Абраменко И.Г. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
71
Уравнение САУ по каналу вход-выход имеет вид:
0,0079 ( ) 0,054 ( ) 0,3431 ( ) ( ) 2801, 74 ( )yt yt yt yt ut
ўўўўўў
++ +=
. (2.50)
Преобразовать это уравнение в уравнения состояния и решить их.
Решение.
Преобразуем (2.50) к нормированному виду:
( ) 6,84 ( ) 43, 43 ( ) 126,58 ( ) 354650,6 ( )yt yt yt yt ut
ўўўўўў
++ + =
. (2.51)
Обозначим:
1
() ()
x
tyt=
;
2
() ()
x
tyt
′
=
;
3
() ()
x
tyt
ўў
=
и преобразуем ис-
ходное уравнение к системе вида (2.46):
12
23
3123
1
() ();
() ();
( ) 126,58 ( ) 43, 43 ( ) 6,84 ( ) 354650, 6 ( );
() ()
xt xt
xt xt
x
txtxtxt ut
yt x t
′
=
⎫
⎪
′
=
⎪
⎬
′
=− − − +
⎪
⎪
=
⎭
. (2.52)
Тогда уравнения состояния САУ принимают вид:
() () (),
() ()
ttut
yt t
′
=+
⎫
⎬
=
⎭
xAxB
Cx
, (2.53)
где
010
001
126,58 43, 43 6,84
=
−−−
A
;
354650,6=B
;
100=C
;
123
() () () ()
T
txtxtxt=x
.
Решение системы (2.53) удобно производить при помощи программы
Simulink, воспользовавшись методом понижения порядка производных.
Соответствующая блок-схема приведена рис. 2.7.
72
Рис. 2.7. Блок-схема решения дифференциального уравнения третьего
порядка при помощи программы Simulink
Здесь: три блока Integrator осуществляют интегрирование соответст-
вующих входных переменных с заданием от внутреннего источника internal
их начальных значений; четыре блока Gain служат для задания указанных на
рисунке коэффициентов уравнения; ручной переключатель Manual Switch
осуществляет выбор типа входного сигнала.
Соответствующие изменения переменных состояния при
() 1()ut t=
представлены на рис.2.8.
а) б)
73
в)
Рис. 2.8. Кривые изменения переменных состояния:
а)
1
() ()
x
tyt=
; б)
2
() ()
x
tyt
′
=
; в)
3
() ()
x
tyt
ўў
=
.
***
2.3. Структурные схемы САУ
В ТАУ при анализе САУ самое широкое применение получили так на-
зываемые структурные схемы. При этом под структурной схемой САУ под-
разумевается условное графическое изображение математической модели
системы в виде совокупности отдельных звеньев с указанием связей между
ними.
Эта схема в сущности представляет собой графическое изображение
системы уравнений, описывающих поведение
элементов и устройств САУ.
Структурная схема может также рассматриваться как схема прохож-
дения и преобразования сигналов в САУ. Поэтому ее иногда называют
также алгоритмической схемой.
2.3.1. Обозначения в структурных схемах
Рассмотрим правила изображения элементов САУ на структурных схе-
мах.
1.
Звено обозначается в виде прямоугольника с указанием входных и
выходных величин.
74
а) б)
Рис. 2.9. Изображения звеньев
Внутри прямоугольника указывается передаточная функция
(рис.2.9,а). Допускается вместо
)(sW
указывать уравнение или харак-
теристику звена (рис.2.9,б). Обозначения входных и выходных вели-
чин записывают в виде изображений или оригиналов в зависимости от
обозначения в прямоугольнике. Допускается также звенья нумеровать,
а их передаточные функции, уравнения или характеристики представ-
лять вне схемы.
2.
Цепь передачи сигнала изображается прямой линией на которой
стрелкой указывается направление прохождения сигнала, а также
приводится буквенное обозначение этого сигнала.
3.
Элемент сравнения изображается в виде, приведенном на рис. 2.10.
а) б)
Рис. 2.10. Изображения элементов сравнения при реализации функций:
а)
21
xxy
+
=
; б)
21
xxy
−
=
2.3.2. Передаточные функции типовых соединений звеньев
Структурная схема реальной САУ обычно может быть представлена в
виде комбинации трех типов соединений звеньев: последовательного, парал-
лельного и встречно-параллельного. Каждое из этих соединений может быть
75
заменено по определенным правилам одним звеном, свойства которого будут
эквивалентными свойствам соединения. Установим эти правила.
Последовательное соединение. При таком соединении выходная ве-
личина предыдущего звена является входной величиной последующего звена
(см. рис.2.11,а).
а) б)
Рис. 2.11. Структурная схема последовательного соединения звеньев:
а) исходная; б) эквивалентная
Запишем уравнения звеньев в операционной форме:
)()()(
11
sXsWsX =
;
221
() () ()
X
sWsXs
=
;
K
;
)()()(
1
sXsWsY
NN −
=
.
Исключив промежуточные переменные
12 1
(), (), , ()
N
X
sXs X s
−
K
получим:
)()()()()(
21
sXsWsWsWsY
N
K
=
.
Откуда можно получить выражение для определения эквивалентной
передаточной функции соединения
)(sW
Э
по каналу
() ()
X
sYs→
- (см.
рис.2.11,б):
∏
=
==
N
i
iЭ
sW
sX
sY
sW
1
)(
)(
)(
)(
. (2.54)
Параллельное соединение. При таком соединении на вход всех
звеньев подается одна и та же величина, а выходная величина равна сумме
выходных величин отдельных звеньев (см. рис. 2.12,а).
76
а) б)
Рис. 2.12. Структурная схема параллельного соединения звеньев:
а) исходная; б) эквивалентная
Запишем уравнения звеньев:
)()()(
11
sXsWsY =
;
)()()(
22
sXsWsY
=
;
K
;
)()()( sXsWsY
NN
=
.
Просуммировав эти уравнения, получим:
[]
)()()()()()(
21
1
sXsWsWsWsYsY
N
N
i
+++==
∑
=
K
.
Откуда:
∑
=
==
N
i
iЭ
sW
sX
sY
sW
1
)(
)(
)(
)(
. (2.55)
Встречно-параллельное соединение (охват звена обратной связью).
В этом случае структурная схема имеет вид, приведенный на рис. 2.13,а, где
обратная связь может быть как отрицательной, так и положительной.
а) б)
Рис. 2.13. Структурная схема встречно-параллельного соединения звеньев:
а) исходная; б) эквивалентная
77
Запишем уравнения звеньев и уравнение замыкания контура:
1
ос 2
зос
() () ();
() () ();
() () ()
Ys W s Us
UsWsYs
Us U s U s
=Δ
⎫
⎪
=
⎬
⎪
Δ=
⎭
m
Решив эту систему относительно
з
()Us
и
)(sY
, получим:
[
]
[
]
1 зос 1 з 21з 12
() () () () () () () () () () () () ()Ys WsU s U s WsU s WsYs WsU s WsW sYs== =mm m
.
Последнее уравнение можно записать в виде:
[
]
12 1з
()1 () () () ()Ys W sW s W sU s±=
.
Откуда окончательно имеем:
1
э
з 12
()
()
()
() 1 () ()
Ws
Ys
Ws
Us WsWs
==
±
. (2.56)
Знак “+” в последней формуле ставится в случае отрицательной обрат-
ной связи, а “-” – положительной.
Пример 2.6.
Найдем эквивалентную передаточную функцию системы, структур-
ная схема которой приведена на рис. 2.14.
Рис. 2.14
Решение.
Воспользовавшись формулами (2.55) и (2.54) для параллельного и по-
следовательного и параллельного соединений звеньев, запишем
[
]
э 12 3 4 5
() () () () () ()Ws WsWsWs WsWs=−
***
78
2.3.3. Дополнительные правила преобразования структурных схем
В ряде случаев исходная структура САУ может быть такой, что приме-
нение описанных выше основных правил структурных преобразований ока-
зывается недостаточно для ее упрощения. Такими системами являются мно-
гоконтурные системы, содержащие перекрестные связи, например, система
вида, приведенного на рис. 2.15.
Рис. 2.15
Для преобразования такого рода схем используется ряд допол-
нительных правил, которые основываются на принципе эквивалентности,
согласно которому все входные и выходные сигналы каждого преобразуемо-
го участка схемы должны оставаться неизменными.
Наиболее распространенные из этих правил приведены в таблице, где
все переменные
Z
обозначают сигналы, появившиеся либо исчезнувшие в
результате преобразований.
Таблица 2.1. Правила преобразования структурных схем САУ
Операция Исходная схема Преобразованная схема
1. Перестановка
сумматоров
4
3
2
1
XXXX
Y
+
+
−=
3241
XXXXY +−+
=
2. Перестановка
узлов разветв-
ления сигн
а
-
79
3. Перенос сум-
матора через
звено вперед
(
)
21
)( XXsWY
+
=
(
)
2121
)()()()( XXsWsXsWXsWY
+
=
+
=
4. Перенос сум-
матора через
звено назад
21
)( XXsWY
+
=
21
2
1
)()(
)(
XXsWsW
sW
X
XY +=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
5. Перенос узла
разветвления
через звено
вперед
XsWY )(=
XX
=
XX =
XsWY )(=
6. Перенос узла
разветвления
через звено
назад
XsWY )(=
XsWY )(=
2.3.4. Определение передаточных функций замкнутой САУ по ее струк-
турной схеме.
Пользуясь полученными правилами структурных преобразований, про-
извольные структурные схемы реальных замкнутых САУ можно преобразо-
вать к одноконтурному виду, приведенному на рис. 2.16.
80
Рис. 2.16. Обобщенная структура замкнутой САУ
Здесь:
з
()Ys
- задающее воздействие;
)(sY
- управляемая величина;
)(sF
- возмущающее воздействие;
з
()Us
- сигнал задания;
ос
()Us
- сигнал
обратной связи;
)(sUΔ
- сигнал рассогласования;
)(
1
sX
,
)(
2
sX
,
)(sX
- про-
межуточные сигналы.
Установим правила эквивалентной замены приведенной обобщенной
схемы более простой структурой.
В соответствии с рисунком, управляемая величина зависит как от
з
()Ys
, так и от
)(sF
. Определим эту зависимость.
На основе схемы можем записать:
зосз15
() () () () () () ()Us U s U s Y sW s YsW sΔ= − = −
; (2.57)
[]
)()()()()()(
432
sWsWsFsWsUsY
⋅
+
Δ=
. (2.58)
Подставим уравнение (2.57) в (2.58):
(
)
з 152 34
124 245 34
() [ () () () () () () ()] ()
() () () () () () () () () () ()
З
Ys YsWs YsWs Ws FsWs Ws
YsWsWsWs YsWsWsWs FsWsWs
=−⋅+⋅=
=−+
. (2.59)
Преобразовав (2.59), получим:
34
124
з
245 245
() ()
() () ()
() () ()
1 () () () 1 () () ()
WsWs
WsW sW s
Ys Y s Fs
WsWsWs WsWsWs
=+
++
. (2.60)
Или: