Афанасьев А.А. Математические основы теории систем управления
Подождите немного. Документ загружается.
4.7.1. Синтез частотно- независимых параметров пассивного
двухполюсника на основе решения системы нелинейных
конечных уравнений
Идентификация известных электротехнических устройств
(электромеханических преобразователей энергии, трансформаторов, реакторов
и др.) как объектов управления может трактоваться как синтез параметров их
электрических схем замещения.
В рабочих режимах на указанные объекты воздействуют
несинусоидальные токи и напряжения, обусловленные как источником питания
так и внутренними свойствами этих объектов.
При математическом моделировании этих объектов возникают трудности,
связанные с нелинейными свойствами электрических параметров из-за эффекта
вытеснение тока на повышенных частотах.
Частотно-нелинейные параметры могут эквивалентированы набором
частотно-независимых (линейных) параметров типа RL в электрической цепи
заданной топологии.
Возьмем, в качестве объекта, электрическую машину переменного тока,
схему замещения которой при неподвижном роторе можно представить из n
простых ветвей типа ),,2,1(,
)()(
njLr
qdjqdj
K
=
, включенных параллельно
индуктивности взаимоиндукции
2
)( qda
L (рис. 4.8).
Введем обозначения:
x
-вектор-столбец искомых переменных размером ; 12 ×n
[]
[
]
nnnnnn
T
LLLrrrxxxxxxx KKKK
212122121
=
=
++
;
y
-вектор-столбец результирующей электрической проводимости всех
параллельно включенных синтезируемых ветвей для n частот ),,2,1( nk
k
K
=
ω
,
имеющий размер 1. Первые элементов этого вектора-столбца равны
активной проводимости, вторые-реактивной:
2 ×n n
[
]
.
22121 nnnn
yyyyyyy KK
++
=
Искомые переменные
)2,,2,1( njx
j
K
=
связаны с элементами матрицы
y зависимостями
()
∑
=
+
+
=
n
j
jnkj
j
k
xx
x
y
1
2
2
ω
; (4.76)
2
Для асинхронных машин индексы перпендикулярных магнитных осей d и q можно
опустить (снять).
161
()
.,,2,1;
1
2
2
nk
xx
x
y
n
j
jnkj
jnk
kn
K=
+
−=
∑
=
+
+
+
ω
ω
(4.77)
Для конкретной машины с известными параметрами обмотки статора
элементы вектора
)(
,
qad
Lr
y , т.е. левые части равенств (4.76), (4.77), можно
найти экспериментально. Эту опытную реализацию вектора
y обозначим в
виде вектора
0
y
.
Таким образом, искомые переменные удовлетворяют уравнению
j
y
0
0
=
−
yy , (4.78)
Для его решения воспользуемся методом непрерывного продолжения
решения по параметру аналогичному (4.70). С этой целью уравнение (4.78)
запишем в виде
,0
0
=−
+−
+ C
T
Cy
y
τ
(4.79)
где
τ- вещественный параметр с областью непрерывного изменения
T
t
≤
≤
0;
C
- значение вектора y , найденное по формулам (4.76), (4.77) для
некоторого произвольного значения вектора
.
0
xx
=
Как видно из (4.79), переменные непрерывно зависят от параметра τ:
j
x
(
)
,2,,2,1; njxx
jj
K
=
=
τ
(4.80)
причем решение
0
xx =
соответствует значению параметра 0
=
τ
. При
T
=
τ
уравнение (4.79) принимает вид (4.78). Его решение является
искомым, соответствующим опытной реализации вектора
()
Txx
jj
=
.y
Таким образом, уравнение (4.78) задает систему неявных функций (4.80) ,
являющихся его решением и непрерывно зависящих от параметра .
τ
Согласно
теории о неявных функциях решение уравнения (4.79) единственно, если
определитель матрицы Якоби этого уравнения
[]
x
y
W
∂
∂
= (4.81)
отличен от нуля.
Дифференцируя векторное уравнение (4.79) по параметру
τ
, получим
обыкновенное дифференциальное уравнение порядка 2n
162
[]
()
,
10 −
−= TCy
d
xd
W
τ
(4.82)
Аналитические выражения для элементов квадратной матрицы Якоби
размером можно найти, используя формулы (4.76), (4.77), (4.81):
nn 22 ×
[]
,
2221
1211
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
WW
WW
W
где
(
)
()
[]
2
2
2
2
2
11
jnkj
jnkj
j
k
jk
xx
xx
x
y
W
+
+
+
+−
==
ω
ω
∂
∂
;
()
[]
2
2
2
2
12
2
jnkj
kjnj
jn
k
jk
xx
xx
x
y
W
+
+
+
+
−==
ω
ω
∂
∂
;
()
[]
2
2
2
21
2
jnkj
kjnj
j
kn
jk
xx
xx
x
y
W
+
++
+
−==
ω
ω
∂
∂
;
(
)
[
]
()
[]
2
2
2
2
2
22
jnkj
kjnkj
jn
kn
jk
xx
xx
x
y
W
+
+
+
+
+
−
==
ω
ωω
∂
∂
.
Опыт решения (4.82) показывает, что в ряде случаев возможно
интегрирование методом Эйлера с достаточно большим шагом
. Полученные значения
(
31
1010
−−
−=h
)
(
)
Txx
jj
=
рассматриваются в качестве
начального приближения
x
0
при повторном интегрировании уравнения (4.82) с
целью повышения точности решения. Вместо повторного интегрирования
можно применить итерационный метод Ньютона, для реализации которого из
предыдущего метода используется подпрограмма расчета матрицы Якоби.
Продолжение решения
(
)
τ
j
x при изменении
(
)
()
[]
2
2
2
2
2
11
jnkj
jnkj
j
k
jk
xx
xx
x
y
W
+
+
+
+−
==
ω
ω
∂
∂
и
τ прекращается, если для какого-либо τ
T
кр
≤
=
≤
τ
τ
0
163
не выполняется условие
[
]
0
≠
W . В этом случае одна из производных
()
njddx
j
2,,2,1 K=
τ
в точке
кр
τ
τ
=
меняет знак, проходя через
бесконечность (имеем разрыв типа бесконечности). Для прохождения этой
точки следует “инвертировать переменные” [20], приняв за аргумент в системе
дифференциальных уравнений (4.82) не параметр
τ, а данную переменную
производная которой терпит разрыв.
,
j
x
В качестве иллюстрации применения рассматриваемого метода найдем
параметры применительно к синхронному двигателю СД-102-8 мощностью 75
кВт, полюсные сердечники из шихтованной стали которого заменены
массивными. Для этой модернизированной машины по опытным значениям
0
y
на четырех частотах
(
)
π
ω
2/
kk
f = (0,013; 0,047; 0,59 и 50 Гц) с помощью
предлагаемого метода определялись параметры схемы замещения (рис. 4.8) с
четырьмя ветвями (
n=4). Их значения в относительных единицах приведены в
верхних строках табл. 4.2.
Таким образом, не все полученные параметры положительны
(
)
0
4
〈
L . Это
указывает на то, что схемная функция синтезированного двухполюсника не
принадлежит классу положительных вещественных функций [21]. Схема
замещения с такими параметрами не может быть физически реализована.
В нижних строках табл. 4.2 приведены параметры, синтезированные для
других испытательных частот: 0,01; 0,1; 100 Гц. Эти параметры (все они
положительны) будут принадлежать уже физически реализуемому
двухполюснику.
Рассмотренный пример указывает на важность выбора значений
испытательных частот с точки зрения возможности практического
использования полученных параметров.
При достаточно большом числе испытательных частот реальная
частотная характеристика объекта близка к частотной характеристике
синтезированной схемы замещения в выбранном диапазоне частот.
n
Обозначим через
kkkkkk
jbgyjbgy
−
=
−
=
;
000
результирующие
электрические проводимости, найденные соответственно из опыта и по схеме
замещения на рис. 4.8.
Значения этих проводимостей по оси
d ротора рассматриваемой
синхронной машины для широкого диапазона частот приведены в табл. 4.3.
Синтезированные параметры определялись при использовании опытных
значений на четырех частотах (0,01; 0,1; 1; 100 Гц).
0
k
y
Из табл.4.3. видно, что даже при сравнительно малом числе
синтезированных ветвей
(
)
4
=
n значения активных и реактивных
составляющих проводимостей
0
y и y близки в достаточно широком диапазоне
частот (0,01-100 Гц).
Максимальная погрешность реализации активной составляющей
проводимости составляет в этом диапазоне 32%, реактивной-24%.
164
Рис. 4.8
Таблица 4.2
Параметры Номера ветвей j
ветвей 1 2 3 4
r
j
, о.е. 0,002530 0,004287 0,034310 0,009594
0,00017 0,008008 0,234775 0,004423
L
j
, о.е. 10,6928 0,386391 0,068222 -0,223382
1,32341 2,02415 0,02415 0,111290
Таблица 4.3
Испытательные Электрические проводимости, См
частоты ,Гц
k
f
0
k
g
k
g
0
k
b
k
b
0,01
0,05
0,1
0,5
1,0
5,0
10,0
50
100
500
1000
10000
379,217
244,809
212,944
157,860
121,330
24,4740
11,9324
3,9065
2,6741
1,1586
0,8125
0,2511
379,156
228,857
212,523
149,883
121,357
22,6036
8,2594
2,9308
2,6764
1,3280
0,5219
0,0064
145,710
69,3307
54,5830
59,3212
74,9181
44,9893
25,3846
6,3395
3,5949
1,0728
0,6682
0,1638
145,951
52,7377
54,5741
64,6908
74,9456
53,2053
29,4767
6,3716
3,5892
1,9746
1,3782
0,1628
Вопросы для самопроверки
1.
По какой вычислительной схеме в данной задаче может быть реализован
метод дифференциального продолжения решения по параметру?
2.
Каким образом реализуется метод дифференциального продолжения
решения по параметру для точек из интервала изменения этого
параметра, в которых определитель матрицы Якоби [
W] равняется нулю?
L
б
r
r
1
r
2
r
n
L
ad
L
1
L
n
L
2
165
3.
Сколько нужно взять испытательных частот для нахождения r-L
параметров, принадлежащим
n ветвям двухполюсника?
4.
Чем вызваны ограничения на выбор спектра испытательных частот?
4.7.2. Синтез параметров пассивного двухполюсника на основе
решения системы линейных алгебраических уравнений
Как известно [21], входное сопротивление физически реализуемого
пассивного линейного двухполюсника является дробно-рациональной
функцией, представляющей отношение двух полиномов с вещественными
коэффициентами:
()
()
()
() ()
()()()
,
210
210
n
m
ssssssb
ssssssa
jDC
sB
sA
sZ
+++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
′
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
′
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
′
+
=+==
K
K
ωω
(4.83)
где
ω
j
s
=
; степени полиномов равны или отличаются более чем на
единицу;
()
(
)
ω
ω
−
= CC ;
(
)
(
)
ω
ω
−
−
=
DD
()
., mn
;
,2,1,0
j K=≥Re ss
j j
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
′
Произведение комплексов
() ( )
(
)
(
)
(
)
(
)
222
2
ωωω
FDCsZsZsZ =+==− (4.84)
является вещественной четной функцией
F, имеющей аргументом
2
ω
. С учетом
этого факта и выражения (4.83), будем иметь
()
()
()
.
2
22
2
2
0
2
22
2
2
0
2
2
2
n
nn
m
mm
bbb
aaa
N
M
F
+++
+++
==
−
−
K
K
ωω
ωω
ω
ω
ω
(4.85)
Левая часть уравнения (4.85) может быть найдена из опыта для
l=m+n+1 дискретных значений частоты
(
lj
j
,,2,1, K=
)
=
ω
ω
. Поэтому
формула (4.85) позволяет получить систему из
l уравнений, линейных
относительно коэффициентов (один из этих коэффициентов считаем
известным, например, принимаем
jj
ba ,
0
1
=
b ):
166
(
)
(
)
()
.,,2,1;
22
2
2
22
2
2
02
22
2
2
0
ljF
Fbbbaaa
j
n
j
jn
n
j
n
jm
m
j
m
j
K
KK
==
=+++−+++
−−
ωω
ωωωωω
(4.86)
В результате решения указанной системы линейных уравнений находятся
коэффициенты , т.е. полиномы ,
jj
ba
(
)
(
)
22
ω
ω
NиM будут полностью
определены.
Необходимым (но недостаточным) условием возможности физической
реализации двухполюсника является принадлежность полученных полиномов к
классу полиномов Гурвица [21].
Используя программу стандартного математического обеспечения ЭВМ,
можем теперь найти корни этих полиномов:
()
()
()
(
)
()( )
(
)
(
)( )
()()()
222
2
22
1
2
0
222
2
22
1
2
0
2
2
n
m
sssb
sssa
sBsB
sAsA
N
M
+++
+++
=
−
−
=
ωωω
ωωω
ω
ω
K
K
и, следовательно, восстановить вид функции
(
)
sZ :
()
(
)
()
(
)
(
)
(
)
()()()
n
m
ssssssb
ssssssa
sB
sA
sZ
+++
′
+
′
+
′
+
==
K
K
210
210
. (4.87)
Функция
Z(s) физически реализуемого двухполюсника должна
принадлежать к классу положительных вещественных функций (функций
Бруне) [21].
По известному выражению
Z(s), в котором s рассматривается как
комплексная частота, представляется возможным, пользуясь классическими
методами синтеза (Фостера, Кауэра, Мията и др.), определить структуру и
параметры схемы замещения двухполюсника. В частности, структура
синтезируемой схемы будет общепринятой, если дробно-рациональная
функция (4.87) имеет
n=m-1, и при ее разложении на элементарные дроби
получим
()
()
,
11
11
∑∑
==
+
=
′
+
==
m
i
ii
m
i
i
i
sLrss
A
sY
sZ
(4.88)
где
.;1
iiiii
AsrAL
′
==
Если среди корней полиномов есть комплексно-сопряженные, в том числе
принадлежащие к мнимой оси, то синтезируемая схема будет относиться к
схемам общего вида.
167
Общепринятая (классическая) схема замещения двухполюсника,
состоящая, из
m параллельно включенных ветвей , особенно удобна при
составлении дифференциальных уравнений двухполюсника. Поэтому
целесообразно оценить разность:
ij
Lr
() ()
.
1
∑
=
′
+
−=Δ
m
i
i
i
ss
A
sYsY
(4.89)
Если для в рабочем (испытательном) диапазоне частот справедливо:
()
sYΔ
()
()
,
1
2
ω
ω
F
jY <<Δ
(4.90)
то, очевидно, этой разностью можно пренебречь.
Отметим, что рассматриваемый метод определения параметров не
требует нахождения фазового угла сопротивления двухполюсника
(
)
sZ , так как
он оперирует с квадратом его модуля. Эту особенность следует отнести к
существенному достоинству метода, поскольку фазовые измерения на низких
частотах и в сильно индуктивных цепях (например, для крупных электрических
машин) связаны с большими погрешностями. Однако реализация этого метода
требует, по сравнению с другими, использования большего числа
испытательных частот. Так, синтез параметров схемы замещения, например, с
тремя ветвями требует по данному методу использования
l=m+n+1=3+2+1=6
испытательных частот, в то время как при задействовании и фазовой
компоненты
Z(s) (выделения активной и индуктивной составляющих его, как
это сделано в предыдущем разделе 4.7.1) потребуется только три
испытательных частоты.
Предложенным методом рассчитывались параметры схемы замещения
синхронной машины типа СД-102-8 мощностью 75 кВт. Предварительно
определялись входные сопротивления обмотки статора по осям
d и q на
частотах 5; 10; 50; 100; 200; 500 Гц при неподвижном роторе с закороченной
обмоткой возбуждения (ОВ). При этом индуктивности взаимоиндукции
(
)
aqad
LL , и параметры обмотки статора
(
)
σ
Lr,
предполагаются известными.
Например, квадраты модулей сопротивлений обмотки ротора
()
(
)
6,,2,1,
2
2
K== jFZ
j
ω
по оси q на указанных частотах соответственно
составили: 0,0694; 0,1424; 0,6277; 1,0657; 2,2014; 5,4572 Ом
2
. После
подстановки этих значений в систему из шести линейных уравнений вида (4.86)
и ее решения были найдены коэффициенты полиномов (4.85):
7
0
108729,1
−
⋅
=a
;
; 2188,5
2
=a
6
4
108798,1 ⋅
=
a ;
9
6
102157,2
⋅
=
a ;
6
2
101907,3 ⋅
=
b ;
10
4
105594,5
⋅
=b ,
которые позволили определить корни полиномов (4.87):
168
;102872,5;106031,0
13
2
13
1
−−
⋅
=
′
⋅=
′
–s–s
.107813,1;103236,1;104389,3
13
2
12
1
11
3
−−−
⋅
=
⋅
=⋅=
′
cs–s–s
Далее путем разложения известной дробно-рациональной функции (4.88)
на элементарные дроби были вычислены частотно-независимые параметры
обмотки ротора по осям
q, фигурирующие в табл. 4.4.
(
3,2,1,, =irL
ii
)
Искомые параметры роторных ветвей классической схемы замещения,
для которых разность (4.89) не превышала 5% значений правой части формулы
(4.90), найденных из опыта , приведены в табл. 4.4.
Найденные рассмотренным способом частотно-независимые параметры
(в виде параллельных ветвей
r-L) электропроводящих контуров стали как
статора, так и ротора магнитоэлектрического вентильного двигателя типа
СДПМ 100
L8Y4 с “коллекторным” расположением ферритовых магнитов на
номинальный момент 27 Нм (2
p=8; n=1000 об/мин) приведены в табл. 4.5.
У этих двигателей, применяемых в электроприводе подачи металлорежущих
станков, нет успокоительной обмотки, преобразователь частоты-транзисторный
инвертор напряжения, регулируемый широтно-импульсным способом [15].
Представление неявных контуров вихревых токов в стали статора и
ротора линейными двухполюсниками позволяет эффективно рассчитать
основные и дополнительные магнитные потери, электромагнитный момент при
специфической (существенно несинусоидальной, в форме выходного
напряжения преобразователя, несущая частота модуляции которого составляет
1000-3000 Гц.
Таблица 4.4
Номер Параметры ветвей
ветви
j r
d j
, Ом L
d j,
мГн r
q j
, Ом L
q j
,, мГн
1 0,02254 0,881 1,717 2,847
2 0,5037 0,7524 8,884 1,680
3 0,007819 0,860 0,1855 5,393
Таблица 4.5
Номер Параметры ветвей
ветви j
r
jd
r
, Ом L
jd
r
, Гн r
jq
r
, Ом L
jq
r
, Гн r
jd
s
, Ом L
jd
s
, Гн r
jq
s
, Ом L
jq
s
, Гн
1
2
3
10,5
24,968
0,0842
0,00251
0,00603
0,01077
7,4404
23,253
1,6816
0,0196
0,00239
0,10652
1074,9
6,0243
1070,2
0,29809
0,04685
0,40832
1120,9
16,473
1051,5
0,36824
0,35482
0,81486
169
Вопросы для самопроверки
1.
Каким выражением описывается входное сопротивление физически
реализуемого двухполюсника?
2.
Напишите формулу разложения входной проводимости двухполюсника
на элементарные дроби.
3.
На каком количестве испытательных частот могут синтезироваться
параметры двухполюсника, состоящего из
m ветвей?
4.
В чём достоинство и недостаток рассматриваемого метода синтеза
параметров по сравнению с методом из предыдущего параграфа?
4.7.3. Синтез параметров двухполюсника по кривой
затухания свободного тока в одной из его ветвей
Общие сведения.
Свободный ток какой-либо ветви пассивного
линейного двухполюсника может рассматриваться как одна из компонент
(
i=1,2,... ,n) уравнения состояния
x
i
[]
xA
dt
xd
= , (4.91)
где
[]
.,
21 n
T
xxxx K=
Очевидно все собственные значения матрицы [
A] будут влиять на
временные зависимости
(
)
txx
ii
=
.
Для свободного тока в выбранной ветви будет справедливо выражение
t
n
tt
n
eIeIeIi
α
αα
−
−−
+
+
+
=
K
21
21
, (4.92)
где
(
njI
jj
,,2,1, K
)
=
α
- начальные амплитуды и коэффициенты затухания
(в общем случае комплексные величины).
Разобьем интервал наблюдения
T тока i (рис. 4.9) на 2n равных частей с
продолжительностью каждой
.2nTt
=
Δ
170