Афанасьев А.А. Математические основы теории систем управления
Подождите немного. Документ загружается.
Решение уравнения (2.93) при начальных значениях
)(
0
tx будет равно:
[
]
.,,2,1),(][где
,)()()()]([)(
0
1
)(1
000
0
21
kjkjk
k
ttn
nkkk
njtxBB
ettBttBBtxtXtx
kk
k
K
K
==
−++−+==
∑
=
−−
μ
λ
(2.100)
Из формулы (2.100) видно, что каждый -й элемент решения i
)(tx
является суммой произведений многочленов от
t
и экспонент
Например, при 0 имеем
.
,
)(
0
tt
k
e
−
λ
0
=t
)()()()(
21
21
t
i
t
i
t
i
i
etCetCetCtx
μ
λ
μ
λλ
+++= K
где
.,,2,1,)(
1
21
nitBtBBtC
k
k
n
nk
i
k
i
k
i
k
i
KK =+++=
−
Формулу (2.100) можно записать ещё более компактно:
∑
−
= ,)()(
)(
0
tt
k
k
etCtx
λ
где
.)()()(
1
0021
−
−++−+=
k
n
knkkk
ttBttBBtC
K
Если
[
- матрица с простым спектром
]A
),,...,2,1,1( nkn
k
== то решение
)(tx совпадает с (2.97) и имеет особенно простой вид :
)(
1
1
0
)(
tt
n
k
k
k
eBtx
−
=
∑
=
λ
. (2.101)
Решение неоднородных уравнений состояния.
Неоднородное
дифференциальное уравнение с постоянной матрицей
][
A
)()(][
)(
tftyA
dt
tyd
+=
(2.102)
имеет решение (1.14)
∫
−+=
t
t
dftXtytXty
0
)()]([)()]([)(
0
τττ
, (2.103)
61
где
- фундаментальное решение соответствующего
однородного уравнения, представляемое формулой (2.98);
)(][
0
)]([
ttA
etX
−
=
)(][
)(][
1
00
)]([)]([)]([
τ
ττ
ττ
−
+−−
−
===−
tA
ttA
eeXtXtX (2.104)
- матрица Коши.
C учетом формулы (2.98) для матрицы Коши получим выражение
{
}
)(1
2
1
1
][)(][)(][)]([
τλ
μ
τττ
−−
=
−++−+=−
∑
t
nk
n
k
k
k
k
k
k
eBtBtBtX
K
. (2.105)
Найдем решение неоднородного дифференциального уравнения (2.102) для
внешнего воздействия специального вида :
t
etCtf
αβ
=)( . (2.106)
Частное решение системы (2.102)
∫
−=
t
dftty
0
)(])([)(
~
τττ
X (2.107)
после использования формул (2.105) и (2.106) можно привести к виду
t
nk
nk
k
k
k
k
k
k
k
k
eBtMBtMBtMty
λ
μ
])()()([)(
~
2
2
1
1
1
+++=
∑
=
K
, (2.108)
где
kjkjk
njCBB ,...,2,1,][ ==
; .)()(
)(
0
1
τττ
τλα
β
dettM
k
t
j
jk
−
−
∫
−=
При простом спектре матрицы
][
A
формула (2.103) примет более простой вид
,1
1
1
)()(
~
k
n
k
k
t
BtMety
∑
=
=
α
(2.109)
где
.
)(
!
)1(
)(
!
)1(
)(
)1(
)(
)(
1
1
3
2
2
1
1
+
−
−−
−
−+
−
−+
+−
−
−
+
−
−
−
=
β
β
β
β
βββ
λα
β
λα
β
λα
ββ
λα
β
λα
kk
kkk
k
t
ttt
tM K
62
Решение неоднородного дифференциального уравнения (2.102) равно
сумме общего (свободной составляющей) и частного (принужденного) решений
,
~
)()( ytxty +=
(2.110)
где первое слагаемое представлено формулой (2.100), второе – формулами
(2.108) или (2.109).
Обратим внимание, что в соответствии с формулой (2.107) принужденная
составляющая имеет нулевое начальное значение при
0=
t
.0)0(
~
=y
(2.111)
Свободная составляющая решения неоднородного дифференциального
уравнения соответствует процессам при отсутствии внешних источников
энергии
)0)(( ≡tf и обусловлена внутренней энергией системы в начальный
момент времени ).0( =
t
Принужденная составляющая определяется видом функции внешнего
воздействия
).(tf Она соответствует процессам, которые протекали бы при
нулевых начальных значениях
.0)0(
≡
y
Вопросы для самопроверки
1.
Напишите формулу решения однородного уравнения состояния с
постоянной матрицей, используя проекторы этой матрицы, имеющей
простой спектр.
2.
Напишите формулу решения однородного уравнения состояния с
постоянной матрицей, имеющей кратные собственные значения, на
основе спектрального расщепления матрицы.
3.
Как выглядит частное решение неоднородного уравнения состояния на
основе спектрального расщепления матрицы.
4.
Какова формула для свободного решения неоднородного уравнения
состояния на основе спектрального расщепления матрицы.
2.15. Левое преобразование Лапласа (ЛПЛ)
Интегральные преобразования Лапласа. ЛПЛ может эффективно
использоваться для нахождения установившегося режима уравнения состояния.
При обычном преобразовании Лапласа вещественной функции с
аргументом во временной области )(
t
f
(оригиналу) вводят в соответствии
63
функцию комплексного переменного )(
p
F (изображение) с помощью
интеграла Лапласа
(2.112)
,)(( tdtfF )
0
ep
∫
∞
−
=
tp
в котором
ω
σ
j
p
+= - некоторое комплексное число.
Интегральное преобразование (2.112) называют прямым преобразованием
Лапласа.
Для существования интеграла Лапласа функция ),(
t
f
как оригинал,
должна удовлетворять трем условиям:
1) 0)( =
t
f
при 0<
t
;
2) При 0≥
t
должна иметь конечное число экстремумов и конечное число
разрывов первого рода на конечном любом интервале (условия Дирихле);
3) Должны существовать вещественные постоянные
α
и ),(
α
A
при
которых
.0,)()( >≤ teAtf
t
α
α
Следовательно, рост функции )(
t
f
при
∞→
t
должен быть ограничен
некоторой экспоненциальной зависимостью.
Постоянная называется показателем роста функции
α
)(
t
f
.
Изображение )(
p
F
определено (интеграл (2.107) абсолютно сходится),
если .
α
σ
>=
p
R
e
По заданной функции )(
p
F
с помощью обратного преобразования
Лапласа может быть найден оригинал
,)p(Fe
j
j
tp
ω
ω
2
1
)( pd
j
tf
∫
+
−
=
σ
σ
π
где
σ
α>
. (2.113)
Наряду с обычным преобразованием Лапласа при решении уравнений
состояния большое значение имеет преобразование Лапласа функции,
сдвинутой влево (ЛПЛ) [2,10]
,);(
0
τ
etpF
=
∫
∞
−
)d(
τ
τ
tf
p
+
где 0
>
t
. (2.114)
Из формулы (2.114), с учетом следующих равенств:
0)(
≡+
τ
t
f
при
t
,0
<+
τ
64
(2.115) ,)()()(
0
0
ττττ
τ
∫∫∫
∞
−−
∞
−
•−•=+
tt
p
dddtfe
легко установить, что ЛПЛ связано с обычным преобразованием Лапласа
соотношением
2
])()([);(
0
ττ
dfepFetpF
t
tptp
∫
−
−=
. (2.116)
Действительно, примем
T
t =+
τ
. Следовательно,
dTd =
τ
, так как
t
-параметр.
Поэтому для правой части формулы (2.115) будет справедливо
∫∫∫∫
−
∞
−−−
∞
−−
−=− ].)()([)()(
0
)(
0
)(
dTTfedTTfeedTTfedTTfe
pTpTpttTptTp
Полученный результат совпадает с формулой (2.116).
Изображения некоторых функций, полученные с помощью формул
(2.112) и (2.116) , приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Оригинал Изображения
)(
t
f
)(
p
F
),(
t
p
F
A
A/p
A/p
t
e
α
α
−
p
1
α
α
−
p
e
t
)(sin
ψ
ω
+
t
22
cossin
ω
ψ
ω
ψ
+
+
p
p
22
)cos()sin(
ω
ψ
ω
ω
ψ
ω
+
+++
p
ttp
2
Для функций, сдвинутых вправо, изображение имеет другой, более простой,
вид [11]
)()( pFetf
tp−
÷−
τ
.
65
)(cos
ψ
ω
+
t
22
sincos
ω
ψ
ω
ψ
+
−
p
p
22
)sin()cos(
ω
ψ
ω
ω
ψ
ω
+
+−+
p
ttp
t
2
1
p
2
1
pp
t
+
0),(
00
≥−
ttt
δ
0
tp
e
−
−
−
1[
)(
0
ttp
e
1
])(
0
tt−
Здесь
1
)(
0
tt− - единичная функция (функция Хэвисайда):
1
=− )(
0
tt
если
,
0
,1
⎩
⎨
⎧
0
;0
tt
t
≤
>
.
При известном отображении ),(
t
p
F
легко найти
0
);()(
=
=
t
tpFpF
.
Приведем также формулу ЛПЛ для отображения производной функции
)(
t
f
).();()( tftpFptf
−÷
′
(2.117)
Обозначим Используя предыдущую формулу, получим ).()(
1
tftf
′
=
[ ]
.)(
1
)(
1
);(
)()();()();()()(
2
2
111
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′
−−=
=
′
−
−=−÷
′′
=
′
tf
p
tf
p
tpFp
tftftpFpptftpFptftf
Аналогично
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′′
−
′
−−÷
′′′
)(
1
)(
1
)(
1
);()(
32
3
tf
p
tf
p
tf
p
tpFptf
;
LLLLLLLLLLLLL
.)(
1
);(
)(
1
)(
1
)(
1
),()(
)1(
1
)1(
2
)(
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
′
−−=
−
=
−
∑
tf
p
tpFp
tf
p
tf
p
tf
p
tpFptf
j
n
j
j
n
n
n
nn
K
(2.118)
66
Нахождение изображений ЛПЛ для периодических кусочно-
полиномиальных, кусочно- синусоидальных и импульсно-
модулированных функций.
При решении неоднородных уравнений состояния
(2.102) в качестве компонентов вектора внешнего воздействия
)(tf
могут
выступать периодические зависимости произвольного вида. Эти зависимости
могут быть аппроксимированы
корректным образом при использовании трех
классов функций.
1) Периодические кусочно-полиномиальные функции (рис. 2.6)
;)()(
0
k
N
k
kjj
tatutu
∑
=
==
[
]
,;,...,2,1;,
1
∞<=∈
−
Nrjttt
jj
(2.119)
составленные из отрезков полиномов степени n. На каждом j-ом отрезке
периода имеем свой полином.
u
u
1
0
t
0
t
1
u
2
u
r + 1
t
2
t
r −1
tT
r
=
t
r +1
u
3
u
r
t
Рис. 2.6
2) Кусочно-синусоидальные функции (рис. 2.7)
);(sin)()(
1 jjj
tAtutu Ψ+=
ω
[
]
,,...,2,1;,
1
rjttt
jj
=∈
−
(2.120)
составленные из отрезков синусоид. На каждом j-ом отрезке периода имеем
свою синусойду.
67
u
u
r −1
u
r
u
1
u
r +1
0 t
0
t
1
t
2
t
r −1
tT
r
= t
r +1
u
2
u
3
u
r +2
t
Рис. 2.7
3) Функции с импульсной модуляцией (импульсно-модулированные функции)
(2.121)
∑
=
−
′′
=
′
=
N
k
k
tttftutu
1
),()()()(
δ
где
)(,],0[
T
t
ETttTt
k
−=
′
∈ соответствует времени первого периода функции
),(
t
u т.е. )(];,0[ TtETt ∈
′
- функция Антье, равная наибольшей целой части
аргумента
Tt
.
-некоторая непрерывная периодическая функция периода )()( tftf
′
=
.
T
Изображение );(
t
p
U
периодических, сдвинутых влево, функций, как
известно [11], может быть представлено через интеграл с конечным интервалом
интегрирования, равным периоду функций .
T
pT
T
p
e
dtue
tpU
−
−
−
+
=
∫
1
)(
),(
0
ττ
τ
. (2.122)
При нахождении определенного интеграла следует величину
t
рассматривать
как положительный параметр ],[)0(
1 jj
tttt
−
∈> и ввести переменную .0>+=
τ
t
z
Тогда 0>−=
t
z
τ
.
68
t z
0
t
j −1
t
j
tT
r
=
τ
0
tt
j
−
tt
jr+−
−
1
tt
jr+
−=
Рис. 2.8
T
Пользуясь периодичностью функции ),(
t
u расчет определенного
интеграла начинаем с точки
jj
ttt <<
−1
, находящейся в j - ом интервале (этой
точке соответствует значение )0
=
τ
, а заканчиваем в крайней правой точке
)(
r
j+ - го интервала (смещаемся от точки t
j
t
j
t<<
−1
на период
T
по оси
t
, этой
точке
T
t
+ соответствует значение
T
=
τ
).
В результате интегрирования по формуле (2.122) будем иметь
изображение первого класса функций в таком виде
++++
⎢
⎣
⎡
−=
+
−+
=
−
−
−
−
=
−−−
∑
∫∫
+
ττττ
τ
τ
τ
dtuedtueetpU
i
rj
ji
tt
tt
p
tt
j
pTp
i
i
j
)()()1(),(
1
1
0
1
1
]
[ ]
jjrj
T
t
p
tttdtue
rj
,,)(
1
1
−+
−
∈++
∫
−+
ττ
τ
.
Для полинома степени ,
N
как известно, справедливо
.
)()1()()1(
)(
0
1
)(
0
1
)(
∑∑
∫
=
+
−
=
+
−−
+−
−
+−
=+
N
k
k
kk
bp
N
k
k
kk
b
a
app
p
btu
e
p
atu
edtue
ττ
τ
Тогда для изображения будем иметь
∑∑
=
+
+
−
=
+
−−
+
+−
−
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
N
k
k
k
rj
k
Tp
N
k
k
k
j
k
Tp
p
tu
e
p
tu
etpU
0
1
)(
0
1
)(
1
)()1(
)()1(
)1(),(
τ
69
⎥
⎦
⎤
−−−
+
−
−+
==
+
+
∑∑
)
(
1
0
1
)()(
1
)()1()()1(
i
ttp
rj
ji
N
k
k
i
k
i
k
i
k
i
k
e
p
tutu
.
С учетом равенство
получим окончательно ),()(
)(
)(
)(
Ttuutu
k
rj
k
j
k
+==
+
,
)()(
)1()1(
)()1(
),(
1
0
)(
1
)()(
1
1
0
1
)(
∑∑∑
−+
==
−
+
+
−−
=
+
−
−−+
−
=
rj
ji
N
k
ttp
k
i
k
ii
k
i
kpT
N
k
k
kk
i
i
e
p
tutu
e
p
tu
tpU
].,[
1 jj
ttt
−
∈
Формулы для изображений двух остальных классов функций приведены в
[2].
Вопросы для самопроверки
1.
Напишите формулу преобразования Лапласа для временной функции,
сдвинутой влево.
2.
В чём отличие изображений производной функции для обычного и левого
преобразования Лапласа.
3.
Как можно аппроксимировать периодические функции произвольного
вида?
4.
Напишите формулу для импульсно-модулированной функции.
2.16. Применение ЛПЛ для решения уравнений состояния
Уравнения состояния общего вида.
Для простоты сначала будем
считать, что матрица ][
A
в уравнении (2.102) имеет простой спектр.
Представим решение этого уравнения в виде суммы установившейся и
преходящей составляющих
).()()( tytyty
′′
+
′
=
По определению установившаяся составляющая удовлетворяет
исходному уравнению (2.102)
.)()(][)( tftyAty
td
d
+
′
=
′
(2.123)
70