Афанасьев А.А. Математические основы теории систем управления
Подождите немного. Документ загружается.
Эффективность использования ЭВМ наибольшая в случае применения
последнего уравнения.
Обратим внимание, что матрицы
[
]
[
]
N
N
Φ
,
ϕ
и вектор
N
q подлежат
расчету только один раз ( в начале вычислительного процесса).
Следует также заметить, что разностная схема (4.55) является аналогом
разностной схемы (4.7) явного метода Эйлера. В системном методе вместо шага
используется матрица
h
[]
τ
τ
de
H
A
N
∫
=Φ
0
][
.
Уравнения (4.55), (4.56) описывают системные методы первого порядка
точности. По аналогии с традиционными разностными методами можно
построить системные методы более высоких порядков.
Ценность системных методов заключается в том, что подбором
N можно
достичь заданную точность интегрирования. Примерный алгоритм решения
уравнения состояния (4.53) состоит в следующем:
1. Вводят матрицу [
A] , векторы
,,
0
bx
необходимый интервал
интегрирования
Т, шаг печати (наблюдения) H.
2. Вычисляют норму матрицы [
A]
∑∑
==
=
n
i
n
j
ji
aA
11
2
||,
которая близка к модулю наибольшего собственного значения
max
λ
( как известно [1] ,
[
]
m
m
p
m
AS
∞→
=lim
max
λ
).
3. Для использования конечных рядов (4.51), (4.52) необходимо задаться
малым значением произведения
hA . Выбирают
1,0
≤
hA .
Отсюда находим
.
1,0
A
h ≤
4. Помня, что h
H
N
2= , определяем
2ln
ln hH
N = .
151
5. Используя формулы (4.51), (4.52), находим
[
]
[
]
[
]
bqи
0
0
0
0
,
Φ
=
Φ
ϕ
.
6. Рассчитывают последовательно
[
]
[
]
2
1 KK
ϕϕ
=
+
;
[
]
K
K
K
qEq )(
1
ϕ
+
=
+
.
Находят в итоге
[]
N
N
qи
ϕ
, которые сохраняются неизменными при
использовании в дальнейшем разностной схемы системного метода (4.56).
7. По схеме (4.56) находят значения переменных в точках наблюдения
(печати)
[
]
K,2,1,0,)()( =
+
=
+
nqnHxHnHx
N
N
ϕ
(4.57)
Счет прекращают, когда nH+H=(n+1)H будет больше интервала
наблюдения (интегрирования) Т.
После прохождения пограничного слоя, когда затухнут “быстрые”
составляющие, целесообразно увеличить шаг печати в раз с целью
убыстрения интегрирования уравнения состояния на заданном временном
интервале Т.
M
2
При этом первоначальный шаг h, на котором рассчитывались матрицы
[] [ ]
0
0
Φи
ϕ
, остается прежним. Это обстоятельство позволит сохранить
точность счета прежней, хотя шаг интегрирования, равный в системном методе
шагу печати (наблюдения) увеличится в раз.
M
2
В разностной схеме (4.57) должны теперь фигурировать новый шаг
hhHH
MNMNM +
=
⋅
=
⋅
=
2222
1
и новые значения постоянных
[
]
M
M
qи
ϕ
, которые находятся по
рекуррентным формулам (4.48), (4.50) со стартовыми значениями
[] []
N
N
qq ==
0
0
и
ϕ
ϕ
.
4.5.3. Решение уравнений состояния общего вида
Рассмотренный алгоритм можно использовать и при решении линейных
уравнений состояния более общего вида
152
[]
,)(tfxA
dt
xd
+=
0
)0( xx
=
,
а также нелинейных уравнений состояния
0
)0(,),( xxtxf
d
t
xd
== , (4.58)
если применять на каждом шаге интегрирования линеаризацию правой части.
На первом шаге имеем в достаточно малой окрестности справа
от точки t=0:
[
1
,0 tt ∈
]
)()0,(
0
0
0
0
xx
x
f
xfx
t
xx
−+≅
=
=
∂
∂
&
.
Обозначим
[]
,
1
0
0
A
x
f
t
xx
=
=
=
∂
∂
[
]
10
1
0
)0,( bxAxf
=
−
.
Тогда линеаризованное уравнение получит вид
[]
01
1
)0(, xxbxAx =+=
⋅
&
. (4.59)
Решив (4.59) системным методом, найдем
)(
11
txx
=
.Затем снова
линеаризуем уравнение (4.58), но уже в окрестности справа от точки
1
tt
=
.
Для интервала имеем линеаризованное уравнение:
[
21
,ttt ∈
]
)(),(
111
1
1
xx
x
f
txfx
tt
xx
−+≅
=
=
∂
∂
&
.
При
[]
2
1
1
A
x
f
tt
xx
=
=
=
∂
∂
и
21211
][),( bxAtxf
=
−
уравнение получит вид
1122
)(,][ xtxbxAx
=
+
=
&
.
На интервале оно также решается системным методом.
[
21
,ttt ∈
]
На последующих интервалах организуются аналогичные вычисления.
Указанные процедуры будут особенно эффективными, если
153
представляется возможность найти аналитическое выражение для матрицы
Якоби
xf
∂
∂
.
Отметим, что в отличие от классических методов интегрирования,
основанных на упрощенных способах вычисления экспонент, в системных
методах используются высокоточные способы расчета этой функции. Поэтому
такие методы интегрирования по сути являются численно-аналитическими
методами решения уравнений состояния.
Отметим еще раз, что разностная схема системного метода
[
]
),(
1 nn
N
nn
txfxx
Φ
+
=
+
имеет формальное сходство с разностной схемой явного метода Эйлера
),(
1 nnnn
txfhxx
+
=
+
.
При этом роль шага h играет матрица
[
]
Φ
N
.
Используя другие методы аппроксимации функции
),( txf , можно
получить аналоги и других классических методов интегрирования уравнений
состояния, например, неявный системный метод
[
]
),(
111 +++
Φ
+
=
nn
N
nn
txfxx ,
соответствующий неявному методу Эйлера
),(
111 +++
+
=
nnnn
txfhxx .
Основным достоинством системных методов является их
универсальность, так как они позволяют решать системы дифференциальных
уравнений произвольной жесткости. При этом особенно эффективны эти
методы при решении достаточно жестких систем.
При решении же нежестких уравнений применение системных методов
не дает каких-либо существенных преимуществ. Это связано с тем, что
интегрирование нежестких систем классическими методами не накладывает
больших ограничений на шаг по условиям устойчивости метода. Шаг выбирают
в этом случае по условиям необходимой точности и обычно равным шагу
печати (шагу интерполяции). Для решения таких задач могут использоваться
простые разностные схемы, например явный метод Эйлера.
Системный метод, применяемый для уравнений произвольной
жесткости, всегда допускает применение шага интегрирования, равного шагу
интерполяции.
154
При интегрировании же жестких уравнений состояния классическими
методами шаг по условиям устойчивости много меньше шага интерполяции
(целесообразно последний выбрать равным шагу печати).
Вопросы для самопроверки
1.
Напишите алгоритм решения стационарного уравнения состояния
системным методом.
2.
Как выбирается шаг интегрирования в системном методе?
3.
Опишите кратко этапы решения системным методом уравнения
состояния произвольного вида.
4.
Для решения каких уравнений состояния следует применять системный
метод?
4.6. Универсальный метод решения конечных уравнений
4.6.1. Основные сведения
Метод переменных состояния оперирует с конечными, в общем случае,
нелинейными уравнениями типа (В.3), связывающими переменные состояния,
входа и выхода.
Представим эти уравнения в такой векторной форме :
(
)
,0=− lxf (4.60)
где
lxf ,,
- векторы с размером n;
l -постоянный вектор (он может и отсутствовать).
Найдем решение (4.60) методом дифференциального продолжения
решения по параметру [18]. С этой целью введем в (4.60) вещественный
параметр
τ
с интервалом непрерывного изменения
.0
T
≤
≤
τ
(4.61)
Новому (преобразованному) уравнению (4.60) можно, например, придать
такой вид :
(
)
,0
0
1
0
=
−
−
+
−
fTlff
τ
(4.62)
где
(
00
xff =
)
;
0
x - некоторый произвольный численный вектор.
155
Уравнение (4.62) задает систему неявных функций
(
)
,,,2,1,x nkx
kk
K
=
=
τ
(4.63)
являющихся координатами неизвестного вектора
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
,
21
T
n
xxxxx
ττττ
K==
непрерывно зависящих от параметра
τ, причем решение
0
xx = соответствует
значению 0
=
τ
, т.е.
(
)
0x
0
x= .
При
T
=
τ
уравнение (4.62) превращается в (4.60), следовательно,
решение
(
Tx=
)
x является искомым.
Согласно теории неявных функций решение уравнения (4.62)
единственно, если определитель матрицы Якоби этого уравнения
[]
xdfdW
=
отличен от нуля.
Дифференцируя векторное уравнение (4.62) по параметру
τ
, получим
обыкновенное дифференциальное уравнение
n - го порядка
[]
.
0
T
fl
d
xd
W
−
=
τ
(4.64)
Численное интегрирование уравнения (4.64) при соблюдении условия
[]
0≠W может производиться стандартными методами математического
обеспечения ЭВМ, например, методом Рунге-Кутта того или иного порядка.
Опыт показывает, что в ряде случаев целесообразно производить это
интегрирование грубо (со сравнительно большой погрешностью), но в
m
опорных точках интервала (4.61)
mjmjT
j
,,2,1, K
=
=
τ
уточнять решения (4.63) до необходимой точности итерационным методом
Ньютона
[
]
,
p
j
p
j
p
j
QW −=
ε
(4.65)
где
()
;
00
f
T
flfQ
j
p
j
p
j
−−−=
τ
p - номер итерации в j-й точке интервала (4.61);
156
[]
p
j
p
j
fW ,
- матрица Якоби и векторная функция
f
,
найденные для значений
p
j
xx
=
, взятых при
j
τ
τ
=
;
p
j
ε
- вектор невязки для p -й итерации;
p
j
p
j
p
j
xx
ε
+=
+1
.
Количество опорных точек
m на интервале (8) выбирается достаточно
малым из условия, чтобы в каждой из них итерационный процесс был
сходящимся.
В большинстве случаев целесообразно уравнение (4.64) интегрировать
методом Эйлера и проводить процедуру Ньютона (4.65) на каждом шаге
интегрирования, причем значение шага диктуется устойчивостью этой
процедуры.
В ряде случаев счет оказывается более производительным, когда
движение по в уравнении (4.62) совершается только в соответствии с одним
итерационным методом Ньютона (используется формула (4.65),
интегрирование уравнения (4.64) не производится).
τ
Выбор размера интервала (4.61) не имеет принципиального значения.
Пропорционально ему выявляются из опыта необходимый шаг движения по
параметру
τ .
При отсутствии специфических требований к этому параметру
целесообразно принять
T=1.
Начальные значения переменных в общем случае при отсутствии
оценочных сведений об области их существования выбираются произвольно
[19].
j
x
4.6.2. Расчет постоянных конформного отображения
Эффективным инструментом исследования устойчивости уравнения
состояния
[]
xA
d
t
xd
=
(4.66)
являются матричные критерии устойчивости, которые не требуют построения
характеристического полинома [22,23].
Достижение тех или иных качественных показателей системы
автоматического управления достигается выбором собственных значений
матрицы [
A] в некоторой наперед заданной области G левой комплексной
полуплоскости.
Путем конформного отображения области
G на круг единичного радиуса
с центром в начале координат можно построить критериальную матрицу [
B],
являющуюся функцией исходной матрицы [
A].
157
Если все собственные значения матрицы [
A] располагались внутри
области
G, то собственные значения матрицы [B] окажутся внутри единичного
круга. В этом случае очевидно справедливо
[
]
.0
lim
0
=
→
k
k
B (4.67)
Условие (4.67) является необходимым и достаточным для асимптотической
устойчивости уравнения (4.66).
Выполнимость условия (4.67) легко устанавливается по факту
абсолютного убывания всех элементов матрицы
[
]
k
B с ростом степени
k
.
Возведение матриц в степень рекомендуется выполнять так, чтобы
каждая последующая матрица являлась квадратом предыдущей.
Для получения критериальной матрицы [
B] необходимо иметь уравнение,
устанавливающее связь собственных значений матриц [
A] и [B].
Таким уравнением является конформное отображение заданной области
G на
круг единичного радиуса с центром в начале координат.
Промежуточным этапом указанного конформного преобразования может
рассматриваться дифференциальное уравнение Кристоффеля-Шварца,
устанавливающее взаимно-однозначное соответствие точек верхней
полуплоскости и внутренности линейной многоугольной области [24]:
()
,
1
1
−
=
∏
∗
−=
j
n
j
j
awC
dw
dz
α
(4.68)
где
(
)
∗
= njaC
j
,,2,1, K - некоторые постоянные, причем числам на
вещественной оси плоскости w соответствуют вершины
многоугольника с внутренними углами
j
a
j
α
π
(общее число его вершин
n ), заданного в плоскости Z; nn
=
∗
, если все числа ограниченные;
j
a
1
−
=
∗
nn , если одно из чисел (например, ) равно бесконечности.
j
a
n
a
При практическом использовании уравнения (4.68) его постоянные
должны быть известными. Однако, непосредственный численный расчет этих
постоянных возможен только для многоугольников со сравнительно
небольшим числом вершин и, следовательно, простой конфигурации. Для
областей, которые ближе всего соответствуют реальным техническим
приложениям, постоянные могут находиться только численными методами.
j
aC,
Как известно [9], из
n постоянных три могут выбираться произвольно
(целесообразно одну из постоянных принять равной бесконечности).
Следовательно, уравнение (4.68) может быть соотнесено с конкретным
многоугольником, если будут определены
n-2 неизвестных; это n-3 постоянных
j
a
158
j
a
и комплексный коэффициент C. Аргумент последнего может легко
находиться из уравнения (4.68) [19].
Отметим, что
n-2 неизвестным соответствуют стороны многоугольника с
заданными длинами
))2(,,2,1(
−
= nkl
k
K , которые связаны с уравнением (4.68)
зависимостями
() ()
,2,,2,1,
1
−==
∫
+
nkldwwC
k
a
a
k
k
K
λ
(4.69)
где
()
()
.
1
1
−
=
∏
∗
−=
j
n
j
j
aww
α
λ
(4.70)
При наличии у многоугольника вершин, расположенных в бесконечности,
в систему (4.69) включаются уравнения, фиксирующие конечные разности двух
бесконечных длин сторон, примыкающих к таким вершинам.
Таким образом, для определения n-2 постоянных
(
)
Cиa
j
необходимо
решить (n-2) нелинейных уравнений вида (4.69).
Введем обозначения:
lиfx ,,
- векторы размером n-2, причем
[
]
[
]
;
321221
Caaaxxxx
nn
T
−−
=
=
KK
[
]
[
]
,;
221221 −−
=
=
n
T
n
T
llllffff KK
где
()
.2,,2,1,
1
2
−==
∫
+
−
nkdwwxf
k
k
x
x
nk
K
λ
(4.71)
Система уравнений (4.69) запишется в виде
.0
=
−
lf
(4.72)
Способы ее решения, описанные в предыдущем разделе 4.6.1, позволили
находить конформные отображения многоугольников с числом вершин более
десятка.
При известных постоянных в (4.68) можно найти аналитическим или
численным методом уравнение
(
)
,wfZ
=
(4.73)
устанавливающее связь точек верхней полуплоскости w и области G.
159
Для перехода от верхней полуплоскости w к кругу единичного радиуса с
центром в начале координат комплексной плоскости w
1
следует
воспользоваться преобразованием [9]
aw
aw
kw
&
−
−
=
1
, (4.74)
где
k - постоянный множитель;
a - точка верхней полуплоскости w, переходящая в начало координат
плоскости w
1
;
a
&
- точка, комплексно сопряженная точке a.
Вопросы для самопроверки
1.
Кто автор метода дифференциального продолжения решения по
параметру?
2.
Как выбирается начальный вектор решения конечного уравнения
методом дифференциального продолжения решения по параметру?
3.
С какой целью метод дифференциального продолжения решения по
параметру дополняется итерационным методом Ньютона?
4.
Как выбирается интервал интегрирования в методе дифференциального
продолжения решения по параметру?
4.7. Идентификация объектов управления
Все динамические свойства объекта управления, описываемого в
свободном движении стационарным уравнением состояния вида
[]
,xA
d
t
xd
=
(4.75)
определяются собственными значениями матрицы
[
]
A .
Под идентификацией объекта управления будем понимать различного
рода тестовые испытания объекта, имеющие целью определение спектра его
матрицы
[
.
]
А
160