Абраменко И.Г. Теория автоматического управления

Подождите немного. Документ загружается.

161

его уменьшение ниже критического значения - к стабилизации системы. В

системах с клювообразными характеристиками при увеличении передаточно-

го коэффициента выше его критического значения система может превра-

титься из неустойчивой в устойчивую, а при уменьшении - из устойчи-

вой в неустойчивую.

Значение

кр

в свою очередь определяется другими параметрами сис-

темы. Рассмотрим, например, статическую систему, состоящую из трех апе-

риодических звеньев 1-го порядка с передаточными коэффициентами

и постоянными времени

Характеристическое уравнение этой системы в замкнутом состоянии

имеет вид:

123123

(1 )(1 )(1 ) 0Tp T p T p kk k++ ++ =

После преобразований получим:

0123

0ap ap ap a

++=

где:

3210

TTTa =

;

3231211

TTTTTTa

;

3212

TTTa

;

kkkka

+= 11

3213

Согласно критерию Гурвица система будет находиться на границе ус-

тойчивости при

30212

−

=Δ aaaa

Решив это уравнение относительно

кр

, окончательно получим:

1122

кр

231312

TTTT

TTTTTT

=+ + + + + +



Из последнего выражения следует, что величина

кр

тем больше, чем

больше разность между двумя наиболее различающимися постоянными вре-

мени.

Приведенное правило справедливо для систем любого порядка и может

быть сформулировано в общем случае в виде: предельное значение переда-

точного коэффициента разомкнутого контура системы зависит от соот-

ношения постоянных времени отдельных звеньев и не зависит от их абсо-

лютных значений.

162

Контрольные вопросы

1. Объясните понятие "устойчивость САУ".

2. Что значит "устойчивость в малом" и "устойчивость в большом"?

3. Почему при исследовании устойчивости САУ достаточно знать

только однородное дифференциональное уравнение?

4. В чем состоят недостатки анализа устойчивости по корням ха-

рактеристического уравнения?

5. Перечислите критерии устойчивости и укажите их особенности.

6. Что такое годограф Михайлова?

7. Что такое предельный передаточный коэффициент?

8. Как связано расположение корней характеристического уравнения с

устойчивостью системы?

163

Глава 6. Качество САУ

Целью функционирования любой САУ является изменение выходной

величины

)(ty

в определенном соответствии с законом изменения задающе-

го воздействия

()

, которое, чаще всего, определяется соотношением

() ()yt y t=

Кроме обеспечения требования устойчивости САУ должна обладать

определенным качеством, под которым понимается точность процесса

управления. Количественной оценкой точности служит величина ошибки

)(t

, определяемая разностью между заданным и фактическим значениями

управляемой величины:

() () ()tytyt

−

. (6.1)

При этом различают две функции САУ:

- воспроизведение задающего воздействия;

- подавление (компенсация) возмущений.

Из-за инерционностей системы обе перечисленные функции всегда вы-

полняются с некоторой погрешностью, т.е. обычно

0)( ≠t

. Мгновенные

значения ошибки не могут быть определены априори на стадии проектирова-

ния, так как во время работы САУ задающие и возмущающие воздействия

изменяются случайным, неизвестным заранее образом. Поэтому качество ра-

боты САУ приходится оценивать с помощью определенных показателей

(критериев качества), которые характеризуют точность процесса управления

раздельно в установившихся и переходных

типовых режимах и имеют коли-

чественную меру.

6.1. Точность работы САУ в установившихся режимах

Рассмотрим обобщенную одноконтурную систему

164

Рис. 6.1

Преобразуем ее к виду с единичной обратной связью

Рис. 6.2

В реальных системах с целью согласования сигналов

()ut

ос

()ut

пе-

редаточные функции

БЗ

()Ws

БИ

()Ws

подбираются одинаковыми, т.е.

БЗ БИ

() ()WsW s=

. Тогда структурная схема системы принимает вид:

Рис. 6.3

В полученной схеме непосредственно фигурирует ошибка системы

)(t

, которая измеряется в тех же единицах, что и величины

()

)(ty

165

Отметим, что в соответствии с последней структурной схемой изобра-

жение ошибки

)(s

связано с изображением сигнала рассогласования

)(sU

простым соотношением вида:

БИ

() () ()Us s W s

=Δ ⋅

Величина

)(t

, исходя из принципа суперпозиции, может рассматри-

ваться в виде суммы двух составляющих, обусловленных действием задаю-

щего и возмущающего воздействий, т.е.:

() () ()

ttt

δδ

Определим соответствующие передаточные функции:

зБИБУОУрк

()

() 1 () () () 1 ()

Ys W sW sW s W s

== =

+⋅⋅ +

;

ОУ ОУ

БИ БУ ОУ рк

() () () ()

()

() 1 () () () 1 ()

WsW s WsW s

Fs W s W s W s W s

⋅

== =

+⋅⋅ +

где

рк БИ БУ ОУ

() () () ()WsW sW sW s=⋅⋅

- передаточная функция разомкнутого

контура.

Тогда можем записать:

ОУ

рк рк

() ()

() () ()

1() 1()

WsW s

sYs Fs

Ws Ws

⋅

Δ= ⋅ + ⋅

. (6.2)

Таким образом, величина ошибки

)(s

определяется как свойствами

системы, так и видом входных воздействий. Для оценки установившихся

режимов САУ используются следующие типовые законы изменения входных

воздействий:

- неизменность задающего и возмущающего воздействий, т.е.

( ) constyt=

() const

t =

;

- движение системы с постоянной скоростью, т.е.

()

tat

⋅

() const

t =

;

166

- движение системы с постоянным ускорением, т.е.

()

yt b

⋅

() const

t =

;

- движение системы по гармоническому закону, т.е.

з 0

() sin( )

=⋅ ⋅

() const

Для первого случая, воспользовавшись теоремой о конечном значении

оригинала операционного исчисления при

з 0

() constyt y==

() constft f==

из (6.2) получим:

(

)

ОУ

рк рк

lim ( ) ( )

lim ( ) lim ( ( ))

1lim () 1lim ()

WsW s

tssy f

Ws Ws

→

→∞ →

→→

⋅

=⋅Δ=⋅ +⋅

. (6.3)

В передаточную функцию разомкнутого контура

рк

()Ws

могут вхо-

дить как статические звенья, имеющие передаточные функции вида

)()(

sWksW

iii

⋅=

, где

1)(lim

→

, так и астатические звенья с переда-

точными функциями вида

()

kW s

⋅

. Тогда, составляющая устано-

вившейся ошибки, вызванная действием задающего воздействия в (6.3) бу-

дет существовать только в случае наличия в

рк

()Ws

исключительно статиче-

ских звеньев.

Составляющая же, вызванная действием возмущения, существует как в

случае статических, так и в случае астатических звеньев. Правда при этом все

астатические звенья должны располагаться между точкой приложения воз-

мущения

и управляемой величиной

(в нашем случае этот участок со-

ответствует

ОУ

()Ws

Тогда (6.3) при наличии обеих составляющих принимает вид:

ОУ

крк

()

Ґ = Ч + Ч

. (6.4)

167

Поскольку величина

)(

∞

при постоянных значениях входных воз-

действий также является величиной постоянной, ее принято называть ста-

тической ошибкой.

Из (6.4) следует, что обе составляющие статической ошибки тем боль-

ше, чем больше внешние воздействия, и тем меньше, чем больше знамена-

тель

рк

(1 )k+

САУ, у которых при постоянных входных воздействиях обе состав-

ляющие ошибки, либо только составляющая

, не равны нулю, называют

статическими или статическими по возмущающему воздействию. Если же

обе составляющие, либо составляющая

, равны нулю, то систему назы-

вают астатической, либо астатической по задающему воздействию. В та-

ких системах передаточная функция разомкнутого контура всегда имеет

вид:

рк

рк рк

()

Ws k

где

рк

lim ( ) 1

→

;

- называется порядком астатизма системы.

Заметим, что система статическая по заданию и астатическая по воз-

мущению невозможна.

Анализ (6.4) показывает, что точность статической системы тем лучше,

чем больше коэффициент передачи разомкнутого контура

рк

Графически зависимость (6.4) можно изобразить статической характе-

ристикой

)()(

∞

при

з 0

( ) constyt y

. Если

k <

то она имеет вид,

приведенный на рис 6.4:

168

Рис. 6.4

Точность статических систем в установившемся режиме принято оце-

нивать также величинами статизма и коэффициента статизма.

Статизмом системы называется величина относительной статической

ошибки при изменении возмущения от 0 до номинального значения

0,ном

consty =

, определяемая соотношением:

(

)

00,ном

100

= Ч

, %.

Коэффициентом статизма называется отношение составляющей ста-

тической ошибки

,з

, вызванной действием возмущения в замкнутой САУ,

к аналогичной составляющей

,р

в разомкнутой САУ при одинаковой ве-

личине

ff =

, т.е.:

,з

,р

100

= Ч

, %. (6.5)

Этот коэффициент показывает, во сколько раз отклонение выходной

величины управляемого объекта меньше отклонения этой величины не-

управляемого объекта при одном и том же значении возмущающего воз-

действия.

169

В соответствии со структурной схемой

,р 0 ОУff

⋅⋅

, а в соответст-

вии с соотношением (6.4)

ОУ

,з 0

⋅

=⋅

Тогда коэффициент статизма:

рк



(6.6)

Точность статической системы считается удовлетворительной, если

коэффициент

01,01,0 ÷

. Следовательно, общий передаточный коэффици-

ент разомкнутого контура статической системы должен находиться в диа-

пазоне

рк

10 100k =÷

Пример 6.1.

Определить ошибку системы, структура которой приведена на рис. 6.2,

при:

з 0

() constyt y

;

( ) constft f

;

)(

;

()

)(

sTs

Рис. 6.5

Решение.

Имеем:

()()

(

)

(

)

()()

з 12 12

()

() ;

() 1 1

sTs Ts

Ys sTs Ts kk

Ts s T s

== =

+++

+⋅

170

(

)

()( )

12 1 2 12

() ()

()

() 1 () () 1 1

kTs

sWs

Fs W s W s sTs Ts kk

== =

+⋅ + ++

Тогда окончательно получим:

0,0,000

() lim () lim () 0

yWsfWsyf f

δδ

→→

∞= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅



Следовательно, система является астатической по задающему воздей-

ствию и статической по возмущающему.

***

Пример 6.2.

Определить ошибку системы для условий предыдущего примера, но

при

()

)(

sTs

)(

Решение.

Имеем:

()()

(

)( )

()()

з 12 12

()

() ;

() 1 1

sTs Ts

Ys sTs Ts kk

Ts s T s

== =

+++

+⋅

;

(

)

()()

12 1 2 12

() ()

()

() 1 () () 1 1

ksTs

sWs

sWsWssTsTskk

== =

+⋅ + ++

Тогда:

0,0,00

() lim () lim () 0 0 0

yWsfWsy f

δδ

→→

∞= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =

т.е. система является астатической по обоим входным воздействиям.

***

6.1.1. Метод коэффициентов ошибок

Анализ точности работы САУ в более сложных установившихся ре-

жимах удобно производить на основе т.н. метода коэффициентов ошибок.

Этот метод основывается на приближенной замене передаточной функции по