Афанасьев А.А. Математические основы теории систем управления
Подождите немного. Документ загружается.
Вопросы для самопроверки
1.
Из каких слагаемых состоит кривая затухания тока?
2.
Скажите, какого вида электрическую цепь позволяет воссоздать кривая
затухания тока, фиксированная в дискретном времени?
3.
Какие параметры синхронной машины можно определить по кривой
затухания тока обмотки статора, фиксированной в дискретном времени?
4.
В каких координатах определяются параметры и схема замещения
синхронной машины?
П Р И Л О Ж Е Н И Е
Типовые расчётные задания по курсу «Математические основы теории
систем управления»
Задание 1
Элементы теории проекторов
1. Найти характеристический полином матрицы [A].
2. Вычислить собственные значения матрицы [A].
3. Вычислить собственные векторы матрицы [A], выполнив их нормировку
(разделить их компоненты на компоненту с максимальным значением: одна
компонента становится равной единица, все другие – меньше единицы.
4. Вычислить проекторы матрицы [A].
5. Выразить матричную экспоненту
[
]
tA
e через проекторы.
6. Определить расщепитель матрицы [A].
7. Определить левый и правый проекторы матрицы [A].
8. Определить проектор для вертикальной полосы
[]
()
β
α
<< zReP, приняв .0;1
=
−
=
β
α
181
Варианты матрицы [A]
1)
[]
2)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
2120
1204
1321
2101
A,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
−
=
1413
2153
1132
0543
A, 3)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
−
=
3031
1113
4111
3112
A,
4)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
2233
4358
2134
1122
A, 5)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−−−
=
1321
1132
2113
3211
A, 6)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
3486
1243
1025
4172
A,
7)
[]
8)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−−
−
=
1232
2123
3212
2321
A,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
−
=
1121
1213
2112
0223
A,
9)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
=
1521
2013
1310
3141
A,
10)
[]
, 11)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
1100
4130
1672
1221
A
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
4865
3642
1487
3211
A,
12)
[]
, 13)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
00,174,032,054,0
36,000,167,025,0
17,035,000,142,0
55,011,047,000,1
A
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
00,122,044,066,0
22,000,132,054,0
44,032,000,142,0
66,054,042,000,1
A,
182
14)
[]
, 15)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
1021
1132
3113
2421
A
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
201041
10631
4321
1111
A,
16)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
−−−
−
−
=
1225715
110213
44120
722519
A , 17)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
−
−
=
8,45,89,17,0
9,77,29,53,5
2,03,24,12,8
1,37,74,56,1
A.
18)
[]
, 19)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
=
36,055,082,096,0
48,083,074,006,1
51,036,025,044,0
23,042,052,032,0
A
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
=
0131
4301
2121
1222
A,
20)
[]
, 21)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−−−
−
=
4211
4521
3214
3122
A
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
−
−
=
1111
5243
0312
3201
A,
22)
[]
, 23)
[]
A =
−
−
−− −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
1101
3351
2241
1111
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
0212
1111
1212
0345
A,
24)
[]
, 25)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
=
1111
1320
0541
3322
A
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−−
−
−
=
1110
2211
3501
2342
A,
26)
[]
, 27)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−−
=
1111
2320
0511
1243
A
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1234
2123
3212
4321
A,
183
28)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
−
−−
−
−
=
7,49,43,49,1
9,47,11,83,7
8,26,21,27,0
7,37,08,38,1
A , 29)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
3,59,47,29,5
6,60,60,77,4
5,45,88,46,1
7,01,32,24,7
A,
30)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
−
=
3,39,84,12,3
3,92,32,43,4
5,38,08,45,8
2,77,56,59,7
A , 31)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
2120
1204
1321
2102
A,
32)
[]
, 33)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
−
=
1413
2153
1132
0533
A
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
−
=
3031
1113
4111
3212
A,
34)
[]
, 35)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
2233
4358
2134
2122
A
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−−−
=
1321
1132
2114
3211
A,
36)
[]
, 37)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
3486
1243
1035
4172
A
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−−
−
=
1232
2123
3112
2321
A,
38)
[]
, 39)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
−
=
1121
1213
1112
0223
A
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
=
1521
2015
1310
3141
A,
40)
[]
, 41)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
1100
4140
1672
1221
A
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
4865
3742
1487
3211
A,
184
42)
[]
, 43)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
00,174,032,054,0
36,100,167,025,0
17,035,000,142,0
55,011,047,000,1
A
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
00,122,044,066,1
22,000,132,054,0
44,032,000,142,0
66,054,042,000,1
A,
44)
[]
, 45)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
1031
1132
3113
2421
A
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
201141
10631
4321
1111
A.
46)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
−−−
−
−
=
2225715
110213
44120
722519
A , 47)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
−
−
=
8,45,89,17,0
9,77,29,53,5
2,03,24,12,8
1,37,74,56,0
A,
48)
[]
, 49)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
=
36,055,082,096,0
48,083,074,006,1
51,036,025,044,0
23,042,052,132,0
A
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
=
0131
4301
2121
1122
A,
50)
[]
, 51)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−−−
−
=
4211
4521
3214
4122
A
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
−
−
=
1111
5243
0313
3201
A,
52)
[]
, 53)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
−
−
=
1111
1422
1543
1011
A
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
0212
1111
1112
0345
A,
54)
[]
, 55)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
=
1111
1320
1541
3322
A
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−−
−
−
=
1110
2212
3501
2342
A,
185
56)
[]
, 57)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−−
=
1111
2330
0511
1243
A
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1244
2123
3212
4321
A,
58)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
−
−−
−
−
=
7,49,33,49,1
9,47,11,83,7
8,26,21,27,0
7,37,08,38,1
A , 59)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
3,49,47,29,5
6,60,60,77,4
5,45,88,46,1
7,01,32,24,7
A,
60)
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
−
=
3,39,84,12,3
3,92,32,43,4
5,38,08,45,8
2,77,56,59,8
A,
Задание 2
Алгоритмы численного решения уравнений состояния
1. Решить различными численными методами:
а) явным и неявным методом Эйлера;
б) трапецией;
в) Рунге-Кутта 2-
го
и 4-
го
порядков;
г) Адамса при m=2 и 4 (явным), m=3 (неявным)
д) системным методом
– уравнение состояния вида
[] []
T
0
2,1, == xxA
td
xd
на интервале
[
]
1
min
5,0
−
∈
λ
t .
2.
Вычислить матричную экспоненту
[
]
tA
e методом Ю.В. Ракитского в точке
[][]
,,
*
11
2
1
AASaAгдеAt
p
n
i
n
j
ji
===
∑∑
==
−
здесь
[
]
[]
T
*
AA = .
186
Варианты матрицы [A]
1)
[]
1. ;1001,
21
9991000
21
−=−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
λλ
A
2)
[]
002,1 . ;1003,
21
9991002
21
−=−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
λλ
A
3)
[]
1. ;1001,
21
10001000
21
−=−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
λλ
A
4)
[]
.1;1001,
501500
500501
21
−=−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
λλ
A
5)
[]
2. ;1002,
502500
500502
21
−=−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
λλ
A
6)
[]
3 . ;1003,
503500
500503
21
−=−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
λλ
A
7)
[]
4. ;1004,
504500
500504
21
−=−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
λλ
A
8)
[]
5. ;1005,
505500
500505
21
−=−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
λλ
A
9)
[]
6 . ;1006,
506500
500506
21
−=−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
λλ
A
10)
[]
7. ;1007,
507500
500507
21
−=−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
λλ
A
11)
[]
8 . ;1008,
508500
500508
21
−=−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
λλ
A
187
12)
[]
9. ;1009,
509500
500509
21
−=−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
λλ
A
13)
[]
998,1 . ;1001,
31
10001000
21
−=−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
λλ
A
14)
[]
3 . ;1001,
41
10001000
21
−=−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
λλ
A
15)
[]
4 . ;1001,
51
10001000
21
−=−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
λλ
A
16)
[]
5 . ;1001,
61
10001000
21
−=−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
λλ
A
17)
[]
6 . ;1001,
71
10001000
21
−=−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
λλ
A
18)
[]
7 . ;1001,
81
10001000
21
−=−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
λλ
A
19)
[]
⎥
. 20)
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
91
10001000
A
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
101
10001000
A
. 21)
[]
⎥
.
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
31
9991000
A
22)
[]
. 23)
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
41
9981000
A
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
51
9971000
A . 24)
[]
.
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
41
9961000
A
25)
. 26)
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
51
9951000
A
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
61
9941000
A . 27) .
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
71
9931000
A
28) . 29)
[]
⎥
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
81
9921000
A
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
31
9911000
A
. 30) .
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
41
9901000
A
1)
. 32)
[]
⎥
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
51
9891000
A
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
61
9881000
A . 33)
[]
⎥
.
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
71
9871000
A
188
34)
[]
. 35)
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
81
9861000
A
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
91
9851000
A .
Собственные значения матрицы [A] вычисляются из квадратного уравнения:
(
)
.0
211222112211
2
=
−
+
+
− aaaaaa
λ
λ
Задание 3
Метод Д-разбиений
1.
Вычислить характеристический полином матрицы [A] четвертого порядка
(
)
0
4
3
1
4
0
=
+
+
λ
+
λ
=
λ
aaaD K . (1)
2.
Принять
22,211,20,22
ПП aaaa
+
+
=
; (2)
22,311,30,33
ПП aaaa
+
+
=
; (3)
22,411,40,44
ПП aaaa
+
+
=
, (4)
где – вещественные параметры.
21
П,П
3.
Представить полином (1) с учетом (2)-(4) в виде:
()
(
)
(
)
(
)
0ПП
22110
=
+
+
=
λ
λ
λ
λ
DDDD ,
приняв
;03,0;01,0;1,0
2,21,20,2
=
=
=
aaa
;5,0;1,0;0,1
2,31,30,3
=
=
=
aaa
.0,2;0,1;0,3
2,41,40,4
=
=
=
aaa
4.
На вещественной плоскости П в системе прямоугольных координат
1
П и
2
П
построить
D кривую, и особые прямые, являющиеся образом мнимой оси
корневой комплексной плоскости
λ
.
5.
Варианты матрицы [A] взять из задания 1.
189
Задание 4
Круги Гершгорина
1. Определить объединение D из n круговых областей, задаваемых
неравенствами:
),,2,1( niPa
iiij
K=≤−
λ
,
где
i
λ
-собственные числа исходной матрицы [A],
∑
≠
=
=
ij
j
iji
aP
1
-сумма модулей всех элементов -ой строки (без
диагональных элементов) матрицы [A].
i
2.
Определить объединение D
′
из n круговых областей, задаваемых
неравенствами:
),,2,1( niQa
iiij
K=≤−
λ
,
где
∑
≠
=
=
ki
k
kii
aQ
1
-сумма модулей всех элементов i -го столбца (без
диагональных элементов) матрицы [A].
3. Определить пересечение областей
D и D
′
, в котором расположены все
собственные числа исходной матрицы [A].
Задание 5
Матричные критерии устойчивости
1.
Построить критериальную матрицу [B] для левой полуплоскости и оценить
устойчивость исходной матрицы [A] путём проверки выполнения равенства
для элементов матрицы
[
]
k
B
при
∞
→
k
:
),,2,1,(
1
)(
,
nji
n
b
k
ji
K=≤
190