Афанасьев А.А. Математические основы теории систем управления
Подождите немного. Документ загружается.
Собственные значения матрицы монодромии, т.е. корни уравнения
det
[ ]
ETX
ρ
−)]([ =0 (3.5)
называются мультипликаторами системы (3.3). Уравнение (3.5) является
характеристическим уравнением системы (3.3). Матрицант уравнения (3.3)
удовлетворяет тождеству
[ ] [ ][ ]
)()()( TXtXTtX =+ . (3.6)
Дейтвительно, обе части этого равенства, как несложно показать,
удовлетворяют матричному дифференциальному уравнению
[ ]
[][
)()(
)(
tXtA
d
]
t
tXd
=
. (3.7)
Пусть
−a
собственный правый вектор матрицы монодромии, отвечающий
некоторому мультипликатору
ρ
, т.е.
[ ]
aatX
ρ
=)( . (3.8)
Рассмотрим решение )(
t
ξ
уравнения (3.3) с начальным условием
a==
0
)0
ξξ
.
Оно выражается через матрицант таким образом:
[]
0
)()(
ξξ
tXt = .
Используя (3.6) и (3.8) , будем иметь
[][ ][ ] []
).()(.т.е
,)()()()()()(
000
tTt
ttXTXtXTtXTt
ξρξ
ξρξρξξξ
=+
===+=+
(3.9)
Формулы (3.6) и (3.9), записанные соответственно в матричной и
векторной формах, имеют одинаковую структуру.
Таким образом, умножение мультипликатора
ρ
на некоторое решение
однородной системы
),(t
ξ
равносильно сдвигу влево этого решения на
временной период Т.
111
3.2. Теорема Флоке-Ляпунова
Матрицант однородного уравнения состояния (3.3) с периодическими
коэффициентами периода Т представим в виде
[ ] [ ]
tB
etCtX
][
)()( =
, (3.10)
где
[ ] [ ]
)()( TtCtC += (3.11)
-периодическая матрица (матрица Ляпунова) с периодом Т порядка nn
× ,
неособая для всех значений t, непрерывная, с интегрируемой кусочно-
непрерывной производной и удовлетворяющая условию
[ ] [ ]
ETCC == )()0(
;
[] []
)(
1
TXLn
T
B =
- (3.12)
постоянная матрица порядка nn
× .
Если матрица
[
вещественная, то и
]
A
[ ]
)(TX также вещественная
матрица, но
[
, вообще говоря, будет комплексной матрицей. Действительно,
имеем
]
B
[] []
∑
=
=
μ
ρ
1
1
k
k
PLn
T
B , (3.13)
()
[]
πρρρλ
ijLn
T
T
kkkk
2argln
11
++== , . (3.14)
K
±±±= 210i
Следовательно, число
k
λ
может быть выбрано с точностью до мнимого
слагаемого
Ti
π
2. Числа
k
λ
являются собственными значениями постоянной
матрицы
[
, т.е. корнями характеристического уравнения
]
B
[][]
.0det =Ε−
λ
B
Они называются характеристическими показателями системы (3.3).
Матрица Ляпунова
[ ] [ ]
[ ]
tB
etXtC
−
= )()( - (3.15)
в общем случае комплексная.
Если матрица монодромии
[ ]
)(TX такова, что все ее собственные
значения (мультипликаторы) вещественные и положительные(arg
ρ
=0), то
112
матрицу [B] можно выбрать вещественной
[ ]
0
B
, тогда матрица Ляпунова будет
также вещественной
[
с периодом Т и 2Т.
]
)(
0
tC
[][ ] [ ]
)2)()(
0
TtTtCt (
0
C
0
C = ++=
.
Имеем
[][ ][ ][ ]
[] [] []
)]([.)()()(
)())2)2(
][]][2]
][2][)2(][
tCetXetXeXtX
eeTXTeTTtC
tBtBtBTB
tBTBTtB
====
==++
−−
−−+−
[ ]
)(
(
[
2
eT
tX=
−
[]
0
B
(
[2][
e
tX
TB
+
−
.
Здесь обозначено:
и
[ ]
)(
0
tC - вещественные матрицы.
Таким образом, согласно уравнению (3.10) фундаментальное решение,
как и для стационарного уравнения состояния, выражается также матричной
экспонентой, но которая содержит дополнительный множитель в виде
периодической матрицы Ляпунова, причём:
.
][
([,)]0(
TB
xEx = ] eT =[
1=
Замечание 3.1
Однородная система (3.3) имеет периодическое решение периода Т тогда,
когда по меньшей мере один из мультипликаторов ее r равен единице.
Действительно, если ,
ρ
то для некоторого решения
)(t
ξ
имеет место
соотношение
)() t( Tt
ξ
и, следовательно, )(t решение с периодом Т.
ξ
=+
ξ
Замечание 3.2
Как следует из формулы (3.14),
.
k
T
k
e
λ
(3.16)
ρ
=
Полагая
)() et
k
λ
=( t
k
t
k
ϕξ
(3.17)
из формулы (3.9) , будем иметь :
),()()(
);()(
)(
tee
Tt
T
k
λ
=
+
еTt
eTt
k
t
л
л
k
k
Tt
k
k
k
ϕξρξ
ϕξ
λ
λ
=+
=+
+
,
т.е.
)()( tTt
kk
ϕ
ϕ
=+
.
113
Следовательно, нормальное решение системы (3.3) имеет вид (3.17) .
Замечание 3.3
Мультипликатору
1−=
ρ
, если он существует, соответствует так
называемое антипериодическое решение периода Т
, т.е.
)()( tTt
ξξ
−=+
.
Отсюда имеем
)()()2( tTtTt
ξξξ
=+−=+
и, таким образом,
)(
t
ξ
есть периодическое решение с периодом 2
Т.
Аналогично, если
q
p
j
T
ee
π
λ
ρ
== (
p
,
q
- целые,
q
≥
1),
т.е.
q
p
jT
πλ
=
, то периодическое решение системы (3.3) имеет решение с
периодом 2
Т q
, так как в этом случае имеем
p
jq
T
π
λ
22
=
и
1
2
==
pj
e
π
ρ
.
Вопросы для самопроверки
1.
Какая матрица называется матрицей монодромии?
2.
Как называются собственные числа матрицы монодромии?
3.
Перечислите свойства матрицы Ляпунова )]([
t
C .
4.
Напишите формулу для фундаментального решения )]([
t
X однородного
уравнения состояния с периодической матрицей.
3.3. Приводимость системы с периодическими коэффициентами
Линейная система (3.1) с интегрируемыми периодическими
коэффициентами согласно теореме Ляпунова может быть приведена к системе с
постоянными коэффициентами. Сделав в уравнении (3.1) замену переменных
[ ]
ytCx )(= , (3.18)
получим новое уравнение вида:
[]
gyB
d
t
yd
+=
, (3.19)
114
где
[]
,)()()(
1
tftCtgg
−
==
[ ]
00
1
0
)0()0( xxCyy ===
−
.
При выводе уравнения (3.19) использовалось выражение для производной
матрицы Ляпунова, полученное дифференцированием формулы (3.15) с учетом
уравнения (3.7):
[][][][][
BtCtCtAtC
d
]
t
d
)()()()(
−=
. (3.20)
Действительно
].)]{([)]()][([
])]{([)]()][([])[()]([)]([)]([
][][][
BtCtCtA
BtCetxtABetxetx
dt
d
tC
dt
d
tBtBtB
−
=−=−+=
−−−
Собственные значения матрицы
[ ]
B - характеристические показатели
k
λ
-
связаны с мультипликаторами
k
ρ
согласно уравнению (3.14)
kkkk
argj
T
T
ρρρλ
+== (ln
1
ln
1
.
Замечание 3.4
Из формулы (3.14) следует, что для того чтобы собственные значения
k
λ
матрицы [B] имели отрицательные вещественные части необходимо и
достаточно, чтобы все мультипликаторы
k
ρ
находились внутри единичного
круга
(
)
1<
k
ρ
.
3.4. Аналитическое решение исходного уравнения состояния (3.1)
Решение приведенного уравнения состояния (3.19) может производиться
методами, изложенными в второй главе
yyy
′′
+
′
=
.
Для установившейся составляющей решения
y
′
имеем
),][( tBGy −=
′
, (3.21)
115
где
),( tpG - изображение ЛПЛ вектор- функции )(
t
q .
Преходящая составляющая решения
y
′′
находится по формуле
[
]
)0(
0
][
yyey
tB
′
−=
′′
. (3.22)
Можно получить решение и в иной форме
лрин’своб
yyy +=
.
Для свободной и принужденной составляющих справедливы выражения
,)0(
][
своб
yey
tB
= (3.23)
)0,]([),]([)0(
][][
прин’
BGetBGyeyy
tBtB
+−=
′
−
′
= . (3.24)
Обратная замена переменных
[ ]
ytCx )(= ,
где
матрица )]([
t
C
находится из дифференциального уравнения (3.20),
с учетом условия
[][ ]
ECC ==
−1
)0()0( и формулы (3.10),
позволяет получить следующие зависимости:
,xxx
′′
+
′
=
[]
,),]([)( tBGtCx −=
′
[ ]
[
]
)0()(
0
xxtXx
′
−=
′′
;
,
прин’св
xxx +=
[ ]
,)(
0св
xtХx =
[ ]
.)0()(
прин
xtXxx
′
−
′
=
Замечание 3.5
Можно доказать [6] , что если однородное уравнение (3.3) не имеет
периодических решений ( см. замечание 3.1), то исходное неоднородное
уравнение (3.1) имеет единственное Т-периодическое решение при
произвольном векторе внешнего воздействия
.)(tf
116
Замечание 3.6
Если однородная система (3.3) имеет d линейно независимых Т -
периодических решений (d мультипликаторов равны единице), то
необходимыми и достаточными условиями существования d различных
периодических решений неоднородной системы (3.1) являются равенства
djdttztf
T
j
T
,,2,1,0))(,)((
1
0
K==
∫
, (
42.3
′
)
где
)(
tz
j
- T- периодические решения сопряженного однородного
уравнения (их всего –d)
[]
.)()(
)(
*
tztA
d
t
tzd
−=
Здесь *- знак комплексного сопряжения и транспонирования исходной
матрицы [A(t)] .
Условие ( ) указывает, что не при всяком внешнем воздействии
уравнение состояния (3.1) имеет n независимых периодических решений. Из
этого условия следует, что векторы
42.3
′
)(tf
и )(
t
z ортогональны.
3.5. Сведение линейного уравнения состояния
с периодической матрицей конечной размерности
к стационарному уравнению состояния бесконечной размерности
Имеем систему линейных дифференциальных уравнений с
периодическими коэффициентами:
[]
ytA
d
t
yd
)(=
;
[ ] [ ]
)()2( tAtA =+
π
. (3.25)
После разложения матрицы
[ ]
)(tA в комплексный ряд Фурье
[] []
∑
∞
−∞=
=
k
tkj
k
eAtA )( ,
где
[] []
dtetAA
tkj
k
−
∫
= )(
2
1
π
; ∞<
∑
k
A ,
получим
117
[]
∑
∞
−∞=
=
k
tkj
k
yeA
dt
yd
. (3.26)
Введем новые переменные
yey
tkj
k
= , ( ),2,1,0
K
±±=
k
(3.27)
С учетом (3.27) уравнение (3.26) примет вид
[]
sk
k
k
s
s
yAysj
dt
yd
+
∞
−∞=
∑
+= , ( ),2,1,0
K
±±=s . (3.28)
Это будет бесконечная система линейных дифференциальных уравнений с
постоянными комплексными коэффициентами. Для приближенного
исследования бесконечная система уравнений (3.28) усекается при
NkNs ≤≤ ,.
Вопросы для самопроверки
1.
К какому виду приводится неоднородное уравнение состояния с
периодической матрицей?
2.
Какова связь векторов состояния исходного (неприведенного)
)(
t
x
и
приведенного
)(
t
y
?
3.
Напишите формулы для установившейся и преходящей составляющих
решения неоднородное уравнение состояния с периодической матрицей?
4.
Назовите два метода приведения однородного уравнения состояния с
периодической матрицей к стационарному уравнению состояния.
Г Л А В А Ч Е Т В Е Р Т А Я
ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ
4.1. Вычисление матричной экспоненты
В предыдущих главах показано, что решения уравнений состояния имеют
вид аналитических выражений, включающих функции от матриц
коэффициентов этих уравнений. При практическом использовании этих
выражений необходимы методы численных расчетов указанных функций.
118
Наиболее типичной функцией от матричного аргумента является
матричная экспонента, описывающая свободную и преходящую составляющие
решения. Вычисление этой функции в виде ряда
∑
∞
=
=
0
][
!
][
k
kk
tA
k
tA
e (4.1)
неэффективно, так как при достаточно больших значениях t приходится
использовать значительное число слагаемых, увеличивающееся с ростом t
.Необходимы вычислительные приемы, позволяющие при минимальном числе
операций обеспечить точность нахождения функции. Эти приемы,
предложенные Ю.В. Ракитским [14], заключается в последовательном удвоении
вычислительного шага.
Пусть необходимо вычислить матричную экспоненту в точке t =H .
Представим H в виде
N
hH 2= , где N- целое число.
При достаточно точно вычисленной экспоненте
( ) ( )
!
][
!2
][
][][
2
][
0
ν
ϕ
ν
hAhA
hAEe
hA
++++==
L
(4.2)
(на практике обычно 63÷=
ν
) значение можно получить, последовательно
применяя формулы:
HA
e
][
.
2
1
][
][
1
2][
1
2H][
][2
][
,
;
2
1
][
][2][2][4
][
2
2
2
][
;
2
0
][
][][][
1
2
1
][
−
=
−−−
===
====
===
N
hA
N
e
hA
N
e
A
e
hA
N
e
N
hA
e
hA
e
hA
e
hA
e
hA
e
hA
e
hA
e
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
Эти формулы могут быть записаны в виде рекуррентного матричного
соотношения
[] [ ] [ ]
1,,2.,1,0;;
][2
2
1
−===
+
Nke
hA
kkk
K
K
ϕϕϕ
. (4.3)
119
Таким образом , для вычисления первоначально следует точно
определить значение
HA
e
][
[]
hA
e
][
0
=
ϕ
по формуле (4.2), выбрав h достаточно малым:
,1.0
1
−
≤ Ah
где
−==
∑∑
==
][][||
*
1
2
1
AAsaA
p
n
i
n
j
ji
евклидова норма матрицы [A].
Рассмотренная процедура отличается высокой эффективностью и проста
для программирования. Ее реализация позволяет с высокой точностью и
минимальными затратами времени вычислять матричную экспоненту.
4.2. Численные методы решения уравнений состояния
Рассмотренные в предыдущих главах методы получения решения
уравнений состояния требуют предварительного аналитического решения.
Такой путь решения практически исключается для нелинейных уравнений и
встречает значительные трудности для нестационарных систем, особенно со
сложным видом внешних воздействий. Для этих классов уравнений состояния
решение может быть получено непосредственным численным
интегрированием.
4.2.1.
Численное интегрирование уравнений состояния
Для ознакомления с методами численного интегрирования рассмотрим
дифференциальное нелинейное уравнение первого порядка с единичной
размерностью
00
)(,),( xtxtxfx ==
&
. (4.4)
Существуют две группы численных методов решения уравнения состояния
(4.4): многошаговые разностные методы и методы Рунге-Кутта.
Разностные численные методы.
Решение уравнения (4.4) находят на
отрезке
[
в виде следующей таблицы:
]
Ttt +
00
,
120