Афанасьев А.А. Математические основы теории систем управления
Подождите немного. Документ загружается.
Переходя к изображениям ЛПЛ, получим
),(),()(),( tpFtpYAtytpYp
+
′
=
′
−
′
.
Искомое решение имеет вид
][
),()(
),(
AEp
tpFty
tpY
−
+
′
=
′
.
Используя представление матричной функции (резольвенты матрицы [ ]
A
через проекторы), будем иметь:
[ ]
.),()(
][
),(
1
tpFty
p
P
tpY
n
k
k
k
+
′
−
=
′
∑
=
λ
Поскольку левая часть полученного выражения в точках
k
p
λ
=
(полюсах)
существует, то для существования правой части следует положить числитель
правой части равным нулю:
.0),(][)(][
11
≡+
′
=
==
∑∑
k
p
n
k
k
n
k
k
tpFPtyP
λ
Учитывая, что , то для установившейся составляющей 1][
1
=
∑
=
n
k
k
P )(tY
′
получим выражение
)],([),(][)(
1
tAFtFPty
n
k
kk
−=−=
′
∑
=
λ
. (2.124)
Принимая во внимание, что )0()0()0( yyy
′
−=
′′
, для преходящей
составляющей решения
)(ty
′′
имеем
[
.)0,(][][
)0,(][)0([)(
11
0
1
0
][
0
][
⎥
⎦
⎤
+=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
′
−=
′′
∑∑
∑
==
=
k
n
k
k
n
k
t
k
n
k
kk
tAtA
FPyeP
FPyeyyety
k
λ
λ
λ
С учетом рассмотренных выше свойств проекторов, полученное
выражение можно упростить
71
[ ]
)0(][)(
,
1
k
o
t
n
k
k
FyePty
k
λ
λ
+=
′′
∑
=
. (2.125)
Таким образом, решение уравнения (2.102) имеет вид
])0,([][),(][)()()(
1
0
1
∑∑
==
++−=
′′
+
′
=
n
k
k
t
kk
n
k
k
FyePtFPtytyty
k
λλ
λ
. (2.126)
В случае, если матрица [
A
], имеет кратные собственные значения, то
формулы (2.124)-(2.126) усложняются. Если кратность собственного значения
k
λ
равна
k
n
(
)
,...;,...,2,1
2
nnnk
1
n
=+++=
μ
μ
то, принимая во внимание формулу
(2.60), получим
{ }
).,(][
),(][...),(][),(][)(
)1(
11
)1(
)1(
2
1
1
tFB
tFBtFBtFBty
k
s
k
n
s
sk
k
n
nkkkk
k
k
k
k
k
λ
λλλ
μ
μ
−
==
−
=
∑∑
∑
−=
=+++−=
′
(2.127)
[
]
{
[
]
}
[
]
.)0,(][
][)0,(][)0,(][
)0,(][][][][)(
)1(
11
0
1
11
)1()1(
2
1
1
0
1
2
1
1
k
s
k
n
s
sk
t
s
k
n
s
skk
n
nkkk
k
k
k
t
n
nk
t
k
t
k
k
FB
yetBFBFB
FByetBteBeBty
k
k
k
k
k
k
k
k
kk
λ
λλ
λ
μ
λ
μ
μ
λ
λλ
μ
−
==
−
==
−
=
−
=
∑∑
∑∑
∑∑
+
+=+++
+++++=
′′
K
K
(2.128)
Переходя от спектрального расщепления матрицы снова к функциям от
матриц, можем существенно упростить полученные выражения
,)],([)],([)(
1
i
n
i
i
tAFtAFty
δ
∑
=
−=−=
′
(2.129)
),()(
0
0
][
yyety
tA
′
−=
′′
(2.130)
где
i
n
i
i
AFAFyy
δ
)0],([)0],([)0(
1
0
∑
=
−=−=
′
=
′
,
[]
T
21
)],([)],([)],([),]([ tAFtAFtAFtAF
n
K= ,
T
21
][
niii
i
δδδδ
K
=
- символы Кронекера,
72
⎩
⎨
⎧
≠
=
=
,,0
,1
jiесли
jiесли
ji
δ
.
1
0
0
)],([
0
0
1
0
)],([
0
0
1
)],([)],([
21
1
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=−
∑
=
M
M
K
M
M
tAFtAFtAFtAF
n
i
n
i
i
δ
Качественное исследование уравнений состояния применительно к
пассивным линейным цепям типа
C
L
R
, проведенное в [12], выявило
следующие особенности:
1) Вещественные части собственных значений матрицы
][
A
неположительны, т.е. 0Re
≤
k
λ
;
2) Комплексные корни - попарно сопряженные;
3) Чисто мнимые корни не могут быть кратными.
Вопросы для самопроверки
1.
Запишите формулу для установившейся составляющей решения
неоднородного уравнения состояния, полученной с помощью левого
преобразования Лапласа.
2.
Запишите формулу для преходящей составляющей решения
неоднородного уравнения состояния, полученной с помощью левого
преобразования Лапласа.
3.
Запишите формулу для установившейся составляющей решения
неоднородного уравнения состояния как функции дух переменных:
матрицы и времени.
4.
Запишите формулу для установившейся составляющей решения
неоднородного уравнения состояния, используя символ Кронекера.
Дифференциальное уравнение n -го порядка.
Рассмотрим случай,
когда для исследователя представляет интерес поведение только одной
переменной состояния вместе с некоторыми ее производными. Имеем
относительно этой переменной дифференциальное уравнение n-го порядка:
.0,)(
0
1
1
1
≠=+++
−
−
atfya
td
d
a
td
yd
a
n
n
n
n
n
o
K (2.131)
73
Многие линейные системы автоматического регулирования описываются
такими уравнениями.
Вводя новые переменные, как показано в в разделе 2.3, можем перейти
от дифференциального уравнения n-го порядка к системе из
n
-
дифференциальных уравнений первого порядка
),(][ tfzA
td
zd
+= (2.132)
где
Т
n
zzzz
][
21
K= ; ;;;;;
12
3
1
21
td
zd
z
td
zd
z
td
zd
zyz
n
n
−
==== K
;
1000
0100
0010
][
0
1
0
2
0
1
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−−
=
−−
a
a
a
a
a
a
a
a
A
nn
o
n
L
L
LLLLL
L
L
[]
./)(00)(
T
0
atftf
L=
Матрицу ][
A
полученной системы называют матрицей Фробениуса для
многочлена
.)(
1
0
1
0
1
0
a
a
a
a
P
a
n
nn
n
+++=
−
K
λλλ
Особенностью матрицы Фробениуса является совпадение ее спектра с
множеством корней характеристического уравнения .0)( =
λ
n
P
Корни характеристического уравнения простые
Рассмотрим случай, когда корни ,,,...2,1,
ni
i
=
λ
характеристического
уравнения
n
nn
n
aaaP
+++=
−
K
1
10
)(
λ
λ
λ
(2.133)
простые.
74
Найдем решение уравнения (2.126) в виде суммы
прехуст
yyy
+=
соответственно установившейся
(
)
уст
y
и преходящей
(
)
npex
y
составляющих.
По определению установившаяся составляющая удовлетворяет
исходному уравнению (2.131)
).(
)(
0
tfya
kn
уст
n
k
k
=
−
=
∑
(2.134)
ЛПЛ уравнения (2.134), полученное с помощью формулы (2.118),
выглядит так:
),(),()(
)1(
уст
10
уст
tpFypatpYpP
j
kn
j
jkn
n
k
kn
+=
−
−
=
−−
=
∑∑
. (2.135)
Так как полином при )(
pP
n i
p
λ
= обращается в нуль, а решение в
этих точках существует, то значения
),(
уст
tpY
i
p
λ
=
должны обращать в нуль правую
часть выражения (2.135)
nitFya
i
jjkn
kn
j
i
n
k
k
...,,2,1),,(
)1(
уст
10
=−=
−−−
−
==
∑∑
λλ
.
Раскрывая левую часть этого выражения, можем получить
.),()(
)()...(
)1(
уст0
)2(
уст10
)1(
уст2
3
1
2
уст1
2
1
1
0
tFyayaa
yaaayaaa
i
nn
i
n
n
i
n
ion
n
i
n
i
λλ
λλλλ
−=+++
++++++++
−−
−
−
−
−
−
−
K
K
(2.136)
Представим формулу (2.136) более компактно
()
() ()
()
.,
1
уст0
2
уст
1
1
1
0
1
уст
2
1
2
0
уст
1
1
1
0
tFyaya
yaya
i
nnk
k
k
kn
n
k
k
kn
n
k
k
λλ
λλ
−=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−
=
−−
−
=
−−
−
=
∑
∑∑
K
Последнее выражение можно записать в матрично-векторном виде
75
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
−−
−
=
−−
−
=
−
=
−−
−
=
−−
−
=
∑∑∑
∑∑∑
),(
),(
),(
),(
1
2
1
уст
1(
уст
)2(
уст
)1(
уст
0
1
1
0
2
2
0
1
1
0
0
1
1
1
0
2
1
2
0
1
1
1
0
tF
tF
tF
tF
y
y
y
y
aaaa
aaaa
n
n
n
n
k
n
k
k
kn
n
n
k
k
kn
n
n
k
k
k
k
k
kn
n
k
k
kn
n
k
k
λ
λ
λ
λ
λλλ
λλλ
M
M
K
LLLLL
L
. (2.137)
Данная система позволяет однозначно найти установившуюся составляющую
вместе с ее производными до
()n
−
1
порядка включительно.
Определив установившуюся составляющую решения уравнения (2.131) ,
несложно найти и его преходящую составляющую
t
n
tt
n
eAeAeAy
λ
λλ
+++=
K
21
21прех
. (2.138)
Для чего найдем коэффициенты с учетом того, что значения
i
A
niyty
i
t
i
...,,2,1,)0()(
)1(
0
)1(
==
−
=
−
заданы.
Составим систему уравнений
.,...,2,1,)0()(
)1(
0
)1(
прехуст
niyyy
i
t
i
==+
−
=
−
.)0()0(
),0()0(
),0()0(
),0()0(
)1(1
2
1
21
1
1
)1(
уст
)2(2
2
2
21
2
1
)2(
уст
)1(
2211
)1(
уст
21уст
−−−−
−
=++++
=++++
=++++
=++++
n
n
n
n
nn
n
nn
nn
n
yAAAy
yAAAy
yAAAy
yAAAy
λλλ
λλλ
λλλ
K
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
K
K
K
Эту систему уравнений запишем в матрично-векторном виде
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−− 11
2
1
1
21
111
n
n
nn
n
λλλ
λλλ
K
KKKK
K
K
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
n
A
A
A
M
2
1
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−−
)0()0(
)0()0(
)0()0(
)1(
уст
)1(
)1(
уст
)1(
уст
nn
yy
yy
yy
M
. (2.139)
Решение системы (2.139) однозначно определяет значения
коэффициентов , а значит, и преходящую составляющую (2.138).
i
A
76
При решении системы (2.135) по правилу Крамера, можно использовать
следующее свойство ее определителя, известного как определитель
Вандермонда
).()()()()(
))(()(
111
121131211
21
1
11
2
1
1
21
λλλλλλλλλλ
λλλλλλ
λλλ
λλλ
−−−−−
−−=−==
−−−−−
−−
≤<≤
−−−
∏
KKK
K
K
MMMM
K
K
nnnnnn
nnnn
nij
ji
n
n
nn
n
W
Характеристическое уравнение имеет кратные корни
Нахождение составляющих решения дифференциального уравнения -
го порядка (2.131) усложняется в том случае, когда его характеристическое
уравнение (2.133) имеет кратные корни. В этом случае использование
уравнений (2.137) и (2.139) становится невозможным, так как в матрице
(2.137) появляются одинаковые строки, а в матрице (2.139) - одинаковые
столбцы. Указанные матрицы становятся вырожденными.
n
Пусть характеристическое уравнение имеет корни
μ
λ
λ
λ
,,,
21
K
кратности
μ
nnn ,,,
21
K
)(
21
nnnn =+++
μ
K
.
Дифференцируя левую и правую части уравнения (2.136) раз по )1( −
i
n
i
λ
, можем получить дополнительные уравнения, обеспечивающие равенство
суммарного количества уравнений числу неизвестного .
)1(
уст
,,
−n
y
K
)1(
устуст
, yy
Матрично-векторное уравнение для определения установившейся
составляющейрешения и ее производных примет вид:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−−−
−−−
),(
),(
),(
),(
),(
),(
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
)1(
)1(
1
)1(
1
)1(
1
)1(
уст
)1(
уст
уст
)1()1(
2
)1(
1
)1()1(
2
)1(
1
21
1
)1(
1
)1(
21
)1(
1
1
)1(
1
10(
21
)1(
1
11211
1
111
tF
tF
tF
tF
tF
tF
y
y
y
PPP
PPP
PPP
PPP
PPP
PPP
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
nn
n
n
μ
μ
μ
μμμ
μμμ
μμμ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λλλ
λλλ
λλλ
λλλ
λλλ
λλλ
μ
μμμ
M
M
M
M
M
M
M
M
M
K
MMM
K
K
KKKK
K
MMM
K
K
. (2.140)
77
Здесь обозначено
nkPP
jk
m
j
m
j
m
k
,...,2,1),()(
)(
==
λ
λ∂
∂
λ
,
)1(,...,2,1),,(),(
)(
−==
jj
m
j
m
j
m
nmtFtF
λ
λ∂
∂
λ
,
где
.,,..2,1,)(,
)(,,)(,)(
0
1
1
1
1
2
0
2
2
1
0
1
1
μλλ
λλλλλ
===
===
∑
∑∑
=
−
−
−
=
−−
−
=
−−
jaPa
PaPaP
jn
k
k
jk
jn
n
k
kn
jkj
n
k
kn
jkj
K
Видим, что при дифференцировании полиномов )(
λ
P
соответствующие
элементы последних столбцов матрицы системы (2.140) обращаются в нуль.
Элементы этих же столбцов, соответствующие строкам с
недифференцированными полиномами, сохраняют ненулевые значения.
Таким образом, уравнения (2.140) позволяют расcчитать установившуюся
составляющую решения и ее производные до )1(
−
n порядка включительно.
При сложном составе спектра матрицы ][
A
преходящая составляющая
решения уравнения в векторно-матричной форме (2.132) в соответствии с
формулой (2.98) будет
tn
nkk
k
k
tA
kk
k
etAtAAzzezy
λ
μ
)()]0([]0100[
1
2
1
1
уст
0
][
npex1npex
−
=
+++=−==
∑
KK
(2.141)
Дифференцируя это уравнение )1(
−
n раз по
t
и учитывая, что
),()()(
npexуст
tytyty
+=
можно получить следующую систему из уравнений: n
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
−==
−=
−=
−−−
,)0()0()0(
),0()0()0(
),0()0()0(
)1(
уст
)1()1(
npex
)1(
уст
)1()1(
npex
устnpex
nnn
yyy
yyy
yyy
KKKKKKKKKKKK
(2.142)
правые части которых известны:
)1(,,...1,0),0(
)(
−= njy
j
заданы,
78
)0(
)(
уст
j
y найдены из решения системы (2.146).
Эти - уравнений вида (2.142) позволяют определить неизвестных
коэффициентов . В результате преходящая составляющая решения
уравнения (2.131) становится известной.
n n
ik
A
Обратим внимание на следующие важные обстоятельства применения
ЛПЛ:
1) Оперирование с изображениями ЛПЛ позволяет получить результат
непосредственно во временной области ( нет необходимости прибегать к
обратному преобразованию Лапласа);
2) Можем получить сразу установившееся решение, не вычисляя
преходящей составляющей, если нет в ней нужды;
3) Независимо от сложности функций внешних воздействий )(
t
f
и
размерности матрицы ][
A
вид решения (в матричной форме) получается
наглядным и компактным. Само решение может быть легко реализовано на
ПЭВМ.
4) Обратное ЛПЛ целесообразно использовать для проверки
правильности нахождения изображения ЛПЛ.
Справедлива следующая формула перехода от изображения ЛПЛ )),((
t
p
U
к оригиналу ))((
t
U
:
td
tpUd
tpUptU
),(
),()( −= . (2.143)
ПРИМЕР 2.5
Рассмотрим колебательное звено - цепь с последовательным включением элементов
R,L,C, на входе которой действует напряжение
).(
t
u
Векторно-матричное уравнение этой цепи имеет вид:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
0
/)( Ltu
c
l
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0/1
/1/
u
i
C
LLR
u
i
td
d
c
l
.
(2.144)
Следовательно, заданы
,
0/1
/1/
][
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=
C
LLR
A
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
0
/)(
2
1
LtU
f
f
f
.
R
L
u(t)
i
L
C
u
c
(t)
Рис 2.9
Для установившегося решения справедливо
79
,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′
′
C
L
u
i
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
⎭
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
0
1
),]([
0
1
),]([
0
1
),]([
111
tAFtAFtAF
где
изображения ЛПЛ функций и (в последнем
равенстве учтено, что
−),(),,(
21
tpFtpF )(
1
tf )(
2
tf
0)(
2
≡tf
, и, следовательно, ).
0), ≡t(
2
F p
Пусть воздействующее напряжение изменяется по линейному закону
.)(
t
t
u
β
=
Тогда
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+==
2
11
1
),(,)(
pp
t
L
tpF
L
t
tf
β
β
и, следовательно,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′
′
C
L
u
i
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
−−
0
1
][][
21
L
A
L
t
A
ββ
. (2.145)
Преходящая составляющая решения будет
(
)
(
)
.
0
1
1
][
1
][][][
0
1
][][][
2
2
2
2
1
121
2
21
][
21
21
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
=
⎩
⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′
′
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′′
′′
−
L
PP
u
i
ePeP
L
A
u
i
ePeP
u
i
u
i
e
u
i
OC
Lo
tt
OC
Lo
tt
OC
Lo
OC
Lo
tA
C
L
β
λλ
β
λλ
λλ
(2.146)
Полное решение имеет вид :
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
C
L
u
i
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′
′
C
L
u
i
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′′
′′
C
L
u
i
.
Численные значения параметров цепи выберем следующими:
R=3 Oм, L= 1 Гн, С=0,5 Ф.
Тогда
[A]=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
02
13
.
Собственные значения матрицы [A] (корни уравнения
)0][det =− EA
λ
равны:
2,1
21
−=−=
λ
λ
.
Правые собственные векторы матрицы [A] удовлетворяют уравнениям
80