Абраменко И.Г. Теория автоматического управления

Подождите немного. Документ загружается.

111

Рис.4.1

Таким образом пропорциональное звено пропускает колебания всех

частот равномерно.

4. Временные характеристики:

- переходная характеристика

)(1)( tkth

⋅

;

- импульсная переходная характеристика

() () ()wt h t k t

′

Вид этих характеристик представлен на рис. 4.2.

Рис.4.2

4.2. Интегрирующее звено

1. Уравнение звена:

∫

ydttxkty

)0()()(

, или

() ()yt kxt

′

112

где

- передаточный коэффициент, представляющий собой отношение ско-

рости изменения выходной величины ко входной величине и имеющий раз-

мерность

])[]([][][ txyk ⋅=

В операторной форме при нулевых начальных условиях это уравнение

имеет вид:

ksY

)(

)( =

2. Передаточная функция:

sW ==

)(

3. Частотные характеристики.

Частотная передаточная функция:

()

( ) () () ()

Wj P jQ A j

ϕω

ωω ωω

=+ = ==−

Поэтому

() 0P

;

()

−

Откуда:

()

;

()

() ( ) ()

() 0 2

arctg arctg arctg arctg

ϕω

ωω

⎛⎞

==−=−∞=−∞=−

⎜⎟

⋅

⎝⎠

;

( ) 20 lg ( ) 20lg 20lgLAk

ωω

==−

Определим характерные точки ЛАЧХ:

⇒

()20lgLk

;

⇒

()0L

и ее наклон к оси частот

⇒

( ) 20 lg 20Lk

=−

;

() () 20LL дб дек

ωω

−=−

На рис.4.3 представлены соответствующие графики.

113

Рис. 4.3

Таким образом, с ростом частоты входных колебаний амплитуда вы-

ходных колебаний уменьшается, стремясь к нулю при

→∞

. Сдвиг фаз по-

стоянен и равен

() -

const

ϕω

4. Временные характеристики:

- переходная характеристика

)(1)( tktth

⋅

- импульсная переходная характеристика

() () 1()wt h t k t

′

=⋅

Вид этих характеристик представлен на рис. 4.4.

а) б)

Рис.4.4. Временные характеристики:

а)

()ht

; б)

()wt

4.3. Дифференцирующее звено

114

1. Уравнение звена:

tdx

kty

)(

)( =

где

- передаточный коэффициент, представляющий собой отношение вы-

ходной величины к скорости изменения входной величины и имеющий раз-

мерность

])[]([][][ xtyk ⋅=

В операторной форме при нулевых начальных условиях это уравнение

имеет вид:

)()( sksXsY

2. Передаточная функция:

sW ==

)(

3. Частотные характеристики:

Частотная передаточная функция:

()

( ) () () ()

Wj P jQ A jke

ϕω

ωωω ω

=+ = =

Поэтому

() 0P

;

()Qk

Откуда:

()

;

()

() ()

() 0 2

arctg arctg arctg

ωπ

ϕω

⎛⎞

===∞=

⎜⎟

⎝⎠

;

() 20lg () 20lg 20lgLAk

ωω

==+

Определим характерные точки ЛАЧХ:

⇒

()20lgLk

;

⇒

()0L

и ее наклон к оси частот

⇒

( ) 20 lg 20Lk

;

() () 20LL дб дек

ωω

−=+

На рис.4.5 представлены соответствующие графики.

115

Рис.4.5

Таким образом, с ростом частоты входных колебаний амплитуда вы-

ходных колебаний непрерывно увеличивается. Сдвиг фаз постоянен и равен

()

const

ϕω

4. Временные характеристики:

- переходная характеристика

)()( tkth

⋅

- импульсная переходная характеристика

() () ()wt h t k t

′

=⋅

4.4. Апериодическое звено первого порядка

1. Уравнение звена:

() () ()Ty t y t kx t

′

где:

- передаточный коэффициент, представляющий собой отношение вы-

ходной величины ко входной в статическом режиме и имеющий размерность

][][][ xyk =

;

- постоянная времени, характеризующая инерционность зве-

на.

116

В операторной форме при нулевых начальных условиях это уравнение

имеет вид:

)()()( skXsYsTsY

2. Передаточная функция:

1)(

)(

3. Частотные характеристики:

Частотная передаточная функция:

()

( ) () () ()

()1

умножим и разделим на

комплексно сопр. число

Wj P jQ A

kjkT

ϕω

ωω ωω

=+ = = =

−

Поэтому

()

;

()

Откуда:

2222

222

()

(1 )

kkT k

;

() (1 )

()

(1 )

функция

() ();

нечетная

QkTT

arctg arctg

arctg T arctg T

ωωω

ϕω

ωω

==− =

=−= =−

() 20lg () 20lg -20lg1LAkT

ωω

== +

На рис.4.6 представлены соответствующие графики.

117

Рис.4.6

Кривая, точно соответствующая функции

()L

, показана на рисунке

сплошной линией. В практических расчетах обычно используют приближен-

ную характеристику

()L

, представляющую собой ломаную, состоящую из

двух асимптот.

Первая асимптота (низкочастотная) получается при малых частотах,

когда величиной

в выражении

()L

можно пренебречь. Тогда

нч

() () 20lgLL k

≈

Вторая асимптота (высокочастотная) получается при высоких частотах,

когда

и единицу под корнем можно не учитывать. Тогда

вч

() () 20lg 20lg( )LL k T

ωω

≈

=−

Последнее уравнение представляет собой уравнение прямой, проходя-

щей через точку с координатами [

1 T

;

вч 1

()20lgLk

Определим наклон второй асимптоты:

⇒

вч 2

( ) 20lg 20 lg10Lk

−

вч 2 вч 1

() () 20LL дб дек

ωω

−=−

Значение частоты

сп

, при которой пересекаются обе асимптоты, най-

дем из условия

нч сп вч сп

() ()LL

, т.е.:

сп

20 lg 20 lg 20 lg( )kkT

−

118

Отсюда

сп

1 T

. Эта частота называется.

На основе изложенного алгоритм построения асимптотической ЛАЧХ

можно представить следующим образом:

- на уровне

() 20lg

провести прямую до частоты

сп

;

- из точки с координатами [

сп

;

klg20

] провести другую прямую с

наклоном

20 дб дек−

Максимальная ошибка проведенной аппроксимации получается при

сп

и составляет:

20 lg 20 lg 20 lg 2 3Lkk дбΔ= − + ≈

Отметим, что при

сп

1 π

() -arctg(1)

arctg

ϕω

⋅

−==−

Таким образом, из анализа ЛАЧХ и ЛФЧХ видно, что с увеличением

частоты входных колебаний амплитуда выходных колебаний до частоты

сп

не изменяется, а при

сп

- уменьшается, т.е. звено является

фильтром высоких частот.

Сдвиг фаз отрицателен и с ростом частоты стремится к значению

() 2

∞=−

4. Временные характеристики:

- переходная характеристика

() 1()

ht k e

−

=−

;

- импульсная переходная характеристика

() ()

wt h t

−

′

Вид этих характеристик представлен на рис. 4.7.

119

Рис.4.7

4.5. Форсирующее звено

1. Уравнение звена:

() () ()()yt k Tx t xt

′

где:

- передаточный коэффициент, представляющий собой отношение вы-

ходной величины ко входной в статическом режиме и имеющий размерность

][][][ xyk =

;

- постоянная времени, характеризующая инерционность зве-

на.

В операторной форме при нулевых начальных условиях это уравнение

имеет вид:

)( )()()( sXsTsXksY +=

2. Передаточная функция:

)1(

)(

)( +== Tsk

3. Частотные характеристики:

Частотная передаточная функция:

()

( ) () () () ( )1()

Wj P jQ A kTj k jkTe

ϕω

ωωω ω ω

=+ = = +=+

120

Поэтому

()

;

()QkT

Откуда:

2222 22

() 1AkkTkT

ωω

=+ =+

;

()

( ) arctg arctg arctg( )

()

QkT

ωω

===

;

( ) 20 lg ( ) 20lg 20 lg 1LAk T

ωω

==++

На рис.4.8 представлены соответствующие графики.

Рис.4.8

Кривая, точно соответствующая функции

()L

, показана на рисунке

пунктирной линией. Аналогично апериодическому звену заменяем ее при-

ближенной характеристикой, представляющей собой ломаную, состоящую из

двух асимптот:

нч

вч

() 20lg при 1;

()

( ) 20lg 20lg( ) при 1.

LkT

kT T

ωω

ωωω

⎧

⎪

≈

⎨

=+ >

⎪

⎩

Определим наклон второй асимптоты:

вч 2 вч 1 вч вч

10 1 1

( ) ( ) 20lg 20lg10-20lg 20LLL L k kдб дек

ωω

⋅

⎛⎞ ⎛⎞

−= − =+ =+

⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

Частота сопряжения также равняется

с 1

1 T