Живоглядов В.Г. Теория движения транспортных и пешеходных потоков
Подождите немного. Документ загружается.
мени имеет вид
)1/(10
0
1
GdgG
,
осуществляя последовательные преобразования, находим, что блокирован-
ный промежуток времени
TТT
Т
T
Т
ТТТТТ
ееееееedе
edеТеТееdеее
еdеееdее
/1//1/////)(
///
1
//11
0
0
00
0
00
./1
T
ее
(3.7)
Выражение (3.7) можно преобразовать к виду
,/1
T
ее
поскольку
λT
λT
e
e
1
/1
е
Определение свободных промежутков времени
Используя уравнение [71], полученное на базе
1
[70, 72], не до-
пуская логической ошибки предполагаем, что цикл, т.е. сумма свободных и
блокированных промежутков времени имеет вид [70, 72]
1
(3.8)
Тогда свободный промежуток времени составит разность из сумм и
этих промежутков блокированного, проведя преобразования получим
TTT
e
A
ee
BBBAA
2
,
2111
(3.9)
После громоздких преобразований может быть определен суммарный
свободный промежуток времени в пределах одного часа роботы перекрестка
следующим выражением
ΣА=3600А/(А+В)=3600λ
jk
((2-е
λjkTjk
)/λ
jk
)=7200-3600е
λjkTjk
ΣА=7200-3600е
λjkTjk
, с/ТЕ.
Здесь А+В берут не по Ф. Хейту [248], а по методу [70, 73, 85, 86,
87, 97], где А+В=/λ
jk
; В – блокированный промежуток времени, с/ТЕ; λ
jk
- ин-
311
тенсивность движения ТС на фиксированной полосе k и направлении j.
Зная интенсивность прибытия ТС к перекрестку можно определить при
всех вариантах свободные промежутки времени и возможность проезда ТС с
поперечного (бокового – второстепенного) направления. Следует отметить,
что свободный промежуток определяется и после того, как будет определен
блокированный промежуток времени.
Также определяется и блокированный промежуток по формуле [248],
т.е. здесь он заимствован у Ф. Хейта [248].
В=[1/ λ
jk
(1-е
-λjkTjk
)]/ е
-λjkTjk
=(1- е
-λjkTjk
)/ λ
jk
е
-λjkTjk
=( е
λjkTjk
-1)/ λ
jk
.
Временная занятость нерегулируемого перекрестка может быть опре-
делена через суммарный блокированный промежуток времени ΣВ, допустим
в течении одного часа
ΣВ=3600В/(А+В)=3600λ
jk
(е
λjkTjk
-1)/λ
jk
=3600е
λjkTjk
-3600,
ΣВ=3600е
λjkTjk
-3600.
Зная количество таких промежутков и число ТС, воспользовав-
шись им для проезда, можно определить пропускную способность полосы
движения с бокового направления и решить вопрос о переводе в регулируе-
мый перекресток и структуре его реконструкции.
3.3.2. Математическое описание процессов функционирования
свободных и блокированных промежутков времени в условиях
пресечения одним автомобилем двух и более транспортных
потоков
Сделаем некоторые предположения: транспортной единице надо пере-
сечь два потока с параметрами
1
и
2
; время пересечения их Т
1
и Т
2
соответ-
ственно. Считаем, что для обоих потоков определены свободные и блокиро-
ванные промежутки, соответственно А
1,
В
1
и А
2,
В
2
. Эти промежутки опреде-
ляются в предположении, что потоки стационарны [212, 213, 219, 248, 298,
299].
Пересекающая оба потока транспортная единица, пройдя первый по-
ток, может во втором потоке попасть на свободный и на блокированный
312
промежутки с определенной вероятностью, определяемой распределением
длины свободного и распределением длины блокированного промежутка
второго потока [70, 72]. Следовательно, возможно смещение цикла А
2 +
В
2
от-
носительно цикла А
1 +
В
1
, где цикл А
1 +
В
1
понимается в конце прохода перво-
го потока, т.е. по оси времени цикл А
1 +
В
1
смещен на Т
1
. В дальнейшем, го-
воря о цикле А
1 +
В
1,
мы всегда будем. подразумевать это смещение. Второй
цикл А
2 +
В
2
второго потока может быть смещен относительно цикла А
1 +
В
1
на величину х (рис. 3.11). Для определенности, в цикле А
1 +
В
1
будем считать
первым свободный промежуток, а за ним - блокированный. Во втором цикле
А
2 +
В
2
будем считать наоборот - первым блокированный В
2
, а вторым – сво-
бодный А
2
(см. рис. 3.11). Это не уменьшит общности, так как мы будем рас-
сматривать любое смещение х в пределах 0
22
, а свободные и бло-
кированные промежутки в любом потоке обязательно чередуются[70,72], т.е.
в среднем циклы обязательно повторяются во времени (рис. 3.12).
Рис. 3.12. Случай, когда циклы повторяются
0
122
x
A
1
B
1
A
2
B
2
B
2
A
2
½B
2
А
1
В
1
Рис. 3.11 Схема случая, когда свободные и блокированные промежутки двух
потоков пересекаются
х
В
2
А
2
313
Свободный проход через два потока в среднем определится пересече-
нием А
1
и А
2
, а блокированный - остальными случаями, при различных сме-
щениях х второго цикла А
2
+ В
2
; относительно начала первого цикла А
1 +
В
1
,
(рис. 3.11).
В самом смещении х могут содержаться части А
2
и В
2
, т.е. необходим
учет различных случаев, связанных с тем, что А
2
+ В
2
< А
1,
А
2
+ В
2
А
1,
а так
же с тем, что циклы А
2
+ В
2
не укладываются в А
1
, где в начале определяется
величина r (например, рис. 3.13, 3.14). Причем, может быть 0
r
В
2
или В
2
r
< А
2
+ + В
2
. Может быть при этом, что величина А
2
r или А
2
r и могут
быть другие случаи. Обозначим через
А
(х) функцию суммы пересечений
свободных промежутков А
1
и А
2
, а через
B
(х) - пересечение свободного про-
межутка А
1
с промежутками В
2
. Промежуток В
1
не трогаем, так как это всегда
блокированный промежуток при последовательном пересечении сначала пер-
вого потока, затем второго. В скобках у
А
и
В
(х) - указано смещение на х
цикла А
2
+ В
2
относительно начала А
1
+ В
1
. Очевидно,
1
ВА
Разбирая различные случаи, легко проверить, что
А
(х) и
В
(х) прини-
мают следующие значения, рассматриваемые далее [70,72]:
А
1
22122122
1,,
r
221
где К – число циклов второго потока, вмещающееся в свободный промежу-
ток первого потока.
Рис. 3.13 Случай когда свободные промежутки двух потоков не пересекаются
В
2
А
2
r
А
2
А
1
В
1
В
2
314
1) 0 < r
В
2
,
х
А
2
, А
2
> r.
Смещение х = 0, А
2
~ K раз, раз
2
r
B
2
~ 1 раз;
0 < x < r, A
2
~ K, B
2
~ K, x
A
2
~ 1, r – x
B
2
~1
r
< A
2
, х – r
A
2
, A
2
~ K ~ 1, В
2
~ K, х
А
2
~ 1, A
2
– (x – r) ~ 1
A
2
x < A
2
+ r, A
2
~K, B
2
~ K, x – A
2
B
2
~ 1, A
2
– (x – r)
A
2
~ 1
A
2
+ r
x
1~,1~,~,
222222
rxrKK
223
rx
22222222
222222
2222
22
222
1
при ,1
;,
;1
0;
0,,
A S(x)
22
xrrxrxr
rxxrх
xrxrAx
rxxrx
xrr
АВ
Функция суммы пересечения свободных промежутков
21
и имеет
вид
2222
222
22
2
,
,1
,
0,
xr
rxxr
xrr
rхх
x
A
,ххх
ВА
r
221
0 < A
1
– B
2
< A
2
< A
1
< A
2
+ B
2
, (рис. 3.15)
122121
хххх
,0
222121
(рис. 3.16)
А
1
В
1
А
2
В
2
В
2
А
2
А
2
В
2
r
Рис. 3.14. Случай когда А
2
+ В
2
< А
1
, А
1
= К (А
2
+ В
2
) + r
315
221
222112
,0
ххххх
222
222121
,0
хrхrххх
,
2222
хrхrхrх
при К = 0 будет r = A
1
.
Функция суммы пересечения блокированных промежутков
2
со сво-
бодным
2
2222
2222
22
2
,
;,
,
0,
хrr
rхх
хr
rххr
х
При A
2
< r функция свободных промежутков имеет вид
22222222
22222
2222
222
,1
;,
;,1
0,
хrrхх
rхrrхх
rхrх
ххrх
х
21
122212221
2
ВА
АВАВА
0 A
1
– B
2
A
2
A
1
A
2
+ B
2
Рис. 3.15 Диаграмма изменения свободных и блокированных
промежутков 0 < A
1
– B
2
< A
1
> A
2
< A
2
+ B
2
0
А
1
– В
2
А
1
А
2
А
2
+ В
2
Рис. 3.16. Диаграмма изменения свободных и блокированных
промежутков когда А
1
< A
2
316
При A
2
= r функция свободных и блокированных промежутков имеют
вид
х
2
х
2
2
0 х ;
2
1 rх
2
;
хr
2
1
х
2
2 rхr
2
;
2
2
222
хr
хr
2
х
22
2
0 х
22
r rх
2
22
х
22
х rхr
2
r
2
22
222
хr
При
222
r и
2
r функции блокированных и свободных
промежутков имеют вид:
,1
22
хrх
rх
0
;
222
rхх
2
хr
,1
222222
хrх rх
22
,
22222
rхх
222
хr
,
22
r
2
0 rх
,
2
х
22
хr
2
1 , rх
2
КА
2
+А
2
–(х–r)=
,1
2
хr
22
хr
,1
2
2
0 rх
,
2
хr
22
хr
,
22
r rх
2
.
22
х
22
хr
х
х
х
х
х
317
При
222
r и
2
r
,
22
r
2
0 rх
,
2
х rхr
2
,
2
r
2
хr
KA
2
-r-x+A
2
=
,1
2
хr
222
х
,1
2
2
0 rх
,
2
хr rхr
2
rхr
2
,
2
2
хr rх
2
22
х .
222
х
22
хr .
При
221
1)
21
2)
21
1)
12
2)
12
1)
21
2)
21221
0 ,0
21
0 х
21
х
,
2
х
221
х
,хх
хх
1
12
х
,
2
х
21
х
221
х
хх
12
2
х
1) ,
21
21
21
0 х
21
2
121
х x х
1
21
х
х
1
х
В
0
222
х х
21
2
х
2)
21
12
2
0 х x х
1
12
х
2
21
211
х
х
х
12
;
х
2
х
2221
х 0
1
х
х
318
3)
22
21
1
0 х x х
1
21
х
1
0
212
х
х
х
12
х
2
х
2221
х 0
1
Опираясь на эти логические рассуждения, для всех случаев выводится
общая формула (3.12) [70,72]
Введем функции
1, для х > 0
E(x)=
0, для х (3.10)
и
0, для х < 0
Н(х)= х, для 0
22
х (3.11)
периодическая с периодом ,
22
для всех х
0
Общая формула (3.12) представлена с учетом специальных функций
Е(х) и Н(х). Образуем
(х):
,0
222112
.
22
22222
хrхrх
rrхrrх
2121
АхАхххх
. (3.12)
Причем, здесь при К=0 будет r = А
1
. Функция
х
в этом виде берется
для
22
0 х , а вообще она периодическая с периодом
22
. Функция
.
1
хх
Заметим, что в формуле для
х
при
2
r будет
0
2
rх . Рас-
смотрим два случая:
1)
122
, 2)
122
.
При этом пусть
(А
2
+ В
2
) /
11
=
. ,/
1122
mnnm
319
В формуле для
х
можно записать, что
)(
222
xLΒrΕΒrΚΑх
.
За m повторений (A
1
+ В
1
) цикл (А
2
+ В
2
) повторится n раз, но это и не
обязательно учитывать. За m повторений сумму свободных промежутков
обозначим через
х
m
.
Случай 1
Здесь
1122
. Рассмотрим целую часть
)/()(
2211
и
дробную часть
=
.)/()()/()(
22112211
Тогда если А
2
+ В
2
по отношению к началу цикла А
1
+ В
1
сдвинуть на х,
то в следующем цикле А
2
+ В
2
сдвинуть по отношению к началу цикла на
ах . Но ввиду периодичности
х
с периодом А
2
+ В
2
можно записать
хх и т.д. Следовательно, здесь
m
i
m
n
iхLrrmmаiхх
1
222
1
11
Средний свободный интервал в этом случае определится по числу цик-
лов А
2
+ В
2
, укладывающихся в эти m циклов A
1
+ В
1
, т.е.
А
(х) =
./ n
m
.
Аналогично:
.1)(
11
1
22211
1
11
1
1
m
i
m
i
m
i
m
аiLrrmmm
аiхаiхх
(3.13)
где i = 1, 2, …, m.
Средний блокированный промежуток будет
nххВ
m
/)(
.
Случай 2
В этом случае К = 0 и
1
r . Здесь возможны два варианта:
а)
11221
и б) .
1122
а) Здесь
2211
/ а -
2211
/
и применима та же формула
m
i
m
аiххS
1
,1
320