2} - (2) -
10000(Р
(A
50
:
2Ol
) -
Р
(А
50
:
2О1
))
= 1,01,
что
является
величиной
годовой
нетто-премии,
выплачиваемой
дважды
в
год,
на
покрытие
возврата.
6.6.
Выплаты
накопительного
типа
Анализ
в
этом
разделе
будет
проводиться
в
терминах
ежегодных
премий
и
стра
ховых
выплат,
производящихся
в
конце
года
смерти.
Аналогичный
анализ
может
быть
проведен
для
непрерывных
моделей
и,
с
определенными
коррективами,
для
полунепрерывных
моделей.
Прежде
всего,
мы
ищем
актуарную
настоящую
стои
мость
договора
страхования
на
случай
смерти
на
срок
n
лет,
заключенного
с
лицом
(х),
по
которому
страховая
сумма
равна
B
k
+
1
Ij'
если
смерть
произойдет
в
год
с
но
мером
k + 1.
Случайная
величина
настоящей
стоимости
такой
выплаты
на
момент
заключения
страхового
договора
равна
W =
{V
K
+
1
S
k
+
1
U= (vK+1(1 +
ЛК+1
- V
K
+
1
]fd(j)
,
О,
О
~
к
< n,
K~n,
где
настоящие
стоимости
для
страховщика
вычислены
при
процентной
ставке
i,
а
d(j)
является
ставкой
дисконта,
эквивалентной
процентной
ставке
З.
Актуарная
настоящая
стоимость
равна
E(WJ
= (A';:ffi -
A~:т)
/d(j),
где
величина
AJ;:ffi
вычисляется
при
процентной
ставке
i'
= (i -
j)/(1
+
j).
Если
i =
j,
то
i'
=
О
и
актуарная
настоящая
стоимость
равна
nqx
-
A;:Тil
_ 1 -
nРх
-
А
х
:
щ
+
VnnPx
_
•.
••
-"
Е
..
d - d -
ax:fil
-
nРх
ащ
-
а
х
:
т
- n
х
8nJ·
(6.6.1)
(6.6.2)
Формула
(6.6.2)
показывает,
что
при
j = i
этот
специальный
договор
срочного
стра
хования
эквивалентен
страховому
аннуитету
пренумерандо
сроком
на
n
лет
до
того
момента,
пока
(х)
не
проживет
n
лет.
После
этого
договор
срочного
страхования
предусматривает
нулевые
выплаты,
в
то
время
как
выплаты
по
страховому
аннуи
тету
при
условии
дожития
до
n
лет
будут
равны
Вт
в
момент
времени
n.
Рассмотрим
теперь
ситуацию,
когда
лицо
(х)
может
выбирать
между
приобре
тением
договора
смешанного
страхования
на
срок
n
лет
с
выплатами
размера
1
и
с
ежегодной
премией
Р
х
:
m
или
созданием
сберегательного
вклада
со
взносами
ве
личины
1/
Sfil
в
начале
каждого
из
n
лет
и
приобретением
специального
срочного
договора
страхования
с
уменьшающимися
выплатами.
Согласно
этому
специально
му
договору
страхования
в
случае
смерти
в
году
с
номером
k + 1
будет
выплачена
разность
1 - S
k+
11/
ВЩ,
k =
О,
1,
2,
...
,n -
1,
между
страховой
выплатой
размера
1
при
смешанном
страховании
и
суммой,
на
копленной
на
сберегательном
вкладе.
Предположим
далее,
что
при
проведении
этих
операций
используется
одна
и
та
же
процентная
ставка
i.
По
смешанному
страхова
нию
и
по
комбинации
специального
договора
страхования
и
сберегательного
вклада
6.6.
Выплаты
накопительного
типа
предусматриваются
одинаковые
выплаты.
Поэтому
можно
ожидать,
что
(ежегодная
нетто-премия
Рх:щ
по
смешанному
страхованию)
=
(ежегодная
нетто-премия
по
специальному
договору
страхования)
+
(ежегодный
взнос
в
сберегательный
вклад
1/
Sщ).
183
Для
проверки
этого
предположения
рассмотрим
случайную
величину
настоящей
стоимости
для
специального
срочного
страхования
с
уменьшающейся
выплатой,
~
{V
K
+
1
(1
_
B~)
=
vK+l
_
a~,
w =
Вщ
BnJ
О,
о
~
к
<
n,
K~n.
(6.6.3)
Актуарная
настоящая
стоимость
С.в.
W
обозначается
через
А~:щ
и
задается
соотно
шениями
[см.
(6.6.2)].
Ежегодная
нетто-
премия для
специального
срочного
страхования
равна
поэтому
и,
значит,
(6.6.4)
Мы
уже
видели,
что
Р
х
:
щ
=
P;:nJ
+
Px:~,
а
теперь
равенство
(6.6.4)
дает
другое
разложение
для
Рх:щ.
Компонентами
в
нем
являются
ежегодные
премии
для
специального
срочного
страхования
и
ежегодные
взносы
в
сберегательный
вклад
l/s
щ
,
которые
накапливаются,
давая
в
сумме
еди
ницу
по
истечении
n
лет.
Пример
6.6.1.
Выведем
формулы
для
ежегодной
нетто-премии
по
страховому
договору
на
срок
20
лет,
заключенному
с
лицом
(х),
согласно
которому,
если
смерть
наступает
в
течение
20
лет,
происходит
возврат
годовой
нетто-премии
(а)
без
учета
процента,
(Ь)
накопленной
при
процентной
ставке,
которая
используется
в
определении
величины
премиЙ.
В
каждом
случае
возврат
премии
осуществляется
в
дополнение
к
страховой
вы
плате
размера
5000
и
выплаты
осуществляются
в
конце
того
года,
когда
произошла
смерть.
Решение.
(а)
Пусть
1Г
а
обозначает
нетто-премию.
Тогда
и
Аl
..
5000
x:2OJ
7r
а
a
x
:2OJ
=
а
_
(1
А)l
x:2OJ x:2OJ
184
Гл.
6.
Нетто-премии
(Ь)
Пусть
1Гь
обозначает
нетто-премию.
Пользуясь
формулой
(6.6.2),
мы
полу
чаем
1Гь
а
х
:2О1
=
5000A~:201
+
Jrb(ax:2Ol
-
20
Е
х
8201),
1Гь
20
Е
х
8201
=
5000A~:201'
Аl Аl
1г
= 5000
х:2О1
= 5000
х:2О1
ь
20
Е
х
8201
20Рх
а2О1
На
практике
должны
возвращаться
ежегодные
брутто-премии,
и
в
формулах
это
должно
учитьпщться.
"
Пример
6.6.2.
Отсроченный
аннуитет
для
лица
(х)
с
ежегодными
выплатами
размера
1,
которые
начинаются
в
возрасте
х+n,
должен
оплачиваться
постоянными
ежегодными
нетто-премиями
в
течение
периода
отсрочки.
Выплата
на
случай
смер
ти,
наступившей
в
течение
периода
выплаты
премий,
состоит
в
возврате
ежегодных
нетто-премий,
накопленных
с
учетом
процента,
при
той
же
процентной
ставке,
кото
рая
применялась
для
расчета
премии.
Предполагая,
что
выплаты
на
случай
смерти
производятся
в
конце
года
смерти,
определим
величину
ежегодной
нетто-премии.
Решение.
Приравнивая
актуарную
настоящую
стоимость
ежегодной
нетто-пре
мии
1г
к
актуарной
настоящей
стоимости
выплат
аннуитета,
мы
имеем
1г
Q,х:щ
=
nЕх
а
х
+
n
+
1Г(а
х
:щ
-
nЕх
8щ),
причем
второе
слагаемое
в
правой
части
возникает
из
формулы
(6.6.2).
Разрешая
относительно
1Г,
получаем
"
6.7.
Замечания
и
литература
В
статье
[Lukacs 1948]
содержится
обзор
того,
как
развивался
принцип
эквива
лентности.
В
литературе,
посвященной
экономике
неопределенностей,
премии,
рас
считанные
с
исrЮJIьзованием
принципа
эквивалентности,
часто
называют
актуар
ными
премиями.
В
работах
Гербера
[Gerber 1976, 1979]
обсуждались
показательные
премии
и
резервы.
Они
иллюстрируются
примером
6.1.1,
в
котором
используется
принцип
III.
Долевые
премии
различflыx
видов
имеют
важное
практическое
зна
чение.
Шер
[Scher 1974]
обсуждал
ряд
тем
в
этой
области,
а
именно,
связи
между
премиями
в
непрерывной
модели,
премиями
с
корректирующим
платежом
и
пре
миями
в
полунепрерывной
модели.
Разложение
премии
в
смешанном
страховании
было
введено
в
работе
[Linton 1919].
Упражнения
к
разделу
6.1
6.1.
Подсчитайте
математическое
ожидание
и
дисперсию
настоящей
стоимости
финан
совых
потерь
для
страхового
договора
из
примера
6.1.1,
если
премии
определяются,
исходя
из
принципа
1.
6.2.
Проверьте,
что
показательная
премия
(с
Q'
= 0,1)
для
договора
страхования
из
примера
6.1.1,
измененного
так,
чтобы
сумма
страховой
выплаты
была
равна
10,
равняется
3,45917.
(Обратите
внимание,
что
это
значение
приблизительно
в
11,3
раз
больше,
чем
показательная
премия
для.
договора
со
страховой
выплатой
1,
рассчитанная
в
примере
6.1.1.)
6.3.
Воспользовавшись
предположениями
из
примера
6.1.1,
определите
размер
ежегод
ной
премии,
которая
максимизирует
ожидаемую
полезность
для
страховщика
с
начальным
Упражнения
185
капиталом
w = 10
и
функцией
полезности
u(х)
=
х
-
О,0Iх
2
,
Х
< 50.
[Указание.
Восполь
зуйтесь
соотношением
(1.3.6), w - 0,01w
2
=
E[(w
-
L)
- O,OI(w - L)2].]
К
разделу
6.2
6.4.
Рассмотрим
бессрочное
страхование
на
случай
смерти
со
страховой
выплатой
раз
мера
1
и
постоянной
премией
в
непрерывной
модели.
Случайная
величина
Т(х),
продол
жительность
предстоящей
жизни,
имеет
показательное
распределение
с
Е[Т(х)]
= 50,
и
интенсивность
начисления
процента
б
равна
0,06.
(а)
Найдите
ежегодную
нетто-премию,
если
используется
принцип
эквивалентности.
(Ь)
Найдите
ежеrодную
нетто-премию,
расчет
КОТОрОЙ
основан
на
требовании
P(L
>
О)
= 0,50.
(с)
Повторите
задачу
п.
(Ь),
предполагая,
что
интенсивность
начисления
процента
О
равна
О.
6.5.
Пусть
интенсивность
смертности
строго
возрастает
с
возрастом.
Покажите,
что
Р(А
х
)
>
J..tx(O).
[Указание.
Покажите,
что
Р(А
ж
)
является
взвешенным
средним
величин
/-Lx
(t), t >
О.]
6.6.
Следуя
рассуждениям
примера
6.2.1,
найдите
общее
выражение
для
2А
х
-
(А
х
)2
(оа
ж
)2
где
J.Lx(t)
=
J.L
и
о
является
интенсивностью
начисления
процента
для
t >
О.
6.7.
Если
о
=
О,
покажите,
что
Р(А
ж
)
=
1/
~x
•
6.8.
Докажите,
что
дисперсия
потерь
по
договору
бессрочного
страхования
на
слу
чай
смерти
с
единовременной
премией
меньше
дисперсии
потерь
по
договору
бессрочного
страхования
на
случай
смерти
с
ежегодНОЙ
выплатой
премиЙ.
Считайте,
что
страховые
вы
платы
осуществляются
в
момент
смерти
и
что
нетто-премии
выплачиваются
непрерывно.
6.9.
Покажите,
что
(
dёi
X
)
- -
dА
ж
1 + dx
Р(А
х
)
- dx =
J..t(x).
к
разделу
6.3
6.10.
На
основе
Иллюстративной
таблицы
смертности
и процентной
ставки
6%
вычис
лите
величину
ежегодных
премий
в
следующей
таблице.
Отметьте
все
возможные
неравен
ства,
которые
возникают
в
матрице
результатов.
Непрерывная
модель
6.11.
Покажите,
что
Полунепрерывная
модель
Дискретная
модель
РЗ5:1Ol
РЗ5:3Ol
РЗ5:БО1
Р
З5
pis:3Ol
Pi5:1Ol
20Р;:3Ol
-
P;:W]
=
20Р(20110Аж).
6.12.
Обобщите
пример
6.3.1,
где
klQx
=
(1
-
r)r
k
,
k =
0,1,2
...
;
другими
словами,
найдите
выражения
в
терминах
r
и
i
для
Аж,
аж!
P',l;
и
[2A',l;
-
(A',l;)2]j(da',l;)2.
к
разделу
6.4
6.13.
Пользуясь
информацией,
приведенной
в
примере
6.4.1,
вычислите
значение
pJ~)
.
186
Гл.
6.
Нетто-премии
6.14.
Пользуясь
различными
формулами
для
a~~
и
либо
предположением
о
равно
мерности
распределения
моментов
смерти
в
каждом
годичном
возрастном
интервале,
либо
формулой
(5.4.10),
покажите,
что
отношение
ax:hl/a~jj
в
соотношении
(6.4.2)
можно
пред
ставить
как
величину,
обратную
к
( ) 1
m-l
1
(а)
a
Il
m
-
jЗ(m)Рх:hl
1
(Ь)
а(т)
-
jЗ(m)
(Р::ю
+d),
(с)
1 -
2т
(Р
х
:
Ю
+d).
6.15.
Вычислите
двумя
способами,
ссылаясь
на
пример
6.4.1(b)
и
непосредственно,
(2)
- - / ..
(2)
величину
р
(A
50
:
2Ol
) = A
50
:
2Ol
а
50
:
2OI
.
При
этом
используйте
Иллюстративную
таблицу
смертности
для
актуариЬ!х
настоящих
стоимостей
как
в
числителе,
так
и
в
знаменателе.
6.16.
Если
p~/!(2)/
Р::2б1
=1,032
и
P
x
:
2Ol
= 0,040,
то
каково
значение
P;~~?
К
разделу
6.5
(2)
- - -
{4}
-
6.17.
Упорядочите
по
возрастанию
величины
Р
(A
40
:
251
),
P(A
40
:
251
),
Р
(A
40
:
251
),
-
{12}
-
P(A
40
:
25l
)
И
Р
(A
40
:
25l
)
И
обоснуйте
свой
вывод.
6.18.
При
условии,
что
d/d(12)
= 99/100,
вычислите
р{12}
(А
х
)/
р{l}
(Ах).
6.19.
Пусть
Р(А
х
)
= 0,03,
и
пусть
эффективная
годовая
процентная
ставка
составля
ет
5%.
Вычислите
величину
полугодовой
нетто-премии
для
50000
договоров
бессрочного
страхования на
случай
смерти
для
лиц
возраста
(х)
в
случае
премий
с
корректирующим
платежом.
6.20.
Покажите,
что
-
(т)
-1
1
(т)
р{т}
(А
. ) _
р(т)
(А
. ) =
Р(А
. )
А
х
:
m
-
А
х
:
m
=
Р(А
. )
A
x
:
nт
-
А
х
:
m
Ж.nТ X.nТ X.nТ
••
(т)
x.nТ
••
(т)
дa
x
:
nТ
да
х
:
щ
к
разделу
6.6
6.21.
Выразите
величину
1-8201/845:201
В
виде
ежегодНОЙ
премии.
Дайте
интерпретацию
полученного
результата.
6.22.
На
основе
Иллюстративной
таблицы
смертности
и процентной
ставки
6%
вычис
лите
компоненты
следующих
дВух
разложений:
(а)
1000P
50
:
201
=
1000(P;o:201
+
P50:iт)
,
(Ь)
1000Р50:2О1
=
1000(pio:2OI
+
l/S
w
Й·
6.23.
Рассмотрим
аналог
формулы
(6.6.3)
для
непрерывной
случайной
величины
W=
{v
T
(1-
SТI/sщ),
О
~
Т
<
n,
О,
т
~n.
Основываясь
на
принщ;ше
эквивалентности,
потери
-:::::-
:::
1
L=
W-A
x
:
nт
можно
использовать
для
определения
единовременной
нетто-премии
А;;щ
для
такого
спе
циального
договора.
Покажите,
что
к
о
всем
темам
главь,
6.24.
Выразите
А
40
Р40:251
+
(1
-
А
4О
)Р40 В
виде
ежегодной
нетто-премии.
Дайте
интер
претацию
полученного
результата.
6.25.
(а)
Покажите,
что
111
..
..
=
Р
б5
:
IOl
+
d.
a
65
:IOl
S65:IOl
(Ь)
Каков
вид
соответствующей
формулы
дЛя
1
1?
..
(12)
..
(12)'
a
65
:
I01
Sб5:IOl
Упражнения
187
(с)
Покажите,
что
величина
годовых
поступлений,
обеспеченных
единовременной
нет
то-премией
размера
10000,
при
условии,
что
•
выплаты
производятся
в
начале
каждого
месяца,
пока
лицо
(65)
живо,
в
течение
последующих
10
лет,
•
единовременная
премия
возвращается по
прошествии
1
О
лет,
если
лицо
(65)
доживет
до
возраста
75
лет,
задается
выражением
100000(
..
(112)
..
(1~))
= 100000(,8),
а
65
:
1О1
865:101
где
через
(,8)
обозначается
ответ
на
п.
(Ь)
настоящего
упражнения.
6.26.
По
страхопому
договору,
заключенному
с
лицом
(35),
с
постоянными
премиями,
выплачиваемыми
до
возраста
65
лет,
предусмотрены
•
выплата
величины
100000,
если
страхователь
доживет
до
возраста
65
лет,
и
•
возврат
ежегодных
брутто-премий
с
процентами,
рассчитанными
по
процентной
ставке
на
конец
того
года,
когда
произошла
смерть,
если
страхователь
не
дожи
вет
до
65
лет.
Полагая,
что
величина
ежегодной
брутто-премии
G
равна
1,17Г,
где
7г
является
ежегодной
нетто-премией,
выпишите
выражение
для
?т.
6.27.
Вычислите
P4
1
5:m,
если
15P45
= 0,038, P
45
:
I5l
= 0,056
и
А
60
= 0,625.
6.28.
Договор
страхования
на
случай
смерти
с
выплатами премий
в
течение
20
лет
устроен
так,
что
в
случае
смерти
страхователю
выплачивается
10000
плюс
все
брутто
премии
без
учета
процентов.
Положение
о
возврате
премий
применяется
как
в
период
вы
платы
премий,
так
и
после
него.
Премии
выплачиваются
ежегодно,
а
выплата
на
случай
смерти
производится
в
конце
того
года,
когда
наступает
смерть.
По
договору,
заключен
ному
с
лицом
(х),
величина
ежегодной
брутто-премии
составляет
110%
от
нетто-
премии
плюс
25.
Выразите
в
терминах
актуарных
настоящих
стоимостей
и
запишите
в
соответ
ствующих
обозначениях
величину
ежегодной
брутто-премии.
6.29.
Выразите
в
терминах
актуарных
настоящих
стоимостей
и
запишите
в
соответ
ствующих
обозначениях
величину
ежегодной
нетто-
премии
в
начальный
момент
для
дого
вора бессрочного
страхования на
случай
смерти,
заключенного
с
лицом
(25)
на
следующих
условиях:
•
страховая
сумма,
указанная
в
договоре,
должна
быть
равна
1
для
первых
10
лет
и
2
для
всех
последующих
лет,
•
каждая
премия
в
течение
первых
10
лет
равна
1/2
каждой
премии,
выплачиваемой
впоследствии,
•
премии
выплачиваются
ежегодно
вплоть
до
возраста
65
лет,
•
страховые
выплаты
осуществляются
в
конце
года
смерти.
6.30.
Пусть
С.в.
L
1
обозначает
потери
страховщика
на
единицу
страховых
выплат
дого
вора
бессрочного
страхования
на
случай
смерти,
заключенного
с
лицом
(х),
в
непрерывной
модели.
Пусть
С.В.
L
2
обозначает
потери
лица
(х)
по
страховому
аннуитету
с
непрерыв
ными
выплатами,
приобретенному
ценой
выплаты
единовременной
премии
величины
1.
Покажите,
что
L
1
_
L
2
И
дайте
словесное
пояснение
этого
тождества.
6.31.
Рассмотрим
стандартный
договор
страхования
на
случай
смерти
со
страховой
выплатой
размера
1,
заключенный
с
лицом
возраста
х,
выплачивающим
ежегодную
пре
мию
размера
0,048,
в
дискретной
модели.
Предположим,
что
d = 0,06,
Ах
=
ОА
и
2А
х
=0,2.
Пусть
L
является
функцией
потерь
страховщика
в
момент
заключения
договора.
(а)
Вычислите
E[L].
(Ь)
Вычислите
D[L].
(с)
Рассмотрите
портфель,
состоящий
из
100
договоров
указанного
типа
со
страховыми
суммами,
указанными
ниже:
188
Гл.
6.
Нетто-премии
Страховая
сумма
1
4
Число
договоров
80
20
Предположив,
что
потери
происходят
независимо
друг
от
друга
и
воспользовавшись
нормальным
приближением,
вычислите
вероятность
того,
что
настоящая
стоимость
дохода
по
портфелю
превзойдет
величину
20.
6.32.
Выразите
в
терминах
актуарных
настоящих
стоимостей
величину
начальной
го
довой
нетто-премии
дЛя
договора
бессрочного
страхования
на
случай
смерти
с
выплатой
размера
1
для
страхователя
(х),
если
после
5
лет
годовая
нетто-премия
удваивается
по
сравнению
с
премией,
выплачивавшейся
первые
пять
лет.
Считайте,
что
выплаты
на
слу
чай
смерти
ПРОИЗJ30ДЯТСЯ
в
момент
смерти.
6.33.
Решите
упр.
6.20
повторно
дЛя
договора
бессрочного
страхования
на
случай
смерти
с
h-летним
сроком
выплаты
премиЙ.
6.34.
Функция
l(t)
задается
соотношением
(6.2.1).
(а)
Докажите,
что
l"(t)
~
О.
(Ь)
Воспользуйтесь
неравенством
Иенсена
из
разд.
1.3
для
доказательства
того,
что
_ _
~
~
_
о
если
Р
=
Р(Аз;)
,
ТО
Р(Аз;)
~
v
e
"'/a01'
е",!
6.35.
Пусть
случайная
величина
Т(х)
имеет
показательное
распределение
с
парамет
ром
J.L.
(а)
Найдите
функцию
плотности
С.В.
L,
общая
формула
для
которой
приведена
в
(6.2.12).
(Ь)
Покажите,
что
Е[
LJ
=
(J-L
-
Р)
/
(J.L
+
о)
.
(с)
Воспользовавшись
п. (Ь),
докажите,
что
E[LJ
=
О
при
Р
=
Р(Аз;).
6.36.
Используя
предположения
упр.
6.35
при
J.L
=0,03
и
о
=0,06,
(а)
вычислите
P(L
~
О)
при
Р
=
Р(Аз;),
(Ь)
определите
Р
так,
чтобы
P(L
>
О)
= 0,5.
7
НЕТТО-РЕЗЕРВЫ
7.1.
Введение
В
гл.
6
мы
изложили
несколько
принципов,
которые
могут
быть
использованы
для
определения
нетто-премии.
В
обсуждениях
гл.
6
широко
используется
принцип
эквивалентности.
Согласно
этому
принципу,
отношение
эквивалентности
устанавли
вается
на
дату,
когда
вступает
в
силу
долгосрочный
договор
между
двумя
сторо
нами,
договорившимися
об
обмене
серией
платежей.
Например, при
долгосрочной
ссуде
заемщик
может
производить
серию
равных
ежемесячных
платежей,
эквива
лентных
единовременной
сумме,
выплаченной
кредитором
в
момент
выдачи
ссуды.
Страхователь
может
выплачивать
страховщику
серию
нетто-премий,
на
дату
заклю
чения
договора
эквивалентную
сумме,
выплачиваемой
страховщиком
либо
в
связи
со
смертью
страхователя,
либо
в
случае
его
дожития
до
даты
завершения
договора.
Физическое
лицо
может
купить
отсроченный
аннуитет
у
компании
за
счет
выплаты
ей
постоянных
премий,
эквивалентных
на
дату
заключения
договора
тем
ежемесяч
ным
аннуитетным
выплатам,
которые
это
лицо
будет
получать
от
данной
компании
с
момента,
когда
достигнет
определенного
в
договоре
возраста.
Эквивалентность
в
примере
с
ссудой
сформулирована
в
терминах
настоящей
стоимости,
а
в
примерах
со
страхованием
и
аннуитетами
это
-
эквивалентность
между
двумя
актуарными
настоящими
стоимостями.
Тем
не
менее
по
прошествии
некоторого
периода
времени
эквивалентность
меж
ду
будущими
финансовыми
обязательствами
двух
сторон
окажется
нарушенной.
Может
случиться
так,
что
заемщик
должен
будет
продолжать
платежи
для
по
крытия
остатка
долга,
в
то
время
как
кредитор
уже
выполнил
свои
обязательства.
В
другой
ситуации
обязательства
могут
оставаться
у
обеих
сторон.
Страхователь,
возможно,
должен
будет
продолжать
выплату
нетто-премий,
в
то
время
как
у
стра
ховщика
останется
обязательство
выплатить
страховую
сумму
по
окончании
срока
договора
или
в
случае
смерти
страхователя.
В
нашем
примере
с
отсроченным
анну
итетом
физическое
лицо
может
завершить
свои
платежи,
в
то
время
как
компания
еще
должна
продолжать
ежемесячные
выплаты.
В
этой
главе
мы
исследуем
платежи
в
периоды
времени
после
даты
вступления
договора
в
силу.
Для
этого
требуется
балансирующая
статья,
и
эта
статья
будет
пас
сивом
для
одной
ИЗ
сторон
и
активом
для
другой.
В
случае
ссуды
балансирующая
статья
является
непогашенной
суммой
долга,
активом
для
кредитора
и пассивом
для
заемщика.
В
двух
других
случаях,
если
лицо
еще
живо,
балансирующая
статья
будет
называться
резервом.
Этот
резерв
обычно
является
обязательствами,
которые
должны
быть
отражены
в
любой
финансовой
отчетности
страховщика
или
компа
нии,
выплачивающей
аннуитеты.
Он
также
обычно
является
активом
для
страхова
теля
или
лица,
которому
выплачивается
аннуитет.
190
Гл.
7.
Нетто-резервы
Проиллюстрируем
расчет
размера
балансирующей
статьи,
о
которой
говорилось
выше,
продол.жив
пример
6.1.1
в
двух
случаях,
в
которых
при
определении
принципа
расчета
премии
использовалась
функция
полезности.
Пример
7.1.1.
Страховщик
заключает
договор
страхования
с
выплатой
раз
мера
1
в
конце
года
смерти
в
обмен
на
выплату
премии
Р
в
начале
каждого
года,
пока
страхователь
жив.
Предположим,
что
страхователь
жив
спустя
год
после
за
ключения
договора
страхования.
Далее,
предположим,
что
страховщик
использует
процентную
ставку
i
==
0,06
и
следующее
предположение
о
смертности
в
терминах
случайной
величины
К:
klQo
==
0,2,
k
==
0,1,2,3,4.
(7.1.1)
Найдем
резерв
1
V,
определенный
согласно
(а)
принципу
11:
страховщику,
использующему
функцию
полезности
u(х)
==
х,
безразлично,
оставлять
ли
риск
на
собственном
удержании,
получая
премии
размера
0,30272
(из
примера
6.1.1),
или
выплатить
перестраховщику
сумму
lV
для
передачи
риска;
(Ь)
принципу
111:
страховщику,
использующему
функцию
полезности
u(х)
==
_e-O,lx,
безразлично,
оставлять
ли
риск
на
собственном
удержании,
получая
пре
мии
размера
0,30628
(из
примера
6.1.1),
или
выплатить
перестраховщику
сумму
lV
для
передачи
риска.
Решенце.
"Условная
функция
вероятностей
для
С.в.
К
пошаговой
продолжи
тельности
предстр-ящей
жизни
пр»
условии
К
~
1
записывается
следующим
обра
зом:
P(K==kIK
~
1)
==
P(K==k)
==
0,2
==
025
k
:;.'
P(K~1)
0,8 "
==
1,2,3,4.
Настоящая
стоимость
будущих
финансовых
потерь
страховщика
через
один
год
по
сле
заключения
договора
составляет
lL
==
v(K-l)+l
-
Pa(K-l)+ll'
где
Р
-
премия,
определенная
в
примере
6.1.1.
(а)
Согласно
формуле
(1.3.1),
найдем
такую
величину
lV,
что
u(w -
lV)
==
E[u(w -
lL)
I
К
~
1].
Согласно
принципу
11,
u(х)
==
х,
так
что
Иными
словами,
принцип
11
эквивалентен
требованию,
чтобы
величина
lV
удовле
творяла
условию
1V
==
E[l
L I
к
~
1].
Для
этого
при
мера
данное
требование
можно
представить
в
виде
4
lV
==
L(v(k-l)+l
- 0,30272a(k_l)+11)
Р(К
==
k I
к
~
1)
k::;::l
4 4
==
L
v(k-l)+lр(к
==
k I
к
~
1)
- 0,30272 L
a(k-l)+ll
Р(К
==
k I
к
~
1),
k::;::l
k=l
и
это
дает
lV
==
0,15111,
как
показано
в
следующей
таблице.