Абраменко И.Г. Теория автоматического управления

Подождите немного. Документ загружается.

151

Если на частоте

модуль

рк

()1Wj

, то в контуре системы

будут поддерживаться незатухающие колебания даже после исчезновения

внешнего воздействия

()

, т.е. система будет находиться на границе ус-

тойчивости. Характеристика

рк

()W

при этом проходит через точку

[

1−

;

Если на частоте

модуль

рк

()1Wj

, то после исчезнове-

ния внешнего воздействия колебания в контуре затухнут, т.е. система будет

устойчивой и характеристика

()W

не охватывает точку [

1−

;

Если же при

модуль

рк

()1Wj

, то амплитуда сигналов в

контуре будет неограниченно возрастать, т.е. система будет неустойчивой.

Характеристика

рк

()W

в этом случае охватывает точку [

1−

;

Таким образом, особая роль точки [

−

;

] заключается в том, что она

соответствует превращению отрицательной обратной связи в положитель-

ную, и во-вторых, является граничной между режимами усиления и ослабле-

ния сигналов системой c

рк

()W

Пример 5.4.

Используем критерий Найквиста для определения устойчивости САУ

различной конфигурации.

Решение.

1. Пусть разомкнутая система состоит из двух апериодических звеньев

первого порядка. Тогда частотную передаточную функцию системы можно

представить в виде:

р1

()

(1)( 1)

Tj T j

ωω

152

Если

0T =

, то АФЧХ имеет вид, показанный на рис.5.8, а, если же

0T ≠

, то АФЧХ имеет вид, показанный на рис.5.8, б.

Рис. 5.8

Поскольку АФЧХ разомкнутой системы с частотной функцией

р1

()W

при любых

не пересекает отрицательную полуось абсцисс,

то эта система всегда устойчива.

2. Пусть частотная передаточная функция разомкнутой системы опре-

деляется выражением вида:

р2

123

()

(1)( 1)(1)

Tj T j Tj

ωωω

+++



Годограф вектора

р2

()Wj

представлен на рис. 5.8, в, и при определен-

ных значениях параметров может охватить точку [

−

;

]. При этом система

потеряет устойчивость.

3. Если последовательно с инерционными звеньями включить интег-

рирующее звено с частотной характеристикой

ии

() ()Wj k j

, то умноже-

ние вектора АФЧХ, представленного, например, частотной функцией

153

р2

()Wj

, на вектор

ии

() ( )Wj jk

−

с аргументом, равным

2/π−

, означает

поворот всех векторов

р2

()Wj

на угол –π/2 с одновременным делением на

(рис. 5.8, г). Таким образом, АФЧХ приближается к точке [

1−

;

] и, сле-

довательно, включение интегрирующего звена в разомкнутую цепь системы

уменьшает степень ее устойчивости и увеличивает склонность системы к ко-

лебаниям.

***

5.3.3.Определение устойчивости по логарифмическим частотным харак-

теристикам

Критерий Найквиста позволяет выяснить устойчивость замкнутой систе-

мы не только по АФЧХ, но и по ЛФЧХ разомкнутой системы. Эту возмож-

ность используют весьма широко из-за простоты построения таких характе-

ристик.

Условие нахождения замкнутой системы на границе устойчивости в

соответствии с критерием Найквиста выражается соотношениями:

рк

()1;

() Arg ( )

ϕω ω π

⎧

⎪

⎨

==−

⎪

⎩



(5.23)

Откуда следует следующая разновидность формулировки этого крите-

рия: если разомкнутая система устойчива, то для обеспечения ее устойчи-

вости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы при дос-

тижении ФЧХ разомкнутой системы значения

−

, ЛАЧХ этой же систе-

мы была отрицательной.

Пример. 5.5.

Частотные логарифмические характеристики трех различных систем в

разомкнутом состоянии представлены на рис.5.9. Определить устойчивость

154

этих систем в замкнутом состоянии.

Рис.5.9

Решение.

Исходя из знака ЛАЧХ при

следует, что система 1 является ус-

тойчивой, 2 – находится на границе устойчивости, а 3 – неустойчива.

***

Если ЛФЧХ имеет несколько точек пересечения с уровнем

−

до час-

тоты

, то для устойчивости замкнутой системы требуется, чтобы число

этих пересечений было четным (см. рис.5.10).

Рис.5.10

155

5.4. Сравнительная оценка критериев устойчивости

С точки зрения практического использования рассмотренные критерии не

являются равноценными. Критерии Найквиста и Михайлова применяются,

главным образом, в тех случаях, когда уравнения составляющих звеньев из-

вестны не все, но можно получить их экспериментальные частотные характе-

ристики. Этими критериями можно пользоваться также и при теоретических

расчетах. Вычисление АФЧХ для критерия Найквиста сложнее

, чем вычис-

ление кривой Михайлова, Кроме того, расположение АФЧХ еще не дает

прямого ответа на вопрос, устойчива или неустойчива система, а требует до-

полнительных исследований, в частности, выяснения факта устойчивости в

разомкнутом состоянии.

Критерий Михайлова является весьма эффективным и применяется для

систем любого порядка.

Применяя частотные критерии, характеристические кривые можно

строить постепенно с учетом влияния каждого звена, что придает этим кри-

териям наглядность и позволяет успешно решать задачу выбора параметров

системы из условий устойчивости.

Критерий Гурвица позволяет получить только качественные суждения

о характере протекания процесса управления, т.е. установить, устойчив он

или неустойчив. На вопрос, как быстро процесс затухает, он ответа

не дает.

Кроме того, критерий Гурвица можно применять только в тех случаях,

когда задано уравнение системы в целом, причем порядок этого уравнения

невелик. При

5n >

анализ влияния коэффициентов на определитель Гурвица

резко усложняется.

Оценка влияния на устойчивость параметров того или иного звена в

этом случае требует дополнительных исследований.

5.6. Запасы устойчивости

156

Определение факта устойчивости по уравнениям первого приближения

не дает полной уверенности в том, что практически созданная система будет

устойчива при всех возможных значениях параметров. Поэтому в ТАУ по-

ступают так же, как в любой другой инженерной дисциплине - выполняют

расчеты по приближенным уравнениям с учетом поправочных коэффициен-

тов (запасов устойчивости).

Необходимость введения запасов устойчивости объясняется следую-

щими обстоятельствами:

1) при составлении исходных уравнений учитываются лишь основные

законы механики, электротехники, теплотехники и отбрасываются второсте-

пенные факторы;

2) исходные уравнения линеаризуются;

3) конструктивные параметры, через которые выражаются постоянные

времени и коэффициенты передачи звеньев, обычно определяются с погреш-

ностями как в теории, так и при эксперименте;

4) расчет ведется при типовых условиях.

В действительности нужно учесть статистический характер изменения

внешних условий и разброс параметров у различных образцов системы.

Запас устойчивости может быть выражен различными способами в за-

висимости от того, какой критерий принят в основу расчета.

При использовании критерия Найквиста запас устойчивости можно

оценить по степени удаления АФЧХ разомкнутой системы

рк

()W

от точ-

ки [

1−

;

]. Это удаление характеризуется двумя величинами: запасом ус-

тойчивости по модулю и запасом устойчивости по фазе.

Запасом устойчивости по модулю при АФЧХ называют минимальный

отрезок действительной оси

, характеризующий расстояние между крити-

ческой точкой и ближайшей точкой пересечения годографа

рк

()W

действительной осью (рис. 5.11,а).

157

В случае клювообразной АФЧХ этих запас устойчивости по модулю

определяется величинами двух отрезков действительной оси -

, за-

ключенных между критической точкой [

−

;

] и АФЧХ (рис. 5.11,б).

Запасом устойчивости по фазе называют минимальный угол

, обра-

зуемый радиусом, проходящим через точку пересечения годографа

рк

()W

с окружностью единичного радиуса с центром в начале координат

и отрицательной частью действительной оси.

Рис. 5.11

Чтобы система обладала требуемым запасом устойчивости при задан-

ных величинах

, около критической точки [

−

;

] вычерчивается не-

158

которая запретная область в виде сектора, ограниченного величинами

, в которую АФЧХ не должна заходить (рис. 3.20).

Рис. 5.12.

В случае применения для анализа устойчивости логарифмических час-

тотных характеристик запасу устойчивости системы по модулю соответст-

вуют отрезки

20lg

(см. рис. 5.13) при том значении частоты, при кото-

ром фазовая характеристика

()

ωπ

−

Рис. 5.13. Запасы устойчивости по логарифмическим частотным характери-

стикам

159

Запасу устойчивости системы по фазе соответствует значение угла,

представляющее превышение фазовой характеристики над уровнем

−

при

частоте среза

Пример 5.6.

Проверить устойчивость САУ с помощью критерия Найквиста при сле-

дующих параметрах объекта управления и И-регулятора:

0, 26k

0,1Tc=

0, 45

20k =

Решение.

Запишем частотную функцию разомкнутого контура системы

()W

в алгебраическом виде:

o р

рои

22 2 3 2

oo o o

222 3 22

( ) () ()

21 ()2()

0,47 5, 2(1 0,01 )

() ()

0.0081 (1 0,01 ) 0.0081 (1 0,01 )

WsWs

Ts T s T

jPjQ

ωξωω

ωω

ωω ωωω

=⋅= ⋅ = =

++ + +

−−

=− =+

+− + −



Полученная зависимость позволяет построить годограф

()W

(рис.5.13).

Рис. 5.13

160

W=tf(20*0.26, [0.01 0.09 1 0])

nyquist(W)

Как видно из рисунка годограф

()W

не охватывает точку [

−

;

пересекая ось абсцисс в точке [0,58;

], что свидетельствует о достаточных

запасах устойчивости:

4,76h дБ

***

5.5. Влияние величины передаточного коэффициента разомкнутого

контура САУ на ее устойчивость в замкнутом состоянии.

Ранее указывалось, что передаточную функцию разомкнутого контура

САУ можно представить в виде:

рк

рк рк

()

Ws k

где:

рк

lim ( ) 1

→

; r - количество нулевых корней полинома

)(sA

Заменив

на

, получим частотную передаточную функцию этого

контура:

рк

рк рк

()

Wj k



Из последнего соотношения следует, что модуль вектора

рк

()W

, а

значит и его длина, пропорциональны величине коэффициента

. Значение

ккр

kk=

, при котором АФЧХ проходит через критическую точку [

−

;

называют предельным или критическим.

В большинстве систем увеличение передаточного коэффициента

выше его критического значения

кр

приводит к нарушению устойчивости, а