Афанасьев А.А. Математические основы теории систем управления
Подождите немного. Документ загружается.
91
2.17.2.
Замена переменных с целью изменения частоты колебаний
Обратимся снова к системе дифференциальных уравнений (2.147).
ка
в свободных составляющих решения уравнений состояния
В честве матрицы ][
S
,осуществляющей замену переменных, выберем
матрицу с переменными времени коэффициентами ].)([][ во
t
S
S
=
Подставляя выражение замены переменных
ztSy [= ])( в формулу (2.147) ,
получим
fztSAz
dt
d
tSztS
td
d
+=+ )]([][)]([)]([.
После несложных преобразований этому уравнению можно придать вид
,][ qzB
td
zd
+= (2.161 )
где
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
−
)]([)]([][)]([][
1
tS
td
d
tSAtSB
,
.)]([
1
ftSq
−
=
(2.162)
Переменную матрицу
)]([
t
S
можем выбирать произвольно. Наиболее
интер
(2.163)
где
проекторы матрицы
есен случай, когда
,][)]([
1
tj
n
k
k
k
ePtS
ω
−
=
∑
=
k
P][- nkA
k
,...,2,1,],[ =
ω
- действительные числа.
При это примет вид:
(2.164)
В справедливости (2.164) можно убедиться, перемножая правые части
62) для матрицы
м обратная матрица
[S
1
)](
−
t
∑
=
−
=
n
k
tj
k
k
ePtS
1
1
][)]([
ω
выражений (2.163) и (2.164) друг на друга. С учетом свойств проекторов
результат перемножения будет равен единичной матрице E.
С учетом формул (2.163) и (2.164) выражение (2.1
][
B
п
.
римет форму
∑
=
+=
n
k
kk
jPAB
1
][][][
ω
Поскольку саму матрицу
],[
A
согласно формуле (2.61), можем
выразить через проекторы
,][][
1
k
n
k
k
PA
λ
∑
=
=
то окончательное выражение для матрицы [
B
] будет
(2.165)
).(][][
1
kk
n
k
k
jPB
ωλ
+=
∑
=
Видим, что матрица
][
B
постоянна, а ее собственные значения
.,,...2,1, nkj
kkk
=+=
ω
λ
α
Подбирая ,
k
ω
можем добиться, чтобы числа
k
α
были вещественными (их
мнимые части стали равными нулю). Для этого требуются .
kk
Jm
λ
ω
−=
Таким образом удается исключить колебательные члены из новых
переменных
).(tz
Вопросы для самопроверки
1.
Как формируется матрица преобразования [S], используемая для
приведения исходной матрицы [A] к диагональному виду?
2.
Как формируется матрица преобразования [S], используемая для
приведения исходной матрицы [A] к блочно-диагональному виду?
3.
Напишите формулу, связывающую старые и новые переменные.
4.
Какой вид имеет матрица преобразования [S(t)], связывающая старые и
новые переменные.
2.18. Частотные характеристики (спектральные плотности)
решений уравнений состояния
Представление сигналов рядом Фурье, т.е. линейной комбинацией
синусоидальных сигналов, широко применяется при описании сигналов с
периодом T. В этом случае комплекснозначные функции вида:
92
T
ket
tkj
k
π
ωϕ
ω
2
;,,,)(
=∞∞−==
K
образуют ортогональный дискретный (счетный) базис [13]:
()
⎩
⎨
⎧
≠
=
===
∫∫
−∗
ki
kiT
etdtt
T
tkij
k
T
iki
,0
,
)()(,
0
)(
0
ω
ϕϕϕϕ
, (2.166)
tkj
k
k
eCtx
ω
∑
∞
−∞=
=)(- ряд Фурье, (2.167)
где
tdetx
T
C
T
tkj
k
∫
−
=
0
)(
1
ω
.
)()(
T
t
x
t
x
−= - периодическая функция с периодом T.
Для непериодических сигналов также существует разложение их в
линейную комбинацию синусоидальных функций на непрерывном (а не
дискретном) спектре, задаваемое прямым интегральным преобразованием (не
рядом) Фурье:
. (2.168) tdetxjX
tj
∫
∞
∞−
−
=
ω
ω
)()(
Комплексную функцию
,)()(
)(
ωθ
ω
ω
j
ejXjX =
где )()(
ω
ω
θ
j
X
arq= ,
называют спектральной характеристикой (плотностью) сигнала )(
t
x
или
изображением сигнала в частотной области.
При известной спектральной плотности сигнала его представление во
временной области задается обратным интегральным преобразованием Фурье
.)(
2
1
)(
ωω
π
ω
dejXtx
tj
∫
∞
∞−
= (2.169)
Рассмотрим особенности нахождения спектральной плотности решения
неоднородного уравнения состояния вида
93
).(][ tfyA
td
yd
+= (2.170)
В соответствии с формулами (2.129), (2.130) его решение в векторно-
матричном виде при нулевых начальных условиях
)0(
0
=y будет следующим:
),()()( tytyty
″
+
′
= (2.171)
где
)],([)( tAFty −=
′
- установившаяся составляющая,
)0],([)()(
][
00
][
AFeyyety
tAtA
=
′
−=
″
- преходящая составляющая.
Для нахождения спектральной плотности решения (2.171) целесообразно
использовать не прямое преобразование Фурье (2.168), а обратиться к
преобразованию Лапласа
)()( typY ÷
.
При известном выражении для
)( pY спектральная плотность найдется в
результате выполнения формальной операции
ω
ω
jp
pYjY
=
= )()(
.
Найдем вначале спектральную плотность преходящей составляющей
).(ty
″
Как известно ,
].[
1
;
1
)(
][
AEp
eL
p
eL
tAt
−
=
−
=
α
α
Отсюда
][
)0],([
)(
AEp
AF
pY
−
=
″
.
Следовательно,
)0],([])[()(
1
AFAEjjY
−
−=
″
ωω
. (2.172)
Спектральную плотность
)(
ω
jY
″
можно представить и в алгебраической
форме. Для чего запишем (2.172) в следующем виде:
94
[]
),()()0],([)][()][(
)0],([)][(])[(])[()(
2
1
122
11
ωωωω
ωωωω
″
+
″
=++−=
=++−=
″
−
−−
YjYAFAEjAE
AFAEjAEjAEjjY
где
)0],([][)][()(
122
1
AFAAEY
−
+−=
″
ωω
, (2.173)
)0],([)][()(
122
2
AFAEY
−
+−=
″
ωωω
. (2.174)
Видим, что для построения спектральных плотностей преходящих
составляющих решения уравнения состояния определять эти составляющие не
требуется. Достаточно определить ЛПЛ для воздействующих внешних
сигналов и затем воспользоваться формулами (2.172) - (2.174).
Покажем, что спектральные плотности и установившихся составляющих
решения можно получать непосредственно по виду уравнений состояния,
минуя этап определения собственно установившихся составляющих решений.
Для этого введем новый тип преобразования - двойное преобразование Лапласа
(ДПЛ). Под ДПЛ функции будем понимать выражение
ft()
=+==Φ
∫∫∫
∞
−
∞
−
∞
−
tddtfeedttpFepp
ptptp
))((),(),(
00
1
0
21
122
ττ
τ
,)(
00
)(
12
tddtfe
ptp
ττ
τ
+=
∫∫
∞∞
+−
(2.175)
где
преобразование Лапласа функции
−),(
1
tpF
)(
τ
f
, сдвинутой влево на
интервал
t
.
Изображения ДПЛ для некоторых простейших функций )(
t
f
даны в
табл. 2.2 .
Используя введенное преобразование, для установившейся составляющей
решения уравнения состояния, записанной в матричной форме
i
n
i
i
tAFtAFty
δ
)],([)],([)(
1
∑
=
−=−=
′
,
oпределим изображение ДПЛ в виде
95
i
n
i
i
Ap
pApAtpFLpY
δ
)],([)],([]),([)(
2
1
2
][
12
1
∑
=
=
Φ−=Φ−=−=
′
,
где
][21][21
1
1
),(;),(
ApiAp
pppp
==
ΦΦ
- выражения ДПЛ вектор-функции
T
n
tftftftf ])()()([)(
21
K=
и ее компоненты ).(tf
i
Частотная характеристика (спектральная плотность) установившейся
составляющей будет выражена формулой
i
n
i
i
jAjAjY
δωωω
)],([)],([)(
1
∑
=
Φ−=Φ−=
′
. (2.176)
Таблица 2.2
Оригинал )(
t
f
Изображение
),(
21
ppΦ
a
21
pp
a
t
e
α
)()(
1
21
αα
−− pp
)(sin
ψ
ω
+
t
)()(
cos)(sin)(
22
2
22
1
21
2
21
ωω
ψ
ω
ψ
ω
++
+
+−
pp
pppp
cos )(
ψ
ω
+
t
)()(
sin)(cos)(
22
2
22
1
21
2
21
ωω
ψ
ω
ψ
ω
++
+
−−
pp
pppp
t
2
2
2
1
21
pp
pp
+
0),(
00
≥− ttt
δ
2112
0201
pp
e
pp
e
tptp
−
+
−
−−
96
Если ориентироваться на скалярную запись составляющих решения
уравнения состояния (выраженную через проекторы матрицы
])[
A
,
представленную формулами (2.128) и (2.127), то соответствующие
изображения Лапласа будут иметь вид:
,)0,(][
)(
)!1(
][)(
)1(
1111
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
″
−
====
∑∑∑∑
k
s
k
n
s
sk
s
k
k
n
s
sk
FB
p
s
BpY
kk
λ
λ
μμ
),(][),(][)]([)(
)1(
11
)1(
11
pBtFBLtyLpY
k
s
k
n
s
skk
s
k
n
s
sk
kk
λλ
μμ
−
==
−
==
Φ−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
′
=
′
∑∑∑∑
.
Из этих выражений следуют формулы для спектральных плотностей
решений
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
″
−
====
∑∑∑∑
)0,(][
)(
)!1(
][)(
)1(
1111
k
s
k
n
s
sk
s
k
k
n
s
sk
FB
j
s
BjY
kk
λ
λω
ω
μμ
,
(2.177)
),(][)(
)1(
11
ωλω
μ
jBjY
k
s
k
n
s
sk
k
−
==
Φ−=
′
∑∑
. (2.178)
ПРИМЕР 2.8
Пусть на вход двухполюсника с последовательно включенными элементами
RLC, параметры которых приведены в примере 2.5, воздействует напряжение,
изменяющееся по линейному закону
.)(
t
t
u
β
=
Тогда
.0)(.)(
21
== tft
L
tf
β
В соответствии с табл. 2.2. изображение ДПЛ этой
функции имеет вид
⎟
⎟
⎠
⎞
+
⎜
⎜
⎝
⎛
=Φ
2
2
1
2
21
2,11
11
),(
ppppL
pp
β
.
Согласно (2.176) спектральная плотность установившейся составляющей решения
уравнения состояния (2.144)
97
()
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎭
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
+
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎭
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
+
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
×
×+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎭
⎬
⎫
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
+
−
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+×
×+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Φ−=
′
−−−−
−−−−
=
=
0
1
5,01
5,01
22
11
0
1
4
1
12
12
1
1
22
11
0
1
2
1
12
12
1
1
22
11
0
1
1
][
1
][
0
1
1
][
1
][
0
1
][
0
1
][
0
1
)(][)(][
0
1
),()(
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1221
1221
][211
2
1
ω
β
ω
β
ω
β
λλ
ω
β
λλω
β
ω
β
ω
β
ωω
β
ω
ω
jPP
jPPA
L
jA
L
jAjA
L
ppjY
jp
Ap
.
0
1
75,15,1
75,05,0
0
1
5,11
5,00
0
1
25,05,0
25,05,0
22
11
2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎭
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎭
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
+
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
+
ω
β
ω
β
ω
β
jj
Следовательно,
,5,0)()(
1
ω
β
ωω
jjijY
L
−=
′
=
′
5,1)()(
2
2
ω
β
ω
β
ωω
jjUjY
c
+−=
′
=
′
.
Этот результат можно иметь и на основе полученных решений в примере 2.5.
,
5,05,0
5,0
ω
β
β
β
ω
j
p
i
jpL
−=÷=
′
=
ω
β
ω
β
β
β
ββ
ωω
5,15,1
5,1
22
j
pp
tU
jpjpc
+−=−÷−=
′
==
.
В соответствии с формулами (2.52) (2.172) будем иметь при нулевых начальных
условиях для спектральных плотностей преходящих составляющих решения уравнения
состояния (2.144):
98
[]
[]
,
2
5,0
1
1
225,0)2()1()1()(
;
0
1
12
12
25,0)2(
22
11
)1(
0
1
][)(][)(
0
1
1
][
1
][][)(][)(
0
1
][
][][
)0],([])[()(
11
11
2
2
2
1
21
2
1
1
1
2
2
2
2
1
12
1
21
1
1
2
2
2
1
1
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
−
=⋅++−+=
′′
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
++
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
+=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−+−=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−+−=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
=−=
′′
−−
−−
−−−−
−−
−−
ωω
βωωβω
ωωβ
λλωλλω
β
λλ
β
λωλω
β
λωλω
ωω
jj
jjji
jj
PjPj
L
PP
L
PjPj
A
Lj
P
j
P
AFAEjjY
L
[]
.
2
5,0
1
2
)5,0()2(2)1()(
11
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+
=−+++=
′′
−−
ωω
βωωβω
jj
jjjU
c
Аналогичный результат получим, находя традиционным способом частотные
характеристики преходящих составляющих, которые найдены в примере 2.5
,
2
5,0
1
1
5,0)(
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
−
÷+−=
′′
−−
ωω
βββ
jj
eeti
tt
L
.
2
5,0
1
2
)5,02()(
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+
÷−=
′′
−−
ωω
ββ
jj
eetU
tt
c
Вопросы для самопроверки
1.
Как преобразовать преходящую составляющую решения неоднородного
уравнения состояния в спектральную плотность этого решения?
2.
Напишите формулу двойного преобразования Лапласа.
99
3.
Напишите формулу двойного преобразования Лапласа для
установившейся составляющей решения неоднородного уравнения
состояния.
4.
Как преобразовать формулу двойного преобразования Лапласа для
установившейся составляющей решения неоднородного уравнения
состояния в частотную характеристику этого решения?
2.19. Импульсная, передаточная и частотная матрицы
стационарной системы
Для уравнения состояния
)()(][
)(
tftyA
td
tyd
+= ,
которому соответствует структурная схема рис. 2.11, в предыдущем параграфе
получены при нулевых начальных условиях решения во временной,
операторной и частотной формах:
[A]
∫
ft()
&
()yt
yt()
),()()( tytyty
″
+
′
= (2.179)
Рис. 2.11
где
),0],([)(),],([)(
][
AFetytAFty
tA
=
″
−=
′
,
][
)0],([
)(),],([)(
ApE
AF
pYpApY
−
=
″
Φ−=
′
(2.180)
.
][
)0],([
)(),],([)(
AEj
AF
jYjAjY
−
=
″
Φ−=
′
ω
ωωω
(2.181)
100