Живоглядов В.Г. Теория движения транспортных и пешеходных потоков

Подождите немного. Документ загружается.

точно простое обобщение этой задачи на пересечение транспортной едини-

цей последовательно нескольких потоков точными методами, изложенными

в [248, 298, 299]. В пункте данного подраздела предлагается решение указан-

ной задачи с помощью средних оценок, рассматривая каждый пересекаемый

поток как последовательную во времени смену средних свободных А и сред-

них блокированных промежутков В. При этом в отличие от [248, 298, 299]

будем здесь оперировать средними свободными и средними блокированными

промежутками потока, а не пополненными средними свободными и сокра-

щенными средними блокированными. Первые всегда можно легко опреде-

лить из последних и мы будем считать, что это сделано.

Рассмотрим подробно пересечение транспортной единицей последова-

тельно двух потоков с интенсивностями, обозначаемыми для простоты через



средними свободными А

и А

и средними блокированными В

и В

промежутками соответственно для первого и второго пересекаемых потоков.

Каждый поток рассматривается как последовательное повторение циклов

+ В

и А

+ В

. Эти циклы могут быть смещены относительно друг друга

на величину х во времени в какой-то фиксированный момент. Свободный

промежуток пересечения двух потоков будет образовываться из свободных

промежутков первого потока, в среднем А

, и наложение на них целых или

части свободных промежутков второго потока, в среднем А

, при смещении

х. Пусть при смещении х = 0 цикл В

+ А

может уложиться в А

, максимум k

раз и еще может быть остаток r:

















.,1,

221122122

 krkk

Обозначим суммарную длину средних свободных промежутков А

, со-

держащихся в А

, через







, а блокированных В

в А

через







при сме-

щении х. Очевидно













xSxS и общая суммарная длина блокированных

промежутков за цикл А

+ В

будет









xS . Заметим, что если ,

122



то k = 0 и r = А

. Введем специальные функции:













,0 для ,0

,0 для ,1

)(













0 для ,

,0 для ,0

)(

ВАхх

xН

351

Функцию Н(х) считаем определенной для всех х



как периодическую

с периодом А

+ В

. Несложными, но громоздкими рассуждениями можно

доказать, что





























   

222222







хrх

rхrrхrrkхS

(3.62)









хSхS





(3.63)

Отношение циклов )/()(

1122

ΒΑΒΑ  может не быть рациональным

числом, но с некоторой погрешностью можно считать, что это отношение

равно рациональному числу

,/)/()(

1122

nmΒΑΒΑ  (3.64)

или n(А

+ В

) = m (A

+ B

). За m повторений А

+ В

смещения А

+ В

отно-

сительно А

+ В

будут меняться в каждом повторении. Если в первом цикле

оно было х (рис. 3.21), через m повторений А

+ В

ситуацию можно считать

приближенно повторяющейся за счет (3.64).

Суммарно длины свободных и блокированных промежутков за m по-

вторений легко определяются формулами

   

 











iSS

     

 

   



SmiSmS











где













. при -

, при - )/()(

112211

11222211

ΒΑΒΑΒΑ

ΒΑΒΑΒΑΒΑ

Рис. 3.21 Динамика смещенного цикла

+ В

на

относ

тельно

+ В

за счет m повторений

352

Здесь )}/(){(

2211

ΒΑΒΑ  есть дробная часть числа )/()(

2211

ΒΑΒΑ  .

Отсюда средняя длина свободного и блокированного промежутка за m по-

вторений циклов А

+ В

при начальном смещении на х определится форму-

лами

 





;

хS

хA





 









 

хA

хS

хB





 (3.65)

Функции





хA и





хB периодические для х



с периодом А

+ В

. Учи-

тывая это, найдем среднюю длину свободного и блокированного промежут-

ков при пересечении автомобилем последовательно двух потоков

   

dххх











   

dххх











(3.66)

где

     

duuwuхх









, (3.67)

(и) – плотность распределения времени ожидания при пересечении второго

потока;



(х) – плотность распределения длины свободных промежутков

второго потока.

Величины w

(и) и



(х) определяются по Хейту [248]. Из формул (3.64)

и (3.65) находим, что А + В = А

+ В

, т.е. циклы пересечения двух потоков

совпадают с циклами второго потока. Следовательно, по формулам (3.66) и

(3.67) достаточно найти только величину А, а затем, зная А, определяем

В = А

+ В

–А.

Пересечение автомобилем трех, четырех и большего числа потоков

оценивается последовательно. Сначала находятся средние свободные и сред-

ние блокированные промежутки для двух первых пересекаемых потоков. За-

тем, считая это за один поток, присоединяем к нему третий и т. д. Таким об-

разом, методом, изложенным в этом подразделе, (1.11.1) оцениваются сред-

ние свободные и блокированные промежутки для любой транспортной еди-

ницы, совершающей определенный маневр на перекрестке. Дальше будем

считать, что этим путем такие промежутки уже определены и их будем обо-

значать, указывая только направления пересекаемых потоков, а виды манев-

353

ров транспортных единиц пересекаемых потоков указывать не будем, подра-

зумевая, что по каждому направлению учитываются все необходимые манев-

ры, обладающие преимуществом, или равноценные в сравнении с пересе-

кающей поток транспортной единицей. При этом перед символом среднего

свободного или среднего блокированного промежутка будем указывать ин-

дексы транспортной единицы, пересекающей потоки. Например,

tt 2,2,4,4

 оз-

начает средний свободный промежуток, полученный пересечением четверто-

го потока автомобилей с маневрами 1, 3, 4; четвертого потока трамваев с ма-

невром 1, второго потока автомобилей с маневрами 1, 2, 3, 4 и второго потока

трамваев с маневрами 1, 2, 3. Напоминаем, что первое направление второсте-

пенное.

3.11.2 Оценка средних свободных и блокированных проме-

жутков времени с трамвайным движением

Укажем оценки пропускной способности перекрестка сначала для

транспортных единиц главных направлений движения, j = 2,4. Дадим оценки

для второго направления, так как для четвертого они получаются аналогично.

Автомобиль этого направления, движущийся прямо и направо, не испытыва-

ет помех движению, согласно принятой конструкции перекрестка и правил

движения [197], за исключением, может быть, ТС того же направления, по-

ворачивающих налево или разворачивающихся для движения в обратном на-

правлении. Это зависит от возможности объехать автомобили, ожидающие

левого поворота и разворота. Пусть U

есть среднее число ожидающих ука-

занные маневры автомобилей, не мешающих прямому движению и повороту

направо. Для этих автомобилей может быть выполнено соотношение









22,4,4

tttttttt





(3.68)

Оно определяет возможность среднего числа автомобилей, прибывших

за цикл, разместиться на перекрестке, не мешая движению остальных авто-

мобилей того же направления. При этом автомобили, прибывшие в течение

своих циклов, обязательно должны за время своих свободных промежутков

освободить перекрестки. Это определяется соотношениями

354





2,4,4

22,4,4

2 tttttt





(3.69)





2,4,4

22,4,4

2 tttttt





(3.70)

Заметим, что автомобили, совершающие левый поворот, могут пройти

за время свободного промежутка для разворачивающихся автомобилей и на-

оборот. Это приводит к неравенству









22,4,4





tttttttt

(3.71)

где

2,4,4

2 tt

 если

























,22 44,44

tttt 

tt 2,4,4

 если выполнены все противоположные неравенства,

2,4,42,4,4

22,4,4

2 tttttt

 во всех других случаях.

Здесь

2,4,4 tt

 определяется по максимальным интенсивностям пересе-

каемых потоков при временах пересечения потоков, определяемых как

























tt 4,4max,4,4max

 и













tt 2,2max



соответственно по потокам.

Выражения (3.68) – (3.71) определяют возможность двигаться автомо-

билям второго направления прямо и направо без задержки. Если же соотно-

шение (3.68) не выполнено (в частности, может быть U

= 0), то все для нор-

мальной работы перекрестка должны быть выполнены соотношения (3.69) –

(3.71), но автомобили из второго направления, движущиеся прямо и направо,

будут задерживаться в среднем приближенно на время









   

 

),2/(11

22,4,4













ееееU

tttttttt

(3.72)

Аналогичные соотношения выводятся и для автомобилей четвертого

направления движения.

Теперь дадим оценки движению трамваев по главным направлениям.

При принятой конфигурации перекрестка трамваи, движущиеся прямо по

главному направлению, не имеют препятствий движению. При движении на-

право трамвай должен пересечь поток автомобилей, движущихся прямо из

того же направления, поэтому должно быть выполнено неравенство

355





CDС 



. (3.73)

В отличие от автомобилей средние свободные и блокированные про-

межутки для трамваев будем обозначать соответственно через С и D. Анало-

гичное соотношение должно быть выполнено для трамваев, поворачивающих

налево,





4,4

24,4

2 ttt

CDС 



(3.74)

Так как свободные и блокированные промежутки для трамваев, пово-

рачивающих направо, и для трамваев, поворачивающих налево, определяют-

ся различными пересекаемыми потоками, то соотношения, подобной струк-

туры (3.71), здесь не требуется. Опираясь на случайность в индивидуальном

смысле [29, 63, 248], можно показать, что новых соотношений, помимо

(3.69)–(3.74) и возможно (3.68), не требуется. Положение в очереди транс-

портных единиц, с разными маневрами при пуассоновских потоках, новых

соотношений не требует. Заметим, что принятая конструкция перекрестка с

трамвайным движением посередине обеспечивает поворот налево и разворот

в обратном направлении из главного направления, не мешая, а даже способ-

ствуя аналогичным маневрам встречного главного потока автомобилей. Од-

нако может оказаться, что конструкция перекрестка такова, что при этих ма-

неврах задерживается движение транспорта, движущегося прямо и направо.

Тогда в соотношениях (3.69) – (3.73) справа придется учитывать поправку на

величину времени задержки, подобную S

. Способ введения такой поправки

рассматривается в последующем пункте раздела.

3.11.3. Средние свободные и блокированные промежутки време-

ни для второстепенных направлений с трамвайным движением

Проведем оценку второстепенных направлений. Сделаем их для перво-

го направления, для третьего – оценка аналогична. Проведем сначала рассу-

ждения для автомобилей.

Автомобили, поворачивающие направо из первого направления, могут

совершить свой маневр при различных условиях в зависимости от того, вы-

полнено неравенство (3.68) или нет для четвертого направления. Если (3.68)

356

выполнено, то





ΑτΒΑλ  , (3.75)

если же (3.68) не выполнено, то за счет «сжатия» потока автомобилей, иду-

щих прямо из четвертого направления, в колонну из-за задержки их автомо-

билями левого поворота и разворота того же направления будет выполнено

неравенство





,τSλSΑτΒΑλ

 (3.76)

Относительно движения автомобилей из второстепенных направлений

с другими маневрами заметим, что поворот налево и разворот для движения

в обратном направлении из главного направления пользуются преимущест-

вом при пересечении встречного главного потока в сравнении с пересекаю-

щими этот поток автомобилями второстепенных направлений. Поэтому при

расчете проезда автомобилей второстепенных направлений через главные

направления величина среднего свободного промежутка, например,



должна быть уменьшена на величину









,τΒΑλτΒΑλ

 а величина

среднего блокированного промежутка увеличена на эту величину, т.е. эти

промежутки должны учитывать занятость перекрестка автомобилями с пово-

ротом налево и разворотом из главного направления. Кроме того, в рассмат-

риваемой конфигурации перекрестка, когда трамвай движется посередине,

встречные потоки, движущиеся налево и разворачивающиеся, не мешают

друг другу, поэтому временных задержек, вызванных нарушением (3.68),

учитывать не нужно. Однако перекресток может оказаться таким, что потре-

буется такой учет, когда временную поправку типа (3.76) справа нужно будет

добавить к среднему свободному промежутку и вычесть из блокированного.

Будем в дальнейшем считать, что подобные поправки к средним свободным

и блокированным промежуткам сделаны там, где это необходимо, а эти про-

межутки в соотношениях содержат такие поправки. Для других маневров ав-

томобилей второстепенного первого направления справедливы неравенства





t,t,,t,t,,t,t,,

ΑτΒΑλ

2244

12244







t,t,t,,,,tt,t,,,,tt,t,,,,

ΑτΒΑλ

234234

1234234

 (3.77)

357





;ΑτΒΑλ

tt,,,tt,,,tt,,, 3434

13434



Должны быть также выполнены соотношения, подобные (3.71):









,ΕτΒΑλτΒΑλ

,tt,,,tt,,,tt,t,,,,tt,t,,,, 34

13434

1234234

 (3.78)









 

,ΕτΒΑλ

τΒΑλτΒΑλ

,,tt,,,tt,,,

tt,,,tt,,,tt,t,,,,tt,t,,,,

431

12424

13434

1234234





(3.79)















1234234

12424

τΒΑλτΒΑλτΒΑλ

tt,t,,,,tt,t,,,,tt,,,tt,,,





,ΕτΒΑλ

,,,tt,,,tt,,, 4321

13434

 (3.80)

Здесь Е определяются подобно тому, как это делалось для (3.71), но с

учетом правых частей неравенств (3.78) – (3.80). Например,





















,,Τ,ΤΤΤесли,Α 444min4



44314

ΑΕΑ

 , в противном случае.

а А

определяется как средний свободный промежуток пересечения четвер-

того потока при времени пересечения, равном

















,,Τ,ΤΤΑ 444max



и при максимальной интенсивности пересекаемых потоков. Неравенства, по-

добные (3.75) – (3.80), выполняются и для другого второстепенного третьего

направления. Следует заметить, что в случае, когда автомашины, движущие-

ся прямо и направо, не могут объехать автомобили, ожидающиеся левого по-

ворота или разворота для движения в обратном направлении, то не нужно

учитывать неравенство типа (3.68) для второстепенных направлений, так как

с учетом случайности в индивидуальном смысле [29, 45, 248] этот факт со-

держится в соотношениях (3.79) и (3.80). Если же возможен такой объезд, то

вместо (3.79) и (3.80) рассматривается неравенство типа (3.68), а для автомо-

билей, движущихся прямо и направо, выписывается неравенство









12424

12244

1 ,tt,,,t,t,,

ΕτΒΑλτΒΑλ  (3.81)

где

 , если









,ΤΤ 44



1,2









.Τ Τ, ΑΑΑ

tt,,,

44 если

12424



Здесь А

оценивается так же, как

tt 2,4,2,4

 , но при времени пересечения



4,3,2,1

358

с четвертого направления автомобильного потока, равном





 Если же в

этом случае неравенство (3.68) нарушается, то это учитывается неравенства-

ми (3.79) и (3.80). В них интенсивности потоков



уменьшаются при-

ближенно на величину





















234234

1234234

λλλ

ttt,,,,tt,t,,,,

ее/еΒΑ/U

























2/1 /

2424

12424





 еееΒΑU

λλ

tt,,,tt,,,

соответственно

Для трамвайных потоков из первого второстепенного направления

строятся аналогичные неравенства, но для них задержек типа (3.68) нет.





tttttt

CDС

2,4,2,4

12,4,2,4





;





;

4,4

14,4

1 ttt

CDC 







ttttttttt

CDC

2,3,4,2,3,4

12,3,4,2,3,4





(3.82)









;

3,1

12,3,4,2,3,4

12,4,2,4

GDCDC

tttttttttt

















3,2,1

12,3,4,2,3,4

14,4

12,4,2,4

GDCDCDC

tttttttttttt





Здесь величины G

1,3

и G

1,2,3

определяются так же, как соответствующие

величины Е для автомобилей. Аналогичные неравенства выписываются для

третьего второстепенного направления. Также, опираясь на случайность в

индивидуальном смысле [29, 45, 248], можно доказать, что никаких дополни-

тельных неравенств за счет смешивания потоков здесь не возникает.

3.11.4 Свободные и блокированные промежутки времени при

движении автомобилей по трамвайным путям

Многорядность движения следует учитывать только для автомобилей,

так как многорядность трамвайного движения может быть только в исключи-

тельных случаях. Многорядность движения автомобилей по главным направ-

лениям оценивается так же, как и в п. 3.11.2, но только средние свободные и

блокированные промежутки должны оцениваться по большему числу пере-

секаемых потоков. Неравенства (3.68) – (3.71) сохранятся.

Многорядность второстепенных направлений также оценивается ана-

359

логично, но отдельно для каждого ряда, учитывая виды маневра в каждом

ряду. Число пересекаемых потоков увеличивается. Для поворота направо ис-

пользуется только неравенство (3.75), а (3.76) исключается из-за многорядно-

сти главных направлений. Неравенство (3.68) учитывается только в случае

разрешенного движения прямо в крайнем левом ряду.

Например, при двухрядном движении из первого направления возмож-

ны случаи:

1. В левом ряду движется транспорт прямо, налево и, разворачиваю-

щийся в обратном направлении, а в правом – направо. Здесь сохраняются не-

равенства (3.76)-(3.79), и возможно неравенство (3.68).

2. В левом ряду движется транспорт налево и разворачивающийся для

движения в обратном направлении, а в правом ряду – прямо и направо. Здесь

сохраняются неравенства (3.75), (3.76), (3.78) и (3.81).

3. В левом ряду движение разрешено прямо, налево и разворот для дви-

жения в обратном направлении, а в правом ряду – прямо и направо. Здесь со-

храняются неравенства (3.75), (3.76), (3.78) и (3.81). Вместо неравенства

(3.79) и (3.80) будет одно неравенство с левой частью как в (3.80), а справа в

нем будет

4,3,2,14,3,1

 .

Во всех случаях многорядного движения и различных типов перекрест-

ков метод расчета остается тот же. Заметим, что другой крайний случай, слу-

чай узких улиц, когда допустимо движение автомобильного транспорта по

трамвайным путям, оценивается этим же методом. Здесь можно формально

объединить интенсивности потоков автомобилей и трамваев





соответ-

ственно с одинаковыми маневрами в каждом направлении, осредняя время Т

и S. Однако, величины





объединять не следует, так как они существенно

могут влиять на оценку пропускной способности перекрестка. Преобразо-

ванную так схему далее можно рассматривать методом оценки автомобиль-

ных потоков. Принципиально нового эти рассмотрения в схему оценки не

вносят, и в этом случае можно ограничиться только этим замечанием.

Можно не осреднять в таких рассмотрениях Т и S, но тогда к уже ука-

360