Афанасьев А.А. Математические основы теории систем управления
Подождите немного. Документ загружается.
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
3
1
3
1
1
Y
;
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
3
1
3
2
2
Y
Отсюда
,
22
11
3
1
3
1
3
1
2
1
][
111
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
== YXP
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
==
12
12
3
1
3
1
3
2
1
1
][
222
YXP
.
По формуле (2.44) находим выражение для функции от матрицы [A]
.
12
12
3
1
)1(
22
11
3
1
)5(][)(][)(][
2211
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=+= ffPfPfAf
λλ
В частном случае для функции
m
Zzf =)(
получим равенство
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
12
12
3
1
)1(
22
11
3
1
5][
mmm
A
.
Видим, каким эффективным инструментом для получения матрицы в
степени является формула (2.44). Достаточно один раз для исходной матрицы
вычислить ее проекторы и далее возводить в степень только ее
характеристические числа ),,2,1( nk
k
K
=
λ
.
Вопросы для самопроверки
1.
Как выражается функция от матрицы через проекторы этой матрицы?
2.
Функция от матричного аргумента является матрицей. Чему равны её
собственные числа и собственные векторы?
3.
Как возвести матрицу в степень с помощью её проекторов и собственных
значений?
4.
Как обратить матрицу с помощью её проекторов и собственных
значений?
41
2.6. Формула Лагранжа-Сильвестра для функции от матрицы
Пусть матрица [A] имеет простую структуру. Из формулы (2.44) следует,
что значения двух функций f([A]) и g([A]) будут совпадать, если совпадают
значения функций f(z), g(z) на спектре матрицы [A], т.е. выполняются равенства
),,2,1(),()( nkgf
kk
K
==
λ
λ
. (2.47)
Построим интерполяционный многочлен g (
z
) Лагранжа
степени (n-1):
+
−−−
−−−
= )(
)()()(
)()()(
)(
1
13121
32
λ
λλλλλλ
λ
λ
λ
f
zzz
zg
n
n
K
K
++
−−−
−−−
+
K
K
K
)(
)()()(
)()()(
2
23212
31
λ
λλλλλλ
λ
λ
λ
f
zzz
n
n
),(
)()()(
)()()(
121
121
n
n
nnnn
n
n
f
zzz
λ
λλλλλλ
λ
λ
λ
−
−
−−−
−−−
+
K
K
(2.48)
который в точках
k
z
λ
= принимает значения ).(
k
f
λ
Имеем ).()(
kk
fg
λ
λ
=
gA f A]) ([ ])
=
Заме-
няя аргумент z матрицей [A], приходим к известной зависимости для функции
от матрицы, причем поскольку выполняется (2.47), то
([ .
Имеем
.)(
)()()(
)]([)]([)]([
)(
)()()(
)]([]([)]([
)(
)()()(
)]([)]([)]([
])([
121
121
2
23212
31
1
13121
32
n
nnnn
n
n
n
n
n
f
EAEAEA
f
EAEAEA
f
EAEAEA
Af
λ
λλλλλλ
λλλ
λ
λλλλλλ
λλλ
λ
λλλλλλ
λ
λ
λ
−
−
−−−
−−−
+
++
−−−
−−−
+
+
−−−
−−−
=
K
K
K
K
K
K
K
(2.49)
Формула (2.49) носит имя Лагранжа-Сильвестра и, в отличие от формулы
(2.44), дает представление функции от матрицы через интерполяционный
полином.
Сравнивая формулы (2.44), (2.49), получаем выражение для проекторов
которые называются также компонентами матрицы [A]: ),,,2,1(][ nkP
k
K
=
ks
EA
P
sk
s
n
s
k
≠
−
−
=
Π
=
,
][
][
1
λλ
λ
. (2.50)
42
Это выражение, вслед за (2.36 ), (2.37), определяет третий способ вычисления
проекторов матрицы.
ПРИМЕР 2.3
Найдем проекторы матрицы [A], рассматриваемой в предыдущем
примере 2.2.
.1,5;
34
21
][
21
−==
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
λλ
A
По формуле (2.50) получим сразу
,
22
11
3
1
44
22
6
1
134
211
6
1
)]([
][
21
2
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
=
−
−
=
λλ
λ
EA
P
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−=
−
−
=
12
12
3
1
12
12
3
1
24
24
6
1
534
251
6
1
][
][
12
1
2
λλ
λ
EA
P
.
Замечание 2.1
Пусть )(z
ϕ
- характеристический многочлен матрицы [A]:
).()()()(
21
n
zzzz
λ
λ
λ
ϕ
−−−=
K
Из теоремы Гамильтона - Кэли [3] следует равенство
0)]([)]([)]([])([
21
=−−−= EAEAEAA
n
λ
λ
λ
ϕ
K
.
Умножим сначала слева, а потом справа равенство (2.50) на )]([ EA
k
λ
− .
В результате получим
.0
)(
])([
)]([][
,0
)(
])([
])[]([
,1
,1
=
−
=−
=
−
=−
∏
∏
≠=
≠=
n
kss
sk
kk
n
kss
sk
kk
A
EAP
A
PEA
λλ
ϕ
λ
λλ
ϕ
λ
Следовательно, имеем
43
.][][][
][]][[
kkk
kkk
PAP
PPA
λ
λ
=
=
Значит, все столбцы матриц [ пропорциональны правым собственным
векторам
k
P]
k
X матрицы[A], а все строки матриц пропорциональны левым
собственным векторам
k
P][
k
Y матрицы [A].
Следовательно, матрицы
[]
, независимо от их размерности, имеют
ранг, равный единице.
P
k
Вопросы для самопроверки
1.
Запишите формулу для нахождения проекторов матрицы через её
собственные значения.
2.
Каков ранг проектора?
3.
Влияет ли величина размерности проектора на его ранг?
2.7. Резольвента матрицы [A]
Рассмотрим вспомогательную функцию
zp
zf
−
=
1
)(.
При достаточно большом значении модуля комплексного параметра p
функция f(z) однозначна в круге, содержащем собственные числа
),,2,1( nk
k
K=
λ
матрицы [A].
В этом случае функция
k
k
p
f
λ
λ
−
=
1
)(
1
не обращается в бесконечность.
По формуле (2.44) находим
n
n
P
p
P
p
P
p
AEpAf ][
1
][
1
][
1
])[(])([
2
2
1
1
1
1
λλλ
−
++
−
+
−
=−=
−
K
. (2.51)
Заменяя p на z , формулу (2.51) запишем в таком виде:
∑
=
−
−
=−
n
k
k
k
z
P
AzE
1
1
][
])[(
λ
. (2.52)
Левые части формул (2.51) и (2.52) называют резольвентой матрицы [A].
44
2.8. Использование формулы Коши для представления
функции от матрицы
Пусть аналитическая функция f(z) однозначна в некоторой односвязной
области D, содержащей спектр матрицы [A] - совокупность собственных чисел
матрицы.
Имеем в соответствии с формулой (2.44)
,][)()][(
1
∑
=
=
n
k
kk
PfAf
λ
где
,)(
k
f
λ
согласно формуле Коши [9], будет
zd
z
zf
j
f
k
k
∫
Γ
−
=
λπ
λ
)(
2
1
)( . (2.53)
Контур Г в комплексной плоскости z (Рис.2.1.) охватывает весь спектр
матрицы [A].
Имеем, вынося знак интеграла за знак суммы
zd
z
P
zf
j
Af
n
k
k
k
∫
∑
Γ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
1
][
)(
2
1
][
λπ
.
Принимая во внимание формулу (2.52), получим окончательно
zd
AzE
zf
j
Af
∫
Γ
−
=
][
)(
2
1
][
π
. (2.54)
Видим, что полученная формула аналогична формуле Коши (2.53).
Из формулы (2.54) следует, что
аналитическая функция от матрицы [A] является
непрерывной функцией, т.е. при непрерывном,
достаточно малом, изменении элементов матрицы
[A] элементы матрицы f [A] изменяются тоже
непрерывно.
Рис. 2.1
45
2.9. Представление проекторов матрицы через ее резольвенту
Структура правой части формулы (2.52) показывает, что проектор
можно рассматривать как вычет
k
P][
1
функции
1
])[(][
−
−=
AzEAf
в точке
k
z
λ
= .
Поэтому
kk
Г
i
n
i
i
PjP
jz
dz
P
j
zdAzE
j
kk
][2][
2
1
][
2
1
])[(
2
1
1
1
==
−
=−
∫
∑
∫
=
Γ
−
π
πλππ
,
где
- замкнутый контур, охватывающий точку
k
Γ
k
z
λ
=
и не содержащий
внутри себя других точек ),,2,1,( nsksz
s
K
=≠=
λ
.
Таким образом ,
zdAzE
j
P
k
k
∫
Γ
−
−=
1
])[(
2
1
][
π
. (2.55)
Это выражение вслед за формулами (2.36), (2.37), (2.50) дает четвертый
способ нахождения проекторов матрицы.
Если контур
γ
охватывает несколько точек спектра ,,,
1 s
λ
λ
K
то находим сумму соответствующих проекторов по формуле
zdAzE
j
PP
s
∫
−
−=++
γ
π
1
1
])[(
2
1
][][
K
. (2.56)
2.10. Резольвента матрицы с кратным спектром
1
Функция
)(
z
f
, аналитическая внутри кольца с центром в точке a
(это может быть круг с выколотым центром a), представляется рядом Лорана
. Коэффициент этого ряда называется вычетом функции в точке
. Его можно определить по формуле
n
n
n
azCzf )()( −=
∑
∞
∞−=
a
1−
C
Выч
=
−1
C
∫
Γ
=
= ,)(
2
1
)( zdzf
j
zf
az
π
где Г - замкнутый контур с точкой внутри,
обходимый против часовой стрелки.
a
Это выражение следует из известных равенств:
⎩
⎨
⎧
−=
−≠
=−
∫
.1,2
,1,0
)(
nj
n
dzaz
Г
n
π
46
Пусть теперь матрица [A] имеет собственные числа
μ
λ
λ
λ
,,,
21
K
кратности
. Ее характеристический многочлен имеет разложение
.21
,,,
μ
nnn
K
[ ]
,)()()(][det)(
21
21
μ
μ
λλλϕ
n
nn
zzzAzEz −−−=−= K
причем .
21
nnnn =+++
μ
K
Из формулы (2.52) видно, что резольвента матрицы [A] (т.е. матрица,
обратная матрице
Ez - [A]
при простой структуре последней может быть разложена на элементарные
дроби (представлена в виде суммы элементарных дробей, имеющих структуру
).
][
k
k
z
P
λ
−
При наличии матрицы [A] упомянутого выше общего вида можно показать
[3,7], что ее резольвента также может представляться суммой элементарных
дробей:
⎥
⎦
⎤
−
−
++
−
+
⎢
⎣
⎡
−
=−
∑
=
−
k
k
n
k
nkk
k
k
k
k
k
z
Bn
z
B
z
B
AzE
)(
][!)1(
)(
][!1][
])[(
2
2
1
1
1
λλλ
μ
K
, (2.57)
где
матрицы ) называются компонентами матрицы [A]. Они
не зависят от вида функции f (z) и определяются полностью матрицей [A].
,,2,1(][
ksk
nsB K=
Матрицы совпадают с проекторами
1
][
k
B
k
P][.
,][][
1 kk
PB =
),(0][][][][,][][][][][ kiPBBPBPBBP
iskskiskkskskk
≠====
[ ]
[]PB
i
i
=
1
,
k
nsik ,,2,1,,,2,1, KK ==
μ
. (2.58)
Остальные, как показано в [2,8], выражаются через проекторы
[
по формуле
]
k
P
k
r
k
rk
P
r
EA
B ][
!)1(
)]([
][
1
−
−
=
−
λ
, (2.59)
где .,,3,2
k
nr K=
47
2.11. Функции от матрицы с кратным спектром
Применяя формулу Коши (2.54) для функции от матриц с учетом
представления (2.57), получим
=
⎥
⎥
⎦
⎤
−
−
++
−
+
⎢
⎣
⎡
−
=
−
=
∫
∑
∫
Γ
=
zd
z
Bn
z
B
z
B
zf
jAEz
dzzf
j
Af
k
k
n
k
nkk
k
k
k
k
k
Г
)(
][)!1(
)(
][!1][
)(
2
1
][
)(
2
1
])([
2
2
1
1
λ
λ
λππ
μ
K
[] [] []
[]
,)()()(
)1(
21
1
k
k
nkk
n
kkkk
k
BfBfBf
λλλ
μ
−
=
++
′
+=
∑
K
(2.60)
поскольку, как известно [9]
.
)(
)(
2
!
)(
1
)(
∫
Γ
+
−
=
n
n
z
zdzf
j
n
f
λπ
λ
Здесь предполагается, что контур Г охватывает весь спектр матрицы [A].
Формула (2.60) обобщает выражение (2.44), давая представление функции
от матрицы для матриц общего вида.
Замечание 2.2
Если в формуле (2.60) положить f (z)= , то получим представление
матрицы [A] общего вида через ее компоненты и собственные числа
z
2
1
1
][][(][
k
k
kk
BBA +=
∑
=
μ
λ
. (2.61)
Формула (2.61) обобщает полученное ранее выражение (2.35) для
матрицы [A] простой структуры.
ПРИМЕР 2.4
Применим формулу (2.60) для нахождения функции от матрицы
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
32
21
][A
с единственным собственным числом ,1)1(
1
==
λ
μ
имеющим кратность 2
1
=n .
Для аналитической функции f (z) однозначной в точке z=1 имеем
представление вида (2.60)
48
,][)1(][)1(])([
1211
BfBfAf
′
+=
где матрицы и не зависят от вида функции f (z).
11
][B
12
][B
1) Возьмем вначале функцию ,1)(
≡z
f
следовательно,
1)1()(;])([
1
==≡ ffEAf
λ
;
. Имеем 0)1( =
′
f .][
11
BE=
2) Возьмем далее функцию .)( zz
f
= Имеем: .1)1(;1)1( =
′
= ff Следовательно,
отсюда
,1211
][][][ BBA +=
.
22
22
10
01
32
21
][][][
1112
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=−= BAB
3) Формула для произвольной функции от данной матрицы [A] имеет вид
.
22
22
)1(
10
01
)1(])([
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
′
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
= ffAf
4) Для проверки вычислим обратную матрицу задавшись
,][
1−
A
1
)(
−
=zzf
;
.1)1(;1)1( −=
′
= ff
Отсюда
.
12
23
22
22
1
10
01
1][
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−
A
Проверяем
EAA =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
−
10
01
12
23
32
21
][][
1
.
Возможен и другой, более общий, подход для решения этой задачи.
•
Как известно из свойств проекторов имеем:
.][][
1
1
EPP
k
k
==
∑
=
μ
Поэтому
.][][
111
EPB
==
•
Далее согласно (2.59) справедливо
•
.
22
22
132
211
][
!1
][
][
1
1
12
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−−
=
−
= P
EA
B
λ
49
Вопросы для самопроверки
1.
Как выглядит резольвента матрицы?
2.
Запишите формулу для функции от матрицы через резольвенту
этой матрицы.
3.
Запишите формулу для нахождения проектора матрицы через
резольвенту этой матрицы.
4.
Как выглядит спектральное расщепление матрицы с кратным
спектром?
2.12. Проекторы матрицы произвольной структуры
Будем предполагать, что матрица [A] имеет собственные числа
μ
λ
λ
,,
1
K
кратности .
μ
nn ,,
1
K
Найдем представление функции от матрицы по формуле (2.60) и
покажем, что матрицы являются проекторами матриц. Действительно,
возьмем замкнутые контуры
1
][
k
B
k
Γ
, каждый из которых охватывает лишь одну
точку
k
z
λ
=
и лежит в области однозначности D функции )(z
f
. Дадим такое
бесконечно малое приращение ][
A
Δ
матрице [A], чтобы все ее собственные
числа стали различны, но не выходили из контуров
k
Γ . Тогда формулы
),,2,1(,])[(
2
1
])([][
1
μ
π
K
=−=
−
Γ
∫
kzdAzE
j
AP
k
k
в соответствии с равенством (2.56) определяют сумму проекторов матрицы
],[][][ AAA Δ+=
соответствующих собственным числам этой матрицы
],[ A
лежащим в контуре . Для них выполняются соотношения :
k
Γ
(
)
(
)
(
)
() ()
() ()
EAPAP
sskAPAP
APAPAP
sk
kkk
=++
=≠=
=
][][][][
);,,2,1,(0][][][][
;][][][][][][
1
μ
μ
K
K
и ранг каждого проектора
])([][ AP
k
равен .
k
n
Сделаем предельный переход при .0][ →
Δ
A
При этом все предыдущие
равенства перейдут в следующие:
50