Афанасьев А.А. Математические основы теории систем управления
Подождите немного. Документ загружается.
Характер поведения решения (4.38) отражен на рис 4.7. При
расположении стартовой точки ниже кривой
)()(
~
t
G
t
x
=
указанная
производная
λ
будет положительной. Штриховыми линиями показано поле
направлений касательных к интегральным кривым .
00
)( xtx =),(tx
Для достаточно малого
μ
касательные к интегральным кривым даже при
небольшом отклонении от функции G(t) почти параллельны оси x. И чем
меньше
μ
, тем быстрее осуществляется сближение интегральной кривой и
решения (4.40) вырожденного уравнения.
Ситуация, представленная на рис 4.7, может быть описана следующим
образом. У любой интегральной кривой из рассматриваемой области
выделяются два участка с сущесвенно различным поведением решения,
причем продолжительность первого значительно меньше второго.
Первый участок с быстрым изменением искомой функции отражает
стремление интегральной кривой )(
t
x
к графику функции )(
~
t
G
x
= и
называется пограничным слоем.
На втором участке производные решения значительно меньше, а
интегральная кривая практически совпадает с графиком G(t).
xt()
Пограничный слой всегда будет иметь место, кроме случая специального
выбора начальных условий
)(
~
000
tGxx
==
на графике корня вырожденного
уравнения (4.39).
Различный характер поведения решения на обоих участках проявляется
тем отчетливее, чем меньше параметр
μ
.
Таким образом, вне пограничного слоя для описания решения
дифференциального уравнения (4.38) может быть использовано решение
алгебраического уравнения (4.39).
Заслуживает внимания и то, что даже при небольшом отклонении
начальных условий от графика )(
~
t
G
x
= в любой его точке производная
решения
dtdx резко возрастает по сравнению с производной dtxd
~
.
Еще одной иллюстрацией рассмотренного явления может служить система
линейных уравнений
[]
xA
dt
xd
=
(4.41)
с матрицей второго порядка
[]
,1,1001,
21
9991000
21
−=−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
λλ
A
где
21
,
λ
λ
- собственные числа матрицы [A] .
Разделив первое уравнение системы на , получим
3
10
141
.2
,999,010
21
2
21
1
3
xx
d
t
dx
xx
dt
dx
−=
+−=
−
(4.42)
Её решение имеет вид:
0210
][
)][][()(
21
xPePexetx
tt
tA
λλ
+== ,
где
∏
≠
=
−
−
=
n
ks
s
sk
s
k
EA
P
1
][
][
λλ
λ
,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=⇒
999,0001,0
999,0001,0
][,
001,0001,0
999,0999,0
][
21
PP
,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
20
10
0
x
x
x .
В решении системы (4.42)
tt
exxexxtx
−−
++−= )999,0001,0()(999,0)(
2010
1001
20101
,
tt
exxexxtx
−−
++−−= )999,0001,0()(001,0)(
2010
1001
20102
внутри пограничного слоя
)0(
ПС
τ
<≤
t
, продолжительность которого
определяется экспонентой с показателем
1
λ
(
1
ПС
1
)53(
λ
τ
−≅ ), переменная
ведет себя заметно активнее, чем . Поэтому иногда называют
“быстрой” компонентой, а )- “медленной”.
)(
1
tx )(t
2
x )(
1
tx
(
2
tx
После прохождения пограничного слоя при
ПС
τ
>
t
производные вектора
решения невелики и определяются экспонентой с показателем
2
λ
.
Вырожденная система получается, если пренебречь слагаемыми с малым
параметром в первом уравнении (4.42).
21
2
21
~
2
~
~
;0
~
999,0
~
xx
d
t
xd
xx
−=
=+−
. (4.43)
При этом решение уравнений (4.43) после исключения
1
~
x
142
2
2
~
001,1
~
x
d
t
xd
−= .
аналогично предыдущему примеру описывает решение (4.42) при
ПС
τ
>t .
В обоих примерах явно выделяется малый параметр при производной, что
для системы (4.42) привело к разделению компонент вектора решения на
“быстрые” и “медленные”.
Такие уравнения с явным вхождением малого параметра ( в одно или
несколько уравнений , но не во все ) называются сингулярно возмущенными.
Однако ситуация, представленная на рис 4.7 , возникает не только в
сингулярно возмущенных уравнениях.
Это можно показать на простом примере линейной системы второго
порядка с такими же собственными значениями матрицы
[
, что и в уравнении
(4.41)
]
A
,501500
,500501
21
2
21
1
xx
d
t
dx
xx
dt
dx
−=
+−=
(4.44)
решение которой имеет вид:
.)(5,0)(5,0)(
,)(5,0)(5,0)(
2010
1001
20102
2010
1001
20101
tt
tt
exxexxtx
exxexxtx
−−
−−
++−−=
++−=
Видно, что показатели экспонент такие же, как и в системе (4.42), однако
разделения переменных на “быстрые” и “медленные” не произошло, и обе
компоненты вектора решения практически равноправны.
Рассмотренные примеры иллюстрируют явление жесткости, смысл
которого состоит в необходимости привлечения для описания процессов на
любом отрезке наблюдения двух видов функций: функций с большими
производными и функций с малыми производными, причем функции с
большими производными быстро убывают, так что большая часть времени
протекания процессов исследователю доступна для наблюдения лишь функции
с малыми производными. Однако в любой момент времени наблюдения снова
возможно возникновение быстрозатухающего процесса, описываемого
функциями с большими производными.
Обыкновенные дифференциальные уравнения, моделирующие процессы с
описанным выше явлением, называются жесткими.
Необходимость выделения данного типа уравнений в отдельный класс
была вызвана трудностями их численного интегрирования классическими
методами, например, явными методами типа Адамса или Рунге-Кутта.
143
Выяснилось, что малый шаг интегрирования, используемый для
воспроизведения быстропротекающих процессов в пограничном слое, не может
быть увеличен и вне этого слоя, хотя производные становятся существенно
меньше.
Даже незначительное превышение некоторой величины шага,
определяемой данным методом и решаемым уравнением, приводило к резкому
возрастанию (“взрыву”) погрешности.
В настоящее время предложены новые численные методы, допускающие
значительное увеличение шага интегрирования вне пограничного слоя.
4.4.2. Формальное определение жесткости
Имеем нелинейную систему дифференциальных уравнений
[
Ttxtf
d
]
t
xd
,0),,( ∈=
. (4.45)
При наличии в интервале наблюдения пограничного слоя
T<<
ПС
τ
считаем, что произвольные решения вне пограничного слоя в N раз
(N>>1) меньше, чем внутри него.
Линеаризуем правую часть уравнения (4.45) в окрестности начальной
точки
0
xx = :
K+−+= )(),(),(
00
xx
x
f
xtfxtf
∂
∂
. (4.46)
Если норма матрицы Якоби
x
f
∂
∂
удовлетворяет неравенству
0
max
>≥≥ L
x
f
λ
∂
∂
на интервале наблюдения
[
]
Tt ,0
∈
( здесь
max
λ
- максимальный модуль
собственных чисел матрицы Якоби ( спектральный радиус)), то производные
компонент вектора
[
]
ПС
)( ,0
τ
∈
tприtx могут достигнуть значения
)(max txL
td
xd
k
t
k
ПС
≤
≤
τ
.
Система (4.45) называется жесткой, если при любом векторе начальных
условий найдутся такие числа
144
T
<
<
ПС
τ
, L и N>>1,
для которых выполняется неравенство
.,,,2,1,)(max
ПС
ПС
Ttnktx
N
L
dt
dx
k
t
k
≤≤=≤
>
τ
τ
K (4.47)
Если начальные условия таковы, что пограничный слой явно
присутствует, то величина N дает представление о том, во сколько раз
уменьшились производные после его прохождения.
Условия
1
[]
1)(
min
max
>>=
λ
λ
Ak ;
[]
1)( >>=
i
i
Remin
Remax
A
i
i
λ
λ
μ
,
i
λ
Re < 0, i = 1, 2, ... , n
не всегда являются достаточными признаками жесткости, обеспечивающими
выполнение неравенства (4.47). Эти условия игнорируют обязательное наличие
переходного слоя на интервале наблюдения. Например, для уравнения (4.41)
третьего порядка с собственными числами матрицы
[
]
A :
4
3,21
101,1 j
±
−
=
−
=
λ
λ
величина
[
]
4
10)( >Ak ,
а решение уравнения (4.41) не удовлетворяет неравенству (4.47) , так как
переходный слой отсутствует: на интервале наблюдения имеет место сильно
осциллирующее решение.
Требование
[
]
1)( >>А
μ
также не всегда удовлетворяют условию медленного изменения решения
уравнения (4.41) вне пограничного слоя, что можно видеть на примере:
.101,10
4
3,2
4
1
j
±
−
=
−
=
λ
λ
1
k ([A]) называют спектральным числом обусловленности матрицы [A].
145
4.4.3. Примеры
1) В теории управления объектами соответствующие дифференциальные
уравнения бывают жесткими при сильном разбросе постоянных времени
в передаточных функциях. Допустим передаточная функция
разомкнутой системы имеет вид
.1)(
,
)(
)(
)(
)(
1
10
1
2
+++=
==
−
K
nn
papapW
pW
k
pQ
px
px
Если коэффициенты при старших степенях p достаточно малы, то
дифференциальное уравнение
,,
10
aa
12
1
2
1
1
2
0
kxx
d
t
xd
a
d
t
xd
a
n
n
n
n
=+++
−
−
K ,
будучи сингулярно возмущенным, является жестким.
При замыкании системы управления передаточная функция будет иметь
вид
где
()() ()
()
()
.1
1
,
)1(
1
)()(1
)(
)(
1
10
+++=
+
=
∗
+
=
∗
+
=
+
=
+
=
−
∗∗∗
K
nn
З
papa
k
pW
pW
pW
kk
pWk
k
kpW
k
pQ
pQ
pQ
Соответствующее дифференциальное уравнение
.1,,1,0,
1
,
1
12
1
2
1
1
2
0
−=
+
=
+
=+++
∗
−
−
∗∗
ni
k
a
a
x
k
k
x
dt
xd
a
dt
xd
a
i
i
n
n
n
n
K
K
становится не менее жестким, чем уравнение разомкнутой системы ввиду еще
большего уменьшения коэффициентов при старших производных.
2) В математических моделях преобразователей частоты очень часто
вентильные элементы моделируются функциональными резисторами,
сопротивление которых равно R
max
для закрытого и R
min
для открытого
состояния вентилей [17].
146
Из-за сравнительно большого сопротивления R
max
в соответствующих
дифференциальных уравнениях (типа (4.46)) преобразовательных устройств
собственные числа матрицы Якоби имеют большой разброс, что является
признаком жесткости дифференциального уравнения [15]. Его решение связано
с большими вычислительными трудностями из-за малой величины допустимого
шага интегрирования.
Снижение жесткости таких дифференциальных уравнений может
достигаться изменением математической модели вентиля, выражающемся в
шунтировании функционального резистора RC - ветвью. Реальные вентили
снабжаются подобными ветвями для защиты от перенапряжений.
Вычислительные эксперименты показывают, что при использовании
подобных математических моделей с типовыми параметрами защитных ветвей
хотя и происходит увеличение размерности дифференциальных уравнений, но
общее время счета физического процесса на заданном временном интервале
уменьшается в раз. 1510 ÷
Вопросы для самопроверки
1.
Какой участок интегральной кривой называется пограничным слоем?
2.
Какие уравнения состояния называются сингулярно возмущенными?
3.
Каковы признаки жёсткости уравнений состояния?
4.
Назовите примеры жёстких уравнений состояния.
4.5. Системные методы численного решения
уравнений состояния
4.5.1. Общие сведения
В жестких системах собственные числа матрицы [A] сгруппированы
таким образом, что значения их вещественных частей в одних группах
i
α
α
,,
1
K
существенно отличаются от значений этих частей
ji
α
α
K
1+
других групп, в то
время как внутри данной группы эти значения отличаются незначительно.
Для исключения неопределенности будем считать, что такое положение
имеет место, если наибольшее по модулю значение )(
11 ++ ji
α
α
последующей
группы примерно на порядок меньше наименьшего значения )(
ji
α
α
предыдущей группы
(
)
10;10
11
≥≥
++ jjii
αααα
.
147
При этих условиях можно выделить некоторый промежуток времени
)(
ПСПС
j
i
τ
τ
, по истечении которого влиянием экспонент, соответствующих этим
группам собственных чисел, можно пренебречь.
После момента времени
iПС
τ
можно пренебречь членами,
соответствующими
i
α
α
,,
1
K , а после момента времени
jПС
τ
также и членами,
соответствующими
ji
α
α
,,
1
K
+
.
Очевидно по мере затухания “быстрых” экспонент целесообразно
увеличивать шаг интегрирования, однако из-за нарушения условий
устойчивости разностного метода указанное увеличение не всегда может быть
реализовано.
Такое последовательное увеличение шага интегрирования может
производиться на основе системного метода [14]. Он основан на следующих
способах вычисления:
N
][
ϕ
= ,][
0
][][
bbdeиe
N
H
AHA
Φ=
∫
τ
τ
где
h
H
N
2= ,
[
T
n
bbb K,
1
=
]
-постоянный вектор,
[
A]-постоянная квадратная матрица размером n.
Легко показать, что если
[] [ ] [ ]
,;;
0
0
0
][
0
][
0
bqdee
h
AhA
Φ==Φ=
∫
τϕ
τ
то справедливы следующие рекуррентные отношения:
[]
[
]
;
2
1 KK
ϕϕ
=
+
(4.48)
[]
[
]
[
]
);(
1
K
KK
E
ϕ
+
Φ
=Φ
+
(4.49)
[
]
K
K
kK
qEbq )(][
11
ϕ
+
=
Φ
=
++
. (4.50)
Обоснование формулы (4.48) приведено в разделе 4.1.
Докажем теперь формулу (4.49) .
Выражение (4.50) следует из (4.49) непосредственно.
Обозначим
[]
[]
[]
[]
.,
1
1
2
0
1
2
1
∫
+
+
=Φ=
+
+
h
A
k
hA
k
k
k
dee
τϕ
τ
Имеем
148
[]
[] []
[]
[
]
[
]
[]
[]
[]
[
]
[][]
.
11
2
2
2
0
1
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Φ
−
+Φ=
−
+Φ=+=Φ
++
+
∫∫
+
k
kk
k
kk
k
h
h
A
h
A
k
A
E
A
dede
k
k
k
ϕϕϕϕ
ττ
ττ
Поскольку
[]
[]
[
]
[]
A
E
de
k
h
A
k
k
−
==Φ
∫
ϕ
τ
τ
2
0
,
то
[
]
[
]
k
k
AE
Φ
+
=
][
ϕ
.
После подстановки этого выражения в предыдущую формулу для
[
]
1+
Φ
k
получаем с учетом (4.48) зависимость :
[] []
[
]
[
]
[]
[]
[
][][]
[]
[] []
()
,
2
1
1
k
k
k
kkk
k
k
kk
kk
E
E
E
E
E
ϕ
ϕ
ϕϕϕ
ϕ
ϕϕ
+Φ=
=
−
−+−
Φ=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+Φ=Φ
+
+
из которой следует формула (4.49).
Можно использовать в вычислениях также отношение
[
]
[
]
[
]
)][2(
1 KKK
AE
Φ
+
Φ
=
Φ
+
и равенство
[
]
[
]
K
K
AE
Φ
+
=
][
ϕ
,
которые следуют из приведенного обоснования.
При малых значениях [
A]h для достаточно точного представления
[] [ ]
0
0
Φи
ϕ
можно ограничиться малым числом членов в разложениях:
[]
!
)]([
!2
)]([
][
2
][
0
ν
ϕ
ν
hAhA
hAEe
hA
++++== K , (4.51)
[]
[
]
[]
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++=
−
==Φ
−
∫
!
)]([
!2
][
1
0
][
0
ν
τ
ν
τ
hAhA
Eh
A
Ee
de
hA
h
A
K
, (4.52)
приняв 41÷≤
ν
.
Путем последовательного применения рекуррентных формул (4.48)-(4.50)
можно определить матрицы
[
]
[
]
N
N
N
qи
Φ
;
ϕ
, соответствующие шагу
интегрирования
h
H
N
2= .
149
Например, при
N=10 имеем
hh
H
10242
10
=
=
.
4.5.2. Решение стационарных уравнений состояния
Применим этот метод для интегрирования уравнения состояния
[]
0
)0(, xxbxA
d
t
xd
=+= . (4.53)
Решение этого уравнения через свободные и принужденные составляющие
имеет вид
bdexebdexetx
t
AtA
t
tAtA
)()()(
0
][
0
][
0
)]([
0
][
ττ
ττ
∫∫
+=+=
−
,
так как
dsd
s
t
=−=−
τ
τ
;, причем .0,0 =⇒
=
=
⇒
=
s
t
t
s
τ
τ
Шаг интегрирования
H может выбираться произвольно. Его берут
равным шагу вывода на печать.
Пусть
.nHt
n
=
Считая значение
n
x
в момент времени начальным для
следующего интервала
H, запишем разностное уравнение в виде
n
t
bdexexHtx
H
A
n
HA
nn
)()(
0
][][
1
τ
τ
∫
+==+
+
. (4.54)
С учетом того, что
[
]
N
HA
e
ϕ
=
][
,
[
]
[
]
N
N
AE
Φ
+
=
][
ϕ
,
[]
,)(
0
][
bqbde
N
N
H
A
Φ==
∫
τ
τ
уравнение (4.54) можно переписать в таком виде:
[] []
[
]
[
]
[
]
(
)
;][)][(
1
bxAxbxAEbxx
n
N
n
N
n
NN
n
N
n
+Φ
+
=
Φ
+
Φ
+
=Φ
+
=
+
ϕ
[
]
n
N
nn
xxx
&
Φ
+
=
+1
, (4.55)
[
]
Nn
N
n
qxx
+
=
+
ϕ
1
. (4.56)
150