Бауэрс Н., Гербер Х., Джанс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика
Подождите немного. Документ загружается.
122
Гл.
4.
Страхование
жизни
(
4.4.6)
Пусть
годичные
интервалы
разбиты
на
т
подынтервалов
равной
длины.
Ана
логичные
рассуждения,
основанные
также
на
предположении
о
равномерности
рас
пределения
смертей
в
годичных
возрастных
интервалах,
можно
применить
для
до
казательства
того,
что
актуарная
настоящая
стоимость
бессрочного
страхования
на
случай
смерти
с
выплатой
размера
единица
в
конце
того
из
этих
т
подынтервалов
года,
в
котором
произошла
смерть,
равна
А
(т)
-
~
А
х
-
i(m)
х·
Эти
соображения
вкратце
изложены
в
упр.
4.19.
В
разд.
3.6
мы
также
обсуждали
предположение
о
постоянстве
интенсивности
смертности
на
разных
годичных
возрастных
интервалах.
Соотношение
между
акту
арными
настоящими
стоимостями
для
бессрочных
договоров
страхования
на
случай
смерти
с
выплатами
в
момент
смерти
и
в
конце
года
смерти
при
таком
предположе
нии
являются
предметом
упр.
4.19.
Поскольку
из
предположения
о
гиперболичности
функции
дожития
следует,
что
интенсивность
смертности
на
годичном
возрастном
интервале
убывает
(см.
упр.
3.27),
это
предположение
не
часто
оказывается
реали
стичным
применительно
к
человеческим
жизням.
Кроме
того,
оно
приводит
К
более
сложным
соотношениям,
на
которых
мы
не
будем
останавливаться.
Перейдем
к
анализу
договора
страхования
на случай
смерти
на
срок
n
лет
с
еже
годно
увеличивающейся
выплатой,
причем
выплата
производится
в
момент
смерти.
Для
такого
договора
настоящая
стоимость
страховой
выплаты
имеет
вид
Z =
{lT
+ 1Jv
T
,
Т
<
n,
О,
т
:;?:
n.
Поскольку
l
т
+1J=
к
+1,
мы
можем
воспользоваться
соотношением
Т
=
К
+S
и
получить
Z =
{(К
+
1)vK+1v
S
-
1
,
Т
< n,
О,
т
:;?:
n.
Если
W -
настоящая
стоимость
страховой
выплаты
для
договора
страхования
на
случай
смерти
сроком
на
n
лет
с
ежегодно
увеличивающейся
выплатой,
причем
выплата
производится
в
конце
года
смерти,
то
Имеем
W=
{(К
+
1)vK+1v
S
-
1
,
О,
к
= 0,1,
...
,n -
1,
К
=
n,n+
1,
....
Z =
W(l
+
i)l-S
и
E[Z] =
E[W(l
+
i)l-S].
Поскольку
С.в.
W
является
функцией
только
от
С.в.
К
+ 1
и
С.в.
К
+ 1
и
1 - S
независимы,
E[Z] =E[W]
E[(l
+i)l-S] =
(1А);:rn
~.
Результаты
для
бессрочного
страхования
на
случай
смерти
и
для
срочного
страхо
вания
на
случай
смерти
с
увеличивающейся
выплатой,
в
которых
выплаты
произво
дятся
в
момент
смерти,
полученные
в
предположении
равномерности
распределения
смертей
в
годичных
возрастных
интервалах,
весьма
похожи,
и
- 1
~
1
(1
А)х:rn
=
б
(1
А)х:rn
.
4.4.
Страхование
с
выплатами
в
момент
смерти
и
в
конце
года
смерти
123
Для
того
чтобы
обнаружить
причины
этого
сходства,
рассмотрим
оБI.ЦyЮ
модель.
В
силу
формулы
(4.2.2)
Z=bTVT.
(4.4.7)
Для
двух
указанных
выше
типов
страховых
договоров
были
использованы
следую
щие
условия:
•
VT
=v
T
,
•
величина
Ь
Т
является
функцией
только
лишь
целой
части
С.в.
Т,
пошаговой
продолжительности
предстоящей
жизни
К.
Выписывая
последнее
свойство
в
виде
Ь
Т
=
Ь
к
+
1
,
мы
можем
записать
формулу
(4.4.7)
для
этих
договоров
в
виде
Z = b
K
+
1
vT
= b
K
+
1
v
K
+
1
(1
+
i)l-S,
и
(4.4.8)
В
предположении
равномерности
распределения
смертей
в
годичных
возрастных
интервалах
мы
приходим
к
независимости
с.в.
К
и
S
и
к
тому,
ЧТО
С.в.
1 - S
также
имеет
равномерное
распределение.
Поэтому
мы
можем
переписать
равенство
(4.4.8)
следующим
образом:
.
E[Z]
=E[b
K
+
1
vK+l]
Е[(l
+
i)l-S]
=E[b
K
+
1
V
K
+
1
]
~.
(4.4.9)
Пример
4.4.1.
Найдем
актуарную
настоящую
стоимость
и
дисперсию для
сме
шанного
страхования
на
30
лет
с
выплатой
размера
10000,
согласно
которому
вы
плата
на
случай
смерти
производится
в
момент
смерти,
причем
договор
заключен
с
35-летним
мужчиной.
Воспользуемся
Иллюстративной
таблицей
смертности
и
пред
положением
о
равномерности
распределения
смертей
в
годичных
возрастных
интер
валах
и
будем
считать,
что
i = 0,06.
Решение.
Для
договора
смешанного
страхования
VT
f;
v
T
.
Поэтому
мы
не
мо
жем
сразу
воспользоваться
формулой
(4.4.9).
Вспоминая
формулу
(4.2.11),
которая
представляет
смешанное
страхование
в
виде
суммы
срочного
страхования
на
слу
чай
смерти
и
страхования
на
дожитие,
мы
применим
формулу
(4.4.9)
к
компоненте,
относящейся
к
срочному
страхованию
на
случай
смерти,
а
затем
рассчитаем
часть,
относящуюся
к
страхованию
на
дожитие.
Воспользовавшись
формулами
(4.2.12)
и
(4.2.10),
мы
найдем
актуарную
настоящую
стоимость
-
1,
1 1
А
з5
:
3Ol
=
"J
А
з5
:
3Ol
+
А
з5
:
3Ol
= (1,0297087)[0,06748179] + 0,1392408 = 0,208727
и
дисперсию
2 - - 2 2
D[Z]
=
:.4
з5
:
3О1
-
(А
з5
:
3Ol
)
=0,0309294 +0,0242432 - (0,208727) =0,011606.
Для
выплаты
размера
10000
имеем
10000
А
з5
:
351
= 2087,27
и
(10000)2D[Z]
1160600.
у
Пример
4.4.2.
Для
50-летнего
страхователя
найдем
актуарную
настоящую
сто
имость
договора
с
уменьшающейся
выплатой
сроком
на
5
лет,
а
именно
с
выплатой
5000
в
момент
смерти,
если
смерть
произойдет
в
первый
год,
4000,
если
смерть
произойдет
во
второй
год,
и
так
далее.
Воспользуемся
Иллюстративной
таблицей
смертности
и
предположением
о
равномерности
распределения
смертей
в
годичных
возрастных
интервалах
и
будем
считать,
что
i = 0,06.
124
Гл.
4.
Страхование
жизни
Решение.
Обращаясь
к
табл.
4.2.1,
мы
видим,
что
b
t
=
{5
-ltJ, t
~
5,
О,
t >
5,
является
функцией
только
от
k,
целой
части
t,
и,
значит,
мы
можем
переписать
это
выражение
в
виде
b
t
=
{5
- k, k =
О,
1,
2,
3,
4,
О,
k >
4.
Функция
дисконтирования
есть
v
t
.
Поэтому
• 4
(пА)~О:51
=
~(пА)~О:51
= (1,0297087)
Е(5
- k)v
k
+
1
kP50
Q50+k
k;::;O
4
= (1,0297087)
1-
Е(5
-
k)V
k
+
1
d
50
+k
= 0,088307.
50
k;::;O
- 1
Таким
образом,
1000(пА)50:51
=88,307.
~
Для
того
чтобы
выразить
стоимости
для
договоров
страхования,
согласно
кото
рым
выплата
производится
в
момент
смерти
и
не
является
функцией
от
К,
через
стоимости
для
договоров,
согласно
которым
выплаты
производятся
в
конце
года
смерти,
необходим
дополнительный
анализ.
Рассмотрим
договор
бессрочного
стра
хования
с
непрерывно
увеличивающейся
выплатой,
причем
выплата
производится
в
момент
смерти.
Такие
договоры
подробно
обсуждались
в
разд.
4.2
и анализ
их
функции
выплат
проводится
на
рис.
4.2.5.
Соответствующие
функции
имеют
вид
b
t
= t) t >
О,
Vt
=v
t
,
t >
О,
Zt
=
tv
t
,
t >
О.
ДЛЯ
того
чтобы
найти
(1
А)х,
запишем
Z =
(К
+
S)v
K
+
S
=
(К
+ 1)v
K
+
S
-
(1
-
8)v
K
+
1
(1
+
i)l-S
=
(К
+
1)V
K
+
1
(1
+
i)l-S
- V
K
+
1
(1
- 8)(1 +
i)l-S.
Беря
математические
ожидания,
в
предположении
равномерности
распределения
смертей
в
годичных
возрастных
интервалах
получаем
E[Z] =
Е[(К
+
1)V
K
+
1
]E[(1
+
i)l-S]
-
E[V
K
+
1
]E[(1
- 8)(1 +
i)l-S]
=
(1
А)х
~
-
А
х
Е[(1
- 8)(1 +i)l-S].
Мы
можем
упростить
последний
сомножитель
непосредственными
вычислениями)
поскольку
с.в.
1 - 8
распределена
равномерно,
Е[(1
- 8)(1 +;)'-SJ =[
u(1
+
;)"аu
=
(ЬВ)ц
= 1
;;
-
;2
.
Таким
образом,
мы
получаем
1
)
l)в
следующей
формуле
(и
далее)
d -
ставка
дисконта.
-
Прu.м..
ред.
4.5.
Уравнения
для
страхования
с
выплатами
в
момент
смерти
125
4.5.
Дифференциальные
уравнения
для
страхования
с
выплатами
в
момент
смерти
В
случае
страхования
с
выплатами,
производимыми
в
момент
смерти,
можно
вывести
соотношения,
аналогичные
рекуррентным.
Опираясь
на
них
и
применяя
методы
математического
анализа,
мы
придем
к
дифференциальным
уравнениям.
Для
договора
бессрочного
страхования
на
случай
смерти
с
лицом
(х)
имеем
d - - - -
dx
Ах
=
-J.L(х)
+
Ах[б
+Jl(x)] =
БАх
-1-t(x)(l
-
Ах),
(4.5.1)
что
является
непрерывным
аналогом
формулы
(4.3.12).
Используемые
здесь
обо
значения
подразумевают
применение
данных
из
агрегативных
таблиц
смертности.
Доказательства
вынесены
в
упр.
4.21.
С
другой
стороны,
уравнение
(4.5.1)
можно
получить
из
определения
величины
Ах,
пользуясь
условными
математическими
ожиданиями,
как
это
делалось
ранее
для
Ах:
Ах
=
E[v
T
]
=
E[v
T
I
Т
~
h]
Р(Т
~
h) +
E[v
T
I
Т>
h]
Р(Т
>h).
(4.5.2)
Далее,
Р(Т
~
h) =
hQx
И
Р(Т>
h) =
hPx
И
условная
функция
плотности
С.в.
Т
при
условии
Т
~
h
имеет
вид
{
fT(h)
_
tPx
р,(х
+ t)
О
~
t
~
h
fT(tIT~h)
= Fr(h) -
hQx
'
"'"
О
в
противном
случае.
(4.5.3)
(4.5.5)
(4.5.4)
(4.5.6)
Таким
образом,
Далее,
E[v
T
I
т
~
h]
=
(h
vt
tPx
р,(х
+ t) dt.
Jo
hQx
Как
это
делалось
ранее
для
Ах,
запишем
E[v
T
I
Т>
h]
=vhE[v
T
-
h
I
Т
-
h>
О]
= v
h
.A
x
+
h
.
Подстановка
формул
(4.5.3), (4.5.4)
и
(4.5.5)
в
(4.5.2)
дает
- 1h t
tPx
I-t
(х
+t) h -
Ах
= v dt
hQx
+ v
AX+h
hPx'
О
hQx
Умножая
обе
части
формулы
(4.5.6)
на
-1,
прибавляя
к
ним
A
X
+
h
И
деля
на
h,
мы
получаем
А-
А-
11
h
1 h
x+h
-
х
t ( ) - - v
hPx
()
h = - h
о
V
tPx
I-t
х
+t dt +
AX+h
h'
4.5.7
liт
h
1
(h
v
t
tPx
р,(х
+t) dt =
dd
(8
v
t
tPx
р(х
+t) dt =
р(х)
h-+-O
Jo
S
Jo
8=0
. 1 - v
h
hPx
d t ( )
11т
h =-
-d
(v
tPx) =
Р,
х
+
б.
h-+-O
t
t=o
Переходя
к
пределу
при
h
--1'
О
в
(4.5.7)
и
воспользовавшись
этими
двумя
предель
ными
соотношениями,
мы
получим
уравнение
(4.5.1),
и
d - -
dxAx
=
-р,(х)
+
Ах
[J.L(x)
+
б].
Решения
этого
дифференциального
уравнения
описаны
в
упр.
4.22.
126
Гл.
4.
Страхование
жизни
4.6.
Замечания
и
литература
В
монографиях
по
страхованию
жизни,
указанных
в
приложении
6,
содержат
ся
другие
способы
вывода
формул
для
актуарной
настоящей
стоимости
договоров
страхования
жизни.
В
книге
(Jordan
1952]
интенсивно
используются коммутацион
ные
функции,
которые
составляли
основу
актуарных
вычислений
до
последней
чет
верти
20
в.
В
этих
монографиях
уделялось
мало
внимания
понятию
«продолжительность
предстоящей
жизни»
страхователя
как
случайной
величине.
До
недавнего
време
ни
исследование
и
изложение
этого
понятия
называл
ось
теорией
индивидуаА'Ь'l-tЫХ
рисх;ов.
В
книге
[Сгатег
1930]
содержится
детальное
изложение
идей,
известных
к
моменту
ее
написания.
В
книгах
[Kahn 1962]
и
ISeal
1969]
приводится
исчерпываю
щая
библиография
как
исследований,
так и
обзорных
работ
за
столетний
период.
С
1970-х
гг.
проявлялся
интерес
к
актуарным
моделям,
в
которых
как
продол
жительность
предстоящей
жизни,
так
и
процентная
ставка
считались
случайными
величинами.
Эти
вопросы
изучаются
в
гл.
21.
Упражнения
Мы
будем
предполагать,
если
не
оговорено
противное,
что
страховые
выплаты
произ
водятся
в
момент
смерти
и
что как
интенсивность
начисления процента
О,
так
и
эквива
лентные
ей
процентная
ставка
i
и
ставка
дисконта
d,
постоянны.
К
разделу
4.2
4.1.
Покажите,
что
Ах
=
fL/(fL
+
б),
если
fL(X)
=
Jl,
для
всех
Х,
где
Jl,
-
положительная
константа.
4.2.
Пусть
Jl,(X)
=
1/(1
+
Х)
дЛЯ
всех
Х
>
О.
(а)
Проведите
интегрирование
по
частям
и
покажите,
что
Ах
= 1 -
о
[00
е-
бt
1+
Х
dt.
10
1 +
х
+t
(Ь)
Воспользуйтесь
выражением
п.
(а)
и
покажите,
что
dAx/dx
<
О
для
всех
х
>
О.
4.3.
Покажите,
что
dAx/di
=
-v(IА)ж.
4.4.
Покажите,
что
выражения
для
дисперсии
настоящей
стоимости
смешанного
стра
хования
на
срок
n
лет
с
выплатой
размера
единица,
определенные
в
формулах
(4.2.10)
и
(4.2.13),
тождественны.
4.5.
Пусть
Zl
и
Z2
-
случайные
величины, введенные
в
формуле
(4.2.11).
(а)
Покажите,
что
liшn-+о
COV(Zl,
Z2)
=
liш
n
-+
оо
COV(Zl,
Z2) =
О.
(Ь)
Выведите
не
явное
уравнение
для
срока
n,
при
котором
минимизируется
COV(Zl,Z2).
(с)
Выведите
формулу
для
минимума
в
п.
(Ь).
(d)
Упростите
формулы
в
П.п.
(Ь)
и
(с)
для
случая,
когда
интенсивность
смертности
является
постоянной
fL.
4.6.
Предположим,
что
смертность
описывается
формулой
lx =
100-х
для
О
~
х
~
100
и
что
интенсивность
начисления
процента
равна
0=0,05.
-1
(а)
Вычислите
А
40
:
251
.
(Ь)
Определите
актуарную
настоящую
стоимость
страхования
сроком
на
25
лет
с
вы
платой
в
случае
смерти
в
момент
t,
равной
b
t
=
eo,05t,
для
лица,
возраст
которого
в
момент
заключения
договора
равен
40
лет.
4.7.
Рассматривая
функцию
дожития
Муавра
с
l..tJ
= 100
и
i = 0,10,
вычислите
-1
(а)
А
зо
:
ТOl
,
(Ь)
дисперсию
актуарной
настоящей
стоимости
выплат
в
момент
заключения
договора
из
п.
(а).
4.8.
Если
dt
=
0,2/(1
+
О,ОЫ)
и
lж
=100 -
х
для
О
~
х
~
100,
то
вычислите
Упражнения
127
(а)
актуарную
настоящую
стоимость
и
дисперсию
настоящей
стоимости
выплат
для
договора
бессрочного
страхования
на
случай
смерти,
заключенного
в
возрасте
х
лет,
(Ь)
(lA)x.
4.9.
(а)
Покажите,
что
Ах
является
производящей
функцией
моментов
С.в.
Т,
продол
жительности
предстоящей
жизни
лица
(х),
вычисленной
при
интенсивности
начисления
процента
-
О
.
(Ь)
Покажите,
что
если
С.в.
Т
имеет
гамма-распределение
с
параметрами
а
и
/З,
то
Ах
=
(1
+0//1)-0.
4.10.
Пусть
b
t
=
t,
J.Lx(t)
=
J.t
и
Ot
==
О
для
всех
t >
О.
Выведите
выражения
для
(а)
(iA)x
= E[bTV
T
],
(Ь)
D[bTVTJ.
4.11.
Пусть
С.в.
Z
является
настоящей стоимостью
страхования
на
случай смерти
с
выплатой
размера
единица
в
момент
смерти
для
лица
(х).
Если
fJ
==
0,05
и
J.tx(t)
= 0,01,
то
(а)
найдите
выражение
для
функции
плотности
С.в.
Z,
(Ь)
постройте
график
функции
плотности
С.в.
Z,
(с)
вычислите
величины
Ах
==
E[Z]
и
D[Z].
4.12.
Пусть
С.в.
Z
является
настоящей
стоимостью
смешанного
страхования на
срок
n
лет
(см.
разд.
4.2.2).
Выразите
функцию
распределения
С.в.
Z
в
терминах
функции
распределения
с.в.
Т.
4.13.
Пусть
С.в.
Z
определена,
как
в
упр.
4.12.
Если
О
= 0,05,
J.tx(t)
= 0,01
и
n
==
20,
то
(а)
найдите
функцию
распределения
С.в.
Z,
(Ь)
постройте
график
функции
распределения
с.в.
Z,
(с)
вычислите
.A
x
:
7il
==
E[Z],
используя
распределение
С.в.
Z
[указание:
воспользуйтесь
дополнением
к
функции
распределения].
К
разделу
4.3
4.14.
Для
lх
==
100 -
х
при
О
~
х
~
100
и
i
==
0,05
вычислите
(а)
A
40
:
251
,
(Ь)
(IA)40.
4.15.
Покажите,
что
A
x
:
7il
==
A~:ffi1
+VmmPx Ax+m:n-ml
при
m <
n,
и
дайте словесную
интерпретацию
этого
результата.
4.16.
Если
Ах
==
0,25,
А
х
+
20
==
0,40
и
A
x
:
2Ol
==
0,55,
то
вычислите
(а)
Ax:~,
(Ь)
A~:2Ol'
4.17.
(а)
Опишите
выплаты
по
договору
страхования,
актуарная
настоящая
стоимость
которого
выражается
символом
(1
A)x:ffi1.
(Ь)
Выразите
актуарную
настоящую
стоимость
из
п. (а)
с
помощью
символов,
приве
денных
в табл.
4.2.1
и
4.3.1.
4.18.
В
условиях
примера
4.3.2
пусть
Ek
обозначает
ожидаемый
размер
фонда
через
k
лет
после
его
учреждения
и
сразу
же
после
выплаты
в
связи
со
смертью
участника,
причем
ЕО
==
(100)(1000А
зо
)
==
10248,35.
(а)
Начиная
с
формулы
(4.3.10),
выведите
прямое
рекуррентное
уравнение
Ek
==
1,06Ek-l
- 100000
k-llqзо.
(Ь)
Используйте
рекуррентную
формулу
из
п.
(а),
чтобы
проверить,
что
Е
5
==
12762,58.
К
разделу
4.4
4.19.
Рассмотрим
временную
шкалу,
разбитую
на
интервалы
дЛины
1/т,
единицей
в
которой
является
один
год.
Рассматривается
договор
бессрочного
страхования
на
случай
смерти
с
выплатой
суммы
размера
1
в
конце
того
из
указанных
интервалов,
в
котором
произошла
смерть.
Пусть
k
обозначает
число
полных
страховых
лет,
прожитых
до
момента
смерти,
и
пусть
j -
число
полных
интервалов
дЛины
1/
т,
прожитых
в
том
году,
в
котором
наступила
смерть.
(а)
Какова
функция
настоящей
стоимости
дЛя
такого
страхового
договора?
(Ь)
Выведите
формулу,
аналогичную
формуле
(4.4.2),
для
актуарной
настоящей
стои-
мости
A~т)
такого
страхования.
128
Гл.
4.
Страхование
жизни
х
~
О.
(с)
Покажите
с
помощью
алгебраических
выкладок,
что
в
предположении
равномер
ности
распределения
смертей
в
годичных
возрастных
интервалах
A~т)
= (i/i(m»)A
x
.
4.20.
Покажите,
что
в
предположении
неизменности
интенсивности
смертности
в
про
межутке
между
целыми
возрастами
00
.
-
"'"'
k+1
( ) t +
Qx+k
Ах
= L.J V
kPx
р,х
k
б
+ (k) ,
k=O
р,х
где
P,x(k) =
-lnpx+k.
К
разделу
4.5
4.21.
(а)
Покажите,
что
соотношение
(4.2.6),
выписанное
на
основе
агрегативных
та
блиц
смертности,
можно
переписать
в
виде
- 1
100
Ах
=
х
v
Y
1l
pop,(y)dy,
хро
v
х
(Ь)
Продифференцируйте
формулу
п.
(а),
чтобы
получить
формулу
(4.5.1),
dA
x
-
dx =
[р,(х)
+
о]А
х
-
р,(х),
х
~
О.
(с)
Воспользовавшись
той
же
техникой,
покажите,
что
-1
d~~:m
=
[р,(х)
+
о]А;:щ
+
р,(х
+
n)Ax:~
-
р,(х),
х
~
О.
4.22.
Решите
дифференциальное
уравнение
(4.5.1)
следующими
способами:
(а)
используйте
интегрирующий
множитель
ехр[-
JуХ[б
+
p,(z)]
dz],
чтобы
получить
А:.
=
I.~
р(х)ехр
{ -
{[Н
p(z)]
dZ}
dx,
(Ь)
используйте
интегрирующий
множитель
е-ОХ,
чтобы
получить
А
1I
=
/00
p,(x)vx-y(1 -
A:r)
dx.
у
к
раз.lИJ,'ЧН,ЫМ
темам
главы
4.23.
Найдите
актуарную
настоящую
стоимость
для
договора
двойной
страховой
за
щиты
до
возраста
65
лет,
который
предусматривает
выплату
в
размере
двух
единиц
в
случае
смерти
до
65
лет
и
выплату
одной
единицы
после
65
лет,
пользуясь
обозначениями
табл.
4.3.1.
Мы
предполагаем,
что
выплаты
производятся
в
конце
года,
в
котором
произо
шла
смерть.
4.24.
Страховой
договор
заключен
в
возрасте
20
лет
со
следующей
схемой
выплат
на
случай
смерти,
производимых
в
момент
смерти:
Возраст
Выплаты
на
случай
смерти
20
21
22
23
24
25-40
41
и
более
1000
2000
4000
6000
8000
10000
50000
Вычислите
актуарную
настоящую
стоимость,
опираясь
на
Иллюстративную
таблицу
смертности,
в
предположении
равномерности
распределения
смертей
на
каждом
годичном
возрастном интервале
и
при
i = 0,05.
[Указание.
Обратная
рекуррентная
формула
ДЛЯ
актуарной
настоящей
стоимости
будет
включать
функцию
с(х),
которая
строится,
ИСХОДЯ
из
приведенной
выше
таблицы.]
Упражнения
129
4.25.
(а)
Определите,
будет
ли
постоянный
рост
интенсивности
смертности
влиять
на
А}:
так же,
как
такой
же
рост
интенсивности
начисления
процента.
(Ь)
Покажите,
что
если
вероятность
смерти
qж+n
увеличивается
и
становится
равной
qx+n
+
С,
то
величина
Аж
также
увеличивается
на
сv
n
+
1
n
Рж(1-
А
ж
+
n
+
1
).
4.26.
Актуарная
настоящая
стоимость
для
модифицированного
договора
страхования
на
дожитие
с
выплатой
размера
1000,
заключенного
с
лицом
в
возрасте
х лет
сроком
на
n
лет,
равна
700,
если
в
случае
смерти
в
течение
первых
n
лет
предусмотрена
выплата,
равная
этой
актуарной
настоящей
стоимости,
или
650,
если
выплаты
не
предусмотрено.
(а)
Вычислите
актуарную
настоящую
стоимость
дЛя
модифицированного
договора
страхования
на
дожитие
с
выплатой
размера
1000,
заключенного
с
лицом
в
возрасте
х
лет
сроком
на
n
лет,
если
в
случае
смерти,
наступившей
в
этот
период,
необходимо
выпла
тить
100 k%
актуарной
настоящей
стоимости.
(Ь)
ДЛЯ
договора страхования
на
дожитие
из
п.
(а)
найдите
дисперсию
настоящей
сто
имости
в
момент
заключения
договора
в
терминах
актуарных настоящих
стоимостей
для
договоров
страхования
на
дожитие
и
договоров
срочного
страхования
на
случай
смерти.
4.27.
Производитель
оборудования
продает
свою
продукцию
с
пятилетней
гаранти
ей,
согласно
которой
покупателю
возвращается
сумма,
пропорциональная
первоначальной
продажной
цене,
если
оборудование
выйдет
из
строя
в
течение
5
лет.
Например,
если
по
ломка
происходит
через
3
~
лет
после
приобретения,
то
возвращается
25%
продажной
цены.
Изучение
статистики
показывает,
что
вероятность
поломки
нового
оборудования
в
течение
первого
года
равна
0,2,
в
течение
второго,
третьего
и
четвертого
годов
- 0,1
в
каждый
и
в
течение
пятого
года
- 0,2.
(а)
Предполагая,
что
моменты
поломки
равномерно
распределены
в
каждом
годичном
интервале,
считая
с
момента
покупки,
определите
долю
продажной
цены,
которая
равна
актуарной
настоящей
стоимости
такой
гарантии.
Считайте,
что
i =0,10.
(Ь)
Если
бы
оговоренный
в
гарантии
возврат
денег
осуществлялся
в
виде
скидки
на
продажную
цену
нового
оборудования
с
пятилетней
гарантией,
изменился
ли
бы
ответ
на
вопрос
п.
(а)?
4.28.
Предположим,
что
С.в.
Т(х)
имеет
плотность
f
(
t) - 2
e-t2/200
О
Т(ж)
-
10.j'2;Г
,t
> ,
и
~
= 0,05.
Покажите,
что
(а)
Ах
=
2ео,125[1
-
Ф(0,5)]
= 0,6992,
(Ь)
2А
ж
=
2е-о,5[1
-
Ф(l)]
=0,5232,
(с)
D[Z]
= 0,0343,
где
Z = v
T
,
(d)
~~,5
= 0,7076
[указание:
воспользуйтесь
рис.
4.2.1],
о
_
(е)
v
e
",
= 0,6710 < 0,6992 =
Аж.
о
4.29.
Обобщите
вывод
упр.
4.28(е),
проверив,
что
если
д
>
О,
то
v
e
",
~
Ах.
[Указание.
Воспользуйтесь
неравенством
Иенсена
из
разд.
1.3
при
и"
>
О.]
4.30.
Для
бессрочного
страхования
на
случай
смерти
выплата
b
t
равна
О
или
1
дЛя
каждого
t
~
О.
Проводя
вычисления
дЛя
интенсивности
начисления процента
~t
(а)
выразите
функцию
дисконтирования
в
терминах
bt,
(Ь)
выразите
С.в.
настоящей
стоимости
Z
в
терминах
с.в.
Т,
(с)
покажите,
что
zj
при
интенсивности
начисления
процента
~t
равна
Z
при
интен
сивности
начисления
процента
jbt.
Упражнения
с
использованием
7Сомn'Ьютера
4.31.
Расширьте
вашу
Иллюстративную
таблицу
смертности,
введя
в
нее
постоянную
процентную
ставку
i
и
частоту
страховых
выплат
m.
Было
бы
полезно
включить
в
нее
также
рассчитанные
при
этих
данных
~,
d(m),
i(m),
d
и
v.
4.32.
Вычислите
набор
величин
ащ,
n =
1,2,
...
,100,
при
i = 0,06,
воспользовавшись
прямой
рекуррентной
формулой
(3.5.20).
[Указание.
Обратитесь
к
упр.
3.25
или
восполь
зуйтесь
соотношением
а
n
+
lI
= 1 +
vii
щ
.]
5-
1855
130
Гл.
4.
Страхование
жизни
4.33.
(а)
Подставляя
данные
из
вашей
Иллюстративной
таблицы
смертности
в
обрат
ную
рекуррентную
формулу
(4.3.10)
при
подходящем
начальном
значении,
вычислите
1000Az:
дЛЯ
х
от
13
до
140
при
процентной
ставке
0,06.
(Ь)
Сравните
полученные
вами
значения
со
значениями,
приведенными
в
приложе
нии
2А.
4.34.
(а)
Воспользуйтесь
формулой
(4.3.3)
и
вашей
Иллюстративной
таблицей
смерт
ности
для
определения
величин
A~o:2Ol
и
2A~o:2Ol
при
i =0,06.
(Ь)
Какова
дисперсия
случайной
величины
настоящей
стоимости
для
страхового
дого
вора
на
срок
20
лет
с
выплатой
размера
100000,
заключенного
с
лицом
(20)?
4.35.
(а)
Используя
алгебраические
или
вероятностные
соображения,
проверьте
сле
дующую
обратную
рекуррентную
формулу
для
страхового
договора
сроком
на
n
лет
с
выплатой
размера
1:
А
1
n+1
А1
x:'fi1
= vqx - v
nРх
qx+n +vpx
х+1:щ'
(Ь)
Определите
подходящее
для
использования
в
этой
формуле
начальное
значение.
(с)
Используя
вашу
Иллюстративную
таблицу
смертности
при
i = 0,06,
вычислите
актуарную
настоящую
стоимость
для
страхового
договора,
заключенного
сроком
на
1
О
лет
с
лицами
возрастов
х
= 13,
...
,130
лет.
4.36.
(а)
Воспользуйтесь
рекуррентным
соотношением
п.
(g)
из
заключительной
части
разд.
4.3
и
вашей
Иллюстративной
таблицей
смертности
для
вычисления
(IA)28
при
i =
0,06.
(Ь)
Измените
рекуррентную
формулу
из
п.
(а)
так,
чтобы
получить
рекуррентную
формулу
для
(I
А)х,
и
определите
для
нее
начальное
значение.
(с)
Измените
рекуррентную
формулу
из
п.
(Ь)
так,
чтобы
получить
рекуррентную
формулу
для
(1
А)х,
и
определите
для
нее
начальное
значение.
(d)
Выведите
частные
случаи
формул
пп.
(Ь)
и
(с)
в
предположении
равномерной
распределенности
смертей
на
годичном
возрастном
интервале.
4.37.
Воспользуйтесь
вашей
Иллюстративной
таблицей
смертности
для
проверки
чис
ленных
решений
пп.
(а)
и
(Ь)
примера
4.2.4.
[Указание.
Выберите
в
распределении
Мейкема
значения
параметров
Ь
= 0,00
и
А
= 0,04,
возьмите
i =
еО,10
- 1
и
примените
рекуррент
ную
формулу
п.
(d)
из
заключительной
части
разд.
4.3.
Помните,
что
страховая
выплата
в
примере
4.2.4
производится
в
момент
смерти.]
4.38.
(а)
Применяя
алгебраические
или
вероятностные
соображения,
проверьте
следу
ющую
обратную
рекуррентную
формулу
для
актуарной
настоящей
стоимости
смешанного
страхования до
возраста
у
с
выплатами
размера
1,
в
котором
выплата
на случай
смерти
осуществляется
в
момент
смерти:
A
x
:
y
-
xl
= A
x
:
Il
+
vp
X
A
x
+
1
:
y
_(x+1)1'
Х
=
0,1,
...
,у
- 1.
(Ь)
Определите
подходящее
для
использования
в
ЭТОй
формуле
начальное
значение.
(с)
Воспользуйтесь
вашей
Иллюстративной
таблицей
смертности
и
предположениями,
что
распределение
смертей
в
каждом
годичном
возрастном
интервале
равномерно
и
i =
0,06,
для
вычисления
актуарной
настоящей
стоимости
смешанного
страхования
до
возраста
65
с
выплатами
размера
1,
в
котором
выплата
на
случай
смерти
осуществляется
в
момент
смерти,
если
договор
заключается
с
лицом
возраста
х
= 13,
...
,64
лет.
(d)
Применяя
алгебраические
или
вероятностные
соображения,
проверьте
следующую
обратную
рекуррентную
формулу
для
актуарной
настоящей
стоимости
смешанного
стра
хования
на
срок
n
лет
с
выплатами
размера
1,
по
которому
выплата
на
случай
смерти
осуществляется
в
момент
смерти:
- - n
-1
-
А
х
:
щ
= A
x
:
Il
+v
npx(l
- vpx+n -
А
ж
+
1
:
щ
)
+
vрж
А
х
+
1
:
fil
,
Х
=
О,
1,
...
,
I.J.)
-
1.
4.39.
Пусть
С.В.
Z
является
настоящей
стоимостью
смешанного
страхования
сроком
на
20
лет
с
размером
выплат
100000,
ПО
которому
выплата
на
случай
смерти
ПРОИЗВОдИтся
в
момент
смерти.
Рассчитайте
среднее
и
дисперсию
С.в.
Z
на
основе
закона
Мейкема
с
параметрами
А
= 0,001,
В
= 0,00001,
с
= 1,10
и
д
= 0,05
из
вашей
Иллюстративной
таблицы
смертности.
5
СТРАХОВЫЕ
АННУИТЕТЫ
5.1.
Введение
В
предыдущей
главе
мы
рассматривали
выплаты,
обусловленные
наступлением
смерти,
что
предусматривается
различными
видами
страхования
жизни.
В
насто
ящей
главе
мы
будем
изучать
выплаты,
обусловленные
дожитием,
что
предусмат
ривается
различными
видами
страховых
аннуитетов.
Страховым
аннуитетом
на
зывается
серия
выплат,
производимых
непрерывно
или
через
равные
промежутки
времени
(такие,
как
месяц,
квартал,
год),
пока
данное
лицо
живо!).
Выплаты
мо
гут
быть
временными,
т.
е.
производиться
определенное
количество
лет,
или
пожиз
ненными.
Выплаты
могут
начинаться
сразу
или,
напротив,
аннуитет
может
быть
отсроченным.
Выплаты
могут
производиться
в
начале
(аннуитеты
nренумерандо)
или
в
конце
(ан'Нуитетъ,
по
с
т'Ну.м
ера
'Н
до
)
упомянутых
выше
промежутков.
Поскольку
в
теории
процента
исследуются
финансовые
а'Н'Нуитеты,
читатель
должен
быть
до
некоторой
степени
знаком
с
терминологией,
обозначениями
и
тео
рией
аннуитетов.
Теория
страховых
аннуитетов
похожа
на
теорию
финансовых
ан
нуитетов,
но
в
ней
условием
выплаты
выступает
дожитие
до
определенного
срока.
Это
условие
встречалось
в
гл.
4
в
связи
со
страхованием
на
дожитие
и
выплатой
на
случай
дожития.
Страховые
аннуитеты
играют
важную
роль
в
операциях
страхования
жизни.
Как
мы
увидим
в
следующей
главе,
приобретение
договора
страхования
жизни
про
исходит
обычно
на
условиях
выплаты
страховщику
аннуитета
премий,
а
не
одной
единственной
премии.
Сумма,
выплачиваемая
в
момент
наступления
страхового
слу
чая,
может
быть
преобразована
с
помощью
специального
соглашения
внекоторый
страховой
аннуитет
для
выгодоприобретателя.
Некоторые
виды
страхования
жизни
существенно
развивают
это
соображение
и
вместо
крупной
единовременной
суммы,
выплачиваемой
на
случай
смерти,
предусматривают
определенные
виды
периодиче
ских
выплат.
Это
могут
быть,
например,
ежемесячные
выплаты
тому
из
супругов,
который
пережил
другого,
или
страхователям,
вышедшим
на
пенсию.
Аннуитеты
играют
еще
более
важную
роль
в
пенсионных
системах. Так,
пенси
онная схема
может
рассматриваться
как
система
приобретения
отсроченных
стра
ховых
аннуитетов
(выплачиваемых
после
выхода
на
пенсию),
платой
за
которые
является
определенный
вид
срочного
аннуитета,
образованного
взносами
в
пенси
онную
систему
в
течение
периода
трудовой
деятельности.
Этот
срочный
аннуитет
может
состоять
из
взносов
пере
мен
ной
величины
и
их
размер
может
зависеть
не
только
от
того,
какой
начисляется
процент,
или
от
динамики
смертности,
но
и
от
l)в
дальнейшем
под
аннуитетом
понимается
как
серия
выплат,
так
и
договор,
согласно
кото
рому
эта
серия
выплат
осуществляется.
-
Прu.м.
ред.
5*