Афанасьев А.А. Математические основы теории систем управления
Подождите немного. Документ загружается.
Как известно, при внешнем воздействии на систему по j-му входу
сигналом в виде дельта-функции Дирака
T
jj
j
eettftf ]0010[,)()()( KK===
δ
, (2.182)
временные решения (2.179) будут представлять импульсную (весовую)
характеристику системы
(
)
)()( tkty
jj
= . Изображение ЛПЛ для функции (2.182)
имеет, согласно формуле (2.116), вид
j
pt
jj
etetpFtf )](11[),()( ⋅−=÷
, (2.183)
где
1 .
0
0
0
1
)(
≤
>
⎩
⎨
⎧
=
t
t
при
при
t
В результате получим из (2.175), (2.183)
,)0],([;0)(,0),(
0
][
j
jj
t
Ap
j
eAFtytpF ==
′
=
=
f
j
kk
k
t
j
tA
jj
etRPeeetytytk
k
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==
′′
==
∑
=
)]([][)()()(
1
][
μ
λ
, (2.184)
где
1
2
][][)]([
−
+++=
k
k
n
nkkk
tBtBEtR
K
)(tk
j
- импульсная (весовая) функция системы по j-му входу.
Изображение ДПЛ функции
j
j
ettf )()(
δ
=
равно:
0
11
),()(
2112
21
=
⎟
⎟
⎠
⎞
−
+
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=Φ÷
j
j
e
pppp
pptf .
Поэтому в соответствии с формулами (2.180), (2.42) получим
,0)( =
′
pY
101
,
)(
)!1(][
)(
][)!1(
)(
][!1][
][
)0],([
)()()()(
1 11
2
21
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎥
⎦
⎤
−
−
++
−
+
⎢
⎣
⎡
−
=
−
=
′′
==÷
∑∑
= ==
μ μ
λλλλ
k
j
k
n
s
s
k
sk
j
n
k
knk
k
k
k
k
j
jj
j
j
e
p
sB
e
p
Bn
p
B
p
B
ApE
AF
pYpYpWtk
k
k
k
K
∑
(2.185)
где
)( pW
j
- передаточная функция системы по j-му входу.
ω
ω
jp
jj
pWjW
=
= )()( - амплитудно-фазовая частотная характеристика
системы по j-му входу.
Будем иметь для системы, имеющей m входов:
[
]
)()()]([
1
tktktk
m
K
= - импульсная (весовая) матрица системы;
[
]
)()()]([
1
pWpWpW
m
K
= - передаточная матрица системы;
[
]
)()()]([
1
ωωω
jWjWjW
m
K
= - матрица амплитудно-фазовых частотных
характеристик.
Имеем
)()()( pfpWpY
jjii
= ,
где
-изображение внешнего сигнала по
j
-му входу (
j=
1,2,... ,
m
);
)-изображение
i -
ой переменной состояния (
i
=1, 2, ... ,
n
).
)(
pf
j
(
pY
i
ПРИМЕР 2.9
Пусть на вход двухполюсника с последовательно включенными элементами RLC,
параметры которых приведены в примере 2.5, воздействует импульсное напряжение
).()(
t
L
t
u
δ
=
Следовательно, имеем
,)0]),([,0)(),(
)(
)(
121
eAFtft
L
tU
tf ====
δ
[
]
(
)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=
=+===
′′
==
−−−−
)(
)(
2
2
2
1
0
1
12
12
22
11
][][)0],([)()()(
2
1
22
1
21
1
][][
2
1
tk
tk
eeee
ePePeeeAFetytytk
tttt
t
t
tAtA
λ
λ
- весовая матрица - столбец;
102
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
−
+
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=−=
−
)(
)(
2
2
2
1
2
1
1
1
][][
)0],([])[()(
2
1
1
2
2
1
1
1
pW
pW
pp
e
p
P
p
P
AFApEpW
λλ
- передаточная матрица-столбец;
)()()()(,)()()()(
212111
pupWpfpWpipWpfpW
cL
====
,
,1)0(;2)()(
2
1
=+−==
−−
L
tt
L
ieetitk
.0)(;22)()(
2
2
=−==
−−
oueetutk
c
tt
c
Вопросы для самопроверки
1.
Чему равна установившаяся составляющая при входном сигнале в виде
δ
-функции?
2.
Как называется решение уравнения состояния при воздействии на один из
входов сигналом в виде
δ
-функции?
3.
Как формируется импульсная матрица системы?
4.
В чём проявляется сходство импульсных и передаточных матриц
системы?
2.20. Аналитические решения уравнений состояния
второго порядка
Электрические цепи, состоящие только из реактивных элементов
(например, разного рода фильтры, цепи коррекции), могут быть описаны
дифференциальными уравнениями состояния второго порядка
),()(][
)(
2
2
tftyA
td
tyd
+= (2.186)
;
)(
;)0(
000
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==
=
td
yd
td
tyd
yy
t
][
A
- квадратная матрица размером .
n
103
Легко убедиться из непосредственной проверки, что решение
соответствующего однородного уравнения (свободная составляющая)
)(][
)(
2
2
tyA
td
tyd
= ,
имеет вид
[] [ ]
0
2/12/1
0
2/1
c‰
])[(])[(])[( ytAsinAytAcosy
&
−−+−=
−
.
Принужденная составляющая, являющаяся частным решением уравнения
(2.186) , находится по формуле [2]:
[]
τττ
dftAsinAy
t
)()(])[(])[(
0
2/12/1
р•
−−−=
∫
−
.
При представлении решения в виде суммы установившейся и преходящей
составляющих
yyy
′′
+
′
= полагается, что преходящая составляющая имеет вид
[
]
[
]
[ ]
[
]
.])[(])[(])[(
00
2/12/1
00
2/1
yytAsinAyytAcosy
&&
′
−−−+
′
−−=
′′
−
(2.187)
Для построения установившихся составляющих решения уравнения
состояния (2.186) весьма эффективным оказывается применение
левого
синус-преобразования Фурье
(ЛСП)
∫
∞
+=
0
,)(),(
τττ
dssintftsF
где
s
- комплексное число.
Если для некоторой функции )(
t
f
известно изображение ЛПЛ ),(
t
p
F
,
то изображение ),(
t
sF
ЛСП находится по формуле
[
),(),(
2
),(
tsjFtsjF
j
tsF
−−=
]
, (2.188)
где
j
- мнимая единица.
ПРИМЕР 2.10
104
Определим изображение ЛСП для функции
t
sina
t
f
ω
=)(
.
В соответствии с табл. 2.1. имеем
22
),(
ω
ω
ω
ω
+
+
=
p
tcostsinp
atpF
.
Поэтому
22
),(
ω
ω
ω
ω
+−
+±
=±
s
tcostsinsj
atsjF
и, следовательно,
[]
22
),(),(
2
),(
ω
ω
−
=−−=
s
tsins
atsjFtsjF
j
tsF
.
Изображения ЛСП некоторых простейших функций приведены в табл. 2.3
.
Установившаяся составляющая
y
′
по определению удовлетворяет
исходному уравнению состояния (2.186)
fyAy
+
′
=
′
][
&&
.
Переходя к изображениям ЛПЛ для левой и правой частей этого уравнения
получим
).,(),(][),(
2
tpFtpyAyyptpyp
+
′
=
′
−
′
−
′
&
После некоторых преобразований будем иметь
.),(),()][()][( yyptpFtpyApAp
&
′
+
′
+=
′
+−
При
][
Ap
±= левая часть этого равенства обращается в нуль, так как
предполагается, что решение
),(
tpy
′
не содержит в знаменателе множителя
(имеем безрезонансный случай). Следовательно, при
])[(
2
Ap −
][
Ap
±=
обращается в нуль и правая часть, уравнения, т.е.
0][),][( =
′
+
′
+
yyAtAF
&
, 0][),][( =
′
+
′
−−
yyAtAF
&
.
105
Таблица 2.3
Оригинал )(
t
f
Изображение ),(
t
sF
a
sa
/
t
e
λ
22
λ
λ
+
s
es
t
)(
ψ
ω
+
t
sin
22
)(
ω
ψ
ω
−
+
s
tsins
)(
ψ
ω
+
t
cos
22
)(
ω
ψ
ω
−
+
s
tcoss
t
s
t
/
)(
0
tt
−
δ
)()(
00
ttttssin
−−
1
3
Вычитая из первого уравнения второе, получим следующее выражение
для установившейся составляющей решения уравнения состояния:
[ ]
),][(),][(
][2
1
tAFtAF
A
y
−−=
′
.
С учетом формулы (2.188) получим окончательно
),][(
][
1
tAF
A
y
−
−
=
′
. (2.189)
Обобщая формулы (2.187) и (2.189) , будем иметь :
()
δ
tAFAy
i
n
i
,])[(])[(
2/1
1
2/1
−−=
′
∑
=
−
, (2.190)
106
3
⎩
⎨
⎧
=−
при
при
tt
,0
,1
)(
0
1
.
,
0
0
tt
tt
<
≥
[]
()
[]
()
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−−−−−+
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−−−−=
′′
∑
∑
=
−−
=
−
i
n
i
i
ii
n
i
AFAytAsinA
AFAytAcosy
δ
δ
0,])[(])[(])[(])[(
0,])[(])[(])[(
2/1
1
21
0
2/12/1
2/1
1
2/1
0
2/1
&
&
,
(2.191)
где
),(),(
tsF
td
d
tsF
ii
=
&
,
[
T
niiii
δδδδ
K
21
=
]
- вектор-функция, компоненты которой суть функции
Кронекера
⎩
⎨
⎧
≠
=
=
.,0
,,1
kiпри
kiпри
ki
δ
Формулы (2.190), (2.191) могут быть выражены и через проекторы
матрицы ][
A
. Пусть - собственные значения матрицы λ
k
],[
A
обладающей
простым спектром. - ее проекторы,
k
P
][
nk
,,2,1
K
= . Получим
),(
1
][
1
tFPy
k
k
n
k
k
λ
λ
−
−
=
′
∑
=
, (2.192)
=−
−−
−
−
−
−
+
+−
−
−
−−=
′
∑∑
∑∑
==
==
)0,(
1
)(
][
)(
][
)0,(
)(
][)(][
1
0
1
1
0
1
k
kk
k
n
k
k
k
k
n
k
k
k
k
k
n
k
kk
n
k
k
F
tsin
Py
tsin
P
F
tcos
PytcosPy
λ
λλ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
&
&
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
∑
=
k
k
k
k
k
k
k
n
k
k
F
y
tsinF
ytcosP
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
)0,()()0,(
)(][
00
1
&
&
. (2.193)
107
Из последнего выражения следует, что если все собственные значения
матрицы ][
A
уравнения (2.186) - вещественные отрицательные, то свободная
составляющая его решения описывается суммой незатухающих гармонических
колебаний с частотами
ii
λω
−=
),,2,1( ni K= . Именно такой случай
характерен для уравнений (2.186), описывающих чисто реактивные цепи.
Основным и наиболее ответственным этапом решения уравнения
состояния второго порядка является построение изображения ),(
t
sF ЛСП
Фурье для функции воздействия ).(
t
f
Для исключения ошибок необходимо
иметь возможность проверки соответствия изображений ЛСП оригиналам.
Имеет место следующая простая формула перехода от изображения ЛСП
к оригиналу [2]:
).,1(
),1(
)(
2
2
tF
td
tFd
tf +=
В разделе 2.14 для описания периодических функций внешних
воздействий привлекались три класса периодических функций:
1) кусочно - полиноминальные,
2) кусочно - синусоидальные,
3) импульсно - модулированные.
С помощью этих функций можно аппроксимировать практически любое
внешнее периодическое воздействие.
Для этих трех классов периодических функций в [2] приведены формулы
для изображений как ЛПЛ, так и ЛСП Фурье.
ПРИМЕР 2.11
Пусть на входе цепи показанной на рис. 2.12 , действует напряжение, изменяющееся
по линейному закону
t
t
u
β
=
)(
.
Составим уравнения состояния этой
реактивной цепи для случая, когда искомыми
переменными являются токи в индуктивных
элементах и .
1
i
2
i
Рис. 2.12
L
1
u(t)
i
2
L
2
i
1
u
1
u
2
C
1
C
2
Продифференцировав уравнения второго закона
Кирхгофа
0
12
2
2
=−+ uu
dt
id
;)(
1
1
1
=+ Ltuu
dt
id
L
и исключив из полученных выражений производные
,;
2
22
1
211
C
i
td
ud
C
ii
td
ud
=
−
=
получим систему из двух дифференциальных уравнений второго порядка
108
.
0
)(
1
111
11
1
2
1
221212
1111
2
1
2
2
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
tu
td
d
L
i
i
CLCLCL
CLCL
i
i
td
d
Обозначив
,
0
/
,
2
1
1
2
1
2
1
f
f
f
L
y
y
y
i
i
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
β
определим изображения ЛСП для компонент вектора
f
.0),(,),(
2
1
1
== tsF
sL
tsF
β
Согласно (2.185) для установившейся составляющей решения получим
() ()
[]
.
0
1
][
0
1
][][
1
1
12/1
1
2/1
2
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′
′
−−−
A
L
A
L
A
i
i
ββ
Поскольку то из формулы (2.191) найдем для преходящей
составляющей решения
,0),(;0),(
21
== tsFtsF
&&
()
[]
() ()
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′′
′′
−−
20
102/12/11
1
20
10
2/1
2
1
][][
0
1
][][
i
i
tAsinAA
L
i
i
tAcos
i
i
&
&
β
.
Вопросы для самопроверки
1.
Какие электрические цепи описываются уравнениями состояния второго
порядка?
2.
Напишите формулы для свободной и принуждённой составляющих
решения уравнения состояния второго порядка.
3.
Напишите формулу для левого синус – преобразования Фурье.
4.
Напишите выражения для установившейся и преходящей составляющих
решения уравнения состояния второго порядка.
109
Г Л А В А Т Р Е Т Ь Я
АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Уравнение состояния линейной периодической системы имеет вид
[]
,)( fxtA
dt
xd
+= (3.1)
где
0
)0(,)(,)( xxRtffRtxx
nn
=∈=∈= - коэффициенты матрицы
[ ]
,)(tA
имеющей размерность nn
× , суть периодические функции
от t периода T, т.е.
[ ] [ ]
)()( tATtA =+ . (3.2)
3.1. Матрица монодромии. Мультипликаторы
Обозначим через матрицу
[ ]
)(tX размером nn × фундаментальное
решение соответствующего однородного уравнения
[]
,)( xtA
d
t
xd
= (3.3)
удовлетворяющее начальному условию
[ ]
.)0( EX = (3.4)
Матрица
[ ]
)(tX называется матрицантом уравнения (3.3). Матрицант
, взятый при t=T, носит название матрицы монодромии.
[
)(tX
]
110