Афанасьев А.А. Математические основы теории систем управления
Подождите немного. Документ загружается.
,][][
);,,2,1,(0][][
;][][][
1
EPP
sskPP
PPP
sk
kkk
=++
=≠=
=
μ
μ
K
K
где матрицы определяются формулами (2.56) и имеют ранг :
k
P][
k
n
[]
zdAzE
j
APlimP
k
k
0А
k
∫
Γ
−
→Δ
−==
1
])[(
2
1
])([][][
π
. (2.62)
Принимая во внимание выражение (2.57), получим после интегрирования
в формуле (2.62):
),,2,1(][][
1
μ
K== kBP
kk
.
Можно показать [3]:
,0][][][][
==
ksjsjk
PBBP )...,,2,1;,,2,1,;(
j
nskjkj ==≠
μ
K ,
(2.63)
,
][][][][][
skkskskk
BPBBP == ),,2,1,,,2,1(
k
nsk KK ==
μ
.
(2.64)
Из формул (2.63), (2.64) следует, что матрицы
определяют
некоторые подпространства размерности .
k
P][
k
n
Они одновременно являются левыми проекторами для столбцовых
векторов и правыми проекторами для строчных векторов.
Уравнения
),,2,1(;;][
μ
K=∈∈= kLXLXXPX
kkkk
определяют подпространства в пространстве L, (напомним, что
k
L
k
X
-
правые
собственные векторы - столбцы некоторой матрицы [
A
]).
Уравнения
),,2,1(;;;][
μ
K=∈∈=
∗∗
kLYLYPYY
kkkk
определяют подпространства в сопряженном пространстве (напомним,
что
∗
k
L
k
L
k
Y
- левые собственные векторы-строки некоторой матрицы [
A
]).
51
Все столбцы матриц ),,,2,1(][
ksk
nsB
K= рассматриваемые как векторы,
принадлежат подпространству , а строки матриц
принадлежат подпространству .
k
L
∗
k
L
),,2,1(][
ksk
nsB
K=
Формулы (2.60), (2.63), (2.64) позволяют выделить составляющие
компоненты функции от матрицы
),,1(][)(
][)(][)(])([][][])([
,
)1(
21
μλ
λ
λ
K
K
=+
++
′
+==
−
kBf
BfBfAfPPAf
k
k
nkk
n
kkkkkk
.
(2.65)
В общем случае проекторы , удовлетворяющие соотношениям
k
P
][
),,1(][][][][
μ
K==
kAPPA
kk
,
называются проекторами матрицы [
A
].
Введенные выше проекторы
kk
PB ][][
1
= являются также проекторами
матрицы [
A
].
Замечание 2.3
Для численного построения проекторов матрицы [
A
] можно
воспользоваться формулами (2.56).
Пусть прямая
σ
=
z
R
e
разделяет спектр матрицы [
A
] на две части.
Предполагаем, что на самой прямой
σ
=
z
Re нет точек спектра.
Возьмем контур (рис. 2.2), левой стороной которого является прямая
2
Γ
).2;;Jm;Re(Re
πϕσσσ
ϕ
≤+=≤==
j
eRzRzzz
При достаточно большом значении
R
контур
2
Γ содержит часть спектра
матрицы [
A
], лежащую справа от прямой
σ
=
z
Re . Соответствующий проектор
обозначим через
2
][
P
∫
Γ
−
−=
2
1
2
])[(
2
1
][
zdAzE
j
P
π
. (2.66)
Можно показать [3], что
52
ϕϕϕ
π
π
dsinEcosA
A
EP
122
2/
0
2
1
1
2
)]([
][
5,0][
−
+−=
∫
, (2.67)
где
]);[(][
1
1
AEaA −=
−
σ
множитель a используется для нормировки матрицы ],[
A
E
−
σ
что
существенно при обращении матриц больших размерностей.
Матричный интеграл обычно
вычисляется по формуле Симпсона.
Оставшейся левой части плоскости
с граничным контуром (левее прямой
1
Γ
)
σ
=z
R
e соответствует левый
аналогичный проектор
1
][P
Рис. 2.2
,])[(
2
1
][
1
1
1
zdAzE
j
P
∫
Γ
−
−=
π
(2.68)
для которого справедливо выражение
ϕϕϕ
π
π
dmSEA
A
EP
12
2/
0
22
1
1
1
)cos]([
][
5,0][
−
++=
∫
. (2.69)
Замечание 2.4
Можно доказать [3], что для последовательности матриц
),][]([
2
1
][
1
1
−
+
+=
nnn
AAA
(2.70)
где
n = 1, 2, 3, ... ,
σ
EAA −= ][]
1
[ ,
будет выполнено предельное соотношение
12
][][][lim][ PPAA
n
n
−==
∞→
∞
, (2.71)
где
53
) - проекторы матрицы [A], введенные в предыдущем
замечании.
2,1(][
,
=kP
k
Поскольку, с помощью ЭВМ легко находится матрица , то, с учетом
равенства
∞
][A
EPP
=+
21
][][ , (2.72)
получаем простые формулы для проекторов и , соответствующих
областям с границами и
1
][P
2
][P
1
Γ
2
Γ :
),][(5,0][
1 ∞
−= AEP (2.73)
).](5,0][
2 ∞
[
+= AEP (2.74)
Для исследования устойчивости решений системы уравнений
][][
][
XA
td
Xd
=
образуем последовательность матриц (2.70), в которой 0=
σ
, т.е. имеем
. ][][
1
AA =
Нулевое решение системы дифференциальных уравнений будет
асимтотически устойчивым в том и только том случае, когда
EAA
n
n
−==
∞
∞→
][][lim .
В этом случае, как видно из (2.73) и (2.74) , имеем ,
0][
2
][
1
EP =
=P
, т.е. все
собственные значения матрицы [A] располагаются в левой полуплоскости.
2.13. Расщепители матрицы
Пусть спектр матрицы [A] не лежит на мнимой оси. Будем называть
расщепителем матрицы [A] матрицу
[ ]
])([][])([][
2
1
])([][
21
APAPAR −=
, (2.75)
где
])([][]),([][
21
APAP - левый и правый проекторы матрицы [A], т.е.
проекторы, соответствующие собственным числам матрицы [A], лежащим
слева и справа от мнимой оси.
54
Отметим некоторые свойства расщепителя [R] ([A])
1.
Из формул (2.73) - (2.75) следует
∞
−= ][5,0])([][ AAR
. (2.76)
2.
Левый и правый проекторы матрицы [A] определяются по формулам
]),([][5,0])([][
1
AREAP += (2.77)
]).([][5,0])([][
2
AREAP −= (2.78)
3.
Для того чтобы весь спектр матрицы [A] лежал в левой полуплоскости
),0( <z
R
e необходимо и достаточно, чтобы
[R] ([A])= 0,5 E.
4.
Для того чтобы весь спектр матрицы [A] лежал в правой полуплоскости
)0(Re >
Z
, необходимо и достаточно, чтобы
[R] ([A])= - 0,5 E.
5.
]).([][])[(][;0]),([][])[(][
A
R
A
R
A
R
sign
A
R
−=−≠=
θ
θ
θ
6.
]).([][)]([][
1
ARAR =
−
7.
Для того чтобы матрица [R] была расщепителем некоторой матрицы [A],
необходимо и достаточно выполнения равенства
.25,0][][
E
R
R
= (2.79)
Этот результат следует из применения формулы (2.75) с использованием
зависимостей (2.72), (2.39), (2.40)
.
4
1
)][]([
4
1
)][])([][]([
4
1
]][[
212121
EPPPPPPRR =+=−−=
Расщепитель матрицы можно использовать для отыскания собственных
чисел и собственных векторов или инвариантных подпространств матрицы с
применением ЭВМ.
Обозначим через [P] ( проектор матрицы [A], соответствующий части
спектра матрицы [A], принадлежащий области ∑ комплексной плоскости .
)
∑
z
55
j y
α
β
0 x
а) б)
j y
j δ
j γ
0 x
Рис. 2.3
Для проекторов матрицы [A], отвечающим ее собственным значениям,
расположенным в вертикальных или горизонтальных бесконечно длинных
полосах ,(рис. 2.3), справедливы следующие формулы:
)]([][)]([][)Re]([
E
A
R
E
A
R
z
P
α
β
β
α
−−−=<<
, (2.80)
)][(][)][(][)(][
E
A
j
R
E
A
j
R
zJm
P
γ
δ
δ
γ
−−−−−=<<
. (2.81)
Формула (2.80) следует из того, что в соответствии с зависимостью (2.77),
проекторы, отвечающие собственным значениям, расположенным левее
прямых
β
=z
R
e
и
α
=z
R
e , равны
:
),]([5,0)]([][)(][
1
EAEEAPzReP
β
β
β
−+=−=< (2.82)
).]([][5,0)]([][)(][
1
EAREEAPzReP
α
α
α
−+=−=< (2.83)
Разность формул (2.83) и (2.82) дает зависимость (2.80). Формула (2.81)
может обосновываться аналогично, если полосу (рис. 2.3, б) предварительно
повернуть на угол (- j).
Поэтому для того , чтобы спектр матрицы [A] не лежал в вертикальной
полосе ,
β
α
≤≤ z
R
e необходимо и достаточно выполнения равенства
).]([][)]([][
E
A
R
E
A
R
α
β
−=− (2.84)
56
Аналогично для того, чтобы спектр матрицы [A] не лежал в
горизонтальной полосе
δ
γ
≤≤ zJm необходимо и достаточно выполнение
равенства
)][(][)][(][
E
A
j
R
E
A
j
R
γ
δ
−−=−− . (2.85)
Перемножая равенства (2.80), (2.81), получаем формулу :
)
[
]
[
]
(
)
[
][ ]
()
{
}
[] []
()
[] []
(){}
.
;(][
EAjREAjR
EAREARzJmzReP
γδ
α
β
δ
γ
β
α
−−−−−×
×−
−−=<<<<
(2.86)
Проекторы (2.80) и (2.81) равняются суммам проекторов с единичным
рангом, каждый из которых соответствует конкретному собственному
значению:
∑
=<<
k
PzReP ][)(][
β
α
, (2.87)
∑
=<<
s
PzJmP ][)(][
δ
γ
. (2.88)
В соответствии с изложенными выше правилами перемножения
проекторов произведение сумм (2.87) и (2.88) будет равняться сумме
проекторов с одинаковыми индексами (k=s), отвечающими собственным
значениям, расположенными в пересечении вертикальной и горизонтальной
полос (рис. 2.4).
Следовательно, для того, чтобы
одно собственное число матрицы [A]
попало в прямоугольник
δ
γ
β
α
<<<< zJmz
R
e , , необходимо и
достаточно, чтобы правая часть
формулы (2.86) не равнялась нулю.
j y
j δ
j γ
α
β
0 x
Рис. 2.4
Аналогичные формулы можно
получить для круга с центром в начале
координат (рис. 2.5, a)
),]([][5,0)(][
ρ
ρ
BREzP +=< (2.89)
где
1
)]([)]([][
−
−+= EAEAB
ρ
ρ
ρ
,
и для круга с центром в произвольной точке (рис. 2.5, б)
0
z
57
)]([][5,0)(][
0
ρο
ρ
BREzzP
+=<−
. (2.90)
j y
0 α β x
в)
Рис. 2.5
j y
ρ
z
0
0 x
б)
j y
ρ
0
x
а)
где
[
]
[
]
1
0
)(][)(][][
−
−−−+=
EzAEzAB
ρ
ρ
ορο
.
Проектор матрицы [A], соответствующий кольцу с центром в начале
координат, находится по формуле:
).][(][)]([][)(][
αβ
β
α
BRBRzP
−=<<
(2.91)
Формулы (2.80) - (2.91) можно использовать для локализации
собственных чисел матрицы в полосе, прямоугольнике, круге и кольце.
Вопросы для самопроверки
1.
Какой смысл имеют левый
1
][P
и правый
2
][P
прокторы, чему равны их
ранги?
2.
Как вычислить проекторы
1
][P и
2
][P ?
3.
Что такое расщепитель матрицы. По какой формуле можно его
вычислить?
4.
Напишите формулу для проектора вертикальной бесконечной полосы.
58
Способ нахождения собственных чисел матрицы [A]
Пусть ранг проектора .)]([ qP =∑ Объединяя в матрицу [S] q линейно
независимых столбцов размерностью )1(
×n матрицы а в матрицу [U] q
линейно независимых строк (размерностью )
),(][P
∑
n1(
× ) матрицы получаем
При этом спектр матрицы
),(][P ∑
ESU = .][][
q
][][][][ SAUA
q
= (2.92)
порядка лежит полностью в области qq×
∑
и совпадает с частью спектра
матрицы [A], лежащей в области
∑
.
Нахождение собственных чисел матрицы размерности очевидно
менее трудоемко, чем нахождение собственных чисел матрицы [A].
q
A][ nq
<
Этот способ понижения порядка матрицы можно использовать для
отыскания собственных чисел матриц большой размерности.
2.14. Общее решение уравнений состояния на основе
спектрального расщепления матричной экспоненты
Решение однородных уравнений состояния
. Как известно [1]
фундаментальное решение [X(t)] системы однородных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами
)(][
)(
txA
td
txd
=
(2.93)
удовлетворяет матричному уравнению
)]([][
)]([
tXA
td
tXd
=
, (2.94)
из которого следует
. (2.95)
)(][
0
)]([
ttA
etX
−
=
Для матрицы [A] с простым спектром фундаментальное решение (2. 94) с
учетом формулы (2.44) можно представить в виде
∑
=
−
=
n
k
tt
k
ok
ePtX
1
)(
][])([
λ
. (2.96)
59
Тогда для решения уравнения (2.93) будет справедливо
∑
=
−
==
n
k
tt
k
ok
ePtxtXtx
1
)(
0
)()]([)(
λ
, (2.97)
где
),(][
0
txPP
kk
=
)(
0
tx - вектор начальных значений.
Матричной экспоненте соответствует аналитическая функция
)(][
0
ttA
e
−
)(
0
)(
ttz
ezf
−
=
с аргументом в плоскости комплексного переменного z.
Пусть матрица [A] имеет собственные числа
μ
λ
λ
λ
,,,
21
K
кратности
. Значения функции )
μ
nnn ,,,
21
K
(z
f
и ее производных
()
0
)()(
0
ttz
n
n
n
ettzf
zd
d
−
−=
на спектре матрицы [A]
()
μ
λ
,...,2,1,
==
kz
k
будут равны:
,)(
)(
ok
tt
k
ef
−
=
λ
λ
)(
0
)()(
ok
tt
k
ettf
−
−=
′
λ
λ
,
)(
2
0
0
)()(
tt
k
k
ettf
−
−=
′′
λ
λ
K
.
)(
0
)(
0
)()(
tt
n
k
n
k
ettf
−
−=
λ
λ
Поэтому в соответствии с формулой (2.60) справедливо
{
}
∑
=
−
−
−
−++−+==
μ
λ
1
)(
1
020
1
)]([
00
][)(])[(][)]([
k
tt
kn
n
k
k
ttA
k
k
k
eBttBttBetX
K
(2.98)
Учитывая, что ),...,2,1(][][,][][][
11 kkkjkjkk
njPBBBB === формулу (2.98)
можно записать более компактно
, (2.99)
)(
1
)(][
00
])([][)]([
tt
k
k
k
ttA
k
etRPetX
−
=
−
∑
==
λ
μ
где
.)(][)(][)]([
1
002
−
−++−+=
k
k
n
nkkk
ttBttBEtR K
60