Абраменко И.Г. Теория автоматического управления

Подождите немного. Документ загружается.

Линеаризовав функцию

() [ () ]F Ф t

it w

−⋅

в окрестностях базовых

значений переменных,

в,0

, в соответствии с (2.20) получим:

вв

() ()Ф tk it

=⋅Δ

, (2.32)

где

∂

=⋅

∂

Запишем в отклонениях уравнение (2.10):

вввв

()

() ()

dit

ut R it L

Δ=⋅Δ+

. (2.33)

Преобразовав (2.29) и (2.30) по Лапласу и исключив промежуточную

переменную

()IsΔ

, получим:

вв

() ()

Ф sUs

RLs

Δ= Δ

. (2.34)

С учетом (2.26), (2.31) и (2.34) система уравнений ДПТ с независимым

возбуждением (2.15) принимает вид:

эм м

12 э

д,u двд,Мэ с

() () ()

(1 )

() () (1 ) ()

TT s s T s s s

kk Ts

kUs Usk TsMs

⋅ ⋅ΔΩ + ⋅ ⋅ΔΩ + ΔΩ =

=Δ + Δ − +Δ

, (2.35)

где:

TLR

ΣΣ

- электромагнитная постоянная времени;

()

м 0

TJRcФ

ΣΣ

=⋅

- электромеханическая постоянная времени;

ввв

TLR=

- постоянная времени обмотки возбуждения;

д,u 0

1( )kcФ=⋅

- передаточный коэффициент двигателя по напряже-

нию;

д,М

- передаточный коэффициент двигателя по моменту;

1 в 0 в 0

()kk RФ

=⋅ ⋅

;

1 вяц,0 в 0

()kki R RсФ

=⋅ ⋅ ⋅⋅

***

2.2. Математическое описание САУ в переменных состояния

Метод переменных состояния основан на понятии состояния.

Состояние системы в момент времени

- такой минимальный набор

сведений о ней, которого вместе со входной функцией

()ut

, заданной для ин-

тервала времени

0 k

ttt≤≤

, достаточно для однозначного определения

выходной функции

)(ty

для

0 k

ttt

≤

при любом

tt≥

Состояния системы можно охарактеризовать совокупностью некото-

рых переменных

(), (), , ()

txt xtK

, знание начальных значений которых

(0), (0), , (0)

xx xK

и входного воздействия

()ut

позволяет однозначно

определить будущее поведение динамической системы. Эти переменные в

дальнейшем будем называть переменными состояния.

Способы задания переменных состояния могут быть разные. Обычно

используются либо те, которые дают преимущество в исследовании матема-

тической модели системы, либо те, которые имеют ясный физический смысл.

В случае наличия многомерной системы, имеющей

входов и

вы-

ходов, ее состояние в момент времени

, характеризуемое переменными со-

стояния

(), (), , ()

txt xtK

(рис.2.4), является функцией начального со-

стояния

(0), (0), , (0)

xx xK

и входных воздействий

(), (), , ()

ut u t u tK

, т.е.:

[

]

123 123

( ) (0), (0), (0), , (0); ( ), ( ), ( ), , ( )

ii n m

t x x x x ututut ut

= KK

где

- однозначные функции своих аргументов,

1, 2, ,in

Рис. 2.4. Представление многомерной системы в переменных состояния

Введем в рассмотрение понятие вектора состояния

()tx

[]

123

() (), (), (), , ()

t xtxtxt xt=x K

, (2.36)

где

обозначает транспонирование матрицы.

Размерность вектора состояния совпадает с порядком дифференциаль-

ного уравнения, описывающего динамические свойства системы.

Множество всех значений, которые может принять вектор

()tx

в мо-

мент времени

называется пространством состояния (фазовым простран-

ством), которое можно рассматривать как некоторое абстрактное

-мерное

векторное пространство. Точка, определяющая положение конца вектора со-

стояния

()tx

в пространстве состояний, называетея изображающей точкой.

Движение конца вектора состояния

()tx

в пространстве состояний

называется траекторией вектора состояния (фазовой траекторией).

Состояние системы, описываемой дифференциальным уравнением

первого порядка, характеризуется вектором состояния с одной переменной

состояния. Фазовое пространство в этом случае называется одномерным и

представляет собой линию на плоскости, а фазовая траектория - отрезок этой

линии (рис.2.5,а), который описывает конец вектора состояния от значения,

равного

()

в начальный момент времени

до значения, равного

()

в конечный момент времени

Рис.2.5. Фазовое пространство и фазовые траектории системы, описы-

ваемой дифференциальным уравнением:

а) - первого порядка;

б) - второго порядка;

в) - третьего порядка

Состояние системы второго порядка характеризуется вектором состоя-

ния с двумя переменными

()

. Фазовое пространство в этом слу-

чае называется двухмерным и представляет собой плоскость с прямоуголь-

ными координатами

, а фазовая траектория - кривая на плоскости,

которую описывает конец вектора состояния

()tx

при изменении времени

от

tt=

до

tt=

(рис.2.5.б).

На рис. 2.5,в показаны фазовая траектория в трехмерном фазовом про-

странстве с системой координат

и положение вектора состояния

()tx

для момента времени

. Трехмерное фазовое пространство ис-

пользуется для характеристики движений системы третьего порядка. Для

системы

-го порядка переменные состояния

(), (), , ()

txt xtK

рас-

сматриваются как координаты вектора состояния

()tx

-мерном фазовом

пространстве.

По аналогии с пространством состояний для многомерной системы

управления вводятся пространство управлений (входов) и пространство

выходов. При этом управляющие воздействия

(), (), , ()

ut u t u tK

управляемые координаты

(), (), , ()

yt y t y tK

рассматриваются как коор-

динаты вектора управления

[]

() (), (), , ()

tutut ut=u K

-мерном

пространстве и координаты вектора выхода

[]

() (), (), , ()

tytyt yt=y K

-мерном пространстве соответственно.

Следует отметить принципиальное различие, вкладываемое в содержа-

ние понятий векторов управления

()tu

, выхода

()t

и вектора состояния

()tx

. Все составляющие

(), (), , ()

ut u t u tK

(), (), , ()

yt y t y tK

векторов

()tu

()t

являются конкретными физическими величинами. Век-

тор же состояния системы

()tx

является некоторой, в общем случае абст-

рактной, характеристикой системы.

Если на систему действуют помехи, характеризуемые вектором помех

[]

() (), (), , ()

tftft ft=f K

, то в этом случае вводится

-мерное простран-

ство помех.

Чтобы связать последовательные состояния системы во времени, ис-

пользуются дифференциальные уравнения:

[]

1 112 12

2 212 12

12 12

() (), (), , (); (), (), , (); ,

( ) ( ), ( ), , ( ); ( ), ( ), , ( ); ,

( ) ( ), ( ), , ( ); ( ), ( ), , ( );

nn n m

txtxtxtutututt

t xtxt xtutut utt

txtxtxtutututt

⎫

′

⎪

′

⎪

⎬

⎪

′

⎪

⎭

KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

. (2.37)

Правые части этих уравнений зависят от искомых функций

()

и не

зависят от их производных. Система уравнений первого порядка вида (2.37)

называется системой

дифференциальных уравнений, записанной в нор-

мальной форме Коши.

В общем случае число выходов (см. рис.2.4)

(), (), , ()

yt y t y tK

не

зависит от числа

переменных состояния - как правило, число переменных

состояния больше числа интересующих исследователя физических выходных

переменных, и тем более больше числа управляемых переменных. Знание

переменных состояния позволяет найти любой из выходных сигналов

()

как некоторые функции

,,,

gg gK

от переменных состояния и входов:

[]

1112 12

2212 12

12 12

() (), (), , (); (), (), , (); ,

( ) ( ), ( ), , ( ); ( ), ( ), , ( ); ,

( ) ( ), ( ), , ( ); ( ), ( ), , ( );

rr n m

yt gxtxt xtutut utt

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

. (2.38)

При этом правые части уравнений (2.37) и (2.38) (функции

12 12

,,,;,,,

gg g

ϕϕ

) - являются однозначными функциями.

Системы уравнений (2.37) и (2.38) определяет состояние динамической

системы в любой момент времени

и называется уравнениями состояния.

В общем случае как дифференциальные уравнения (2.37) так и алгеб-

раические уравнения (2.38) являются нелинейными. В дальнейшем полагаем,

что эти уравнения линеаризованы и, кроме того, они описывают динамиче-

ские процессы в детерминированных стационарных системах. Напомним, что

в детерминированной системе каждому заданному вектору входа

()tu

соот-

ветствует единственный вектор выхода

()t

, а в стационарной системе ее

переменные состояния

()

, а также выходные переменные

()

не зависят

от момента

приложения входных воздействий

()

. При принятых допу-

щениях уравнения (2.37) и (2.38) могут быть преобразованы к следующему

виду:

1111122 1 111122 1

2 21 1 22 2 2 21 1 22 2 2

11 2 2 11

() () () () () () ();

() () () () ()

nn mm

nn n nnnn

taxtaxt axtbutbut but

xt axt axt axt but b

′

= + ++ + + ++

′

= + ++ + + ++

′

=+ ++ ++

KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

() ()

nnmm

ut bu t

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

. (2.39)

1111122 1 111122 1

2211222 2 211222 2

11 2 2 11 2

() () () () () () ();

() () () () ()

nn mm

rr r rnnr r

tcxtcxt cxtdutdut dut

t cxt cxt cxt dut dut d u t

yt cxt cxt cxt dut du

= + ++ + + ++

=+ ++++

KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

() ()

rm m

tdut

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

. (2.40)

В уравнениях (2.39) и (2.40)

1, 2, ,in

;

1, 2, ,

n= K

;

1, 2, ,in= K

;

1, 2, ,

m= K

;

1, 2, ,ir

;

1, 2, ,jn= K

;

1, 2, ,ir= K

;

1, 2, ,jm

; - постоянные коэффициенты, которые получают-

ся в результате разложения нелинейных функций

в ряд Тейлора

при линеаризации уравнений.

В векторно-матричной форме записи уравнения (2.39), (2.40) имеют

следующий вид:

() () ()ttt

′

+xAxBu

; (2.41)

() () ()ttt

+yCxDu

, (2.42)

где

11 12 1

21 22 2

nn nn

aa a

K KKK

;

11 12 1

21 22 2

nn nm

bb b

KKKK

11 12 1

21 22 2

rr rn

cc c

KKKK

;

11 12 1

21 22 2

rr rm

dd d

KKKK

Уравнения (2.41) и(2.42) можно представить в виде структурной схемы,

приведенной на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Структурная схема многомерной линейной стационарной сис-

темы

Так как элементы матриц

- постоянные числа, то и

сами эти матрицы также постоянны. Квадратная матрица

размерности

nn×

называется матрицей состояния - структура этой матрицы определяет

характер как свободных, так и вынужденных движений системы.

Матрица

размерности

называется матрицей управляющих

воздействий. Ее структура определяет характер связи входа системы с раз-

личными переменными состояния. Матрица

размерности

rn×

называ-

ется матрицей выходных координат - ее структура определяет характер свя-

зи выходных координат системы с отдельными переменными состояния.

Матрица

размерности

характеризует прямую (не динамическую)

связь выходных координат с управляющими координатами; ее структура оп-

ределяет, каким образом задающие функции на входе непосредственно воз-

действуют на различные составляющие выхода. Для многих физических сис-

тем матрица

является нулевой.

При векторно-матричной записи дифференциальных уравнений основ-

ными звеньями структурной схемы, как видно из рис. 2.6, являются много-

мерные сумматоры, интеграторы и матричные блоки

. По-

скольку определяемые элементами схемы операции линейны, а коэффициен-

ты матричных блоков постоянны, то схема линеаризованной модели на

рис.2.6 соответствует линейной стационарной системе. Эта же структурная

схема при замене матричных блоков с постоянными матрицами на матрич-

ные блоки с переменными матрицами

()tA

()tB

()tC

()tD

будет

соответствовать линейной нестационарной системе.

2.2.1. Стандартная форма записи уравнений состояния

Пусть известно нормированное (

) дифференциальное уравнение

вход - выход, устанавливающее связь между выходом

()yt

и входом

()ut

одномерной системы

-го порядка:

() ( 1)

110

() () () () ()

ytay t aytaytbut

−

′

++++=K

. (2.43)

Определим уравнения состояния, соответствующие дифференциально-

му уравнению (2.43). Поскольку знание начальных значений выходной пере-

менной и ее производных

(1)

(0), (0), , (0)

yy y

−

′

полностью определяет бу-

дущее движение системы, то переменные

(1)

(), (), , ()

yt y t y t

−

′

могут быть

приняты в качестве переменных состояния:

(1)

() ();

() () ();

() () ()

xt yt

xt yt xt

ty txt

−

⎫

⎪

′

⎪

⎬

⎪

′

⎭

KKKKKKKKK

. (2.44)

Разрешив уравнение (2.43) относительно старшей производной, имеем

() ( 1)

110

() () () () ()

yt ay t aytaytbut

−

′

=− − − − +K

. (2.45)

Тогда из (2.44) и (2.45) получаем следующую систему дифференциаль-

ных уравнений первого порядка относительно переменных состояния

(), (), , ()

txt xtK

и алгебраическое уравнение, связывающее выход сис-

темы

()yt

с соответствующей переменной состояния:

112 1 0

() ();

() () () () ();

() ()

nnn n

xt x t

xt xt

xtxt

xt axt a xt axt but

yt x t

−

′

⎫

⎪

′

⎪

⎬

′

⎪

′

=− − − − +

⎪

⎭



KKKKKKKKKKKKKKKKKKK

(2.46)

Систему уравнений (2.46) удобно записать в векторно-матричной фор-

ме следующим образом:

[]

123 1 0

() 0 1 0 0 0 () 0

() 0 0 1 0 0 () 0

.. . ... 0

();

() 0 0 0 0 1 ()

() ()

() 1 0 0 0 () () ()

nnnnn n

xt xt

xt a a a a a xt b

yt x t x t x t

−−

−− −

′

⎫

⎪

′

⎪

⎬

′

⎪

′

−− − − −

⎪

=⋅

⎪

⎭

KK KK



. (2.47)

или

() () (),

() ()

ttut

yt t

′

⎫

⎬

⎭

xAxB

, (2.48)

где согласно (2.47) матрица состояния

размерности

nn×

, матрица входа

размерности

1n ×

, матрица выхода

размерности

1 n×

и вектор со-

стояния

()tx

размерности

равны:

[]

123 1 0

01 0 0 0 0

00 1 0 0 0

.. . ... 0;;

00 0 0 1

100 0; () () () ()

nn n n

aa a a a b

txtxt xt

−− −

⎫

⎡⎤⎡⎤

⎪

⎢⎥⎢⎥

⎪

⎢⎥⎢⎥

⎪

⎢⎥⎢⎥

⎪

⎢⎥⎢⎥

⎬

⎢⎥⎢⎥

⎪

⎢⎥⎢⎥

−− − − −

⎪

⎣⎦⎣⎦

⎪

⎭

. (2.49)

Уравнения (2.46) называются уравнениями состояния в стандартной

форме.

Пример 2.5.