Афанасьев А.А. Математические основы теории систем управления
Подождите немного. Документ загружается.
Рис. 4.9
Обозначим через
(
niy
i
2,,2,1,0 K
)
=
ординаты кривой тока на концах
введенных временных интервалов. Для этих ординат справедливы равенства:
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
+++=
+++=
+++=
+++==
,
.......
,
,
,
22
22
2
112
22
22
2
112
22111
210
n
nn
n
n
n
nn
nn
na
kIkIkIy
kIkIkIy
kIkIkIy
IIIIy
K
K
K
K
(4.93)
где
.
t
j
j
ek
Δ−
=
α
(4.94)
Из уравнений (4.93) следуют векторно-матричные зависимости:
,
...........
2
1
22
2
2
1
22
2
2
1
21
2
2
1
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
n
n
n
nn
n
n
n
I
I
I
kkk
kkk
kkk
y
y
y
M
K
K
K
M
(4.95)
[
]
[
]
,
21
11
2
1
11
T
n
n
n
nn
n
IIIkkky KK
+++
+
= (4.96)
[]
[]
,
21
1
11
12
T
n
n
n
n
n
n
III
k
k
kky
KOK
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
++
+
(4.97)
. . . . . . . . . . . . . . .
171
[]
[]
.
21
1
1
11
12
T
n
n
n
n
n
n
n
III
k
k
kky KOK
−
++
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
(4.98)
Для столбца
[
, в соответствии с формулой (4.95), можно
получить следующие выражения:
]
T
n
III K
21
,.......
1
1
1
1
1
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
n
n
n
n
n
n
y
y
kk
kk
I
I
M
K
K
M (4.99)
,.......
1
2
1
1
1
1
11
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−
n
n
n
n
n
nn
y
y
kk
kk
k
k
I
I
M
K
K
OM (4.100)
,.......
2
3
1
1
1
2
11
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−
n
n
n
n
n
nn
y
y
kk
kk
k
k
I
I
M
K
K
OM (4.101)
. . . . . . . . . . . . .
(
)
,.......
12
1
1
1
1
11
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
n
n
n
n
n
n
n
nn
y
y
kk
kk
k
k
I
I
M
K
K
OM (4.102)
После подстановки равенств (4.99)-(4.102) в формулы (4.96)-(4.98)
получим:
[
]
[
]
,
211101
T
nnn
yyyCCCy KK
−+
= (4.103)
[
]
[
]
,
1321102
T
nnn
yyyCCCy
+−+
= KK (4.104)
. . . . . . . . . . . . .
[
]
[
]
,
1211102
T
nnnnn
yyyCCCy
−+−
= KK 4.105)
где обозначено:
[]
[]
1
1
1
11
2
1
1110
.......
−
+++
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
n
n
n
n
n
n
nn
n
kk
kk
kkkCCC
K
K
KK . (4.106)
172
Равенства (4.103)-(4.105) можно объединить в одно:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
−
−+
+
n
n
n
n
nnn
n
n
y
y
y
C
C
C
yyy
yyy
yyy
2
2
1
1
1
0
121
132
21
MM
K
KKKK
K
K
. (4.107)
Система линейных уравнений (4.107), в которой использованы 2
n
ординат кривой затухания тока ветви двухполюсника, позволяет определить
коэффициенты .,
110 −n
CCC K
Уравнению (4.106) можно придать форму
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
−
1
1
2
1
1
1
1
0
2
2
2
22
1
2
11
n
n
n
n
n
n
nnn
n
n
k
k
k
C
C
C
kkk
kkk
kkk
M
M
K
KKKK
K
K
. (4.108)
Система уравнений (4.108) эквивалентна полиному
n-й степени:
,0
1
1
2
2
10
=
−
+
+
+
+
−
− n
n
n
kCkCkkCC K
(4.109)
корнями которого являются неизвестные коэффициенты .
n
kkk K
21
;
В соответствии с формулой (4.94) получаем далее:
.,,2,1,ln njtk
jj
K
=
Δ
−
=
α
(4.110)
Cогласно уравнениям (4.93) справедливо:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−−
1
1
0
2
1
11
2
1
1
21
111
nn
n
n
nn
n
y
y
y
I
I
I
kkk
kkk
MM
K
KKKK
K
K
. (4.111)
Из системы линейных уравнений (4.111) находим теперь начальные значения
амплитуд токов .
()
njI
j
,,2,1 K=
Таким образом, зависимости (4.108)-(4.111) позволяют определить все
компоненты убывающего тока ветви (4.92).
173
Определение параметров электрической схемы замещения
синхронного двигателя по кривой затухания тока в обмотке статора при
неподвижном роторе.
Определим параметры двухполюсника на примере
синхронного электрического двигателя, трехфазную обмотку статора которого
подключим к источнику постоянного тока по схеме рис. 4.10.
Установим ротор электродвигателя с закороченной обмоткой
возбуждения
f и пусковой обмоткой kd в положение, при
котором его продольная
ось
d совпадает с
магнитной осью фазы
a
статора. С помощью
внешнего источника
зададим в этой фазе
постоянный ток
I
a
.
После замыкания ключа
k будет наблюдаться
затухание тока
i
статора, описываемое
уравнением (4.92).
Начальное
значение тока в фазе
обмотки статора
Рис. 4. 10
,
0
r
U
Ii
a
== (4.112)
где в соответствии с рис. 4.10
a
rr
2
3
=
,
( - активное сопротивление фазы обмотки статора).
a
r
Момент замыкания выключателя
k cоответствует подаче на статор
напряжения (-
u), вызывающего добавочный ток, который можно определить по
Лапласу как
(
)
[
]
.ppLrpU
+
−
(4.113)
Изображение результирующего тока
i (t) будет иметь вид:
()
()
[]
.
ppLrp
U
pr
U
pi
+
−=
(4.114)
174
Для изображения производной этого тока будем иметь:
()
()
.
pLpr
U
pip
+
−= (4.115)
В соответствии с формулой (4.92) также справедливо
()
,
2
2
1
1
n
n
p
I
p
I
p
I
pi
ααα
+
++
+
+
+
=
K (4.116)
()
.
2
22
1
11
n
nn
p
I
p
I
p
I
pip
α
α
α
α
α
α
+
−−
+
−
+
−=
K (4.117)
Сравнивая (4.115) и (4.117), получим:
()
.
2
22
1
11
n
nn
p
I
p
I
p
I
pLpr
U
α
α
α
α
α
α
+
++
+
+
+
=
+
K (4.118)
Операторная проводимость обмотки статора
(
)
[
]
pLpr
+
1
выражается, как видно из равенства (4.118), формулой:
()
,
1111
2211 nn
LprLprLprpLpr +
++
+
+
+
=
+
K (4.119)
где
;
j
j
I
U
r =
()
.,,2,1 nj
I
U
L
jj
j
K==
α
Выражению (4.119)
соответствует электрическая
схема замещения двигателя,
представленная на рис. 4.11.
r
1
r
2
r
n
L
n
L
2
L
1
i
i
1
i
2
i
n
u
Отметим, что для
продольного и поперечного
токов обмотки статора
справедливо выражение [24]:
Рис. 4.11
175
,
3
2
cos
3
2
coscos
3
2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+=
π
ϑ
π
ϑϑ
cbad
iiii (4.120)
,
3
2
sin
3
2
sinsin
3
2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+−=
π
ϑ
π
ϑϑ
cbaq
iiii (4.121)
где
ϑ
- угол между магнитной осью фазы а статора и осью d ротора.
Для схемы рис. 4.10, когда
2/
acb
iii
−
=
=
, будем иметь из формул (4.120),
(4.121) соответственно при 0
=
ϑ
и 2
π
ϑ
=
:
.;
aqad
iiii
−
=
=
(4.122)
Аналогично доказывается для потокосцеплений обмотки статора, что
.;
aqad
Ψ
−
=
Ψ
Ψ
=
Ψ
(4.123)
Ориентируясь для определенности на первое равенство в формулах
(4.122), (4.123), имеем для свободного процесса убывания тока статора по оси
d:
,
d
d
ir
dt
d
+=
Ψ
−
(4.124)
отсюда
dtirILd
dadddd
∫∫
∞∞
==Ψ=Ψ−
0
0
0
(4.125)
или
.
0
0
dti
I
r
I
L
d
adad
d
d
∫
∞
=
Ψ
= (4.126)
По аналогии
.
0
dti
I
r
L
q
aq
q
∫
∞
=
(4.127)
Формулы (4.126), (4.127) позволяют определить синхронные
индуктивности обмотки статора и , если найдены экспериментально
площади (интегралы) убывающего тока фазы
a статора для двух характерных
положений ротора.
d
L
q
L
Принимая во внимание выражение для тока
i (4.92), из формул (4.126),
(4.127) можем также получить:
176
,
2
2
1
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++=
nd
nd
d
d
d
d
ad
d
III
I
r
L
ααα
K (4.128)
.
2
2
1
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++=
nq
nq
q
q
q
q
aq
q
III
I
r
L
ααα
K (4.129)
С учетом того, что
jjj
Lr
=
α
и в установившемся режиме (до
закорачивания обмотки статора)
,; rUIrUI
ajj
=
=
(4.130)
получим из выражений (4.128), (4.129) новые формулы для синхронных
индуктивностей:
,
22
2
2
2
1
1
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++=
nd
nd
d
d
d
d
d
r
L
r
L
r
L
rL
K (4.131)
.
22
2
2
2
1
1
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++=
nq
nq
q
q
q
q
q
r
L
r
L
r
L
rL
K (4.132)
Из формулы (4.119) можем найти операторную индуктивность:
()
.
11
1
11
p
r
pLrpLr
p
pL
nn
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
++
+
=
K
(4.133)
Взяв в ней
∞
=
p
, определяем сверхпереходные индуктивности:
,
111
1
21 nddd
d
LLL
L
+++
=
′′
K
(4.134)
.
111
1
21 nqqq
q
LLL
L
+++
=
′′
K
(4.135)
Операторная проводимость при p=0 в формуле (4.119) соответствует
электрической проводимости обмотки статора ( для схемы рис. 4.11) в
установившемся режиме (
∞
=
t
):
177
,
1111
21 nddd
rrrr
+++= K (4.136)
.
1111
21 nqqq
rrrr
+++= K (4.137)
В соответствии с рис. 4.11 потокосцепление обмотки статора по
соответствующей оси будет формироваться независимыми токами
.
()
nji
j
,,2,1 K=
Процесс затухания тока в схеме рис. 4.10, например, для продольной оси
будет описываться дифференциальным уравнением (4.124), которое запишем в
виде формулы
0
1
=+
′
∑
=
d
jd
n
j
jd
ir
dt
di
L
, (4.138)
где
,
1
jd
n
i
jdd
iL
∑
=
′
=Ψ
(4.139)
jd
L
′
- некоторые неизвестные индуктивности, которые определим с
помощью n дифференциальных уравнений вида
.0=+
jdjd
jd
jd
ir
d
t
di
L (4.140)
Эти уравнения описывают затухание тока в n ветвях схемы замещения рис.
4.11.
Из (4.140) следует:
.
jd
jd
jdjd
i
L
r
dt
di
−=
(4.141)
Подставляя формулу (4.141) в (4.138), получим:
.
11
∑∑
==
=
′
n
j
jdjd
jd
jd
n
j
jd
iri
L
r
L (4.142)
Из сопоставления левых и правых частей равенства (4.142) следует выражение
для искомых индуктивностей:
178
.
jd
jd
jd
r
L
rL =
′
(4.143)
Таким образом, для потокосцепления обмотки статора , в соответствии
с формулой (4.139), будем иметь:
d
Ψ
.
1
jd
n
j
jd
id
d
i
r
rL
∑
=
=Ψ (4.144)
В частности для начального момента (t=0) затухания тока из формулы (4.144)
получим, используя зависимости (4.130):
.
2
1
2
0
a
jd
jd
n
j
d
I
r
L
r
∑
=
=Ψ (4.145)
Поскольку в этом режиме
add
IL
=
Ψ
0
, то из (4.145) следует:
.
1
22
∑
=
=
n
j
jdjdd
rLrL (4.146)
Это выражение идентично зависимости (4.131), полученной ранее.
Электрическая схема замещения синхронной машины с неподвижным
ротором (рис. 4.11) неудобна для пользования, так как она не позволяет в явном
виде выделить потокосцепление
()
qd
Ψ
обмотки статора.
Произведем обоснование другой схемы замещения, более удобной для
практического применения.
Уравнение равновесия напряжения приложенного к обмотке статора
(рис.4.12), имеет вид:
.
11
dt
di
Lir
dt
d
iru
jd
n
j
jd
n
j
jd
d
d
∑∑
==
′
+=
Ψ
+= (4.147)
В соответствии со схемой замещения рис. 4.11 для n независимых контуров
справедливы уравнения:
.
dt
di
Liru
jd
jdjdjd
+= (4.148)
179
После умножения левой и правой частей
этого уравнения на множитель
rr
jd
получим с учетом формулы (4.143)
.
dt
di
Lir
r
r
u
jd
jdjd
jd
′
+=
(4.149)
Рис. 4.12
u
i
a
b c
+
-
Уравнениям (4.147), (4.149) соответствует электрическая схема замещения
синхронной машины в координатах
d, q, (рис. 4.13), которая справедлива также
и для вращающего ротора. На ней:
()
njiL
r
r
uu
qidqjdqjd
qjd
qjd
,,2,1;
)()()(
)(
)(
K=
′
=Ψ= .
Схема может учитывать и
магнитоэлектрическое возбуждение
ротора путем введения источника тока
, обеспечивающего потокосцепление
обмотки статора
)( qmd
i
r
r
r
′
L
d1
′
L
d2
′
L
nd
i
nd
ω
ð
Ψ
1q
ω
ð
Ψ
2q
ω
ð
Ψ
nq
u
nd
u
d2
u
d1
i
d1
i
d2
.
)()()( qmdqidqmd
iL
′
=Ψ (4.150)
Указанное потокосцепление может быть
найдено с помощью основной гармоники
ЭДС холостого хода обмотки статора:
,2
0 pmd
E
ω
−=Ψ (4.151)
где
р
ω
- электрическая частота вра
щения ротора.
Рис. 4.13
180