Афанасьев А.А. Математические основы теории систем управления
Подождите немного. Документ загружается.
111
][ SSA
λ
=
,
212
][ SSA
λ
=
, т.е.
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
21
11
21
11
02
13
S
S
S
S
, .
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
22
12
22
12
02
13
S
S
S
S
Отсюда имеем
;2,3
2121112111
SSSSS −=−=−−
.22,23
2212122112
SSSSS −=−=−−
Возьмем , тогда
1
11
=S 2
21
−=S
. Возьмем
1
12
=S
, тогда .
1
22
−=S
Следовательно, получим
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
==
12
11
][
2221
1211
21
SS
SS
SSS
,
=
−
1
][S
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
2
1
12
11
R
R
,
Здесь
[][]
12,11
21
=−−= RR
.
Будем иметь
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=−−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
==
22
11
11
2
1
][
111
RSP
,
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
==
12
12
12
1
1
][
222
RSP
.
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎭
⎬
⎫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
+
⎩
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
+
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎭
⎬
⎫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⎩
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′
′
0
1
4
1
12
12
22
11
12
1
12
12
1
1
22
11
0
1
1
][
1
][
1
][
1
][
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
β
β
β
λλ
β
λλ
t
L
PP
L
t
PP
u
i
C
L
.
0
1
75.15.1
75.05.0
5.01
5.01
0
1
25.05.0
25.05.0
22
11
5.01
5.01
1
1
22
11
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎭
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
+
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎭
⎬
⎫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
+
⎩
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
+
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−=
ββ
ββ
t
t
Тогда
β
β
β
5.1,5.0 −=
′
=
′
tui
CL
.
81
Проверка:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′
′
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′
′
0
02
13
L
t
u
i
u
i
dt
d
C
L
C
L
β
,
.05.02
,05.15.030
βββ
β
β
β
β
=+⋅=
=++−⋅−=
t
t
Проверка выполняется.
Полученное выражение для установившейся составляющей удовлетворяет исходному
уравнению состояния.
Поскольку R=3>2
83.2
5.0
1
2 ==
C
L
, то процесс изменения переменной -
апериодический (собственные значения матрицы [A]- вещественные) .
Таким образом, при линейном изменении внешнего напряжения на зажимах
двухполюсника с последовательным включением RLC элементов имеет место постоянство
тока заряда емкости.
Для преходящей составляющей из уравнения (2.146) имеем:
.
5.1
5.0
12
12
22
11
0
1
75.15.1
75.05.0
12
12
22
11
0
1
4
1
12
12
22
11
12
12
22
11
2
2
2
⎭
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
+
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=
=
⎭
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
+
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′′
′′
−−
−−
−−
β
β
β
OC
OL
tt
OC
OL
tt
OC
OL
tt
C
L
u
i
ee
u
i
ee
u
i
ee
u
i
Отсюда получим
()()
[]
( ) ( )
[ ]
t
OCOL
t
OCOLL
euieuii
2
5.15.025.15.0
−−
++−++−+−=
′′
β
β
β
β
,
()( )
[]
( )( )
[ ]
t
OCOL
t
OCOLc
euieuiu
2
5.15.025.125.02
−−
+−+−+++−=
′′
β
β
β
β
,
=
′′
=
0t
L
i
()()
β
β
5.15.0 +−+−
OCOL
ui
( ) ( )
β
β
β
5.05.125.02 −=++−+
OLOCOL
iui
,
β
β
β
β
β
5.15.12322
0
+=−−+−++−=
′′
=
OCOCOLOCOL
t
C
uuiuiu
.
Проверка начальных условий
( )
OLOL
t
LL
t
L
iiiii =+−=
′′
+
′
=
==
β
β
5.05.0
00
;
()
OCoc
t
CC
t
C
uuuuu =++−=
′′
+
′
=
==
β
β
5.15.1
00
.
82
Вопросы для самопроверки
1.
Расчёт установившейся составляющей решения дифференциального
уравнения n-го порядка производится с помощью системы линейных
уравнений. Какие еще неизвестные находятся из решения этой системы?
2.
Какие величины подлежат определению при расчёте преходящей
составляющей решения дифференциального уравнения n-го порядка?
3.
Как называется определитель в системе линейных уравнений для расчёта
преходящей составляющей решения дифференциального уравнения n-го
порядка?
4.
Почему при наличии кратных корней характеристического полинома
дифференциального уравнения n-го порядка приходится формировать
новые системы линейных уравнений для вычисления как установившейся
так и преходящей составляющих решения дифференциального
уравнения?
2.17. Замена переменных в уравнениях состояния
2.17.1.
Расщепление решений уравнений состояния
1). Матрица [A] приводится к диагональному виду.
Предположим
сначала, что матрица [
]
A
размером ×n
n
имеет собственных правых
векторов
n
,,..,,
21 n
SSS
соответствующих собственным числам ....,,,
21 n
λ
λ
λ
Сделаем в исходном уравнении состояния
)()(][
)(
tftyA
td
tyd
+= (2.147)
замену переменных
)()(][][
)(
][
,]...[][,)(][)(
21
tftzSA
td
tzd
S
SSSStzSty
n
+=
==
.
Умножая левую и правую части полученного уравнения на обратную матрицу
, придем к уравнению :
1
][
−
S
)()(][
)(
tqtzB
td
tzd
+=
, (2.148)
где
83
- диагональная матрица,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
==
−
n
SASB
λ
λ
λ
0
0
][][][][
2
1
1
O
являющаяся формой Жордана для матрицы [ ]
A
;
)(][)(
1
tfStq
−
=
.
Уравнение (2.148) в скалярной форме записи принимает вид
,,,2,1,)()(
)(
nktqtz
td
tzd
kkk
k
K
=+=
λ
(2.149)
т.е. распадается (расщепляется) на n независимых подсистем.
В исходном уравнении (2.147) в качестве переменных состояния
)(ty
выбираются реальные физические величины: применительно к электрическим
цепям - токи катушек и напряжения на емкостях. Видим, что, производная
какой-либо компоненты вектора
)(ty зависит от линейной комбинации всех
компонент
n
knnkkk
k
fyayaya
td
yd
++++=
K
2211
.
Переход к некоторым фиктивным (расчетным) переменным )(tz
k
),2,1( n
k
K
= позволяет существенно упростить решение исходной системы
уравнений.
ПРИМЕР 2.6.
R
L
u(t)
i
L
C
u
c
(t)
Рассмотрим снова, как и в
примере 2.5, колебательный контур - цепь с
последовательным включением элементов
R
L
C
, на входе которой действует напряжение
)(
t
u
.
Рис. 2.10
Векторно-матричное уравнение этой цепи имеет вид
84
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0
/)(
0/1
/1/ Ltu
u
i
C
LLR
u
i
td
d
c
l
c
l
.
Параметры цепи выберем следующими:
R
= 3 Ом;
L
= 1 Гн;
C
= 0,5 Ф.
Будем иметь
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0
)(
02
13 tu
u
i
u
i
td
d
c
l
c
l
.
Собственные значения матрицы
][
A
(корни уравнения)
0
02
13
=
−
−−−
λ
λ
det
: равны:
.2;1
21
−=−=
λ
λ
В примере 2.5 найдено
[] []
.
12
11
,
12
11
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=
−
SS
Следовательно, имеем
[][][]
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
==
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
==
−
−
)(2
)(
)()(
,
20
01
1
1
tu
tu
tfStg
SASJ
Таким образом, от исходной системы уравнений можем перейти к двум независимым
уравнениям:
).(2)(2)(
),()()(
22
11
tutztz
tutztz
+−=
−−=
&
&
Решив эти простые скалярные уравнения, определим и искомые переменные:
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
)(
)(
2
1
ty
ty
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
c
L
u
i
][
S
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
)(
)(
2
1
tz
tz
.
2). Матрица [
A
] приводится к блочно-диагональному виду
Случай с двумя блоками
а). Использование квадратной матрицы преобразования [S]
85
Рассмотрим вначале случаи, когда известны два проектора и
матрицы ][
1
][P
2
][P
A
рангов и )q ( qn− соответственно, удовлетворяющие
соотношениям:
.);2,1,(0][][
,][][][
,)2,1(][][]][[
,][][
21
skskPP
PPP
kAPPA
EPP
sk
kkk
kk
≠==
=
==
=+
Строим вспомогательную матрицу ][
S
следующим образом.
В качестве первых столбцов ее выбираем q линейно независимых столбцов
матрицы ], а в качестве оставшихся )
q
[
1
P (n q− столбцов матрицы
][
S
берем
линейно независимых столбцов матрицы )( qn−
.]
2
P[
Тогда замена переменных
)(][)( tzSty =
(2.150)
преобразует исходную систему (2.147) к блочному виду
),()(
][0
0][
)(
2
1
tqtz
B
B
dt
tzd
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
= (2.151)
где
−
21
][;][ BB
).(
qn
−
квадратные матрицы соответственно порядков и
q
Если разобьем вектор
[
]
Т
21
zzz=
на два вектора
1
z
и
2
z размерностей
и соответственно, то система (2.151) распадается на две
подсистемы:
1×q 1)( ×−qn
)()(][
)(
),()(][
)(
222
2
111
1
tqtzB
d
t
tzd
tqtzB
d
t
tzd
+=+=
L
. (2.152)
Так как замена (2.150) не меняет характеристические показатели решений,
то суммарный спектр матриц и совпадает со спектром матрицы
1
][B
2
][B
].[
A
б). Использование специальных прямоугольных матриц
рангов q и (n - q)
Введем прямоугольную матрицу порядка
1
][R ,qn× у которой в каждом
столбце имеются по одному единичному элементу, а все остальные
элементы равны нулю.
86
Аналогичная прямоугольная матрица размером имеет
2
][R
)( qnn −×
)( qn −
столбцов, в каждом из которых имеются по одному единичному элементу,
а остальные - нули. Тогда расщепляющая замена переменных (2.150) получит
вид
)(][][)(][][)(
222111
tzRPtzRPty += . (2.153)
Матрица имеет размерность
111
][][][ RPS = qn× и ранг, равный .q
Матрица имеет размерность
222
][][][ RPS = )(( qnn −× ) и ранг равный
).( qn −
Уравнение (2.153) можно теперь записать в виде
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
)(
)(
]][][[)(
2
1
21
tz
tz
SSty . (2.154)
Выразим теперь новые переменные через старые. Умножим равенство
(2.153) сначала на потом на и получим два равенства
1
][P
2
][P
)(][][)(][),(][][)(][
22221111
tzRPtyPtzRPtyP == , (2.155)
которые можно разрешить относительно и )(
1
tz )(
2
tz , переходя к
скалярным уравнениям.
Возможен другой путь. Выберем q линейно независимых строк в
проекторе и подберем матрицу размером у которой в каждой
строке имеется по одной единице, остальные элементы - нули, причем
номера столбцов с единицами равняются номерам выбранных строк
проектора[ . Аналогично выбирается матрица размером
1
][P
1
]P
1
][T ,nq×
2
][T nqn ×− )( из
линейно независимых строк проектора .
2
][P
Используя введенные матрицы, получаем выражения новых переменных
через старые
).(][][)();(][][)(
222111
tyPTtztyPTtz == (2.156)
Ненулевые элементы в матрицах и могут быть и
отличными от единицы.
12,1
][,][][ TRR
2
][T
Ясно, что переменные
)(
1
tz и )(
2
tz , найденные по формулам (2.155),
отличаются от переменных
)(),(
21
tztz , определенных по формулам (2.156).
87
Случай с
μ
- блоками
Пусть теперь известно
μ
ненулевых проекторов ,
образующих полную группу проекторов, т.е. удовлетворяющих условиям:
μ
][,,][,][
21
PPP
K
∑
=
=≠===
μ
μ
1
][),;,...,1,(0][][;][][][
k
kskkkk
EPskskPPPPP
и, кроме того, дополнительным условиям
].[][][][ APPA
kk
=
Выберем в каждом проекторе все линейно независимые столбцы и
образуем из них матрицу ][
S
порядка . Тогда замена вида (2.150)
преобразует исходную систему (2.147) в систему с квазидиагональной
матрицей
n
),()(
][0
0][
)(
1
tqtz
B
B
td
tzd
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
μ
K
LLL
L
(2.157)
которая распадается на μ независимых систем
),()(][
)(
tqtzB
td
tzd
kkk
k
+= .,...,1
μ
=k . (2.158)
Порядок матриц равен рангу проекторов
k
B][
k
P][.
ПРИМЕР 2.7
Расщепим решения однородной системы дифференциальных уравнений
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−−
==
131
121
183
][;][ AxA
td
xd
(2.159)
на решения двух подсистем, вводя в рассмотрение два проектора.
Решая характеристическое уравнение
[]
,0)1()2(][
2
=++=−
λ
λ
λ
AEDet
находим собственные числа матрицы
:][
A
.;;2
321
jj −==−=
λ
λ
λ
88
Найдем проектор , соответствующий собственному числу
1
][P
.2
1
−=
λ
Для этого
возьмем функцию
,)1(
5
1
)(
2
1
+=
λλ
f
для которой справедливо
.1)2(;0)(
11
=−=± fjf
Как известно, матричную функцию можем выразить через
])([
1
Af
проекторы:
.001][)(][)(][)(][])([
13132121111
++⋅=++= PfPfPfPAf
λ
λ
λ
Отсюда
.
451
000
451
5
1
)]([
5
1
])([][
2
11
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
=+== EAAfP
Этот проектор имеет ранг, равный единице (проектор, соответствующий одному (не
кратному) собственному числу, всегда имеет ранг, равный единице).
Другой проектор, соответствующий остальным (двум) собственным числам , найдем
по формуле :
.
151
050
454
5
1
][][][]
~
[
1322
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=−=+= PEPPP
Он имеет ранг равный 2.
В качестве введенных выше матриц можно взять
2121
][,][,][,][ TTRR
следующие:
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
==
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
100
010
][,001][,
0
1
0
0
0
1
][,
0
1
0
][
2121
TTRR
.
Замена переменных вида (2.153), (2.154) дает
.
12,01
100
18,01
1
1
1
2,0
0
8,0
1
0
1
3
2
1
z
z
z
zx
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
−
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
После подстановки этого равенства в исходное дифференциальное уравнение
(2.159) получим:
89
.
18,0
21
68,2
2
0
2
12,0
10
18,0
][
1
0
1
][
12,0
10
18,0
1
0
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
z
z
Z
z
z
AzA
z
z
z
&
При переходе к скалярным уравнениям будем иметь:
321321
66,228,0 zzzzzz −−−=−+
&&&
,
,323
2zzz +=
&
321321
6,022,0 zzzzzz ++=++−
&&&
.
Складывая 1-е и 3 -е уравнения, имеем:
322
52 zzz −−=
&
. (2.160)
Из сложения 1- и 2 -го уравнений, с учетом (2.160), найдем
.2
11
zz −=
&
Итак, расщепленная система имеет вид:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
3
2
3
2
11
21
52
;2
z
z
z
z
zz
&
&
&
.
Теперь возьмем другую замену вида (2.156)
[]
,
2,012,0
010
,8,012,0
3
2
1
x
z
z
xz
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
которая преобразует исходную систему (2.159) к расщепленному виду
.
32
53
;2
3
2
3
2
11
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
z
z
z
z
zz
&
&
&
90