Абраменко И.Г. Теория автоматического управления

Подождите немного. Документ загружается.

181

частот от 0 до

∞

, можно составить представление о реакции системы на

произвольный входной сигнал.

О качестве САУ можно судить, воспользовавшись действительной ча-

стью функции

)(

. Дело в том, что в случае единичного ступенчатого

воздействия и нулевых начальных условиях между переходной характери-

стикой и частотной передаточной функцией системы существует однознач-

ная связь при помощи преобразования Фурье:

Pth

∫

∞

sin

)(

, (6.11)

Таким образом, по свойствам вещественной частотной характеристики

САУ можно судить о переходном процессе. При этом можно обойтись без

построения непосредственно кривой переходного процесса и использовать

частотные характеристики, определенные по данным экспериментов, а не по

соответствующему дифференциальному уравнению.

Используются следующие частотные показатели качества.

1. Показатель колебательности

- отношение максимального зна-

чения АЧХ системы к значению этой АЧХ при

, т.е.

)0(

max

M =

. (6.12)

Показатель колебательности характеризует склонность системы к ко-

лебаниям. Чем выше

, тем сильнее колебательность системы а качество

меньше (а именно, увеличиваются перерегулирование

и время регулиро-

вания

). Считается допустимым, если

5,11,1

≤

2. Резонансная частота

- частота, при которой АЧХ системы име-

ет экстремум. Гармонические колебания, имеющие частоту

, прохо-

дят через САУ с наибольшим усилением.

В зависимости от характера АЧХ система может совсем не иметь резо-

нансной частоты, или иметь несколько резонансных частот

182

Резонансная частота, совместно с

, определяет величину времени

регулирования

3. Полоса пропускания

- диапазон частот гармонических колеба-

ний, “пропускаемых” системой, т.е. проходящих через систему с практиче-

ски заметными колебаниями выходной переменной. Гармонические колеба-

ния, частоты которых лежат вне полосы пропускания, через систему практи-

чески не проходят, т.е. колебания выходной переменной при этих частотах

имеют столь малую амплитуду, что ими можно пренебречь.

Подчеркнем, что понятие полосы пропускания является чисто инже-

нерным понятием и не имеет строгого математического определения. Физи-

чески любая система пропускает колебания всех частот.

Обычно полосой пропускания считают диапазон частот, за пределами

которого АЧХ системы меньше 0,05

0,1.

Ширина полосы пропускания характеризует быстродействие системы.

4. Частота среза

- частота, при которой АЧХ с ростом частоты

уменьшаясь, переходит от значений, больших единицы, к значениям, мень-

шим единице, и остается в этом диапазоне при дальнейшем увеличении час-

тоты.

Этот показатель характеризует время регулирования

Интегральные показатели.

Каждый из рассмотренных выше прямых и косвенных показателей ка-

чества характеризует лишь одно какое-либо свойство системы. При этом

связь этих показателей с параметрами устройства регулирования имеет, как

правило, сложный противоречивый характер: изменение настроек приводит

к улучшению одних показателей и ухудшению других. Поэтому существует

необходимость в выработке некоторых обобщенных показателей

качества.

Такими показателями и являются интегральные показатели.

В самом общем виде все интегральные показатели можно представить

интегралом вида:

183

dtxfI ⋅=

∫

∞

)(

, (6.13)

где

)(xf

- некоторая функция переменных системы, характеризующих ее

состояние.

При оценке качества системы по каналу задания простейшим интеграль-

ным показателем является линейная интегральная оценка, использующая пе-

реходную характеристику

)(th

[]

л ,

() ()

hhtdt

∞

∞− ⋅

∫

(6.14)

которая равняется площади, заключенной между прямой

)(∞= hy

и кри-

вой переходного процесса

)(th

Показатель

учитывает как величину текущих динамических откло-

нений управляемой координаты, так и длительность их существования. По-

этому можно считать, что чем меньше

, тем лучше качество процесса

управления.

Обозначим

() ()hy

∞= − ∞

, где

)(

∞

- установившаяся ошибка

системы.

Тогда имеем:

зз

( ) () ( ) () () ( ) () ( )hhty htyht t

δδδ

∞− = − ∞− = − − ∞= − ∞

где

() ()tyht

=−

и оценку (6.14) можно представить в виде (см. рис. 6.12):

[]

() ( )It dt

δδ

∞

=−∞⋅

∫



(6.15)

184

Рис.6.12

При оценке качества системы по каналу возмущения линейная инте-

гральная оценка использует импульсную переходную характеристику

)(tw

[]

() ()

wwtdt

∞

=∞−⋅

∫



(6.16)

Недостатком линейных интегральных оценок является то, что они го-

дятся только для монотонных процессов. Если же имеют место колебания, то

алгебраическое сложение площадей может привести к ситуации, когда при

больших колебаниях

minI =

В целях устранения этого недостатка на практике чаще всего применя-

ют квадратичный интегральный критерий вида

кв

()Itdt

∞

∫

. (6.17)

Этот критерий не зависит от знака

()t

и, следовательно, может быть

применен как для монотонных, так и для колебательных процессов.

Критерии

кв

являются функциями параметров системы, изме-

няя которые можно минимизировать интегральные оценки.

Существуют методы, позволяющие вычислить критерий

кв

, не решая

дифференциальное уравнение системы. В частности, учитывая, что

185

() ()( )

jjj

ωδωδω

=−

⏐ и

() ()

tdte

δω δ

∞

−

−∞

∫

, и проинтегрировав

()

по

, получим:

() ( ) ()e

djdtdt

δω ω δ ωω δ

ππ

∞

∞∞

−

−∞ −∞ −∞

−=

∫∫∫

кв

() ( )e ()

tdt j d tdt I

δδωωδ

∞∞ ∞

−∞ −∞ −∞

∫∫ ∫

Здесь

() () ((0) ())/()

js WWjj

ωδ ω ω

==−



Поскольку частотная функция системы

()W

зависит от параметров

системы (коэффициентов передачи

и постоянных времени

динамиче-

ских звеньев), можно записать

кв

(, )

fkT

. Исследуя полученную зави-

симость на экстремум, можно найти значения изменяемых параметров

при которых удовлетворяется условие

кв

minI

Заметим, что минимизация интегральной квадратичной ошибки вида

(1.84) приводит к большим перерегулированиям переходного процесса (до

20 % от установившегося значения

()

∞

). В связи с этим применяют инте-

гральные критерии, учитывающие не только величину ошибки, но и скорость

ее изменения

222

ск

[() (())]

ttdt

δγδ

∞

−

∞

′

∫

, (6.18)

где

– весовой коэффициент, который определяет значимость второго сла-

гаемого подинтегральной функции.

186

В данном случае помимо ограничения на величину ошибки

()t

нала-

гается ограничение на скорость ее изменения

()t

′

. В результате чего мы

получаем достаточно быстрые и плавные переходные процессы.

Иногда кроме указанных ограничений учитывают и ограничение на ус-

корение. Тогда интегральный критерий принимает вид:

2222 2

ус 12

[ () ( ()) ( ()) ]Itttdt

δγδ γδ

∞

−∞

′′′

=+ +

∫

. (6.19)

Подчеркнем, что все рассмотренные интегральные оценки являются

функцией параметров системы, следовательно, их можно минимизировать,

изменяя параметры системы и, прежде всего, устройства управления.

Контрольные вопросы

1. Какие свойства автоматической системы принято рассматривать при

оценке ее качества?

2. Какие вы знаете прямые показатели качества?

3. Что такое перерегулирование? Какую роль играет этот показатель?

4. Как определяется величина времени регулирования?

5. Что таксе частота среза? Что эта частота показывает?

6. Как влияет передаточный коэффициент разомкнутого контура на

статическую и динамическую точность систем?

7.Укажите характерные признаки передаточных функций в статиче-

ской системе регулирования.

8. Какая система называется астатической? От наличия каких типовых

звеньев в контуре системы зависит ее астатизм?

9. По какой динамической

характеристике системы регулирования оце-

нивают прямые показатели качества? Какие из них характеризуют колеба-

тельность системы, а какие - ее быстродействие?

187

10. Как связано расположение корней характеристического уравнения с

колебательностью системы?

11. Как связан ближайший действительный корень характеристическо-

го уравнения с длительностью переходного процесса?

12. Как влияют параметры разомкнутого контура на динамические

свойства замкнутой системы?

13. Какие параметры графика переходного процесса учитываются ин-

тегральными оценками?

14. Какой из двух переходных процессов лучше - с большой

интеграль-

ной оценкой или малой? Почему?

15. Для каких переходных процессов можно применять линейную ин-

тегральную оценку?

16. Почему для колебательных переходных процессов приходится при-

менять модульные или квадратичные оценки?

188

Список литературы

Бесекерский В.А. Теория систем автоматического управления / В.А.

Бесекерский, Е.П. Попов. М.: “Профессия”, 2004. 747с.

Власов К.П. Теория автоматического управления / К.П. Власов, А.С.

Анашкин. С.- Пб.: Санкт- Петербургский горный институт, 2003. 103с.

Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. М. – Л.:

Энергия, 1965, Ч.1, 423с. 1966, Ч.2, 372с. 1970, Ч.3, 328с.

Зайцев Г.Ф. Теория автоматического управления и регулирования. 2-е

издание перераб. и дополн. Киев: Высшая школа, 1988. 430с.

Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. Теория и элементы

систем. М.: Машиностроение, 1973. 606с.

Лукас В.А. Теория автоматического управления. М.: Недра, 1990. 416с.

Математические основы теории автоматического регулирования / под

ред. Б.К. Чемоданова. М.: Высшая школа, 1971. 807с.

Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные сис-

темы. СПб: “Питер”, 2005. 333с.

Михайлов В.С. Теория управления. Учебное пособие для ВУЗов. Киев:

Высшая школа, 1988. 309с.

10.

Пантелеев А.В. Теория управления в примерах и задачах / А.В. Панте-

леев, А.С. Бортаковский. М., Высшая школа, 2003. 583с.

11.

Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и

управления. М.: Наука, 1989. 496с.

12.

Солодовников В.В. Основы теории и элементы систем автоматического

регулирования / В.В. Солодовников, В.Н. Плотников, А.В. Яковлев. М.:

Машиностроение, 1985. 536с.

13.

Теория автоматического управления / под ред. А.В. Нетушила. М.:

Высшая школа, 1972. 432с.

189

14. Теория автоматического управления. Учебное пособие / под ред. А.А.

Воронова. Ч.1. М.: Высшая школа, 1987. 367с.

15.

Филипс Ч. Системы управления с обратной связью / Ч. Филипс, Р.

Харбор. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. 616с.

190

Учебное издание

И.Г.Абраменко, Д.И. Абраменко

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Учебное пособие

Редактор Н.З.Алябьев

План 2008, поз. 1л287

Подп. к печати .01.07 Формат 60x84

⁄

Бумага офисная. Печать на ризографе. 10,6 уч.-изд.л. 12,0 усл.-печ. л.

Тираж 200 экз. Зак. №

ХНАГХ, 61002, Харьков, ул. Революции, 12.

Сектор оперативной полиграфии при ВЦ ХГАГХ. 61002, Харьков, ХНАГХ, ул. Револю-

ции, 12