Афанасьев А.А. Математические основы теории систем управления
Подождите немного. Документ загружается.
.
2
)]([
23232
32232
323232
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−+−
−+−
−−+−
=
ttttt
ttttt
tttttt
eeeee
eeeee
eeeeee
tx
2.2. Фундаментальное решение однородного уравнения состояния
на основе разложения матричной экспоненты в бесконечный ряд
Имеем в соответствии с (2.5)
yJ
d
t
yd
][= , (2.24)
где
- жорданова матрица,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
μ
][0
][
0][
][
2
1
J
J
J
J
O
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
i
i
i
i
J
λ
λ
λ
...000
............
0...10
0...01
][=
1
][IE
i
ii
+
λ
, здесь - единичная матрица
порядка - ее первый единичный косой ряд, развернутое
изображение которого приведено в (2.10).
i
E
1
][, In
i
i
Фундаментальная матрица решения однородного уравнения (2.24) при 0
0
=t
имеет вид
tJ
etY
][
])([ = .
Причем, как известно
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
==
∑∑
∞
=
∞
=
!
][00
0][0
00][
!
][
0
2
1
0
][
k
t
J
J
J
k
t
Je
k
k
k
k
k
k
k
ktJ
μ
L
LLLL
L
L
31
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
0
0
2
0
1
!
][00
0
!
][0
00
!
][
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
t
J
k
t
J
k
t
J
μ
L
LLLL
L
L
= .
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
tJ
tJ
tJ
e
e
e
μ
][
][
][
00
00
00
2
1
L
LLLL
L
L
Для -й клетки последней матрицы в соответствии с формулой бинома
Ньютона справедливо:
i
.][
)!(!
!
!
)][(
!
1
00
1
0
][
rrk
i
k
k
r
k
ki
ii
k
k
tJ
I
rkr
k
k
t
IE
k
t
e
i
−
∞
==
∞
=
∑∑∑
−
=+=
λλ
Имеет место равенство [1]:
r
iri
II
][][
1
= , причем при 0 .][ =
r
i
I
i
nr
≥
Поскольку , то , меняя местами суммы, получим: ,0
rkrk
tttrk
−
=≥−
,][
!)!(
)(
!
][
1
00
][
r
i
n
r
r
t
rk
rk
i
r
r
ir
tJ
I
r
t
e
rk
t
r
It
e
i
ii
∑∑∑
−
=
∞
=
−
∞
=
=
−
=
λ
λ
где
.0
][
irr
i
EI
=
=
.
В результате будем иметь
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
−
−
−
1000
)!3(100
)!2(!110
)!1(!2!11
3
2
1
2
][
L
LLLLL
L
L
L
i
n
i
n
i
n
ttJ
nt
ntt
nttt
ee
i
i
i
ii
λ
. (2.25)
Вопросы для самопроверки
1.
Как выглядит матрица Жордана?
2.
Сравните фундаментальные решения однородных уравнений состояния с
постоянными матрицами, имеющими различные и кратные собственные
значения.
32
3.
Запишите формулу для i -ой компоненты вектора общего решения
однородного уравнения состояния с постоянной матрицей, имеющей
кратные собственные значения.
2.3. Сведение однородного дифференциального уравнения
n
-го
порядка к уравнению состояния с матрицей специального вида
Имеем однородное стационарное дифференциальное уравнение n-го
порядка
0
1
1
10
=+++
−
−
xa
td
xd
a
td
xd
a
n
n
n
n
n
L
. (2.26)
Введем обозначения:
.;;;
1
1
1
2
2
2
1
1
21
td
xd
td
xd
x
td
xd
td
xd
x
td
xd
td
xd
xxx
n
n
n
n
n
n
n
n
−
−
−
−
−
−
−
=======
L
Из уравнения (2.26), с учетом принятых обозначений, cледует:
.
1
0
1
0
2
0
1
0
2
2
0
2
1
1
0
1
x
a
a
x
a
a
x
a
a
x
a
a
td
xd
a
a
td
xd
a
a
dt
xd
dt
dx
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
−−−−=−−−==
−
−
−
−
−
LL
Таким образом, дифференциальное уравнение -го порядка (2.26) сводится к
системе однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка
n
,][ xA
td
xd
= (2.27)
где
[
A
]=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−−
−−
0
1
0
2
0
1
0
1000
0100
0010
a
a
a
a
a
a
a
a
nnn
L
L
LLLLL
L
L
,
T
21
][][
n
xxxx K=
.
Характеристическая матрица для системы (2.27) имеет вид
33
.
1000
000
010
001
][][
0
1
0
2
0
1
0
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−−−
−
−
−
=−
−−
λ
λ
λ
λ
λ
a
a
a
a
a
a
a
a
EA
nnn
KK
KK
KKKKKK
KK
KK
KK
(2.28)
Определитель этой матрицы
[]
)()1()(][
1
10
λ
λ
λ
λ
MaaaEAdet
n
n
nn
=−+++=−
−
L
.
Если вычеркнуть первый столбец и последнюю строку матрицы (2.28), то
получим матрицу, определитель которой равен единице. Следовательно,
матрица (2.28) эквивалентна матрице
[][]
EA
λ
−
∞
.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
)(000
0100
0010
0001
λ
M
L
LLLLL
L
L
L
Отсюда следует, что если полином
)(
λ
M
имеет корень
j
λ
кратности
),...,,2,1(
μ
=
jn
j
то матрица (2.28) имеет элементарный делитель
. (2.29).
j
n
j
)(
λλ
−
Произведение всех элементарных делителей (2.29) есть
характеристический полином матрицы [
A
]:
. Поэтому корню
кратности будут соответствовать решений вида
j
n
j
j
)()(
1
λλλϕ
μ
−=
Π
=
λ
j
j
n
j
n
tn
n
jj
j
etCtCtCC
λ
)(
1
1
2
210
−
−
++++
L
.
Как и для матрицы
][
A
общего вида -я компонента решения уравнения (2.26)
будет равна:
i
34
,)(
1
t
j
jii
j
etPx
λ
μ
∑
=
=
ni
,...,2,1= .
Полиномы ) имеют степени не выше ((
tP
ji
)1−
j
n
.
2.4. Спектральное расщепление матрицы. Проекторы матрицы
Пусть матрица
][
A
порядка
nn
× имеет
n
собственных векторов
n
XXX
,,,
21
L
с соответствующими собственными числами
.,,,
21 n
λ
λ
λ
L
Сформируем неособенную матрицу [
S
], столбцами которой являются
собственные векторы
),...,2,1(
nkX
k
= .
].[][
2
1
n
XXXS
L
= (2.30)
Преобразование пособия ] преобразует матрицу [][][
1
SAS
−
][
A
в
соответствующую форму Жордана [:]
J
. (2.31)
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
==
−
n
SASJ
λ
λ
λ
L
LLLL
L
L
00
00
00
][][][][
2
1
1
Видим из (2.31), что
[][][]][
S
A
J
S
= . Или
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
nnnnn
nn
nn
SSS
SSS
SSS
λλλ
λλλ
λ
λ
λ
L
MMMM
L
K
2211
2222211
1122111
= ]][[
S
A
.
Следовательно,
kkk
XAX
][=
λ
, (2.32)
где
nkSSSX
knkkk
,...,2,1,][
T
21
==
L
-правый собственный вектор
матрицы ].[
A
Аналогично из (2.31) имеем:
35
][][][][
11
ASSJ
−−
= или
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
nnnnnnn
n
n
TTT
TTT
TTT
λλλ
λλλ
λ
λ
λ
L
LLLL
K
L
21
22222212
11121111
= ,][][
1
AS
−
где
.
Следовательно,
],[
AYY
kkk
=
λ
(2.33)
где
nkTTTY
nkkkk
,,2,1,][
21
KK
== - левый собственный вектор матрицы [
A
].
Отсюда следует, что столбцы матрицы [
S
] являются правыми
собственными
векторами матрицы [
A
], а строки матрицы являются
левыми собственными векторами матрицы [
1
][
−
S
A
].
Уравнение (2.31) можем записать в виде
,][][][]][[][][
2211
1
nn
QQQSASJ
λ
λ
λ
+++==
−
L
(2.34)
где
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
100
000
000
][,
000
010
000
][,
000
000
001
][
21
L
L
L
L
LLLL
L
L
L
LLLL
L
L
n
QQQ .
Откуда находим спектральное расщепление матрицы [A]:
nn
PPPASJS ][][][][][][][
2211
1
λ
λ
λ
+++==
−
K (2.35)
где
, (2.36)
1
][]][[][
−
=
SQSP
kk
k n,...,2,1= - проекторы матрицы [
A
], имеющие размерность nn× .
Выполняя умножение матриц в соответствии с формулой (2.36), можно
получить , что
36
[] []
[]
.
00
00
00
21
2
1
21
22212
12111
2
1
nkkk
kn
k
k
nkknkknkkn
nkkkkkk
nkkkkkk
kn
k
k
k
TTT
S
S
S
TSTSTS
TSTSTS
TSTSTS
T
S
S
S
P
K
M
K
K
K
KK
KK
LK
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
.
Следовательно,
[ ]
.
kk
k
YXP = (2.37)
Выражение (2.37) представляет второй способ нахождения проекторов матрицы
[
A
]. Первый способ - формула (2.36).
Свойства собственных проекторов матрицы
. Из определения обратной
матрицы вытекают соотношения
0;1
==
skkk
XYXY
),,2,1,,( nkssk K=≠ . (2.38)
В самом деле, произведение
[]
nsknsksk
ns
s
s
knkksk
STSTST
S
S
S
TTTXY +++=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
= L
M
K
2211
2
1
21
есть элемент единичной матрицы размера . Этот элемент при
n
ks
=
располагается на ее главной диагонали (на пересечении -й строки и -го
столбца) и, следовательно, равняется единице, при
k k
k
s
≠
он находится вне
главной диагонали и, следовательно, является нулевым.
Свойства проекторов матрицы.
Из соотношения (2.38) вытекают
важнейшие свойства проекторов
k
P][
kkk
PPP ][][][
=
, (2.39)
37
)(0][][ skPP
sk
≠=
, (2.40)
.][][][
21
EPPP
n
=+++
L (2.41)
Действительно, используя представление (2.37), получим равенства:
,][)()()(][][
kkkkkkkkkkkkk
PYXYXYXYXYXPP
====
00)()()(][]
====
sksskksskksk
YXYXYXYXYXPP ,
=+++=+++
−−−
11
2
1
121
][]][[][]][[][]][[][][][ SQSSQSSQSPPP
nn
LL
=
.][][][)][][]([][
11
21
ESESSQQQS
n
==+++
−−
L
Вопросы для самопроверки
1.
Какой вектор называется собственным вектором матрицы?
2.
В чём различие правых и левых собственных векторов?
3.
Чему равны произведения левого собственного вектора на правый?
4.
Запишите формулу для определения проекторов матрицы через её
собственные векторы.
5.
Сформулируйте три основных свойства проекторов матрицы.
2.5. Функции от матриц
Рассмотрим аналитическую функцию комплексного переменного ,)(z
f
представимую степенным рядом:
,)(
0
2
210
m
m
m
i
i
zazazazaazf
∑
∞
=
=+++++=
LL
сходящимся в круге
,Rz
<
содержащем собственные числа
k
λ
),,2,1( nk
L
=
матрицы [
A
]. Найдем аналитическое представление для этой функции, взяв в
качестве аргумента матрицу [
A
]:
KK
++++=
i
i
AaAaAaEazf ][][][)(
2
210
. (2.42)
38
Из свойств проекторов (2.39)-(2.40) и зависимости (2.35) вытекает простая
формула для степеней матрицы [
A
]:
k
n
k
m
kn
m
n
mmm
PPPPA ][][][][][
1
2211
∑
=
=+++=
λλλλ
L
.(2.43)
Поэтому ряд (2.40) можно представить в более наглядной форме:
[]
.][)(])[(][][
101 100
k
n
k
kk
m
n
k
n
km
m
kmk
m
km
m
m
m
PfPaPaAaAf
∑∑∑ ∑∑∑
=
∞
== =
∞
=
∞
=
====
λλλ
Следовательно, справедлива формула
nn
PfPfPfAf ][)(][)(][)(][
2211
λ
λ
λ
+++= L
. (2.44)
Видим, что функция f([A]):
1.
является матрицей порядка n х n,
2.
имеет те же собственные векторы
)...,,2,1( nkX
k
= , что и матрица [A],
3.
и им соответствуют собственные числа .f
k
()λ
Формулы (2.35) и (2.44) имеют одинаковую структуру. Проверим тезис об
одинаковости собственных векторов (допустим, правых) матриц [A] и f([A],
используя (2.38):
()
.)()(])([
1
kkk
n
j
jj
jk
XfXYXfXAf
λλ
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
∑
=
(2.45)
Полученное выражение (2.45), очевидно, аналогично (2.32).
Представление вида (2.44) называется спектральным расщеплением
функции от матрицы [A] простой структуры, когда число собственных
векторов равно порядку матрицы.
ПРИМЕР 2.2.
Найдем спектральное расщепление функции от матрицы [A]:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
34
21
][A
.
Определяем собственные числа
21
,
λ
λ
матрицы [A] из уравнения
39
[]
054
34
21
][
2
=−−=
−
−
=−
λλ
λ
λ
λ
EAdet
⇒
1;5
21
−==
λ
λ
и cоответствующие им собственные векторы:
XXA
λ
=
][ или
[]
,0 ..,0][
2
1
2221
1211
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=−
k
k
k
k
X
X
aa
aa
етXEA
λ
λ
λ
значит
0)(,0)(
222121212111
=−+=+−
kkkkkk
XaXaXaXa
λ
λ
,
.2,1=k
(2.46)
Поскольку из условия det
[ ]
0][
=− EA
λ
определены собственные значения матрицы
[A], то система (2.46) имеет бесчисленное множество решений, ее можно решить с точностью
до постоянного множителя.
Решив сиcтему (2.46) поочередно для
λ λ=
1
и
λ λ=
2
, найдем собственные
векторы
1
X
и
2
X
.
1) ;
1=k
,5
1
==
λ
λ
⇒
0)53(042)51(
21112111
=−+=+− XXXX
или .
024
,024
2111
2111
=−
=+−
XX
XX
Принимаем тогда из любого уравнения получим
,1
11
=X
.2
21
=X
Следовательно,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
2
1
21
11
1
X
X
X
.
2) k=2; тогда
;02)11(
2212
=++ XX
0)13(4
2212
=++ XX
.
Или
;022
21
=+ XX
.044
21
=+ XX
Принимаем
,1
12
−=X
тогда
.1
22
=X
Следовательно,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
1
1
22
12
2
X
X
X
.
Строим матрицу
[
и обратную ей матрицу , и проекторы и .
]
S
1
][
−
S
1
][P
2
][P
;
12
11
]
21
[][
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
== XXS
,
12
11
3
1
][
2
1
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−
Y
Y
S
где
40