Живоглядов В.Г. Теория движения транспортных и пешеходных потоков
Подождите немного. Документ загружается.
0 для ,0
,0 для ,1
)(
х
х
хЕ
и
.0 для ,
,0 для ,0
)(
22
ВАхх
х
хН
Функцию Н(х) считаем определенной для всех х 0 как периодическую
функцию с периодом А
2
+ В
2
. Несложным, но громоздким путем можно дока-
зать, что
).()()(
)]()([)()()(
22
22222
AxHrxHrAxH
BrEBrxHBrEBrkAxS
A
(3.49)
).()(
1
xSAxS
AB
(3.50)
Отношение циклов )/()(
1122
BABA может не быть рациональным
числом, но с некоторой погрешностью можно сказать, что это отношение
равно рациональному числу
nmBABA /)/()(
1122
(3.51)
или n (А
2
+ В
2
) =m (А
1
+ В
1
). За m повторений циклов А
1
+ В
1
смещения
А
2
+ B
2
относительно А
1
+B
1
будут меняться в каждом повторении, если в
первом цикле оно было х. Через m повторений А
1
+ B
1
ситуацию можно счи-
тать приближенно повторяющейся за счет (3.51). Суммарные длины свобод-
ных и блокированных промежутков за m повторений легко определяются
формулами:
,)1()(
1
m
i
A
m
A
ixSxS
),()()1()()(
11
1
11
xSBAmixSBAmxS
m
A
m
i
A
m
B
(3.52)
где
. при
, при ))/()( ( - )/()(
112211
112222112211
ВАВАВА
ВАВАBABAчастьцелаяBABA
Таким образом, средняя длина свободного и блокированного проме-
жутка за m повторений циклов А
1
+ B
1
при начальном смещении определится
формулами:
).(/)(/)()( ;/)()(
11
xAnBAmnxSxBnxSхА
m
B
m
A
(3.53)
Функции
)(xA и )(xB - периодические для х 0 с периодом А
2
+ В
2
.
Учитывая это, найдем среднюю длину свободного и блокированного про-
341
межутков при пересечении автомобилем последовательно двух потоков как
0 0
,)()( ,)()( dxxxBBdxxxAA
(3.54)
где
0
22
.)()()( duuwuxx
(3.55)
а w
2
(и) - плотность распределения времени ожидания при пересечении второ-
го потока [248],
2
(х) - плотность длины свободных промежутков второго по-
тока. Величины W(и) и
2
(х) определяются по Хейту [248]. Из формул (3.51)
и (3.53) находим, что А + В = А
2
+ В
2
, т.е. циклы пересечения двух потоков
совпадут с циклами второго потока. Следовательно, по формулам (3.54) и
(3.55) достаточно найти только величину А. Затем, зная А, можно определить
величину В, а именно: В=А
2
+В
2
-А.
Пересечение автомобилем трех и четырех потоков оценивается после-
довательно. Вначале находим средние свободные и блокированные проме-
жутки для двух пересекаемых потоков. Затем, считая их за один поток, при-
соединяем к нему третий поток и т.д.
3.9. Оценка других видов маневра второстепенных потоков
Будем считать, что средние свободные и блокированные промежутки
пересечения нескольких потоков определены в предыдущем разделе. Для
простоты обозначений будем указывать для них только направления пересе-
каемых потоков, а виды маневров ТС этих потоков обозначать не будем,
подразумевая, что в них содержатся все совершаемые маневры. Например,
24
1
1 ,
Α означает средний свободный промежуток, полученный первым пересе-
чением двух потоков: четвертого с маневрами 1,3,4 и второго с маневрами
1,2,3,4.
По правилам движения [197] поворот налево и разворот из главного
направления не пользуется преимуществом при пересечении встречного
главного потока, но пользуется преимуществом в сравнении с пересекающи-
ми этот поток
4
1
1
Α ТС второстепенного направления. Поэтому при расчете
342
проезда ТС через главные направления величина среднего свободного про-
межутка, например
4
1
1
Α должна быть уменьшена на величину
,)()(
4
24
1
14
1
1
4
2
3
24
1
14
1
1
3
2
ВΑВΑ , а величина среднего блокированного проме-
жутка увеличена на эту величину. Это должно быть сделано для каждого пе-
ресекаемого главного направления. Измененные средние свободные и блоки-
рованные промежутки принимаются за средние промежутки пересекаемых
главных направлении во всех дальнейших расчетах.
Учитывая эти замечания, проведем расчет последовательных пересече-
ний потоков и найдем:
2,3,4
4
1
4
12,3,4
4
12,3,4
4
1
4
1
2,3,4
3
1
3
12,3,4
3
12,3,4
3
1
3
12,4
1
1
1
12,4
1
12,4
1
1
1
1
)(
;)( ;)(
АВΑ
АВΑАВΑ
(3.56)
Помимо этих неравенств должны быть выполнены дополнительные со-
отношения:
,)()(
3,2,4
4
13,2,4
4
13,2,4
4
1
4
1
3
13,2,4
3
13,2,4
3
1
3
1
DВАВА
(3.57)
Где
случаяхдругих всех во ,
а,неравенств ожныепротивопол все выполнены если ,
),3()3(),2()2(),4()4( если ,
0
3,2,4
4
13,2,4
4
13,2,4
3
1
3,2,4
4
1
4
1
3
1
4
1
3
1
4
1
3
13,2,4
3
1
3,2,4
ААА
А
ТТТТТТA
D
Здесь т
3
1
(4) и т
4
1
(4) есть время пересечения всех требуемых потоков
четвертого направления, аналогично и с другими обозначениями. Величина
а
0
4,2,3
определяется по пересечению трех потоков со временами пересечения
каждого равными max{t
3
1
(4), t
4
1
(4)}, max{t
3
1
(2), t
4
1
(2)}, max{t
3
1
(3), t
4
1
(3)} со-
ответственно по потокам. Взаимодействие трех потоков оценивается нера-
венством:
,)()()(
4,3,1
1
12,4
1
12,4
1
1
1
1
4
13,2,4
4
13,2,4
4
1
4
1
3
13,2,4
3
13,2,4
3
1
3
1
DВАВАВА
(3.58)
Где
случае. противном в ,
)},2(),2(min{)2( и )}4(),4(min{)4( если ,
0
2,43,2,42,4
1
1
4
1
3
1
1
1
4
1
3
1
1
12,4
1
1
4,3,1
ADА
TTТTTТA
D
343
Здесь а
0
4,2
оценивается по пересечению двух потоков четвертого и вто-
рого при времени пересечения, равных для четвертого направления
max{t
1
1
(4), t
3
1
(4), t
4
1
(4)}, max{t
1
1
(2), т
3
1
(2), t
4
1
(2)}.
Теперь получим еще одно неравенство, которое определяет взаимодей-
ствие четырех потоков:
,)()(
)()(
4,3,2,1
2
14
2
14
2
1
2
1
1
12,4
1
12,4
1
1
1
1
4
13,2,4
4
13,2,4
4
1
4
1
3
13,2,4
3
13,2,4
3
1
3
1
DВАВА
ВАВА
(3.59)
Где
случае. противном в ,
)},4( ),4(),4(min{)4( если ,
0
44,3,14
2
1
1
1
4
1
3
1
2
14
2
1
4,3,2,1
ADА
ТTTТA
D
Здесь а
0
4
определяется как средний свободный промежуток пересече-
ния четвертого потока при времени пересечения, равном для четвертого на-
правления max{t
1
1
(4), t
2
1
(4), t
3
1
(4), t
4
1
(4)}.
Следует заметить, что для второстепенных направлений в случае, когда
автомашины, движущиеся прямо и направо, не могут объехать тс, ожидаю-
щие левого поворота и разворота для движения в обратном направлении, не
нужно учитывать неравенство типа (3.45), так как с учетом случайности в
индивидуальном смысле [29, 45] это уже содержится в неравенствах (3.58) и
(3.59). Если же такой объезд возможен, то вместо (3.58) и (3.59) рассматрива-
ется неравенство типа (3.59), а для тс, движущихся прямо и направо, выпи-
сывается неравенство:
,)()(
2,1
2
14
2
14
2
1
2
1
1
12,4
1
12,4
1
1
1
1
DВАВА
Где
.)4()4( если ,
),4( )4( если ,
1
1
2
1
0
2,12,4
1
14
2
1
1
1
2
14
2
1
2,1
ТТAАА
ТТA
D
Здесь а
1,2
оценивается так же как
1
1
а
4,2
, но при времени пересечения
четвертого потока, равном т
2
1
(4). Если же в этом случае неравенство типа
(3.45) нарушается, то это учитывается неравенствами (3.58) и (3.59), но в них
интенсивности потоков
3
1
и
4
1
уменьшаются приближенно на величины:
344
)]2/()1[()]/([
и )]2/()1[()]/([
3
1
4
1
4
1
4
1
3
1
3
1
2,3,4
4
12,3,4
4
12
2,3,4
3
12,3,4
3
12
eeeBAU
eeeBAU
Соответственно.
Неравенства, подобные (3.56)-(3.59), выписываются для другого, вто-
ростепенного третьего направления. Можно доказать, опираясь на случай-
ность в индивидуальном смысле [29, 45, 63, 248], что этих неравенств доста-
точно для оценки пропускной способности перекрестка.
3.10. Многорядное движение для второстепенного направления
При многорядном движении по главным направлениям неравенства
(3.42)-(3.45) будут те же, но только для средних свободных и блокированных
промежутков, которые должны оцениваться по большему числу пересекае-
мых потоков, согласно разделу 3.8. Задержка S
2
учитывается только в том
случае, если в крайнем левом ряду разрешено движение прямо.
Многорядность второстепенных направлений также учитывается ана-
логично, но отдельно для каждого ряда, с учетом видов маневров ТС в каж-
дом ряду. Число пересекаемых потоков увеличивается. Для поворота направо
из-за многорядности главных направлений используется только неравенство
(3.47), а (3.48) исключается. Неравенства (3.57)-(3.59) упрощаются, так как в
каждом ряду уменьшается число видов маневра ТС. Метод расчета остается
тот же.
В качестве примера рассмотрим подробнее случай двухрядного движе-
ния из второстепенного направления. По главным направлениям в этом слу-
чае должно быть не меньшее число рядов движения. Предполагается, что для
каждого ряда, как главных, там и второстепенных направлений, известны ин-
тенсивности движения
i
j
ТС с относящимися к этому ряду маневрами. Чис-
ло пересекаемых рядов из каждого направления при определенном маневре
будет теперь значительно больше, но получающиеся, согласно подразде-
лу 3.8, свободные и блокированные промежутки считаем вычисленными и
обозначенными так же, как и ранее по пересекаемым направлениям, подра-
зумевая, что по каждому направлению может быть несколько пересекаемых
345
рядов.
Оценки укажем для первого второстепенного направления, имеющего
два ряда, возможны три случая:
1) в левом ряду движение прямо, налево и разворот для движения в об-
ратном направлении, а в правом ряду - только направо (рис. 3.18);
2) в левом ряду - поворот налево и разворот, а в правом ряду - прямо и
направо (рис. 3.19);
3) в левом ряду - движение налево и разворот, в правом ряду - поворот
направо. Здесь движение прямо возможно по обоим рядам (рис. 3.20).
С учетом замечаний с вычислением и обозначении средних свободных
и блокированных промежутков времени в первом случае (см. рис. 3.18)
должны быть выполнены относящиеся к первому направлению соотношения:
Рис. 3.18 Случай, когда
4,3,1
2.1
и
2
1.1
1,1
2
1,1
1
1,2
3
1,2
4
1,2
1,2
Рис. 3.19. Случай, когда
2,1
1.1
и
4,3
2.1
1,1
2
1,1
1
1,1
3
1,2
4
1,2
1,2
Рис. 3.20 Случай, когда
1,2
1.1
и
1,4,3
2.1
1
1,2
3
1,2
4
1,2
2
1,1
1
1,1
346
(3.47), (3.56)-(3.58). Неравенство (3.59) здесь уже не нужно.
Во втором случае (см. рис. 3.19) должны быть выполнены неравенства
(3.47), (3.56), (3.57) и для правого ряда еще должно быть
,)()(
2,1
2
14
2
14
2
1
2
1
1
12,4
1
12,4
1
1
1
1
DВАВА
(3.60)
ГДЕ
.)4()4( если ,
),4( )4( если ,
1
1
2
1
0
414
1
14
2
1
1
1
2
14
2
1
2,1
ТТAАА
ТТA
D
Здесь
1
А
0
4
есть результат последовательного пересечения потоков чет-
вертого и второго направлений при времени пересечения первого потока,
равном Т
1
= Т
2
1
(4).
В третьем случае (см. рис. 3.20) должны быть выполнены соотношения
(3.47), (3.56), (3.57). Кроме того, должны быть выполнены неравенства (3.58)
и (3.60), в которых вместо
1
1
(
1
1
А
4,2
+
1
1
В
4,2
)
1
1
должны стоять, соответствен-
но, доли этого потока, приходящиеся на правый и левый ряды:
.10
,)()-(1 и )(
1
12,4
1
12,4
1
1
1
1
1
12,4
1
12,4
1
1
1
1
ВАВА
Видоизмененные, таким образом, неравенства (3.58) и (3.60) складыва-
ем и получаем в результате неравенство:
,)()(
)()(
2,14,3,2,1
2
14
2
14
2
1
2
1
1
12,4
1
12,4
1
1
1
1
4
13,2,4
4
13,2,4
4
1
4
1
3
13,2,4
3
13,2,4
3
1
3
1
DDВАВА
ВАВА
(3.61)
где D
1,2,3,4
и D
1,2
определяются так же, как для неравенств (3.58) и (3.60).
Следовательно, в третьем случае должно быть выполнено это неравенство, а
также (3.47), (3.56), (3.57).
Изменение неравенств (3.60) и (3.61), в сравнении с (3.58) и (3.59), и
уменьшение числа неравенств при многорядности второстепенного направ-
ления устанавливает определенную выгоду введения двух рядов вместо од-
ного по данному направлению.
347
3.11. Метод расчета основных характеристик пропускной
способности четырехстороннего перекрестка с автомобильным и
трамвайным движением
Предлагается метод математического расчета основных характеристик
пропускной способности нерегулируемых перекрестков с движением нерель-
сового и рельсового транспорта.
Анализ проводится на четырехстороннем нерегулируемом перекрестке
с трамвайным движением из всех четырех направлений со всеми видами ма-
невров: прямо, налево и направо из каждого направления. Будем предпола-
гать для простоты, что трамваи движутся по средним рядам улиц во всех на-
правлениях, а автомобильное движение - однорядное, осуществляется по
крайнему правому ряду, в каждом направлении. Рассматриваемый здесь ме-
тод [63, 70, 215, 248] допускает простой перенос на все другие типы перекре-
стков и любую иную конструкцию с любым числом рядов движения авто-
транспорта, не уменьшая тем самым общности метода.
Также предполагается, что по каждому направлению к границе пере-
крестка прибывают стационарные потоки как трамваев, так и автомобилей
[70]. Случайные моменты времени прибытия транспортных единиц к границе
перекрестка ожидаются для каждого потока, распределенными по закону Пу-
ассона с интенсивностью
, т.е. число n транспортных единиц данного пото-
ка прибывает к перекрестку за промежуток времени t с вероятностью
P
n
(t)=(
t)
n
e
-
t
/n!
Потоки каждого направления нумеруются против часовой стрелки, а
всем параметрам потоков приписываются нижние индексы j= 1, 2, 3, 4, соот-
ветствующие направлениям движения через перекрестки. Будем считать чет-
ные направления j= 2, 4 главными; а нечетные j=1, 3 - второстепенными, без
уменьшения общности рассуждений.
Каждый поток автомобилей и трамваев, прибывающих к перекрестку,
различается по их маневру на нем: движение прямо, поворот направо, пово-
рот налево и для автомобилей разворот для движения в обратном направле-
348
нии. В соответствии с этим перечислением маневров всем параметрам потока
с определенным маневром приписываются верхние индексы i=1, 2, 3, 4. Тем
самым, например, интенсивность прибывающих к перекрестку автомобилей
по первому направлению и совершающих поворот направо на нем имеет вид
2
1
. В общем же случае будем описывать
i
j
для автомобилей j-го направле-
ния с маневром i, а для трамваев, интенсивности обозначаются через
i
j
, дви-
жущихся из j-го направления с маневром i. Так как здесь рассматриваются
пуассоновские потоки [248], то, как известно, общие потоки
j
=
1
j
+
2
j
+
3
j
+
4
j
и
j
=
1
j
+
2
j
+
3
j
будут также пуассоновскими с параметрами
j
, и
j
, для автомобилей и
трамваев соответственно, так как потоки автомобилей и трамваев, прибы-
вающих к перекрестку с разными маневрами, можно считать независимыми.
Будем руководствоваться правилами движения [197] проезда нерегули-
руемых неравнозначных перекрестков - с главными и второстепенными на-
правлениями движения, по которым автомобили и трамваи с того или иного
направления движения обязаны ждать проезда транспортных единиц какого-
то пересекающегося потока или не обязаны это делать. В случае ожидания
нужно учитывать время Т пересечения автомобилем и S – трамваем какого-то
потока. Здесь считается, что Т и S являются средними временами, зависящи-
ми от конструкции перекрестка, типов ТС ожидающих проезда, их приеми-
стости и т.д. Эти величины должны быть подсчитаны статистически из ре-
зультатов натурных наблюдений применительно к каждому конкретному пе-
рекрестку. Следует однако отличать Т и S для автомобилей и трамваев, ожи-
дающих проезда у границы перекрестка, от
T
и S для автомобилей и трамва-
ев, проезжающих перекресток сходу, без ожидания перед ним. Эти два вида
средних времен считаются заданными для каждой пары потоков с соответст-
вующими индексами. Так,
nki
j
ml , означает среднее время проезда из оче-
реди автомобиля j-го направления с маневром i при пересечении потока ав-
томобилей направления l с маневром k и потока трамваев направления m с
маневром n. Так как индексы потоков автомобилей и трамваев могут оказать-
349
ся одинаковыми, то во избежание путаницы иногда для трамвайных потоков
будем писать значок t. Следует заметить, что проезд означает не только пере-
сечение потока, но и вхождение в него, например, при правом повороте ав-
томобиль вливается в ближайший пересекаемый поток.
Учет времени Т и S имеет смысл делать лишь тогда, когда, согласно
правил движения [197], пересекаемый поток имеет преимущество перед
ожидающей транспортной единицей или равноценен ей, но она обязана про-
пустить пересекаемый поток.
Введем еще средний интервал времени между автомобилями
и между
трамваями
, движущимися из очереди, т.е. после остановки перед перекре-
стком. Эти величины отсчитываются по времени между проходом передних
бамперов последовательно движущихся транспортных единиц относительно
какой-то точки отсчета (поперечного сечения) и зависят от длины транспорт-
ных единиц, характера их маневра, условий местности (уклон, или подъем),
конструкции перекрестка и т.д. Этим величинам приписывают индексы на-
правления движения и маневра транспортных единиц, движущихся последо-
вательно в очереди, т.е.
i
j
и
i
j
есть интервалы времени между автомобиля-
ми и трамваями соответственно, движущихся из j-го направления с маневром
i. Величины
i
j
и
i
j
являются средними величинами и каждая из них как бы
приписывается каждой транспортной единице, стоящей в очереди. Обосно-
вание введения таких величин дается в [70, 72, 74, 76, 137, 141, 212, 213, 216,
248].
3.11.1 Средние оценки пересечения транспортными единицами
нескольких потоков
Основная трудность математического описания реальных перекрестков
методами, изложенными в [248, 298, 299], состоит в том, что транспортная
единица, движущаяся через перекресток, пересекает последовательно ряд по-
токов транспорта. В [248, 298, 299] даны оценки пересечения транспортной
единицей одного пересекаемого потока, однако сложность этих оценок и
взаимодействие между собой нескольких потоков не позволяют дать доста-
350