Афанасьев А.А. Математические основы теории систем управления
Подождите немного. Документ загружается.
Г Л А В А П Е Р В А Я
ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
СОСТОЯНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
1.1. Нормальная форма уравнений состояния
Нормальная форма уравнения состояния имеет вид
()
[]
)(tfytA
dt
yd
+=
, (1.1)
где
[]
T
21
n
yyyy
L
= ,
() () () ( )
[
T
21
tftftftf
n
L
=
]
- вектор -столбцы;
()
[]
( ) ( )
() ()
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
tata
tata
tА
nnn
n
L
LLL
L
1
111
-квадратная матрица размером
n
,
ji
a )(
t
и
( )
tf
j
- непрерывные функции на некотором интервале (а,b).
Правые части (1.1) непрерывны в бесконечной области
−∞= (yD < <
при a< t < b.
k
y
∞
)
1.2. Общее фундаментальное решение нестационарной системы
линейных однородных дифференциальных уравнений
Система (1.1) называется однородной, если
( )
0≡tf . Однородная система
запишется в виде
[]
xtA
d
t
xd
)(=
. (1.2)
Найдем решений системы (1.2) при следующих
n
начальных
условиях:
n
11
( ) ( )
[ ]
() ()
[]
() ()
[]
1000
0010
0100
T
00
2T
0
2
0
2
1T
0
1
0
1
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
===
===
===
nnn
ettx
ettx
ettx
K
LLLLLLLLL
K
K
ξ
ξ
ξ
. (1.3)
Решения
() () ( )
ttt
n
ξξξ
,,,
2
1
K
образуют линейные пространства
размерности , являясь базисом этого пространства, т.е.
n
( ) ( ) ( )
0
2
2
1
1
≠++ tCtCtC
n
n
ξξξ
K ,
если произвольные постоянные не все равны нулю.
n
CC ,,
1
K
Любое решение системы (1.2) может быть записано в виде
() ( ) ( ) ( )
tCtCtCtx
n
n
ξξξ
+++= K
2
2
1
1
, (1.4)
где
() ( )() ( )
[]
T
21
tttt
knkk
k
ξξξξ
K= - вектор-столбец ;
k=1,2, ... ,n - номер решения.
Cистема из линейно независимых решений уравнения (1.2) называется
фундаментальной (она в общем случае может быть получена и не при
единичных начальных условиях).
n
Уравнение (1.4) запишем в матрично-векторном виде:
()
( ) ( ) ( )
() () ()
() () ()
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
nnnnn
n
n
C
C
C
ttt
ttt
ttt
tx
M
L
MMMM
L
L
2
1
21
22221
11211
ξξξ
ξξξ
ξξξ
или
( ) ( )
[ ]
CtXtx =
, (1.5)
где
[]
T
21 n
CCCC K=
,
( )
[ ]
tX
- фундаментальная система решений
однородного уравнения (1.2), полученная при единичных начальных
условиях вида (1.3), называется
матрицантом.
12
1.3. Определитель Вронского. Формула Остроградского-Лиувилля
Пусть имеется некоторая система из векторных функций
n
()
( )
()
()
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
tx
tx
tx
tx
n1
21
11
1
M
;
()
( )
()
()
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
tx
tx
tx
tx
n 2
22
12
2
M
, ... ,
()
()
()
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
tx
t
x
tx
tx
nn
n
n
n
M
2
1
.
Тогда определителем Вронского, или вронскианом, называется
определитель, составленный из компонент этих векторных функций. Таким
образом, определитель Вронского имеет вид:
()
( )
()
()
( )
()
()
( )
()
()
tx
tx
tx
tx
tx
tx
tx
tx
tx
tW
nn
n
n
nn
M
L
L
L
L
MM
2
1
2
22
12
1
21
11
=
.
Рассмотрим некоторые свойства определителя Вронского [1].
1.
Если система векторных функций
( ) ()
txtx
n
,,
1
K
линейно зависима,
то определитель Вронского тождественно равен нулю при любых
t
2.
( )
0
≡t
.
W
2. Пусть
( ) () ( )
txtxtx
n
,,,
21
K
-
n
решений системы (1.2). Тогда между
значениями определителя Вронского
( )
tW
в точках и
t
существует
следующая зависимость:
0
t
[]
∫
=
t
t
p
dAS
etWtW
0
)(
0
)()(
ττ
, (1.6)
где
- след
()
[]
()
tatatatatASp
n
i
jinn
∑
=
=+++=
1
2211
)()()( K
1
матрицы )]([
t
A
.
Выражение(1.6) носит название
формулы Остроградского-Лиувилля
.
13
1
Sp -начальные буквы немецкого слова “Spur”-след .
Для обоснования формулы Остроградского-Лиувилля
продифференцируем определитель Вронского
.
1
)()()(
1
)()()(
1
)(
1
)(
1
)(
11
∑
=
′′′
=
n
j
t
nn
xt
nk
xt
n
x
t
jn
xt
jk
xt
j
x
t
n
xt
k
xtx
dt
dW
KK
KKKKK
KK
KKKKK
KK
Поскольку
,
),,1,(),(
1
)(
nkjt
sk
x
n
s
js
a
dt
t
jk
dx
K=
∑
=
=
то
∑
=
∑
=
=
∑
=
∑
=
=
=
∑
=
∑
=
∑
=
∑
=
=
n
j
n
s
tW
jsjs
a
t
nn
xt
nk
xt
n
x
t
sn
xt
sk
xt
s
x
t
n
xt
k
xtx
n
j
n
s
js
a
n
j
t
nn
xt
nk
xt
n
x
n
s
t
sn
x
js
a
n
s
t
sk
x
js
a
n
s
t
s
x
js
a
t
n
xt
k
xtx
dt
dW
11
),(
)()()(
1
)()()(
1
)(
1
)(
1
)(
11
11
1
)()()(
1
1
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
)(
11
δ
KK
KKKKK
KK
KKKKK
KK
KK
KKKKK
KK
KKKKK
KK
где
js
δ
- символ Кронекера.
В результате имеем
14
[]
.
)()(
1
)()( tA
p
StW
n
j
t
jj
atW
dt
dW
=
∑
=
=
Интегрируя последнее выражение, получим формулу (1.6).
1.4. Общее решение системы неоднородных дифференциальных
уравнений, полученное методом вариации постоянных Лагранжа.
Матрица Коши
Если )]([
t
X - фундаментальное решение однородной системы (1.2) для
единичных начальных значений (1.3), то любое решение системы (1.2) имеет
вид
,)]([)( CtXtx = (1.7)
где
T
21
][
n
CCCC L= - некоторый вектор-столбец из произвольных
постоянных.
Пусть решение (1.7) должно удовлетворять некоторому заданному
начальному условию
0
0
)( xtx = . Тогда, полагая в (1.7) , получим:
0
tt =
CtXtx )]([)(
00
= .
Отсюда
).()]([
0
1
0
txtXC
−
= Следовательно, из (1.7) имеем:
).()]()][([)(
0
1
0
txtXtXtx
−
= (1.8)
Учитывая, что
,)]([][)]([
1
00
−
== tXEtX
формулу (1.8) запишем в виде:
)()]([)(
0
txtХtx =
. (1.9)
Нетрудно проверить, что фундаментальное решение )]([
t
X удовлетворяет
матричному уравнению
)]()][([
)]([
tXtA
d
t
tXd
=
. (1.10)
Для определения решения неоднородной системы (1.1) применим метод
вариации произвольных постоянных Лагранжа. Будем искать решение в виде
15
utXy
)]([
=
. (1.11)
Тогда, дифференцируя (1.11) и приравнивая результат к правой части (1.11),
будем иметь:
).()]()][([)]([
)]([
tfutXtA
d
t
du
tXu
d
t
tXd
d
t
dy
+=+=
Учитывая уравнение (1.10), получим :
)()]([
tf
d
t
du
tX =
.
Следовательно,
.)()]([
0
1
τττ
dfXCu
t
t
∫
−
+=
Умножая слева левую и правую части этого равенства на фундаментальную
матрицу )]([
t
X
, получим с учетом равенства (1.11):
τττ
dfXtXCtXty
t
t
)()]()][([)]([)(
0
1
∫
−
+=
.
При имеем
0
tt =
CCECtXty ===
][)]([)(
00
.
Поэтому
τττ
dftHtytXty
t
t
)()],([)()]([)(
0
0
∫
+=
. (1.12)
Здесь
=]),([
τ
t
H
1
)]([)](
−
[
τ
XtX
- матрица Коши;
∫
=
t
t
ftHty
0
)],([)(
~
τ
(
τ
τ
d)
- частное решение уравнения (1.1).
Заметим, что матрица [ существует, так как
det
1
)](
−
tX
.0)()](
≠=
t
W
t
X
Выражение (1.12) называется
формулой Коши
.
Если матрица [][)](
A
t
A
= - постоянна, то из уравнения (1.10) следует:
)(][
0
)]([
ttA
etX
−
=
. (1.13)
16
Видим, что действительно
EetX
A
==
• 0][
0
)]([
.
Матрица Коши в этом случае равна
[ . )]([)]()][([)],(
)(][
)(][)]([
1
00
00
τττ
ττ
ττ
−====
+−−
−−−
−
tXeeeXtXtH
ttA
AttA
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения с постоянной
матрицей [
A
] будет
τττ
dftXtytXty
t
t
)()]([)()]([)(
0
0
∫
−+=
. (1.14)
Рассмотрим решение неоднородного уравнения состояния (1.1) с
помощью формулы (1.14) при входном воздействии в виде дельта-функции
(функции Дирака)
{
.1)(
,
0
00
)(
∫
∞
∞−
=
=∞
≠
=
ττδ
τ
τ
τδ
d
при
при
Будем полагать в формуле (1.14)
.
1
)(]000)([)(,0)
0
(
e
T
fty
τδτδτ
===
K
Тогда будем иметь
)(
1
)(
11
)]([
0
1
)()]([)(
tktetx
t
t
detxty
===
∫
−=
ξττδτ
.
Аналогично получим:
при
2
)()(,0)
0
(
efty
τδτ
==
⇒
)(
2
)(
2
)(
tktty
==
ξ
;
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
17
при
n
efty
)()(,0)
0
(
τδτ
==
⇒
)()()( tktty
nn
==
ξ
,
где
)(t
j
k
,
nj ,,2,1
K=
- весовые (импульсные) функции.
Следовательно, фундаментальная матрица
)]([
t
x
может рассматриваться как
матрица весовых функций
)].([)]()(
2
)(
1
[)]([
tkt
n
ktktktx
==
K
1.5. Понятия управляемости и наблюдаемости
Добавим к исходному стационарному уравнению состояния (1.1) с
выделенным вектором входного сигнала
)(
t
g
[]
)(][)(
)(
tgBtyA
d
t
tyd
+=
(1.15)
уравнение для выходного вектора
)(][)(][)(
tgDtyCtW
+=
(1.16)
который называют часто вектором измерений [50].
С помощью замены переменных
)(][)(
t
z
S
t
y
=
, (1.17)
где [S] – неособенная матрица преобразования, составленная из
собственных векторов матрицы [A],
уравнение (1.15) примет вид
)(][)(][
)(
tgQtz
d
t
tzd
+Λ= , (1.18)
где
18
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=Λ=
−
n
SAS
λ
λ
0
0
][]][[][
1
1
O
- диагональная матрица,
].[][][
1
BSQ
−
=
Из него следует, что если
i
-я строка матрицы нулевая, то
i
-я
компонента вектора
][Q
)(
t
z
будет определяться однородным уравнением
)(][
)(
tz
d
t
tzd
Λ=
(1.19)
и, следовательно, не может управляться входным воздействием.
Отсюда справедлив вывод:
при наличии нулевых строк в матрице
исходная система (1.15) не будет управляемой,
т.е. с помощью вектора
внешнего воздействия
][
Q
)0(
y
(управления) нельзя перевести состояние системы
от начального значения к заданному конечному значению
)(
T
y
на заданном
временном интервале [0,T].
Для выходного вектора с учётом замены (1.17) получим выражение
),(][)(][)(
tgDtzFtW
+=
(1.20)
где
].][[][ SCF =
Видим, что если
j
-ый столбец матрицы нулевой, то
][F
j
-я компонента
вектора состояния
)(
t
z
не будет участвовать в формировании выходного
вектора
)(
tW
и, следовательно, эту
компоненту нельзя измерить, т.е. она
становиться ненаблюдаемой.
j
z
Вывод. Проблемы с управляемостью и наблюдаемостью системы с
уравнениями (1.15), (1.16) появляются, если матрицы ][ и ][
Q
F
будут иметь
нулевые соответственно строки и столбцы.
Вопросы для самопроверки
1.
Как находится фундаментальное решение уравнения состояния?
2.
Назовите свойства определителя Вронского.
3.
Запишите формулу общего решения линейного неоднородного уравнения
состояния.
19
4.
Каков вид матрицы Коши?
5.
Какие системы называются неуправляемыми и ненаблюдаемыми?
Г Л А В А В Т О Р А Я
АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
СОСТОЯНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
2.1. Аналитическая форма фундаментального решения однородных
уравнений состояния на основе приведения матрицы
коэффициентов к жордановой форме
Исходная линейная однородная система имеет вид
xA
dt
xd
][= . (2.1)
В общем случае постоянную матрицу [
A
] можно с помощью
невырожденного преобразования привести к жордановой форме, т.е. имеется
невырожденная матрица ]([
S
det )0][ ≠
S
, что
][][][][
1
JSAS
=
−
.
Здесь
][
J
- жорданова форма матрицы
][
A
.
Выразим старые переменные
)(
x
через новые )( y :
ySx ][= . (2.2)
Подставим (2.2) в (2.1) :
ySA
d
t
yd
S ][][][ = . (2.3)
Умножим обе части равенства (2.3) слева на
[ ]
1
−
S
[]
1−
= S
d
t
yd
ySA ]][[ . (2.4)
Будем иметь однородное уравнение состояния для новых переменных
20