Живоглядов В.Г. Теория движения транспортных и пешеходных потоков
Подождите немного. Документ загружается.
2
21
2
2173635357363535
2
55
2
12
2
1222442244
2
44
2
21
2
2121222122
2
22
;
;
xExS
xyExyS
xyExyS
и новые коэффициенты:
1
12
1
12
1
11
1
116311
d ; ;
1
12
1
12
1
11
1
116412
d
;
2
12
2
1223
dd
1
12
1
12
1
11
1
115314
d ;
;
1
12
1
12
1
11
1
115415
d ;
2
12
2
1256
dd
Однако неравенства (2.137) также не все независимы. Легко устано-
вить, что сумма первого и четвертого в них совпадает с суммой второго и
третьего, а сумма пятого и восьмого совпадает с суммой шестого и седьмого.
В результате получаем независимые неравенства:
222
22
0
2
55
2
44
2
22
2
11
2
114264
0
2
44
2
22
2
11
2
114231
C
SSSxxdd
C
SSxxdd
(2.138)
Из уравнения (2.130) надо выбрать неизвестные так, чтобы левые чле-
ны в них, кроме последнего, были как можно меньше. Для этого надо вы-
брать
2
53
S так, чтобы
2
556431
2Sdddd если
6431
dddd и полагать что
,0
2
55
S если
6431
dddd . Заметим, что
566431
22
dddd
Следовательно, возьмем 0
2
55
S при
56
и возьмем
2/20
56
2
55
S или
56
2
55
0
S при
56
. Это значит, что х
5
следует
выбирать так, чтобы было
7363535
x при
56
и
736353
2
11
2
11565
/)(
x при
56
. Кроме того, на х
5
наложены усло-
вия (2.135) 10
5
х .
Введем величину:
181
,
.
,,1min
56736353
,56736353
2
11
2
11
56
аапри
aапри
Q
Значение х
5
надо выбирать так, чтобы было Q
5
и выполнялось не-
равенство (2.135): .
1135
Cх Последнее неравенство накладывает ограниче-
ние на:
5113
/ хC
(2.139)
С точки зрения достижения максимума C/
0
желательно взять пока
Qх
5
, но из-за сужения границы для цикла С за счет неравенства (2.139) в
дальнейшем, возможно, потребуется величину х
5
уменьшить. Пока опреде-
лим х
5
=Q. Величина
2
55
S определяется следующим образом:
56
56
2
11
2
117363535
2
55
,0
,
аапри
прих
S
На основании соотношений (2.131) теперь ххх 1
42
.
Зная
2
55
S из неравенств (2.134), легко найти, пользуясь соотношением
0
333
CC
величину
3
. Неравенство (2.134) теперь будет:
3
2
55536
,
S . На величину а
1
никаких ограничений, кроме
n
l
l
CC
1
0
/)(
, не накладывается. Следовательно, можно принять что
2
55563
;max Saaa . Этим определяется величина
3
a .
Введя обозначения
,;max
6431
ddddD неравенства (2.138) запи-
шутся в виде:
2/21
0
2
44
2
22
2
11
2
115
CSSхD
. (2.140)
Чтобы обеспечить условия уравнения (2.130), надо теперь найти
2
44
2
22
min SSR , по
4242
,,, yyхх . Заметим, что предположить 0
2
22
S и
2
44
S =0
нельзя, так как эти равенства, cсогласно определению функции Е(х), могут
выполняться лишь тогда, когда
2122
хy и
2244
хy . Но на основании (2.131)
22421242
1
ххуy , а последнее невозможно из-за того, что
11
542
ххх и .10;10
2221
- Следовательно, 0
2
44
2
22
SS и будем ис-
182
кать R при этом условии в ограничениях (2.131)-(2.135) на входящие в него
переменные. Для нахождения R в этом случае изучим неравенство
,1
224212
хх (2.141)
которое всегда должно выполняться при
542
1 ххх и 10,10
2221
. Ес-
ли х
5
=1, то х
2
=х
4
=0 и (2.141) удовлетворяется при любых рассматриваемых
21
и
22
. Пусть теперь 10
5
х и пусть
2122
. Тогда
,111
212242132242145
ххххх
откуда
21222134
/1
х . Но х
4
не может быть отрицательным числом,
значит, х
4
=0 и х
2
=1-х
5
при
2122
. Аналогично, если
2122
, то подобными
рассуждениями доказывается, что должно быть х
2
=0 и х
4
=1-х
5
. Если же
2122
, то неравенство (2.141) удовлетворяют любые значения
;0
2
х ;0
4
х
542
1 ххх .
Рассмотрим теперь случай 0
2
22
S и 0
2
44
S . Это значит, в соответствии
с видом 0
2
22
S и 0
2
44
S и определением функции Е(х), что у
2
>х
2
21
,
2244
y . Складывая эти неравенства, найдем из выражений (2.131), что для
х
2
и х
4
должно выполняться неравенство (2.141) . Тогда
,1
2
12
2
12224212
2
12
2
122244
2
12
2
122122
2
44
2
22
yySS
отсюда
0min
2
44
2
22
SSR будет, в соответствии с предыдущими исследова-
ниями, определяться как
. ;11
, ;11
, ;11
2122
2
12
2
12225
2122
2
12
2
12215
22221
2
12
2
1225
при
при
при
R
И он реализуется при любых таких у
2
и у
4
, что у
2
+у
4
=1. Пусть теперь
0
2
22
S , а 0
2
44
S . Это соответствует неравенствам у
2
- х
2
21
>0,
2244
y .. Вто-
рое неравенство на основании соотношения (2.131) можно записать
2242
1
y или
2224
1 ух
или
2122212224
1
xyхх . Заметим, что ми-
нимум
2
22
S соответствует минимуму левой части по х
2
, х
4
, у
2
, у
4
и должен
быть здесь больше нуля. Значит, должно быть неравенство (2.141). Отсюда, в
случае 0
2
22
S и 0
2
44
S будет R то же самое, что и в предыдущем случае.
183
Здесь уже у
2
и у
4
, реализующие R, не являются произвольными величинами,
так как они должны удовлетворять соотношениям
2
2
12
2
122122
][ Ry
Отсюда
212252
)1(1
xy
, а
24
1 yy
.
И в результате
. ,)1(1
, ,1
, ,)1(1
2122225
2122
222212225
2
приx
при
прихх
у
, ,)1(
, ,0
, ,
2122225
2122
2222124
4
приx
при
прих
у
а х
2
и х
4
принимают значения так, как указано при исследовании неравенства
(2.141).
В обратном случае, 0
2
44
S , 0
2
22
S . Аналогично предыдущему случаю
получаем, что R принимает те же значения, но
R = (y
4
– x
4
22
)
2
12
2
12
. Откуда:
. ,1
, ,)1(1
, ,)1(1
2122
2122215
222212425
4
при
приx
прихх
у
. ,0
, ,)1(
, ,
2122
2122215
2222122
2
при
приx
прих
у
Таким образом, величина R зависит только от соотношений между
21
и
22
, но реализуется разными значениями х
2
, х
4
, у
2
, у
4
в разных случаях
2
22
S и
2
44
S .Тем не менее, из неравенства (2.140) можно определить, что
0
2
11
2
1150
2/)1(1/ QRxDCT
(2.142)
при этом должно быть T
0
/C < 1, а это значит, что
D+(1-x
5
)
2
11
2
11
+R<2. (2.143)
Для нормальной работы перекрестка это условие должно обязательно
выполняться.
Заметим, что при
21
=
22
=
2
. условия (2.135) должны соблюдаться
обязательно, но х
4
, у
4
всегда можно выбрать так, чтобы (2.135) выполнялось.
184
В случае
22
21
(2.135) будет выполняться автоматически, так как здесь
х
4
=0 и у
4
=0. Единственный случай
22
21
накладывает ограничения на С за
счет (2.135). В этом случае ограничения (2.135) дают для х
4
,:
С
112
(2.144)
и для у
4
:
С
122
/[(1-x
5
)
22
], при 0
2
44
S и 0
2
22
S
С
122
, при 0
2
44
S и 0
2
22
S . (2.145)
Ограничение неравенства (2.144) не может быть снято и ослаблено, а в
(2.145) его можно ослабить, если в соотношениях (2.140) отказаться от ми-
нимальности
2
22
2
44
SS или рассматривать случай 0
2
44
S , 0
2
22
S , выбирая про-
извольным образом у
2
и у
4
, у
2
+у
4
=1, но так, чтобы выполнялись условия со-
отношений (2.135) для у
4
. Отметим еще, что соотношения (2.132), (2.133)
фактически не содержат явно величин С и T
0
l
, так как в соотношениях
1
C=
1
C+T
0
l
их можно исключить. Тем самым для определения С и Т
0
l
на
неравенства (2.132), (2.133) можно не опираться, а использовать остальные
соотношения, оставив неравенства (2.132) и (2.133) для определения
1
и
4
.
Обратимся к соотношениям (2.136). Первые два из них имеют уже из-
вестные левые части, за исключением С, х
2
и х
4
, но x
2
+x
4
=1-x
5
. Четвертое во-
обще не содержит слева переменных задачи. Третье содержит переменные х
1
и у
1
, которые можно выбирать произвольно, так как они не влияют непосред-
ственно на величину экстремума (2.130), как это видно из (2.139). Поэтому х
1
и у1 можно выбирать по возможности малыми по величине значениями, с це-
лью повышения пропускной способности пешеходных переходов и создания
безопасности движения пешеходам. Учитывая условия соотношений (2.131)
и (2.135), нужно взять х
1
=1-
112
/С; у
1
=1-
1122
/С. Это также повышает возмож-
ность проезда транспорта налево во время первой фазы цикла светофора С. В
результате определены все левые части неравенств (2.136) и неизвестные за-
дачи х
1
, у
1
, х
3
=1-х
1
, у
3
=1-у
1
. Определение х
1
и у
1
возможно также за счет того,
что в преобразованных выражениях (2.132), (2.133) сумма
1
+
2
, полученная
сложением каждого неравенства (2.132) с каждым неравенством (2.133), не
185
зависит от х
1
, х
3
, у
1
, у
3
, т.е. левые части полученных неравенств для
1
+
2
не
содержат явно этих переменных. Выбирая определенным образом х
1
, х
3
, у
1
, у
3
,
мы лишь устанавливаем определенное соотношение между
1
и
2
а на
1
+
2
повлиять не можем, если только не нужно изменять Т
0
/С.
Перепишем неравенства (2.136) так, чтобы в них входили С, Т
о
и
1
,
2
в качестве неизвестных:
E
1
+ a
7
C
T
0
-T
0
1
= Q
0
C - T
0
1
; E
2
+ a
8
C
C;
F + a
9
C
C -
2
C; E
4
+ a
10
C
C; (2.146)
где F = E
3
-
112
1
11
L
1
11
(3) -
122
1
12
L
1
12
(3);
a
7
= b
1
+ x
5
2
11
L
2
11
(2) - a
3
;
a
8
= b
2
+ (1-x
5
)
2
11
L
2
11
(2) + a
3
;
a
9
= b
3
+
1
11
L
1
11
(3) +
1
12
L
1
12
(3).
a
10
= b
4
+
3
Для получения соотношений (2.146) и использования соотношения
l
C=
l
C+T
0
l
, (
1
+
2
+
3
)C = C – T
0
, T
0
1
+ T
0
2
+ T
0
3
= T
0
.
Из соотношений (2.146) находим:
(E
1
+ T
0
1
)/(Q
0
– a
7
)
C, F/(1 -
2
– a
9
)
C,
E
2
/(1 – a
8
)
C, E
4
/(1 – a
10
)
C, (2.147)
при условии, что
Q
0
> a
7
, a
8
< 1, a
10
< 1, a
2
+ a
9
< 1, (2.148)
Это и является условием обеспечения нормального функционирования
перекрестка.
Величину С надо выбрать из условий соотношений (2.139), (2.144),
(2.147), если последние необходимы. Желательно
2
и T
0
1
выбирать как мож-
но меньшее значение, но только и расчетных. Величину T
0
1
выберем как
max{E
2
/2, T
0
1
} в соответствии с выражениями (2.121), (2.126). Относительно
2
заметим, что, согласно (2.133), уменьшить эту величину можно, но только
за счет у
4
, х
4
в зависимости от соотношений между
21
и
22
.
186
В случае
22
>
21
всегда можно взять у
4
=0 и х
4
=0. В случае
22
<
21
x
4
=1-x
5
и при 0
2
44
S будет y
4
= (1 – x
5
)
22
, а это значение наименьшее у
4
в
данной ситуации.
Выбрав таким способом х
4
и у
4
, а значит, x
2
= 1 – x
5
– x
4
и y
2
= 1 – y
4
,
введем величину:
Q = max{a
4
+ y
4
2
12
2
12
; a
3
+ x
4
2
11
2
11
+ S
2
44
}.
Тогда
2
= Q
1
+ x
3
1
11
1
11
+ y
3
1
12
1
12
, а
1
= 1 -
2
-
3
, и будет автома-
тически выполняться (2.132) в силу условия (2.143). Здесь принято
х
3
=
112
/С, у
3
=
112
/С, значит,
2
С = QC +
112
1
11
1
11
+
122
1
12
1
12
.
Неравенство (2.147), содержащее
2
за счет этого преобразуется в виде
(F +
1122
1
11
1
11
+
122
1
12
1
12
)/(1 – Q
1
– a
9
)
C, Q+a
q
<1. (2.149)
Теперь можно определить цикл С как максимальное значение левых
частей неравенств (2.147), (2.149). После этого нужно проверить выполнение
соотношений (2.135), (2.139), (2.144), (2.149); последние два выражения про-
веряются, если в этом есть необходимость. Может оказаться, что какие-
нибудь из этих условий не выполняются, тогда необходимо уменьшить цикл
С, насколько это возможно но не механически, а посредством перераспреде-
ления потоков или введением дополнительных проезжих частей. Иногда это-
го можно добиться и в зависимости от того, какой левой части неравенства
(2.147) и (2.149) оказалось равным С. Если оказалось
С = Е
4
/(1 – а
10
) или С = (Е
1
– Т
0
1
)/(Q
0
– a
7
), а х
5
1,
то уменьшая х
5
, можно увеличить правую часть неравенства (2.139) и умень-
шить значение С, но правая часть неравенства (2.145) за счет этого умень-
шится. Следовательно, надо учесть, что именно не выполняется из соотно-
шений (2.135), (2.139), (2.144), (2.145) и менять х
5
в нужную сторону в преде-
лах возможного. Аналогичная корректировка делается в случае равенства в
(2.149) по переменным х
3
и х
4
, если это возможно.
Равенство цикла С левой части третьего неравенства (2.147) также про-
водится по х
5
, но в противоположную сторону. Если корректировка ничего не
дает и соотношения (2.147), (2.148) не совместимы с (2.135), (2.139), (2.144),
187
(2.145) или нарушаются условия (2.143), (2.148), (2.149) так, что корректи-
ровка не допускается, то нормальная работа перекрестка в принятой системе
регулирования невозможна.
После определения цикла С и всех переменных х
1
, х
2
, х
3
, х
4
, х
5
,
1
,
2
,
3
можно определить Т
0
2
и Т
0
3
как максимальное значение известных частей не-
равенств (2.127), (2.136).Этим задача решается полностью.
Таким образом, в данном разделе предложена теория пропуска транс-
портных и пешеходных потоков через перекрестки на оборудованных свето-
форным регулированием в том числе с дополнительными секциями (п. 2.4), в
частности:
- логика построения методов расчета режимов светофорного регу-
лирования, в том числе с дополнительными секциями для конкретных типов
перекрестков;
- принципы и логика повышения эффективности использования
потенциалов пропускной способности перекрестков за счет пропуска потоков
под прикрытием одних другими потоками;
- оценка геометрических параметров перекрестков и схем органи-
зации управления движением как в продольном, так и в поперечном направ-
лениях;
- принципы повариантного рассмотрения схем и способов О и
УДД;
- логика суждений и математического описания процессов взаимо-
действия потоков в местах маневрирования в аспекте рациональности.
Изложенная теория пропуска ТПП по сути является инструментом к
углублению и развитию исследований в области организации, управления и
безопасности дорожного движения, а также для поиска при этом интересных
решений в аспекте оптимальности.
188
2.5 Исследование динамики образования и рассасывания полных
очередей транспортных средств у стоп-линий перекрестков
Отсутствие теории образования и рассасывания очередей их оптималь-
ных размеров, соответствующих режимам светофорного регулирования, по-
строенной на логической базе не способствует оптимизации методов и сис-
тем организации и управления дорожным движением. В данном подразделе
сделана попытка представить ее в завершенном виде.
В предыдущих подразделах излагались методы математического опи-
сания, расчета и оценки основных характеристик и параметров режимов све-
тофорного регулирования, в том числе оценивались длительности как основ-
ных (разрешающих и запрещающих), так и промежуточных тактов циклов
светофора. Здесь же в математическом описании даются оценки динамики
образования и рассасывания полной очереди транспортных единиц.
2.5.1. Теория образования очередей транспортных средств
2.5.1.1. Математическая модель образования очереди у стоп-линии
Полная очередь n
0j
состоит из максимального количества транспортных
средств, задержанных перед перекрестком у стоп-линии на j- направлении, k
– проезжей части как за период действия запрещающих движение тактов
(красный )(
0
ТС
l
, желтые
0
1
0
TT
n
l
l
), так и за временные интервалы между
включением зеленого такта и троганием с места первого t
r
и других последо-
вательных автомобилей очереди (рис. 2.23). Полная очередь n
0jк
на j- направ-
лении, k – ряде есть функция интенсивности прибытия транспортных средств
к стоп-линии
jк
, временных интервалов
jк
, t
rl
и длительности красного
)(
0
ТС
l
и желтых промежуточных тактов T
0
. На рис. 2.23 даны выражения
00
TCT
, отражающие время образования (накопления) полной очереди
189
ТС,
0
TC
j
- время зеленого сигнала, в течении которого рассасыва-
ется полная очередь ТС и в тоже время в начале ее рассасывания (при зеле-
ном сигнале) она продолжает пополняться с интенсивностью
jk
.
Длительность пропуска полной очереди, т.е. интервал времени между
включением зеленой фазы и моментом проезда стоп-линии последней транс-
портной единицей очереди t
0jк
, есть функция
jк
, t
rl
и n
0jк
. Чем больше значе-
ния
jк
, t
rlк
, n
0jк
, тем больше потребуется времени для пропуска через пере-
кресток образующейся перед ним полной очереди t
0jк
и наоборот.
Пунктирная линия n
1
-n
2
(рис. 2.23) характеризует интенсивность обра-
зования очереди. Чем больше угол наклона n
1
-n
2
(tg α), тем больше интенсив-
ность образования очереди. Пунктирная линия t
1
-t
2
характеризует интенсив-
ность рассасывания образовавшейся у стоп-линии очереди ТС.
Здесь также наблюдается такая зависимость: чем больше угол наклона
Т
0
+
0
(С-Т
0
)
5
j
(C-T
0
)
0j
1
2
3
4
Рис. 2.23 Динамика образования (накопления) и рассасывания полной очереди транспорт-
ных средств:
0j
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
– временные интервалы пересечения стоп-линии при расса-
сывании очереди, с/ТЕ
n
3
t
1
n
2
n
1
t
2
190