Бауэрс Н., Гербер Х., Джанс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика
Подождите немного. Документ загружается.
132
Гл.
5.
Страховые
аннуитеты
разных
других
факторов,
таких,
как
увеличение
заработной
платы
или
выход
из
пенсионной
схемы
по
иным
причинам,
чем
смерть.
Страховые
аннуитеты
играют
важную
роль
также
в
страховании
на
случай
по
тери
трудоспособности
в
связи
С
производственной
травмой
или
профессиональным
заболеванием.
При
страховании
на
случай потери
трудоспособности
следует
рас
сматривать
возможность
прекращения
выплат
при
восстановлении
трудоспособно
сти.
При
выплатах
тому
из супругов,
который
пережил
другого,
выплаты
могут
прекратиться
по
заключении
нового
брака.
В
настоящей
главе
мы
поступаем
так же,
как
в
гл.
4,
и
выражаем
настоящую
стоимость
аннуитетных
выплат
как
функцию
С.в.
Т,
которая
обозначает
продолжи
тельность
предстоящей
жизни
лица,
получающего
аннуитет.
Мы
сможем
изучать
свойства
распределения
случайной
величины
этой
настоящей
стоимости.
Ее
мате
матическое
ожидание,
по-прежнему
называемое
актуарной
настоящей
стоимостью,
можно
вычислять
разными
способами,
используя
либо
интегрирование
по
частям,
либо
суммирование
по
частям
в
зависимости
от
того,
какое
множество
выплат
рас
сматривается
-
непрерывное
или
дискретное.
Результат
этих
вычислений
допускает
полезную
интерпретацию
и
при
водит к
иному
методу
расчета
актуарных
настоящих
стоимостей,
который
называется
.методо,м,
те1Сущих
платежей.
Как
и
в
предыдущих
главах,
посвященных
страхованию
жизни,
если
не
оговоре
но
противное,
мы
будем
предполагать,
что
эффективная
годовая
процентная
став
ка
i
(или
соответствующая
ей
интенсивность
начисления
процента
8)
постоянна.
В
большей
части
настоящей
главы
мы
будем
опираться
на
данные
из
агрегативных
таблиц
смертности
и
будем
специально
отмечать
те
ситуации,
где
использование
селекционных
таблиц
смертности
приводит
к
другим
результатам.
В
большинстве
приложений,
развиваемых
в
настоящей
главе,
выплаты
по
ан
нуитетам
продолжаются,
пока
лицо
сохраняет
определенный
статус.
Однако
потен
циальные
приложения
рассматриваемой
теории
существенно
шире.
Она
может
при
меняться
к
любому
множеству
периодических
выплат,
осуществление
или
неосу
ществление
которых
обусловлено
случайностью.
Примеры
некоторых
таких
прило
жений
содержатся
в
последующих
главах,
в
которых
рассматриваются
модели
для
групп
лиц
или
модели
выбытия
по
многим
причинам.
5.2.
Непрерывно
выплачиваемые
страховые
аннуитеты
Мы
начнем
рассмотрение
с
аннуитетов
с
непрерывными
выплатами
('Неnрерыв
'НЫХ
а'Н'Нуитетов)
размера
(интенсивности)
1
в
год!).
Конечно,
это
абстрактная
мо
дель,
но
она
познакомит
нас
с
математическими
методами,
а
с
практической
точки
зрения
будет
хорошим
приближением
ДЛЯ
аннуитетов
с
ежемесячными
выплатами.
Бессро'Ч.'НыU
(nожиз'Не'Н'Н'Ый)
страховой
ан'Нуитет
предусматривает
выплаты
до
мо
мента
смерти.
Поэтому
настоящая
стоимость
всех
выплат
равна
У =
ал
для
Т
~
О,
где
с.в.
Т
обозначает
продолжительность
предстоящей
жизни
лица
(х).
Функция
распределения
С.в.
У
может
быть
получена
из
функции
распределения
С.в.
Т
сле
дующим
образом:
l)Применительно
к
непрерывным
выплатам
мы
будем
употреблять
термин
.интенсивносты,
чтобы
подчеркнуть,
что
речь
идет
о
линейной
функции
роста
(см.,
например,
пояснение
после
формулы
(5.2.4),
а
также
разд.
13.1
и
13.4). -
Пр'U.м..
ред.
5.2.
Непрерывно
выплачиваемые
страховые
аннуитеты
Fy(y) =
Р(У
~
у)
=
P(aТl
~
у)
=
Р(1
-
vTy
~
8у)
=P(V
T
~
1-
8у)
=
Р
[т
-ln(1
-
8
У
)]
= z;r
(-ln(1
-
8
У
))
О
!
~
8
гт
8
для
<
у
< 8 .
Отсюда
мы
получаем
следующее
выражение
для
функции
плотности
С.в.
У:
f
( )
=
!!.-
F ( ) =
!!.-
F
(-
ln(1 -
8
У
))
у
у
dy
у
У
dy
т
8
ft([-lп(l
-
8у)]/8)
О
1
1 -
8у
при
<
у
< J'
133
(5.2.1)
(5.2.2)
Функция
распределения
с.в.
У
зависит
от
распределения
С.в.
Т,
но
должна
быть
похожа
на
функцию
распределения,
показанную
на
рис.
5.2.1(а)
в
конце
этого
раз
дела.
Актуарная
настоящая
стоимость
бессрочного
страхового
аннуитета
с
непрерыв
ными
выплатами
обозначается
через
ах,
где
индекс
х справа
указывает,
что
действие
аннуитета
прекращается
в
момент
смерти
лица
(х)
и что
распределение
С.в.
Т(х)
может
зависеть
от
информации,
доступной
в
возрасте
х.
При
использовании
агре
гативных
таблиц
смертности
функция
плотности
с.в.
Т
имеет
вид
tPx
J.l(x
+ t),
и
актуарную
настоящую
стоимость
можно
рассчитывать
по
формуле
ах
=
Е[У]
=
[>О
ал
'РХ
IJ(X
+t) dt. (5.2.3)
Интегрируя
по
частям
и
полагая
f(t)
=
atl'
dg(t) = tPx
J.l(x
+t) dt, g(t)
-tРх
и
df(t) = v
t
dt,
мы
получаем
ах
=
100
v'
,Рх
dt =
100
,Е
х
dt. (5.2.4)
Можно
считать,
что
этот
интеграл
описывает
мгновенные
выплаты
размера
1dt,
производимые
в
момент
времени
t,
дисконтированные
в
соответствии
с
начисляе
мыми
процентами
к
моменту
времени
О
с
помощью
умножения
на
величину
v
t
,
а
затем
умноженные
на
величину
tPx,
чтобы
учесть
вероятность
того
случайного
со
бытия,
что
выплата
производится
в
момент
времени
t.
Это
актуарная
настоящая
стоимость
бессрочного
страхового
аннуитета
в
форме
текущих
платежей.
В
общем
случае
техника
текущих
платежей
для
определения
актуарной
настоящей
стоимости
(Ане)
аннуитета
дает
формулу
Ане
=
100
v'
Р[выплата
производится
в
момент
времени
t]
о
х
[интенсивность
выплат
в
момент
времени
t]
dt. (5.2.5)
Перепишем
формулу
(5.2.4),
выделяя
ту
часть
интеграла,
которая
относится
к
из
менению
t
от
О
до
1.
Мы
получим
ах
=
11
v'
'Рх
dt +
100
v'
,Рх
dt =
а.,
Il
+vpx
100
v'
.рх+
1 ds =
а.,
Il
+vpx
ахн.
(5.2.6)
Использованное
здесь
обозначение
ax:Il
для
актуарной
настоящей
стоимости
вводит
ся
ниже
в
формуле
(5.2.11).
Выражение
(5.2.6)
является
примером
обратной
рекур
рентной
формулы,
впервые
появившейся
в
разд.
3.5
и
более
подробно
исследованной
134
Гл.
5.
Страховые аннуитеты
в
разд.
4.3.
Здесь
u(х)
=
ах,
с(х)
=
ax:Il
и
d(x) = vpx'
Начальным
значением,
кото
рое
используется
в
случае
бессрочного
страхового
аннуитета,
является
a
w
=
О.
ДЛЯ
вычисления
величины
с(х)
имеется
несколько
способов.
Простой
способ
-
исполь
зовать
формулу
трапеции
для
вычисления
интеграла
_
{1
t
(1
t 1 +vpx
ax:Il
=
10
V
tPx
dt =
10
V
tPx
dt = 2 .
Другой
подход,
основанный
на
предположении
о
равномерности
распределения
моментов
смерти
в
каждом
годичном
возрастном
интервале,
рассматривается
в
разд.
5.4.
Из
теории
сложных
процентов
известно,
что
1 =
бал
+v
t
.
Это
соотношение
интерпретируется
следующим
образом:
единичный
капитал,
инве
стированный
в
настоящий
момент,
приводит
к
годовым
процентным
выплатам
вели
чины
б,
осуществляемым
непрерывно
в
течение
t
лет,
после
чего
они
прекращаются,
а
инвестированная
сумма
возвращается
инвестору.
Это
соотношение
справедливо
для
всех
значений
t
и
поэтому
выполняется
для
случайной
величины
Т:
1 =
<5
aТl
+v
т
.
Беря
математические
ожидания,
мы
получим
1 =
б
ах
+
.Ах.
(5.2.7)
(5.2.8)
(5.2.9)
Эту
формулу
можно
интерпретировать
так же,
как
приведенную
выше.
Капитал
размера
1,
инвестированный
в
настоящий
момент,
дает
годовые
процентные
выпла
ты,
величина
которых
равна
б,
осуществляемые
непрерывно,
пока
лицо
(х)
живо,
а
в
момент
смерти
этого
лица
они
прекращаются
и
выплачивается
сумма
величины
1.
Для
того
чтобы,
рассматривая
страховой
аннуитет
с
непрерывными
выплатами
в
условиях
нашей
модели,
измерить
риск,
связанный
с
отклонениями
в
смертности,
мы
должны
рассмотреть
D[aТl]'
В
этом
случае
D[-
]=D[l-V
T
] =D[VT]
=
2А
х
-(А
х
)2
aТl
б б
2
б2
Нетрудно
заметить,
что,
так
как
1 =
<5aТl
+ v
T
,
то
D[баТ1
+ v
T
]
=
О.
Таким
образом,
для комбинации
непрерывного
страхового
аннуитета
с
годовыми
выплатами
б
и
страхования
на
случай
смерти
с
выплатой
величины
1
в
момент
смерти
указанный
выше
риск
отсутствует.
Пример
5.2.1.
В
предположении,
что
интенсивность
смертности
fL
и
интенсив
ность
начисления
процента
б
постоянны,
вычислим
(а)
ах
=
Е
[аТ/]
,
(Ь)
D[аТ]J,
(с)
вероятность
того,
что
aТl
превзойдет
ах·
1
00
100
1
Решение.
(а)
ах
= v
t
tPx
dt =
e-
ot
e-
Ilt
dt =
<5
•
о
о
+
fL
)
- -
fL
2-
fL
(Ь
Ах
= 1 -
<5а
х
=
<5
,:Ах
=
2б
по
правилу
моментов
и
+р
+р
D[aТJJ
=
;2
[20:
l'
-
(о
~
J
2]
=
(2<5+
I'~<5+
1')2'
5.2.
Непрерывно
выплачиваемые
страховые
аннуитеты
135
(с)
P(aТl
>
ах)
=
р
с
7
Т
>
ах)
=
р
(
т
> -
~
ln
б
~
J=
'ОРХ
=
(б
~
J1'16,
1
Jl
где
to
=
-"8
ln
б
+
Jl
.
~
Перейдем
к
рассмотрению
срочных
и
отсроченных
страховых
аннуитетов.
На
стоящая
стоимость
случайной
величины,
выражающей
выплаты
по
страховому
ан
нуитету
со
сро-х;ом
выплат
n
лет
(срочному
а'Н:н.уuтету)
с
ежегодными
выплата
ми
размера
1,
осуществляемыми
непрерывно,
пока
лицо
(х)
ЖИВО,но
не
более
n
лет,
имеет
вид
о
~
Т
< n,
T~n.
(5.2.10)
Распределение
с.в.
У
в
этом
случае
является
распределением
смешанного
типа.
В
частности,
максимальное
значение
С.В.
У
не
превосходит
величины
li7il
и
вероят
ность
события
{Т
~
n},
когда
с.в.
У
равна
ащ,
Р(Т ~
n)
=
nРх,
положительна.
Ти
пичная
функция
распределения
такой
случайной
величины
показана на
рис.
5.2.1
(Ь).
Актуарная
настоящая
стоимость
страхового
аннуитета
со
сроком
выплат
n
лет
обозначается
через
D.x:nl
и
равняется
a"nJ
=
Е[У]
=
1
П
аll
,Рх
I'(х
+t)
dt
+
anJ
пРх.
Интегрирование
по
частям
дает
(5.2.11)
(5.2.12)
a"nJ
=
1
П
v'
,Рх
dt.
Это
актуарная
настоящая
стоимость
страхового
аннуитета
со
сроком
выплат
n
лет.
В
нее
входят
мгновенная
выплата
размера
1dt,
производимая
в
момент
времени
t,
дисконтированная
в
соответствии
с
начисляемым
процентом
к
моменту
времени
О
посредством
умножения
на величину
v
t
,
а
затем
умноженная
на
tPx,
чтобы
учесть
вероятность
того,
что
выплата
производится
в
момент
t,
причем
t
изменяется
от
О
до
n.
После
момента
n
выплаты
не
производятся,
так
что
вероятность
этих
выплат
равна
нулю.
Здесь
применяется
такая
же
рекуррентная
формула,
как
в
(5.2.6),
с
u(х)
=
ах:у-хl
и
с
такой
же
функцией
с(х),
которая,
как
теперь
видно,
есть
ах:Il"
Здесь
n =
у
-
х.
Единственное,
что
нам
надо
изменить,
-
начальное
значение:
в
качестве
него
мы
используем
U(У)
=
ау:Ol
==:
О.
Другая
форма
рекуррентной
формулы
для
страхового
аннуитета
со
сроком
выплат
n
лет
рассматривается
в
упр.
5.7.
Возвращаясь
к
формуле
(5.2.10),
заметим,
что
где
у
=
{а
Т1
=
(1
-
Z)jб,
D.7il
=
(1
-
Z)jб,
о
~
Т
<
n,
T~n,
(5.2.13)
о
~
Т
<
n,
T~n.
(5.2.14)
136
Гл.
5.
Страховые
аннуитеты
(5.2.15)
(5.2.16)
в
формуле
(5.2.14)
с.в.
Z
является
настоящей
стоимостью
смешанного
страхования
сроком
на
n
лет.
Поэтому
_
[1
-
Z]
1-
А
х
:
nt
Е[У]
=
ах:nt
=
Е
6 = 6 '
D[Y) = D[Z] =
2А
х
:
щ
-
(А
х
:
щ
)2
62
82
В
терминах
настоящих
стоимостей
аннуитетов
формула
(5.2.16)
имеет
вид
]
1 -
28
2й,х:щ
-
(1
-
8о'х:nt)2
2
(_
2-)
(_
)2
D[Y =
82
=
6"
ах:nt
-
ах:щ
-
ах:щ
.
Анализ
в
случае
6ессро'Ч,'Ного
страхового
аннуитета,
отсро'Ч,е'Нного
на
n
лет,
аналогичен.
Случайная
величина
У, равная
его
настоящей
стоимости,
определяется
формулой
У
= {
о
=
aТl
-
aТl'
О
~
Т
<
n,
(
5.2.17)
v
n
o't-nl
=
o,Тj-
о'щ,
Т
~
n.
Здесь
с.в.
У
может
принимать
значения,
не
превосходящие
(1/8)
-
о'nt
= v
n
/6,
а
вероятность
того,
что
она
принимает
значение,
равное
нулю,
равна
Р(Т
~
n) =
nQx'
Типичная
функция
распределения
изображена
на
рис.
5.2.1(с).
Тогда
nll1x
=
Е[У]
=
!п0О
v
n
I1,-nl
'Рх
J1(x
+t) dt
=
!п0О
v
n
1181
n+sPx
J1(x
+n +s) ds =v
n
nРх
100
1181
sPx+n
J1(X
+n +s) ds,
откуда
nlG.
x
=
nЕхо'х+n.
Можно
применить
другой
подход,
заметив,
что
по
определению
С.в.
У
(5.2.18)
(У
для
бессрочного
страхового
аннуитета,
отсроченного
на
n
лет)
=
(У
для
бессрочного
страхового
аннуитета)
-
(У
для
страхового
аннуитета
со
сроком
выплат
n
лет).
Взяв
математические
ожидания,
мы
получим
(5.2.19)
Для
того
чтобы
проверить
результат,
полученный
методом
текущих
платежей,
можно
применить
интегрирование
по
частям.
Поскольку
аннуитет
будет
выплачи
ваться
с
момента
n
при
условии,
что
лицо
(х)
доживет
до
этого
момента,
его
акту
арную
настоящую
стоимость
можно
записать
в
виде
nll1x
=
!п0О
V'
,Рх
dt =
!п0О
,Е.
dt. (5.2.20)
Чтобы
получить
обратную
рекуррентную
формулу
для
отсроченных
аннуитетов
с
n =
у
-
х
> 1,
заметим,
что
у
нас
отсутствует
член,
соответствующий
интегралу
по
t
от
О
до
1.
Таким
образом,
для
u(х)
=y-xlax
при
возрастах,
меньших
чем
у,
мы
имеем
с(х)
=
О
и
d(x) =
vpx'
В
качестве
начального
значения
мы
возьмем
и(у)
=
ау.
5.2.
Непрерывно
выплачиваемые
страховые
аннуитеты
137
Дисперсию
С.в.
У
для
отсроченного
аннуитета
можно
вычислить,
например,
та
ким
способом:
D[Y]
=
[=
v
2n
(a'_nl)2
,Р.
р,(х
+t)
dt
- (nla.)2
= v
2n
nРх
1=
(aВl)
2
вРх+n
р,(х
+n +
s)
ds
-
(n1
а
х)2
(применяем
интегрирование
по
частям)
1
00
2
100
2n
2- d
(-)2
2n
(s
28)
d
(-)2
= V
nРх
О
aSl
sPx+n S - nlax =
JV
nРх
о
V - V
аРх+n
S - nlax
2
2n
- 2 - - 2
=
JV
nрх(а
х
+
n
-
а
х
+
n
)
- (nlax) . (5.2.21)
Другой
вывод
этой
формулы
составляет
упр.
5.37.
Перейдем
к
анализу
cmpaxoe'btX
ан:нуиmеmов
с
гаран.тировшн,н.'Ьt,м
периодом
вы
плат
n
.лет.
Это
бессрочный
страховой
аннуитет
с
гарантией
выплат
в
течение
первых
n
лет,
настоящая
стоимость
выплат
по
которому
имеет
вид
(5.2.22)
(5.2.23)
Типичная
функция
распределения
такой
случайной
величины
изображена
на
рис.
5.2.1(d),
который
отражает
смешанную
природу
этого
распределения
и
показы
вает
минимальное
значение
и
верхнюю
грань
с.в.
У,
которые
равны
соответственно
а
щ
и
1/6.
Актуарная
настоящая
стоимость
такого
аннуитета
обозначается
через
ах:т'
Этот
символ
выбран
для
того,
чтобы
подчеркнуть,
что
выплаты
продолжаются
до
момен
та
mах(Т(х),
n]:
а"ii1
=
Е[У]
=
1"
аii1
,Р.
р,(х
+
t)
dt
+
[=
а!!
,Рх
р,(х
+t)
dt
=
nqx
аii1
+
[00
а!!
,Рх
р,(х
+
t)
dt.
Проведя
интегрирование
по
частям,
мы
получим
а"ii1
=
аii1
+
[00
v'
,Рх
dt.
(5.2.24)
Это
-
актуарная
настоящая
стоимость
в
форме
текущих
платежей,
поскольку
в
моменты
времени
от
О
до
n
выплаты
гарантированы,
а
в
более
поздние
моменты
времени
выплаты
производятся
при
условии,
что
лицо
(х)
дожило
до
этого
момента.
Далее,
перепишем
У
в
виде
T~n,
Т>n.
138
Гл.
5.
Страховые
аннуитеты
в
этой
записи
У
является
суммой
постоянной
ащ
и
случайной
величины,
соответ
ствующей
аннуитету,
отсроченному
на
n
лет.
Таким
образом,
а
х
:
nJ
=
ащ
+
nlax
=
аn]
+
nЕх
а
х
+
n
[согласно
(5.2.18))
=
аn]
+
(ах
-
ах:n])
[согласно
(5.2.19)). (5.2.25)
Далее,
поскольку
D
[У
-
ащ]
= D
[У],
дисперсия
для
страхового
аннуитета
с
гаран
тированным
периодом
выплат
n
лет
равна
дисперсии
аннуитета,
отсроченного
на
n
лет,
выписанной
в
формуле
(5.2.21).
Обратная
рекуррентная
формула
для
ах:n]
с
фиксированным
n-летним
перио
дом
гарантированных
выплат
рассматривается
в упр.
5.9.
Аналогом
функции
n
SnJ
= 1
(1
+
i)n-t
dt
из
теории
процента
в
теории
страховых
аннуитетов
является
функция
-
о'Х:nl
l
n
1
Sx:nl
=
--
= dt, (5.2.26)
nЕх
о
n-tЕх+t
которая
выражает
актуарную
накопленную
стоимость
к
концу
периода
действия
страхового
аннуитета
со
сроком
выплат
n
лет
и
с
ежегодными
выплатами
величи
ны
1,
которые
осуществляются
непрерывно
до
тех
пор,
пока
лицо
(х)
живо.
Такая
накопленная
(часто
говорят,
что
она
накоплена
благодаря
процентам
и
дожитию)
стоимость
имеется
к
моменту
достижения
возраста
х
+ n
при
условии,
что
лицо
(х)
доживет
до
этого
возраста.
Мы
получаем
выражение
для
da
x
/ dx,
дифференцируя
интеграл
в
соотношении
(5.2.4)
и
преДПQлагая,
что
соответствующие
вероятности
взяты
из
агрегативных
та
блиц
смертности:
~
аж
=
100
v
t
(:х
tРЖ)
dt =
100
vttРж["(Х)
-
,.(х
+t)] dt
=
р(х)а
х
-
Ах
=
р(х)а
х
-
(1
-
6а
х
).
Таким
образом,
d
dx
ах
=
[р(х)
+
6]
ах
-
1.
(5.2.27)
Интерпретация
формулы
(5.2.27)
такова:
скорость
изменения актуарной настоящей
стоимости
с
возрастом
равна
компоненте
р(х)а
х
,
связанной
со
смертностью,
плюс
компонента
6а
х
,
связанная
с
начислением
процента,
минус
1.
Пример
5.2.2.
Предположив,
что
вероятности
берутся
из
агрегативной
таблицы
смертности,
найдем
формулы
для
д
а
(а)
ах
ах:nl,
(Ь)
ах
nlax·
Решение.
(а)
Рассуждая
так
же,
как
при выводе
формулы
(5.2.27),
мы
получаем
:х
ах:щ
=
р(х)й,х:nJ
-А;:nJ
=
lL(x)ax:nJ
-
(1-
6й,х:nJ-n
Е
х)
=
[р(х)
+
6]а
х
:щ
-
(l-
n
Е
х
).
(Ь)
а
- _
а
{ОО
t d _ n
дn
nl
ах
-
дn
Jn V
tPx
t -
-v
tPx'
т
5.2.
Непрерывно
выплачиваемые
страховые
аннуитеты
139
аJll
(d)
Аннуитет
с
гарантированным
периодом
выплат
n
лет
о
(Ь)
Аннуитет
со
сроком
выплат
n
лет
1
I
I
I
I
I
I
I
"qx
I
l/б
(с)
Бессрочный
аннуитет,
отсроченный
на
n
лет
(а)
Бессрочный
аннуитет
1
1
"qx
о
Рис.
5.2.1.
Типичные
функции
распределения
случайных
величин
настоящих
стоимостей
У
Таблица
5.2.1.
Сводка
результатов
для
непрерывных
страховых
аннуитетов
с
интенсивностью
выплат
1
в
год
Бессрочный
страховой
т
а
т
,
~
о
аннуитет
.ll
Страховой
аннуитет
со
{~Тj,
о
~
т
< n
сроком
выплат
n
лет
т
.......
аю,
~
n
Бессрочный
страховой
{о, О
~
Т
< n
аннуитет,
отсроченный
на
n
лет
aТj-
ащ,
т
~
n
Страховой
аннуитет
с
{а_
щ
,
О
~
Т
< n
гарантированным
периодом
выплат
n
лет
aТj,
Т
~
n
Вид
аннуитета
Случайная
величина
настоящей
стоимости
У
Актуарная
настоящая
стоимость
Е(У)
равняется
величине
ах
=
/.00
v
t
tРж
dt
ах:щ
=
/.N
vt
tpx
dt
Дополнительные
соотношения
1 =
да
х
+
Ах
1 =
дах:ю
+
А
х
:
ю
nlax
=
ах
-
ах:nl
- _
ах;ю
-l
n
(l
+
")n-t
lx+t
dt
Вх:n1
- - 'l
nЕх
о
{х+n
в
табл.
5.2.1
приведена
сводка
результатов
для
непрерывных
страховых
аннуи
тетов.
140
Гл.
5.
Страховые
аннуитеты
На
рис.
5.2.1
изображены
типичные
функции
распределения
для
нескольких
ви
дов
непрерывных
страховых
аннуитетов,
которые
исследовались
в
настоящем
раз
деле.
Предельные
значения
и
точки
разрыва
показаны
либо
на
одн?й,
либо на
обеих
осях.
При
Ру(О)
=
О,
Е[У)
=
Jo
OO
[l-
Ру(у))
dy
актуарную
настоящую
стоимость
С.в.
У
можно
наглядно
представить
как
область,
расположенную
выше
графика
функции
z =
Ру(у),
ниже
прямой
z = 1
и
правее
прямой
у
=
О.
Эта
интерпретация
де-
•
монстрирует
связь
между
актуарной
настоящей
стоимостью,
полученной
исходя
из
определения
этой
случайной
величины,
и
актуарной
настоящей
стоимостью
в
форме
текущих
платежей.
5.3.
Страховые
аннуитеты
с
дискретными
выплатами
Теория
страховых
аннуитетов
с
дискретными
выплатами
(дис'К:ретн'ых
а'Н:нуите
тое)
похожа
на
теорию
страховых
аннуитетов
с
непрерывными
выплатами,
толь
ко
интегралы
заменяются
суммами,
подынтегральные
выражения
-
слагаемыми,
а
дифференциалы
-
разностями.
Для
непрерывных
аннуитетов
не
существовало
различий
между
выплатами
в
начале
и
в
конце
платежных
периодов,
т.
е.
меж
ду
аннуитетами
пренумерандо
и
постнумерандо
..
Для
аннуитетов
с
дискретными
выплатами
это
различие
существенно,
и
мы
начнем
изложение
с
аннуитетов
пре
нумерандо,
поскольку
они
играют
более
важную
роль
в
актуарных
приложениях.
Например,
большинство
индивидуальных
договоров
страхования
жизни
покупают
ся
за
счет
аннуитета
пренумерандо,
образованного
периодически
выплачиваемыми
премиями.
Рассмотрим
аннуитет,
согласно
которому
в
начале
каждого
года,
пока
лицо
(х)
живо,
выплачивается
сумма
размера
1.
Его
обычно
называют
бессро'Ч,н'Ы.м
стра
X06btoМ
аннуитето.м
nрену.мерандо.
Случайная
величина
настоящей
стоимости
У
для
такого
аннуитета
задается
формулой
У
=
а
К
+
1
1'
где
случайная
величина
К
является
по
шаговой
продолжительностью
предстоящей
жизни
лица
(х).
Значения,
которые
принимает
случайная
величина
У,
дискретны
и
изменяются
от
aIl
= 1
до
aw-xl'
величины,
которая
меньше
l/d.
С
величиной
a
k
+
1
1
связана
вероятность
Р(К
=k) =
kPx
qx+k·
Рассмотрим
теперь
ах,
актуарную
настоящую
стоимость
этого
аннуитета:
00
ах
=
Е[У]
=
Е[а
к
+
1
1]
=L
а
к
+
1
1
kPx
Qx+k,
k=O
(5.3.1)
поскольку
P(K=k)
=
kPx
Qx+k.
При
меняя
суммирование
по
частям
(см.
приложе
ние
5),
где
дj(k)
=
kPx
Qx+k
=
kPx
- k+lPx
И
g(k)
=a
k
+
1
1'
и
используя
соотношения
дg(k)
=
да
К
+
1
1
=V
k
+
1
и
j(k)
=
-kРх,
преобразуем
формулу
(5.3.1)
к
виду
00
..
1
'""
k+l
ах
= +
LJ
v
k+lPx
k=O
00
=
LvkkPx.
k=O
(5.3.2)
(5.3.3)
5.3.
Страховые
аннуитеты
с
дискретными
выплатами
141
(5.3.4)
Выражение
(5.3.3)
является
актуарной
настоящей
стоимостью
в
форме
текущих
платежей
бессрочного
страхового
аннуитета
пренумерандо,
где
kPx
является
веро
ятностью
выплаты
размера
1
в
момент
k.
Начиная
с
суммы
ИЗ
формулы
(5.3.2),
мы
получаем
00
00
ах
==
1 + L
vk+l
k+lPx
==
1 +
vpx
Lv
k
kPx+l
==
1 +
vpx
а
Х
+l'
k=O k=O
Это
при
мер
обратной
рекуррентной
формулы,
впервые
упомянутой
в
разд.
3.5
и
по
дробнее
рассматривавшейся
в
разд.
4.3
и
5.2.
Здесь
u(х)
==
ах,
с(х)
= 1
и
d(x)
==
VPx'
Начальным
значением,
которое
должно
применяться
в
случае
бессрочного
страхо
вого
аннуитета,
является
a
w
==
о.
Из
соотношения
(5.3.1)
мы
получаем
последовательно
и
ах
==
аOOl
-
аOOlА
х
,
1
==
da
x
+
Ах.
(5.3.5)
(5.З.6)
(5.З.7)
(5.3.8)
(5.3.9)
Эту
формулу
следует
сравнить
с
ее
непрерывным
аналогом
(5.2.8).
Формула
(5.3.7)
показывает,
что
сумма
размера
1,
инвестированная
в
настоящий
момент,
обеспечи
вает
выплаты
размера
d
единиц
в
начале
каждого
года,
пока
лицо
(х)
живо,
плюс
возврат
суммы
размера
1
в
момент
смерти
лица
(х).
Формула
для
дисперсии
выглядит
так:
..
_
[1-
V
K
+
1
] _
D[V
K
+
1
] _
2А
х
-
(А
х
)2
D[a
K
+
1
1]
- D d -
CF
- d
2
(ср.
с
(5.2.9)).
Случайная
величина,
равная
настоящей
стоимости
(сро'Ч,ного)
страхового
анну
итета
nрену-мерандо
со
сроко-м
6ъшл,ат
n
лет
с
ежегодной
выплатой
размера
1,
выражается
формулой
У
==
{~K+ll'
О
~
К
< n,
атl1,
К
~
n.
Ее
актуарной
настоящей
стоимостью
является
n-l
а
х
:
т
==
Е[У]
==
L a
k
+
1
1
kPx
Qx+k +
ащ
nРх·
k=O
Применяя
суммирование
по
частям,
соотношение
(5.3.9)
можно
преобразовать
к
виду
n-l
а
х
:
щ
==
L
vkkPx,
(5.3.10)
k=O
что
является
актуарной
настоящей
стоимостью
в
форме
текущих
платежей.
Отделяя
первое
слагаемое
и
вынося
сомножитель
VPx,
мы
получаем
обратную
рекуррентную
формулу
для
срочного
аннуитета
пренумерандо,
выплачиваемого
до
возраста
у
=х+n:
(5.3.11)