Афанасьев А.А. Математические основы теории систем управления
Подождите немного. Документ загружается.
2.
Построить критериальную матрицу [B] для для круга в левой
полуплоскости, произведя оценку радиуса круга с помощью неравенства
Фробениуса:
(
)
|||
max
][,][min AA
≤
λ
,
где
∑∑
==
==
n
i
ij
j
n
j
ij
i
aAaA
1
||
1
|
max][,max][
3.
Оценить устойчивость матрицы [A] по нормам её критериальной матрицы
[B], построенной для левой полуплоскости.
Используются следующие четыре нормы:
∑
=
=
n
j
ij
i
bB
1
|
max][,
∑
=
=
n
i
ij
j
bB
1
||
max][,
∑
=
n
ji
ij
bB
,
2
|||
][,
ij
ji
bnB
,
/\|
max][ = .
3.
Оценка устойчивости исходной матрицы [A] по следу её критериальной
матрицы [B]
∑
=
=
n
i
ii
bBSp
1
][.
4.
Оценка устойчивости исходной матрицы [A] по величине наибольшего
по модулю собственного числа критериальной матрицы [B].
5.
Варианты матрицы [A] берутся из задания 1.
191
Задание 6
Матрица Грина
1.
Найти матрицу Грина )],([
τ
t
G для уравнения состояния
xA
d
t
xd
][=
,
где
)],([
τ
t
G = ,
⎩
⎨
⎧
<−
>
ττ
ττ
tприtH
tприtH
2
1
)],([
)],([
∞
<
<
∞
−
τ
,
t
,
1
)2,(1)2,(1
)]([])[([)],([
−
=
τ
τ
xPtxtH ,
∑
=
k
правлев
k
PP
)(
)2(1
]
~
[][,
∏
≠
=
−
−
=
n
ks
s
sk
s
k
A
P
1
][
]
~
[
λλ
λ
.
2.
Варианты матрицы [A] берутся из задания 1.
192
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ОСНОВНОЙ
1. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.:
Наука, 1967. 472 c.
2.
Демирчян К.C., Бутырин П.А. Моделирование и машинный расчет
электрических цепей. М.: Высш. шк., 1988. 335 c.
3.
Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории
управления (для инженеров): Пер. с англ. М.: Наука, 1970. 620 с.
4.
Ракитский Ю.В., Устинов C.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы
решения жестких систем. М.: Наука, 1979. 208 с.
5.
Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем (метод пространства
состояний): Пер. с англ. М.: Наука, 1970. 704 с.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ
1.
Валеев К.Г., Финин Г.C. Построение функций Ляпунова. Киев:
Наук. думка, 1981. 412 c.
2.
Математические основы теории автоматического регулирования: в 2
т. /Под ред. Б.К. Чемоданова. М.: Высшая школа, 1977. 821 с.
3.
Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные
уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения.
М.: Наука, 1972. 720 с.
4.
Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 552 с.
5.
Ланкастер П. Теория матриц: Пер. с англ. М.: Наука, 1978. 280 с.
6.
Лаврентьев М.A., Шабат Б.В. Методы теории функций
комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.
7.
Михайлов Ф.A.,Теряев Е.Д., Булеков В.П. и др. Динамика
непрерывных линейных систем с детерминированными и
случайными параметрами. М.: Наука, 1971. 303 с.
8.
Штокало И.З. Операционное исчисление. Киев: Наук. думка, 1972.
304 с.
9.
Нейман Л.Р., Демирчян К.C. Теоретические основы электротехники:
в 2 т. Л.: Энергоиздат, 1981. 952 с.
10.
Крылов В.В., Корсаков C.Я. Основы теории цепей для
системотехников. М.: Высш. шк., 1990. 224 с.
11.
Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.
432 с.
12.
Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982. 272 с.
13.
Аракелян А.К., Афанасьев А.А. Вентильные электрические машины и
регулируемый электропривод: В 2 кн. Кн. 1: Вентильные электрические
машины. М.: Энергоатомиздат, 1997. – 509 с.
193
14.
Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем
нелинейных уравнений. / ДАН СССР. 1953. T.88. N4.
15.
Аракелян А.К., Афанасьев А.А. Вентильные электрические машины в
системах регулируемых электроприводов: Учеб. пособие для вузов: В 2
т. – М.: Высш. шк., 2006. – 546 с.
16.
Фильц Р.В. Математические основы теории электромеханических
преобразователей. Киев: Наук.думка, 1979. 208 с.
17.
Толстов Ю.Г. Теория линейных электрических цепей. М.: Энергия, 1978.
279 с.
18.
Чернецкий В.И., Дидук Г.А., Потапенко А.А. Математические методы и
алгоритмы исследования автоматических систем. Л.: Энергия, 1970. 376
с.
19.
Зубов В.И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.:
Судпромгиз, 1962. 460 с.
20.
Важнов А.И. Переходные процессы в машинах переменного тока. Л.:
Энергия, 1980. 256 с.
21.
Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и
управления. М. : Наука, 1989. 304 с.
22.
Д` Анжело Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и
синтез : Пер. с анг. М.: Машиностроение, 1971. 472 с.
23.
Ту Ю. Современная теория управления: Пер. с англ. М.:
Машиностроение, 1971. 472 с.
24.
Чаки Ф. Современная теория управления. Пер. с англ. М.: Мир, 1975.
424 с.
194
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ......................................................................................................................3
Глава 1.
Общий вид решений линейных уравнений состояния
нестационарных систем
........................................................................................11
1.1. Нормальная форма уравнений состояния ....................................................11
1.2. Общее фундаментальное решение нестационарной системы
линейных однородных дифференциальных уравнений .......................................11
1.3. Определитель Вронского. Формула Остроградского-Лиувилля ...............13
1.4. Общее решение системы неоднородных дифференциальных
уравнений, полученное методом вариации постоянных
Лагранжа. Матрица Коши ......................................................................................15
1.5. Понятия управляемости и наблюдаемости ……………………………….18
Глава 2.
Аналитические решения линейных уравнений
состояния стационарных систем
.......................................................................20
2.1. Аналитическая форма фундаментального решения
однородных уравнений состояния на основе приведения
матрицы коэффициентов к жордановой форме ....................................................20
2.2. Фундаментальное решение однородного уравнения
состояния на основе разложения матричной экспоненты
в бесконечный ряд ...................................................................................................31
2.3. Сведение однородного дифференциального уравнения
n-го порядка к уравнению состояния с матрицей
специального вида ...................................................................................................33
2.4. Спектральное расщепление матрицы. Проекторы матрицы .....................35
2.5. Функции от матриц .......................................................................................38
2.6. Формула Лагранжа-Сильвестра для функции от матрицы........................42
2.7. Резольвента матрицы [A] ..............................................................................44
2.8. Использование формулы Коши для представления
функции от матрицы ...............................................................................................45
2.9. Представление проекторов матрицы через ее резольвенту .....................46
2.10. Резольвента матрицы с кратным спектром ..................................................46
2.11. Функции от матрицы с кратным спектром………………………………...48
2.12. Проекторы матрицы произвольной структуры ...........................................50
2.13. Расщепители матрицы ...................................................................................54
2.14. Общее решение уравнений состояния на основе
спектрального расщепления матричной экспоненты ..........................................59
2.14.1. Решение однородных уравнений состояния ……………………..59
2.14.2. Решение неоднородных уравнений состояния …………………..61
2.15. Левое преобразование Лапласа (ЛПЛ) ........................................................63
2.15.1. Интегральные преобразования Лапласа …………………………63
195
2.15.2. Нахождение изображений ЛПЛ для периодических кусочно-
полиномиальных, кусочно-синусоидальных и импульсно-моду-
лированных функций ………………………………………………………67
2.16. Применение ЛПЛ для решения уравнений состояния ...............................70
2.15.1. Уравнения состояния общего вида …………………….................70
2.15.2. Дифференциальное уравнение n-го порядка ……………………..73
2.15.2.1. Корни характеристического уравнения простые ………………74
2.15.2.2. Характеристическое уравнение имеет кратные корни ………..77
2.17. Замена переменных в уравнениях состояния ..............................................83
2.16.1. Расщепление решений уравнений состояния …………………….83
2.16.1.1. Матрица [A] приводится к диагональному виду ……………….83
2.16.1.2. Матрица [A] приводится к блочно-диагональному виду ……..85
2.16.2. Замена переменных с целью изменения частоты колебаний в
свободных составляющих решения уравнений состояния …………….91
2.18. Частотные характеристики (спектральные плотности)
решений уравнений состояния...............................................................................92
2.19. Импульсная передаточная и частотная матрицы
стационарной системы............................................................................................100
2.20. Аналитические решения уравнений состояния
второго порядка ......................................................................................................103
Глава 3.
Аналитические решения уравнений состояния
линейных периодических систем
.....................................................................110
3.1. Матрица монодромии. Мультипликаторы................................................110
3.2. Теорема Флоке-Ляпунова...........................................................................112
3.3. Приводимость системы с периодическими коэффициентами................114
3.4. Аналитическое решение исходного уравнения состояния (3.1)……….115
3.5. Сведение линейного уравнения состояния с периоди-
ческой матрицей конечной размерности к стационарному
уравнению состояния бесконечной размерности...............................................117
Глава 4.
Численно-аналитические и численные методы
решения уравнений состояния
..........................................................................118
4.1. Вычисление матричной экспоненты………..............................................118
4.2. Численные методы решения уравнений состояния .................................120
4.2.1.Численное интегрирование уравнений состояния ………………..120
4.2.1.1. Разностные численные методы ………………………………….120
4.2.1.2. Методы Рунге-Кутта ……………………………………………..126
4.3. Устойчивость методов численного интегрирования.................. ……….129
4.4. Жесткость уравнений состояния.................................................................139
4.4.1. Понятие жесткости …………………………………………………139
4.4.2. Формальное определение жесткости ……………………………...144
4.4.3. Примеры …………………………………………………………….146
196
4.5. Системные методы численного решения уравнений
состояния................................................................................................................147
4.5.1. Общие сведения ……………………………………………………147
4.5.2. Решение стационарных уравнений состояния …………………...150
4.5.3. Решение уравнений состояния общего вида ……………………..152
4.6. Универсальный метод решения конечных уравнений.............................155
4.6.1. Основные сведения …………………………………………………155
4.6.2. Расчет постоянных конформного отображения ………………….157
4.7. Идентификация объектов управления .......................................................160
4.7.1. Синтез частотно- независимых параметров пассивного
двухполюсника на основе решения системы нелинейных конечных
уравнений …………………………………………………………………..162
4.7.2.Синтез параметров пассивного двухполюсника на основе
решения системы линейных алгебраических уравнений ……………….166
4.7.3.Синтез параметров двухполюсника по кривой затухания
свободного тока в одной из его ветвей …………………………………..170
4.7.3.1. Общие сведения …………………………………………………...170
4.7.3.2.Определение параметров электрической схемы замещения
синхронного двигателя по кривой затухания тока в обмотке
статора при неподвижном роторе …………………………………………174
Приложение………………………………………………………………………..181
Список рекомендуемой литературы .....................................................................193
Оглавление………………………………………………………………………...195
197
198
Учебное издание
АФАНАСЬЕВ Александр Александрович
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ТЕОРИИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ.
Раздел первый
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Учебное пособие
Отв. за выпуск В.Н. Антонова
Подписано в печать 11.11.96. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 10,07. Уч.-изд. л. 10,76. Бумага газетная.
Печать оперативная. Тираж
300 экз. Заказ №
Чувашский государственный университет
Типография университета
428015, Чебоксары, Московский просп., 15